Lista 4 - Teoria de Aneis - 2012

Professor: Marcelo M.S. AlvesData: 13/02/2013

1. Encontre as fatoracoes de f(x) = x4 4 em Q[x], R[x] e C[x].2. Seja p(x) = x2 + 1 em Z7[x], e seja K = Z7[x]/p(x).

(a) Verifique que (a+ b[x])(c+ d[x]) = (ac bd) + (ad+ bc)[x] para todos a, b, c, d Z7.(b) Prove que K = Z7[x]/p(x) e um corpo.(c) Mostre que K tem 49 elementos.

3. Mostre que existe um isomorfismo de Q[x]/x2 2 com Q(2) = {a + b2; a, b Q}.Para isso,

(a) Explique porque a aplicacao de Q[x] em Q[

2] dada por f(x) 7 f(2) e umhomomorfismo de aneis (procure resultados na teoria; nao e preciso provar que ehomomorfismo direto da definicao).

(b) Mostre que seu nucleo e o ideal gerado por x2 2.(c) Use o teorema dos homomorfismos para provar que a aplicacao

: Q[x]/x2 2 Q[

2]

[f(x)] 7 f(

2)

e um isomorfismo de aneis.

4. Seja C uma raiz de p(x) Q[x] de grau n. Considere o homomorfismo : Q[x] Cdado por f(x) 7 f().(a) Seja Q() a imagem de . Mostre que todo elemento nao-nulo de Q() se escreve

como r() para um polinomio r(x) Q[x] com (r(x)) n 1.(b) Suponha que p(x) e irredutvel em Q[x]; explique porque a aplicacao

Q[x]/p(x) Q()[f(x)] 7 f()

e um isomorfismo de aneis (na verdade, de corpos).

5. Considere o polinomio f(x) = x3 2 Q[x].(a) Encontre suas razes. Verifique que ha duas conjugadas e uma raiz real, que nao e

racional.

(b) Prove que f(x) e irredutvel sobre Q. (use o item anterior . . . )(c) Mostre que Q() e Q() sao aneis isomorfos para quaisquer razes e de f(x)

mesmo que um esteja contido em R e o outro nao. (sugestao: nao e preciso fazerconta alguma. Use o exercicio (4)).