3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex

7/24/2019 3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex

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29/06/2007 03:25 p.m. 1

CASOS ESPECIALES

DEL MTODO SIMPLEXOBJETIVO: PRESENTAR LOS CASOSESPECIALES DE SOLUCIN DEL MTODOSIMPLEXTEMAS:

SOLUCIN NO ACOTADASOLUCIONES PTIMAS MLTIPLESSOLUCIN DEGENERADAEMPATES EN LA SELECCIN DE VARIABLESCONCLUSIONES


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SOLUCIN NO ACOTADA

Como se defini en el algoritmo:Cuando aun existe una variable entrante (existen

coeficientes negativos en el rengln cero), pero noexiste una variable de salida (a causa de que en lacolumna pivote todos los elementos son negativos

o ceros), se tiene una solucin no acotada.


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SOLUCIN NO ACOTADA En alguna iteracin del algoritmo se identificar:

An existe una variable con coeficiente negativo en elrengln cero.xk:ck < 0

Al explorar los coeficientes en la columna pivote, todos sonnegativos o cero.a1k , , a1k 0

zc1, ck, cn1(0)z

b1

bm

a11, a1k, a1n

am1, amk, amn

00

(1)(m)

xB1

xBm

x1, xk,xnzEcuacin

Ladoderecho

CoeficientesVariablebsica


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Ejercicio 13maxz = 5x1 + x2 + 3x3 + 4x4sujeta a x1 - 2x2 + 4x3 + 3x4 20

- 4x1 + 6x2 + 5x3 - 4x4 402x1 - 3x2 + 3x3 + 8x4 50

x1, x2, x3, x4 0

Utilice el mtodo simplex para demostrar quezno est acotada.

SOLUCIN NO ACOTADA


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SOLUCIN NO ACOTADA

Ejercicio 13

5010083-32

0(3)x

7

40010-456-40(2)x6

0

0

x7

1

0

x5

03-2 4

-1

x2

0-3 -4

x3 x6x4

0-51(0)z2010(1)x5

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho



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SOLUCIN NO ACOTADA

5010083-320(3)x7

40010-456-40(2)x6

0

0

x7

1

0

x5

03-2 4

-1

x2

0-3 -4

x3 x6x4

0-51(0)z2010(1)x5

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


El coeficiente ms negativo y columna pivote


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29/06/2007 03:25 p.m. 7

SOLUCIN NO ACOTADA

5010083-320(3)x7

40010-456-40(2)x6

0

0

x7

1

0

x5

03-2 4

-1

x2

0-3 -4

x3 x6x4

0-51(0)z2010(1)x5

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


Prueba de cociente mnimo y rengln pivote

20/1=20, 40/-4; NO PERMITIDO, 50/2=25.

x1 desplazar ax5


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SOLUCIN NO ACOTADA

5010083-320(3)x7

40010-456-40(2)x6

0

0

x7

1

0

x5

03-2 4

-1

x2

0-3 -4

x3 x6x4

0-51(0)z2010(1)x5

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


Pivote

4 (rengln 1) + (rengln 2);

-2 (rengln 1) + (rengln 3);



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SOLUCIN NO ACOTADA

1010-22-5100(3)x7

120014821-200(2)x6

00

x7

15

x5

03-2 4-11

x2

017 11

x3 x6x4

10001(0)z2010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


Actualizacin de tabla


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SOLUCIN NO ACOTADA

1010-22-5100(3)x7

120014821-200(2)x6

00

x7

15

x5

03-2 4-11

x2

017 11

x3 x6x4

10001(0)z2010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


An hay coeficientes negativos en (0) El coeficiente ms negativo y columna pivote


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29/06/2007 03:25 p.m. 11

SOLUCIN NO ACOTADA

1010-22-5100(3)x7

120014821-200(2)x6

00

x7

15

x5

03-2 4-11

x2

017 11

x3 x6x4

10001(0)z2010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho



20/-2; NO PERMITIDO, 120/-2; NO PERMITIDO, 10/1=10.

x2 desplazar ax7


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29/06/2007 03:25 p.m. 12

SOLUCIN NO ACOTADA

1010-22-5100(3)x7

120014821-200(2)x6

00

x7

15

x5

03-2 4-11

x2

017 11

x3 x6x4

10001(0)z2010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


Pivote





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29/06/2007 03:25 p.m. 13

SOLUCIN NO ACOTADA

1010-22-5100(3)x2

1402101211000(2)x6

211

x7

-3-17

x5

070 -60

x2

0-38 33

x3 x6x4

21001(0)z4010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho




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29/06/2007 03:25 p.m. 14

SOLUCIN NO ACOTADA

1010-22-5100(3)x2

1402101211000(2)x6

211

x7

-3-17

x5

070 -60

x2

0-38 33

x3 x6x4

21001(0)z4010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho




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29/06/2007 03:25 p.m. 15

SOLUCIN NO ACOTADA

1010-22-5100(3)x2

1402101211000(2)x6

211

x7

-3-17

x5

070 -60

x2

0-38 33

x3 x6x4

21001(0)z4010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho



40/-6; NO PERMITIDO, 140/11=140/11, 10/-5; NO PERMITIDO, .

x3 desplazar ax6


16/44

29/06/2007 03:25 p.m. 16

SOLUCIN NO ACOTADA

1010-22-5100(3)x2

1402101211000(2)x6

211

x7

-3-17

x5

070 -60

x2

0-38 33

x3 x6x4

21001(0)z4010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


Pivote

1/11 (rengln 2)


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29/06/2007 03:25 p.m. 17

SOLUCIN NO ACOTADA

1010-22-5100(3)x2

140/112/111/11012/111000(2)x6

211

x7

-3-17

x5

070 -60

x2

0-38 33

x3 x6x4

21001(0)z4010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


Pivote





18/44

29/06/2007 03:25 p.m. 18

SOLUCIN NO ACOTADA

73 7/1121/115/11-282/110100(3)x2

12 8/112/111/11012/111000(2)x3

34/11

197/11

x7

-3-17

x5

6/11149/110 00

x2

38/110 819/11

x3 x6x4

693 7/1101(0)z116 4/1110(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho




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29/06/2007 03:25 p.m. 19

SOLUCIN NO ACOTADA

73 7/1121/115/11-282/110100(3)x2

12 8/112/111/11012/111000(2)x3

34/11

197/11

x7

-3-17

x5

6/11149/110 00

x2

38/110 819/11

x3 x6x4

693 7/1101(0)z116 4/1110(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho



Todos los elementos en la columna pivote (sin considerar elrengln cero) son negativos o cero, por lo tanto se tiene unasolucin no acotada.


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SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES

Este tipo de soluciones se identifica de la siguienteforma: En una tabla con solucin ptima, seidentifican variables no-bsicas con coeficiente de

cero, correspondiente en el rengln de la funcinobjetivo. Esto es indicativo que es posible hacer un cambio

de base, pero, sin modificar el valor de la funcinobjetivo; esto es, la magnitud de incremento es decero.


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SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES En una tabla ptima;z*:

Existe alguna variable no-bsica con coeficiente de cero enel rengln cero.xNk:cNk = 0 Es posible el cambio de base, permitiendo a xNk, como

variable bsica, pero, el valor dez permanecer constante

V. No-bsicas

aNij

cN1, ,cNk, , cNm

xN1, ,xNk ,, xNm

z *0, , 01(0)z *

b1

bm

aBij

00

(1)(m)

xB1

xBm

xB1, , xBmzEcuacin

Ladoderecho

V. BsicasVariablebsica


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29/06/2007 03:25 p.m. 22

Ejercicio 14

maxz = 500x1 + 300x2sujeta a 15x1 + 5x2 300

10x1 + 6x2 240

8x1 + 12x2 450

x1, x2, 0

Utilice el mtodo simplex para encontrar todaslas soluciones ptimas.

SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES


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29/06/2007 03:25 p.m. 23

SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES

Ejercicio 14

4501001280(3)x5

2400106100(2)x4

00

x5

05 1-300

x2

0 0

x3 x4

0-5001(0)z300150(1)x3

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho



24/44

29/06/2007 03:25 p.m. 24

4501001280(3)x5

2400106100(2)x4

00

x5

05 1-300

x2

0 0

x3 x4

0-5001(0)z300150(1)x3

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES El coeficiente ms negativo y columna pivote


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29/06/2007 03:25 p.m. 25

4501001280(3)x5

2400106100(2)x4

00

x5

05 1-300

x2

0 0

x3 x4

0-5001(0)z300150(1)x3

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES Prueba de cociente mnimo y rengln pivote

300/15=20, 240/10=24, 450/8=225/4.

x1 desplazar ax3


26/44

29/06/2007 03:25 p.m. 26

4501001280(3)x5

2400106100(2)x4

00

x5

05 1-300

x2

0 0

x3 x4

0-5001(0)z300150(1)x3

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES Pivote

1/15 (rengln 1)


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29/06/2007 03:25 p.m. 27

4501001280(3)x5

2400106100(2)x4

00

x5

01/3 1/15-300

x2

0 0

x3 x4

0-5001(0)z2010(1)x3

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES Pivote





28/44

29/06/2007 03:25 p.m. 28

29010-8/1528/300(3)x5

4001-2/38/300(2)x4

00

x5

01/3 1/15-400/3

x2

100/3 0

x3 x4

1000001(0)z2010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES Actualizacin de tabla


29/44

29/06/2007 03:25 p.m. 29

29010-8/1528/300(3)x5

4001-2/38/300(2)x4

00

x5

01/3 1/15-400/3

x2

100/3 0

x3 x4

1000001(0)z2010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES El coeficiente ms negativo y columna pivote


30/44

29/06/2007 03:25 p.m. 30

29010-8/1528/300(3)x5

4001-2/38/300(2)x4

00

x5

01/3 1/15-400/3

x2

100/3 0

x3 x4

1000001(0)z2010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES Prueba de cociente mnimo y rengln pivote

20/(1/3)=60, 40/(8/3)=15, 290/(28/3)=435/14.

x2 desplazar ax4


31/44

29/06/2007 03:25 p.m. 31

29010-8/1528/300(3)x5

4001-2/38/300(2)x4

00

x5

01/3 1/15-400/3

x2

100/3 0

x3 x4

1000001(0)z2010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES Pivote

3/8 (rengln 2)


32/44

29/06/2007 03:25 p.m. 32

29010-8/1528/300(3)x5

1503/8-1/4100(2)x4

00

x5

01/3 1/15-400/3

x2

100/3 0

x3 x4

1000001(0)z2010(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES Pivote

-(1/3) (rengln 2) + (rengln 1);

-(28/3) (rengln 2) + (rengln 3);

(400/3) (rengln 2) + (rengln 0);


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29/06/2007 03:25 p.m. 33

1501-7/29/5000(3)x5*

1503/8-1/4100(2)x2*

00

x5

-1/80 3/200

x2

0 50

x3 x4

1200001(0)z*1510(1)x1*

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES Actualizacin de tabla y es ptima*

Todos lo coeficientes en (0) son positivos o cero


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29/06/2007 03:25 p.m. 34

1501-7/29/5000(3)x5

1503/8-1/4100(2)x2

00

x5

-1/80 3/200

x2

0 50

x3 x4

1200001(0)z*1510(1)x1

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES Se tiene que la variable no-bsicax3 tiene

coeficiente en la funcin objetivo de cero

Ser posible introducirx3 a la base y desplazar ax5 por laprueba de cociente mnimo (calcule y actualizce).


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29/06/2007 03:25 p.m. 35

83 1/35/9-35/181000(3)x3*

35 5/65/36-1/90100(2)x2*

-1/120

x5

1/60 00

x2

0 50

x3 x4

1200001(0)z*2 1/210(1)x1 *

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho


SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES Actualizacin de tabla ptima* para la nueva base


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29/06/2007 03:25 p.m. 36

SOLUCIONES PTIMAS

MLTIPLES Sean:

A* = ( 15, 15, 0, 0, 150 )B* = ( 5/2, 215/6, 250/3, 0, 0 )P* = (x1, x2, x3, x4, x5 )

P* = w1A* + w2B*; con w1 + w2 = 1 yw1, w2 0

Esto es, cualquier punto sobre el segmento derecta de A* a B*, ser una solucin ptima P* alproblema.


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29/06/2007 03:25 p.m. 37

SOLUCIN DEGENERADA Se obtiene una solucin degenerada en alguna

iteracin cuando se tiene alguna variable bsicaigual a cero.

zc1, , cn1(0)z

b1

0

bm

a11, , a1n

am1, , amn

0

0

(1)

(r)(m)

xB1

xBr

xBm

x1, ,xnz

EcuacinLado

derechoCoeficientesVariable

bsica


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29/06/2007 03:25 p.m. 38

Ejercicio 15 maxz = x1 + x2

sujeta a x1 1

x2 1

x1 + x2 2x1 - x2 1

-x1 + x2 1

x1, x2 0Resolver con el mtodo simplex

SOLUCIN DEGENERADA


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29/06/2007 03:25 p.m. 39

SOLUCIN DEGENERADA Tabla simplex

1100001-10(5)x7

101000-110(4)x6

200100110(3)x5

100010100(2)x4

00

x7

00

x5

000 1-1

x2

00 0

x3 x6x4

0-11(0)z

110(1)x3

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho



40/44

29/06/2007 03:25 p.m. 40

SOLUCIN DEGENERADAx2 entra,x7 sale. Solucin degenerada enx4

1100001-10(5)x2

211000000(4)x6

1-10100020(3)x5

0-10010010(2)x4

01

x7

00

x5

000 10

x2

00 0

x3 x6x4

1-21(0)z

110(1)x3

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho



41/44

29/06/2007 03:25 p.m. 41

SOLUCIN DEGENERADAx1 entra,x4 sale; Solucin degenerada enx1

100010100(5)x2

211000000(4)x6

1101-20000(3)x5

0-10010010(2)x1

1-1

x7

00

x5

0-10 10

x2

00 2

x3 x6x4

101(0)z

100(1)x3

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho



42/44

29/06/2007 03:25 p.m. 42

SOLUCIN DEGENERADAx7 entra,x3 sale. La solucin es ptima*.

Solucin degenerada enx

5

100010100(5)x2*

10101-1000(4)x6*

0001-1-1000(3)x5*

100001010(2)x1*

10

x7

00

x5

0-10 10

x2

01 1

x3 x6x4

201(0)z*

100(1)x7*

x1z

Ecuacin(rengln)

Ladoderecho



43/44

29/06/2007 03:25 p.m. 43

ROMPIMIENTO DE EMPATES

Se realizan arbitrariamente tanto para lavariable de entrada, si as ocurriera, comopara la variable de salida, en su caso.


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El estado de los coeficientes en la tabla simplex indicacada uno de los posibles estados de una solucin: ptimo: Todos los coeficientes del rengln cero son

mayores o iguales a cero. Solucin no-acotada: Existe alguna columna con el

coeficiente ms negativo y todos los dems elementos en

ella son negativos o cero. Soluciones ptimas mltiples: En una tabla ptima existe

alguna variable no-bsica con coeficiente de cero en elrengln cero.

Solucin degenerada: Existe alguna variable bsica convalor de cero.

Si ocurren empates en la variable de entrada o desalida, stos se rompern arbitrariamente.

CONCLUSIONES

3.4 Casos Especiales Del Metodo Simplex

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