Coordenadas Polares
Em geometria plana, o sistema de coordenadas polares é usado para dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões.
Coordenadas Cilíndricas
Em três dimensões, há uma sistema de coordenadas, chamado coordenadas cilíndricas que é análogo às coordenadas polares e dá a descrições convenientes de algumas superfícies e sólidos que ocorrem usualmente. Como veremos, algumas integrais triplas são muito mais fáceis de calcular em coordenadas cilíndricas.
Conversão
Para converter de coordenadas cilíndricas para retangulares, usamos as equações
enquanto que para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas usamos
seny r z z
tgy
x z z
Exemplo 1
(a) Marque o ponto com coordenadas cilíndricas e encontre suas coordenadas retangulares.
(b) Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto em coordendas retangulares
(2,2 / 3,1)
(3, 3, 7).
Coordenadas cilíndricas
(b)
Logo, o ponto em coordenadas cilíndricas é
(3, 3, 7)
3 7tg = 1 2
3 4n
(3 2,7 / 4, 7) ou (3 2, / 4, 7) ou ...
Utilidade das Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo e o eixo é escolhido de modo a coincidir com o eixo de simetria.
z
Exemplo 2
Descreva a superfície cuja equação em
coordenadas cilíndricas é
Solução: A equação diz que o valor de ou altura, de cada ponto da superfície é o mesmo que a distância do ponto ao eixo Como não aparece, ele pode variar. Assim, qualquer corte horizontal no plano é um círculo de raio
.z r
,z
,r.z
( 0)z k k .k
Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
onde
2 2
1 1
( ) ( cos , sen )
( ) ( cos , sen )( , , ) ( cos , sen , ) .
h u r r
h u r rE
f x y z dV f r r z r dz dr d
cos senx r y r z z
Um sólido está contido no cilindro abaixo do plano e acima
do parabolóide(veja a figura). A densidade em qualquer
ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de
Exemplo 3
E2 2 1,x y 4z
2 21z x y
.E
Exemplo 3
Em coordenadas cilíndricas, O cilindro é O parabolóide é Então podemos escrever
Função densidade
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