7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
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CASOS ESPECIALES
DEL MTODO SIMPLEXOBJETIVO: PRESENTAR LOS CASOSESPECIALES DE SOLUCIN DEL MTODOSIMPLEXTEMAS:
SOLUCIN NO ACOTADASOLUCIONES PTIMAS MLTIPLESSOLUCIN DEGENERADAEMPATES EN LA SELECCIN DE VARIABLESCONCLUSIONES
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
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SOLUCIN NO ACOTADA
Como se defini en el algoritmo:Cuando aun existe una variable entrante (existen
coeficientes negativos en el rengln cero), pero noexiste una variable de salida (a causa de que en lacolumna pivote todos los elementos son negativos
o ceros), se tiene una solucin no acotada.
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SOLUCIN NO ACOTADA En alguna iteracin del algoritmo se identificar:
An existe una variable con coeficiente negativo en elrengln cero.xk:ck < 0
Al explorar los coeficientes en la columna pivote, todos sonnegativos o cero.a1k , , a1k 0
zc1, ck, cn1(0)z
b1
bm
a11, a1k, a1n
am1, amk, amn
00
(1)(m)
xB1
xBm
x1, xk,xnzEcuacin
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
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Ejercicio 13maxz = 5x1 + x2 + 3x3 + 4x4sujeta a x1 - 2x2 + 4x3 + 3x4 20
- 4x1 + 6x2 + 5x3 - 4x4 402x1 - 3x2 + 3x3 + 8x4 50
x1, x2, x3, x4 0
Utilice el mtodo simplex para demostrar quezno est acotada.
SOLUCIN NO ACOTADA
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SOLUCIN NO ACOTADA
Ejercicio 13
5010083-32
0(3)x
7
40010-456-40(2)x6
0
0
x7
1
0
x5
03-2 4
-1
x2
0-3 -4
x3 x6x4
0-51(0)z2010(1)x5
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
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SOLUCIN NO ACOTADA
5010083-320(3)x7
40010-456-40(2)x6
0
0
x7
1
0
x5
03-2 4
-1
x2
0-3 -4
x3 x6x4
0-51(0)z2010(1)x5
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
El coeficiente ms negativo y columna pivote
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SOLUCIN NO ACOTADA
5010083-320(3)x7
40010-456-40(2)x6
0
0
x7
1
0
x5
03-2 4
-1
x2
0-3 -4
x3 x6x4
0-51(0)z2010(1)x5
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
Prueba de cociente mnimo y rengln pivote
20/1=20, 40/-4; NO PERMITIDO, 50/2=25.
x1 desplazar ax5
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SOLUCIN NO ACOTADA
5010083-320(3)x7
40010-456-40(2)x6
0
0
x7
1
0
x5
03-2 4
-1
x2
0-3 -4
x3 x6x4
0-51(0)z2010(1)x5
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
Pivote
4 (rengln 1) + (rengln 2);
-2 (rengln 1) + (rengln 3);
5 (rengln 1) + (rengln 0);
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SOLUCIN NO ACOTADA
1010-22-5100(3)x7
120014821-200(2)x6
00
x7
15
x5
03-2 4-11
x2
017 11
x3 x6x4
10001(0)z2010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
Actualizacin de tabla
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SOLUCIN NO ACOTADA
1010-22-5100(3)x7
120014821-200(2)x6
00
x7
15
x5
03-2 4-11
x2
017 11
x3 x6x4
10001(0)z2010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
An hay coeficientes negativos en (0) El coeficiente ms negativo y columna pivote
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SOLUCIN NO ACOTADA
1010-22-5100(3)x7
120014821-200(2)x6
00
x7
15
x5
03-2 4-11
x2
017 11
x3 x6x4
10001(0)z2010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
Prueba de cociente mnimo y rengln pivote
20/-2; NO PERMITIDO, 120/-2; NO PERMITIDO, 10/1=10.
x2 desplazar ax7
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SOLUCIN NO ACOTADA
1010-22-5100(3)x7
120014821-200(2)x6
00
x7
15
x5
03-2 4-11
x2
017 11
x3 x6x4
10001(0)z2010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
Pivote
2 (rengln 3) + (rengln 1);
2 (rengln 3) + (rengln 2);
11 (rengln 3) + (rengln 0);
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SOLUCIN NO ACOTADA
1010-22-5100(3)x2
1402101211000(2)x6
211
x7
-3-17
x5
070 -60
x2
0-38 33
x3 x6x4
21001(0)z4010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
Actualizacin de tabla
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29/06/2007 03:25 p.m. 14
SOLUCIN NO ACOTADA
1010-22-5100(3)x2
1402101211000(2)x6
211
x7
-3-17
x5
070 -60
x2
0-38 33
x3 x6x4
21001(0)z4010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
An hay coeficientes negativos en (0) El coeficiente ms negativo y columna pivote
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SOLUCIN NO ACOTADA
1010-22-5100(3)x2
1402101211000(2)x6
211
x7
-3-17
x5
070 -60
x2
0-38 33
x3 x6x4
21001(0)z4010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
Prueba de cociente mnimo y rengln pivote
40/-6; NO PERMITIDO, 140/11=140/11, 10/-5; NO PERMITIDO, .
x3 desplazar ax6
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SOLUCIN NO ACOTADA
1010-22-5100(3)x2
1402101211000(2)x6
211
x7
-3-17
x5
070 -60
x2
0-38 33
x3 x6x4
21001(0)z4010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
Pivote
1/11 (rengln 2)
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29/06/2007 03:25 p.m. 17
SOLUCIN NO ACOTADA
1010-22-5100(3)x2
140/112/111/11012/111000(2)x6
211
x7
-3-17
x5
070 -60
x2
0-38 33
x3 x6x4
21001(0)z4010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
Pivote
6 (rengln 2) + (rengln 1);
5 (rengln 2) + (rengln 3);
38 (rengln 2) + (rengln 0);
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SOLUCIN NO ACOTADA
73 7/1121/115/11-282/110100(3)x2
12 8/112/111/11012/111000(2)x3
34/11
197/11
x7
-3-17
x5
6/11149/110 00
x2
38/110 819/11
x3 x6x4
693 7/1101(0)z116 4/1110(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
Actualizacin de tabla
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
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SOLUCIN NO ACOTADA
73 7/1121/115/11-282/110100(3)x2
12 8/112/111/11012/111000(2)x3
34/11
197/11
x7
-3-17
x5
6/11149/110 00
x2
38/110 819/11
x3 x6x4
693 7/1101(0)z116 4/1110(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
An hay coeficientes negativos en (0) El coeficiente ms negativo y columna pivote
Todos los elementos en la columna pivote (sin considerar elrengln cero) son negativos o cero, por lo tanto se tiene unasolucin no acotada.
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
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SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES
Este tipo de soluciones se identifica de la siguienteforma: En una tabla con solucin ptima, seidentifican variables no-bsicas con coeficiente de
cero, correspondiente en el rengln de la funcinobjetivo. Esto es indicativo que es posible hacer un cambio
de base, pero, sin modificar el valor de la funcinobjetivo; esto es, la magnitud de incremento es decero.
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SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES En una tabla ptima;z*:
Existe alguna variable no-bsica con coeficiente de cero enel rengln cero.xNk:cNk = 0 Es posible el cambio de base, permitiendo a xNk, como
variable bsica, pero, el valor dez permanecer constante
V. No-bsicas
aNij
cN1, ,cNk, , cNm
xN1, ,xNk ,, xNm
z *0, , 01(0)z *
b1
bm
aBij
00
(1)(m)
xB1
xBm
xB1, , xBmzEcuacin
Ladoderecho
V. BsicasVariablebsica
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Ejercicio 14
maxz = 500x1 + 300x2sujeta a 15x1 + 5x2 300
10x1 + 6x2 240
8x1 + 12x2 450
x1, x2, 0
Utilice el mtodo simplex para encontrar todaslas soluciones ptimas.
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
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29/06/2007 03:25 p.m. 23
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES
Ejercicio 14
4501001280(3)x5
2400106100(2)x4
00
x5
05 1-300
x2
0 0
x3 x4
0-5001(0)z300150(1)x3
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
24/44
29/06/2007 03:25 p.m. 24
4501001280(3)x5
2400106100(2)x4
00
x5
05 1-300
x2
0 0
x3 x4
0-5001(0)z300150(1)x3
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES El coeficiente ms negativo y columna pivote
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
25/44
29/06/2007 03:25 p.m. 25
4501001280(3)x5
2400106100(2)x4
00
x5
05 1-300
x2
0 0
x3 x4
0-5001(0)z300150(1)x3
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES Prueba de cociente mnimo y rengln pivote
300/15=20, 240/10=24, 450/8=225/4.
x1 desplazar ax3
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
26/44
29/06/2007 03:25 p.m. 26
4501001280(3)x5
2400106100(2)x4
00
x5
05 1-300
x2
0 0
x3 x4
0-5001(0)z300150(1)x3
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES Pivote
1/15 (rengln 1)
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
27/44
29/06/2007 03:25 p.m. 27
4501001280(3)x5
2400106100(2)x4
00
x5
01/3 1/15-300
x2
0 0
x3 x4
0-5001(0)z2010(1)x3
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES Pivote
-10 (rengln 1) + (rengln 2);
-8 (rengln 1) + (rengln 3);
500 (rengln 1) + (rengln 0);
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
28/44
29/06/2007 03:25 p.m. 28
29010-8/1528/300(3)x5
4001-2/38/300(2)x4
00
x5
01/3 1/15-400/3
x2
100/3 0
x3 x4
1000001(0)z2010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES Actualizacin de tabla
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
29/44
29/06/2007 03:25 p.m. 29
29010-8/1528/300(3)x5
4001-2/38/300(2)x4
00
x5
01/3 1/15-400/3
x2
100/3 0
x3 x4
1000001(0)z2010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES El coeficiente ms negativo y columna pivote
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
30/44
29/06/2007 03:25 p.m. 30
29010-8/1528/300(3)x5
4001-2/38/300(2)x4
00
x5
01/3 1/15-400/3
x2
100/3 0
x3 x4
1000001(0)z2010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES Prueba de cociente mnimo y rengln pivote
20/(1/3)=60, 40/(8/3)=15, 290/(28/3)=435/14.
x2 desplazar ax4
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
31/44
29/06/2007 03:25 p.m. 31
29010-8/1528/300(3)x5
4001-2/38/300(2)x4
00
x5
01/3 1/15-400/3
x2
100/3 0
x3 x4
1000001(0)z2010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES Pivote
3/8 (rengln 2)
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
32/44
29/06/2007 03:25 p.m. 32
29010-8/1528/300(3)x5
1503/8-1/4100(2)x4
00
x5
01/3 1/15-400/3
x2
100/3 0
x3 x4
1000001(0)z2010(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES Pivote
-(1/3) (rengln 2) + (rengln 1);
-(28/3) (rengln 2) + (rengln 3);
(400/3) (rengln 2) + (rengln 0);
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
33/44
29/06/2007 03:25 p.m. 33
1501-7/29/5000(3)x5*
1503/8-1/4100(2)x2*
00
x5
-1/80 3/200
x2
0 50
x3 x4
1200001(0)z*1510(1)x1*
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES Actualizacin de tabla y es ptima*
Todos lo coeficientes en (0) son positivos o cero
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
34/44
29/06/2007 03:25 p.m. 34
1501-7/29/5000(3)x5
1503/8-1/4100(2)x2
00
x5
-1/80 3/200
x2
0 50
x3 x4
1200001(0)z*1510(1)x1
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES Se tiene que la variable no-bsicax3 tiene
coeficiente en la funcin objetivo de cero
Ser posible introducirx3 a la base y desplazar ax5 por laprueba de cociente mnimo (calcule y actualizce).
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
35/44
29/06/2007 03:25 p.m. 35
83 1/35/9-35/181000(3)x3*
35 5/65/36-1/90100(2)x2*
-1/120
x5
1/60 00
x2
0 50
x3 x4
1200001(0)z*2 1/210(1)x1 *
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES Actualizacin de tabla ptima* para la nueva base
7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex
36/44
29/06/2007 03:25 p.m. 36
SOLUCIONES PTIMAS
MLTIPLES Sean:
A* = ( 15, 15, 0, 0, 150 )B* = ( 5/2, 215/6, 250/3, 0, 0 )P* = (x1, x2, x3, x4, x5 )
P* = w1A* + w2B*; con w1 + w2 = 1 yw1, w2 0
Esto es, cualquier punto sobre el segmento derecta de A* a B*, ser una solucin ptima P* alproblema.
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SOLUCIN DEGENERADA Se obtiene una solucin degenerada en alguna
iteracin cuando se tiene alguna variable bsicaigual a cero.
zc1, , cn1(0)z
b1
0
bm
a11, , a1n
am1, , amn
0
0
(1)
(r)(m)
xB1
xBr
xBm
x1, ,xnz
EcuacinLado
derechoCoeficientesVariable
bsica
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Ejercicio 15 maxz = x1 + x2
sujeta a x1 1
x2 1
x1 + x2 2x1 - x2 1
-x1 + x2 1
x1, x2 0Resolver con el mtodo simplex
SOLUCIN DEGENERADA
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SOLUCIN DEGENERADA Tabla simplex
1100001-10(5)x7
101000-110(4)x6
200100110(3)x5
100010100(2)x4
00
x7
00
x5
000 1-1
x2
00 0
x3 x6x4
0-11(0)z
110(1)x3
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
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SOLUCIN DEGENERADAx2 entra,x7 sale. Solucin degenerada enx4
1100001-10(5)x2
211000000(4)x6
1-10100020(3)x5
0-10010010(2)x4
01
x7
00
x5
000 10
x2
00 0
x3 x6x4
1-21(0)z
110(1)x3
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
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SOLUCIN DEGENERADAx1 entra,x4 sale; Solucin degenerada enx1
100010100(5)x2
211000000(4)x6
1101-20000(3)x5
0-10010010(2)x1
1-1
x7
00
x5
0-10 10
x2
00 2
x3 x6x4
101(0)z
100(1)x3
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
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SOLUCIN DEGENERADAx7 entra,x3 sale. La solucin es ptima*.
Solucin degenerada enx
5
100010100(5)x2*
10101-1000(4)x6*
0001-1-1000(3)x5*
100001010(2)x1*
10
x7
00
x5
0-10 10
x2
01 1
x3 x6x4
201(0)z*
100(1)x7*
x1z
Ecuacin(rengln)
Ladoderecho
CoeficientesVariablebsica
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ROMPIMIENTO DE EMPATES
Se realizan arbitrariamente tanto para lavariable de entrada, si as ocurriera, comopara la variable de salida, en su caso.
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El estado de los coeficientes en la tabla simplex indicacada uno de los posibles estados de una solucin: ptimo: Todos los coeficientes del rengln cero son
mayores o iguales a cero. Solucin no-acotada: Existe alguna columna con el
coeficiente ms negativo y todos los dems elementos en
ella son negativos o cero. Soluciones ptimas mltiples: En una tabla ptima existe
alguna variable no-bsica con coeficiente de cero en elrengln cero.
Solucin degenerada: Existe alguna variable bsica convalor de cero.
Si ocurren empates en la variable de entrada o desalida, stos se rompern arbitrariamente.
CONCLUSIONES
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