Acoplamentos, Teoria dos Valores Extremos
e Valor em Risco
Erick Andrade Busato
Dr. Luiz Koodi Hotta
Resumo: Este projeto utiliza a teoria de funes de acoplamentos para entender a co-movimentao entre mercados latino-americanos, que pode ser entendida como a dependncia entre pares de mercados nos perodos de grandes perdas ou ganhos (dependncia nas caudas). Nossa primeira abordagem se baseia na escolha de funes de acoplamento que modelem bem essa dependncia, utilizando, inicialmente, uma modelagem no paramtrica, atravs do acoplamento emprico, para a estimao da dependncia nas caudas. Aps, sero escolhidas cpulas paramtricas que melhor se adaptem s caractersticas de dependncia observadas empiricamente. Veremos que possvel obter o ndice de dependncia nas caudas a partir da cpula paramtrica escolhida, permitindo que faamos uma comparao com os ndices obtidos de forma no paramtrica, e calcular uma medida de risco para um portflio constitudo dos diferentes pares de mercados internacionais. Os clculos sero, ento, refeitos utilizando filtragens atravs de modelos AR(p)- GARCH(r,s) para as distribuies marginais dos mercados (que geralmente apresentam assimetria e caudas pesadas), enquanto modelamos a dependncia entre os mercados utilizando uma famlia de cpulas. Nessa segunda aplicao, o objetivo investigar a dependncia entre ativos da BOVESPA utilizando os conceitos de modelos ARMA-GARCH e Cpulas. 1: Iniciao Cientfica / FAPESP / Depto. Estatstica, UNICAMP 2: Departamento de Estatstica, UNICAMP
1
1. Introduo
Segundo Nelsen (1999), acoplamentos podem ser vistos de duas formas:
sob um ponto de vista, acoplamentos so funes que juntam ou acoplam
funes distribuies conjuntas s suas funes distribuies marginais.
Alternativamente, acoplamento so funes distribuies multivariadas, cujas
marginais unidimensionais so uniformes no intervalo (0,1). Atualmente, o estudo
de funes de acoplamento de grande interesse, principalmente por suas
aplicaes em finanas e aturia, como, por exemplo, a anlise de risco de
mercado, o clculo do risco de um portflio de seguros, o apreamento de
derivativos, entre outros.
Nesta monografia ser apresentada a teoria bsica que se refere s funes
de acoplamento, sua estimao a partir de um conjunto de dados e seu uso na
simulao de variveis aleatrias.
Iniciaremos apresentando as ferramentas bsicas necessrias para o
entendimento das funes de acoplamento.
1.1. A Transformada Integral de Probabilidade
Para um bom entendimento das funes de acoplamento, necessrio definir uma ferramenta de extrema importncia, que a transformada integral de
probabilidade:
Seja X uma varivel aleatria com funo de
distribuio = xxXPxF ),()( , sendo isso denotado por FX ~ . Suponha que
)(xF contnua. Ento, para )1,0(u , existe um valor mnimo nico )(ux , tal que
uuxF =))(( . Formalmente,
})(/inf{)()( 1 uxFxuFux == (1-1)
2
O qual define a funo distribuio inversa. Ento )()( 1 uFxuxF . Uma vez
que )(xF no-decrescente e contnua, ento sua inversa )(1 uF tambm no-
decrescente e contnua sobre )1,0(u . Portanto
ou 'xx > e 'yy < .
Teorema 3.3: Sejam ),( YX e )','( YX vetores aleatrios independentes formados
por variveis aleatrias contnuas, com funes de distribuio conjunta H e 'H
respectivamente, e com funes marginais 1F (de X e 'X ) e 2F (de Y e 'Y ).
Sejam C e 'C as funes de acoplamento de ),( YX e )','( YX respectivamente,
de modo que ))(),((),( 21 yFxFCyxH = e ))(),(('),(' 21 yFxFCyxH = . Ento
definiremos:
)0)')('{(}0)')('{( = YYXXPYYXXPQ
Q , ento, a medida de concordncia. Pode ser mostrado que:
== 2]1,0[ 1),(),('4)',( vudCvuCCCQQ Definio 3.5: Uma medida nos reais de dependncia entre duas variveis
aleatrias contnuas X e Y com funo de acoplamento C uma medida de concordncia se satisfaz as seguintes propriedades:
11
1. definido para cada par YX , de variveis aleatrias contnuas;
2. 1,11 ,, = YXYX e 1, =YX ;
3. XYYX ,, = ;
4. Se X e Y so independentes, ento 0, == YX ;
5. YXYXYX ,,, ==
6. Se C e 'C so acoplamentos tais que 'CC p , ento 'CC ;
7. Se )},{( nn YX uma seqncia de variveis aleatrias contnuas com
acoplamentos nC e se }{ nC converge pontualmente para C , ento CCn = 'lim .
3.3.1. O Tau de Kendall
Definio 3.6: O tau de Kendall para o vetor aleatrio TYX ),( definido como:
)0)')('{(}0)')('{(),( = YYXXPYYXXPYX ,
onde TYX ),( e TYX )','( so vetores aleatrios i.i.d.
vlido ento que
1)),((41),(),('4),(2]1,0[
== VUCEvudCvuCYX
Ento o Tau de Kendall simplesmente a medida de concordncia definida pelo
teorema 3.3.
3.3.2. O Rho de Spearman
Definio 3.7: O Rho de Spearman para o vetor aleatrio TYX ),( definido como:
)0)'')('{(}0)'')('{(),( = YYXXPYYXXPYXS ,
12
onde TYX ),( , TYX )','( e TYX )'',''( so cpias independentes.
, tambm, vlido que:
=== 22 ]1,0[]1,0[ 3),(123),(12),(3),( dudvvuCvuuvdCCQYXS , onde a cpula independente.
3.3.3. Dependncia nas Caudas
O conceito de dependncia nas caudas relacionado com a quantidade de
dependncia na cauda do quadrante direito superior ou na cauda do quadrante
esquerdo inferior de uma distribuio bivariada, como por exemplo, a distribuio do
vetor aleatrio TYX ),( .
Definio 3.8: Seja o vetor TYX ),( de variveis aleatrias contnuas, com
distribuies marginais 1F e 2F . O coeficiente de dependncia na cauda superior de TYX ),( definido como:
UFXFYP
=>>
)}(/)({lim 111
21
,
dado que o limite ]1,0[U exista. Se ]1,0(U , ento X e Y so chamadas
de assintoticamente dependentes na cauda superior. Se 0=U , X e Y so
chamadas de assintoticamente independentes na cauda superior. Caso o limite no
exista, a dependncia na cauda no definida.
Podemos reescrever )}(/)({ 111
2 >> FXFYP como:
)}({1)}(),({)}({)}({1
11
12
11
12
11
+
FXPFYFXPFYPFXP
13
encontrando uma definio equivalente para cpulas:
Definio 3.9: Se C um acoplamento bivariado tal que o limite
UC
=
1),(21lim
1
exista, ento C tem dependncia na cauda superior se ]1,0(U , e
independente na cauda superior se 0=U .
Definio 3.10: Se C um acoplamento bivariado tal que o limite
LC
=
+
),(lim0
exista, ento C tem dependncia na cauda inferior se ]1,0(L , e independente
na cauda inferior se 0=L .
4. Classes de Funes de Acoplamentos
Conhecer as funes de acoplamentos disponveis o primeiro passo para se escolher uma funo adequada para um determinado problema (por exemplo a
modelagem de retornos de uma srie financeira). Sero apresentadas as principais
funes de acoplamentos num caso n-dimensional, embora medidas de
dependncia estejam disponveis apenas num caso bivariado.
4.1. Acoplamentos Elpticos
A razo de se usar acoplamentos elpticos que estes so uma rica fonte de
distribuies multivariadas que compartilham muitas propriedades da distribuio
normal multivariada e possibilita a modelagem de dependncia no-normal. Esta
famlia de funes chamada de elpticas, pois suas curvas de contorno so
elipses.
Definio 4.1: Seja X um vetor aleatrio n-dimensional. Seja n e alguma
matriz nn simtrica no-negativa definida. Se, para algum a funo
14
caracterstica )(tX de X funo da forma quadrtica tt' , ou seja,
)()( tt'tX = , dizemos que X tem distribuio elptica com parmetros , e
, e denotamos por )(~ ,,X nE .
4.1.1. Acoplamentos Gaussianos
Definio 4.2: Seja uma matriz simtrica, positiva definida, com diag( )=1 e
seja a distribuio normal univariada padronizada e seja a distribuio
normal multivariada com matriz de correlao . Pelo corolrio do teorema de Sklar
(2-4), o acoplamento gaussiano multivariado definido por:
))(),...,(),((),...,,( 121
11
21 nnGa uuuuuuC = (4-1)
Onde 1 a inversa da funo distribuio normal padro univariada.
4.1.2. Acoplamentos t
Definio 4.3: Seja uma matriz simtrica, positiva definida, com diag( )=1 e
seja ,T a distribuio t-student com 0= e graus de liberdade e matriz de
correlao . Ento o acoplamento t-student multivariado definido como:
))(),...,(),((),...,,( 121
11
,21, nnt utututTuuuC = (4-2)
Onde 1t a inversa da funo distribuio t padro univariada.
4.2. Acoplamentos Arquimedianos
Definio 4.4: Seja uma funo contnua, estritamente decrescente, de ]1,0[
para ],0[ , tal que 0)1( = . A pseudo-inversa de uma funo
]1,0[],0[:]1[ , dada por:
15
=
ttt
)0( se 0)0(0 se )(1]1[
(4-3)
Note que )(]1[ t contnua e no-crescente em ]1,0[ e estritamente decrescente
em )]0(,0[ . Alm disso, uu = ))((]1[ em ]1,0[ , e
=t
ttu
)0( se (0))0(0 se
))((]1[
(4-4)
Finalmente, se =)0( , ento 1]1[ = .
Teorema 4.1: Seja uma funo contnua, estritamente decrescente, de ]1,0[ para
],0[ , tal que 0)1( = , e seja ]1[ a pseudo-inversa de . Seja C uma funo de 2]1,0[ para ]1,0[ , dada por:
))()((),( 1 vuvuC += (4-5)
Ento C uma funo de acoplamento se, e somente se, convexa.
Funes de acoplamento da forma (4-5) so chamadas de funes de
acoplamentos arquimedianos. A funo chamada de geradora do acoplamento.
Se =)0( , dizemos que uma geradora estrita, o que implica que 1]1[ = .
Teorema 4.2: Sejam X e Y variveis aleatrias com acoplamento arquimediano
C , gerado por . O Tau de Kendall para X e Y dado por:
+=1
0 )(')(41 dttt
C . (4-6)
16
4.2.1 Verso Multivariada de Acoplamentos Arquimedianos
Definio 4.5: Uma funo )(tg completamente montona no intervalo ]1,0[ se
tem derivadas de todas as ordens que alternam o sinal, ou seja, se satisfaz:
0)()1( tgdtd
k
kk (4-7)
Para todo )1,0(t e ,....2,1,0=k
Teorema 4.3: Seja uma funo contnua, estritamente decrescente, de ]1,0[ para
],0[ , tal que =)0( e 0)1( = , e seja 1 a inversa de . Se nC uma
funo de n]1,0[ para ]1,0[ dada por:
))(...)()(()( 211
nn uuuC +++= u (4-8)
Ento nC um acoplamento n-dimensional para todo 2n se, e somente se, 1
completamente montona em ),0[ .
seguir so mostrados exemplos de acoplamentos arquimedianos e seus
geradores:
Famlia Geradora )(t Cpula ),...,,( 21 nuuuC Independncia )log(t nuuu ...21
Frank 0 ,11log
t
+
=1
1
)1(
)1(1log
)log(1
n
n
kuk
Gumbel-Hougaard 0 ,))log(( t [ ] /11
))log((exp
= n
k ku
Cook-Johnson 1 ,1 > t ( ) /11
1
= +nk k nu
Joe 1 ],)1(1log[ t [ ]{ } /11
)1(111 = n
k ku
Gumbel-Barnett 10 )],1(1log[
17
4.2. Acoplamento de Plackett
Uma medida de associao ou dependncia em uma tabela de
contingncia 22 chamada razo do produto cruzado, ou em ingls odds ratio,
que denotaremos por . Por exemplo, seja a tabela 4.2, onde denotamos as
categorias de cada varivel como baixa e alta:
Varivel Coluna Baixa Alta
Baixa a b a+b Alta c d c+d
Varivel Linha
a+c b+d n Tabela 4.2 Uma tabela de contingncia 22
Se a contagem observada das categorias mostradas na tabela foram a, b, c,
d, ento temos )/()( bcad= . Caso 1= , temos que cada entrada observada
(como a) igual ao seu valor esperado sob independncia (neste caso
(a+b)(a+c)/n), onde n=a+b+c+d. Caso 1> , as observaes esto concentradas
nas clulas baixa-baixa e alta-alta. Caso 10 para a varivel X , e respectivamente yY
e yY > para a varivel Y . Ento trocando os nmeros a, b, c, d por suas
probabilidades de ocorrncia, temos:
)],()()][,()([)],()()(1)[,(),(
21
21
yxHyFyxHxFyxHyFxFyxHyx
+
= (4-9)
Para a maioria das distribuies, ),( yx no independente de ),( yx ,
porm podemos encontrar distribuies conjuntas que no dependem de ),( yx .
Seja )(1 xFu = e )(2 yFv = . Utilizando o Teorema de Sklar (2.3) temos que:
18
)],()][,([)],(1)[,(
vuCvvuCuvuCvuvuHC
+
= (4-10)
onde C o acoplamento entre as variveis X e Y .
Resolvendo para C , temos:
[ ]
=
++++
=
1 para
1 para )1(4)])(1(1[))(1(1
),(2
)1(21
uv
uvvuvu
vuC
(4-11)
Que definida para 0> , e satisfaz as condies que definem uma funo
de acoplamento. Assim ))(),((),( yGxFCyxH = a funo distribuio conjunta
entre x e y . Temos ainda que WC = 0
lim e MC =
lim .
5. Estimao e Identificao de Funes de Acoplamento
5.1. Estimao Paramtrica
Seja C uma funo de acoplamento n-dimensional que pertence famlia
},{ C , onde C completamente conhecida com exceo do parmetro .
Seja iX , ni ,...,1= variveis aleatrias com distribuio conjunta H e distribuies
marginais nFF ,...,1 respectivamente. Supondo que cada distribuio marginal
dependa apenas do parmetro i , teremos pelo teorema de Sklar que:
));;(),...,;((),...,( 1111 nnnn xFxFCxxH = (5-1)
ou seja, para conhecermos completamente a distribuio conjunta H devemos
estimar o vetor de parmetros ),,...,,( 21 n= .
Derivando (5-1) para todas as variveis, temos a expresso da funo densidade h :
19
=
=n
iiinnn xfxFxFxFcxxxh
1221121 )())(),...,(),((),...,,( (5-2)
onde if a densidade da funo distribuio marginal iF e c a densidade da
funo de acoplamento dada por:
n
nn
n uuuuuC
uuc
=
....),...,(
),...,(21
11 (5-3)
A seguir apresentaremos alguns mtodos de estimao do vetor de parmetros
),,...,,( 21 n= .
5.2. Mtodo de Mxima Verossimilhana Exata
Suponha que temos uma amostra de tamanho T de um vetor aleatrio n-
dimensional Tttnt xx 1,,1 )},...,{( = . Seja ),,...,,( 21 n= um vetor de parmetros
onde i so os parmetros da distribuio marginal iF , ni ,...2,1= , e o vetor de
parmetros da funo de acoplamento C .
A funo de log-verossimilhana definida por:
= ==
+=T
t
n
iitiintnn
T
tt xfxFxFcl
1 1,,
11,11 );(ln));;(,...,);((ln)( (5-4)
Deste modo, o estimador de mxima verossimilhana de aquele que
maximiza (5-4), ou seja,
)(maxarg
l= (5-5)
esta estimao complicada quando a distribuio tem dimenso grande, pois
requer a estimao conjunta dos parmetros.
20
5.3. Mtodo IFM (Inference function For Margins)
Este mtodo, computacionalmente mais simples que o anterior, divide a
estimao em dois estgios. No primeiro estgio estimamos os parmetros das
marginais iF , pelo mtodo de mxima verossimilhana:
=
=T
titiii xf
1, );(lnmaxarg (5-6)
No segundo estgio, estimamos o parmetro utilizando o mtodo de
mxima verossimilhana condicionado ao que foi obtido no primeiro estgio. Ento,
););(),...,;((lnmaxarg1
,1,11 =
=T
tntnnt xFxFc (5-7)
5.4 Mtodo de Mxima Verossimilhana Cannica
Primeiro Estgio: Primeiramente usa-se a distribuio emprica para estimar as distribuies marginais (abordagem no-paramtrica, ou seja, nenhuma suposio
feita sobre as distribuies marginais).
Definio 5.1: Seja nYY ,...,1 uma amostra aleatria da varivel Y , que tem
distribuiao F . A funo distribuio emprica de Y dada por
]},({)(1
1 yYyF in
inn =
=
1 (5-8)
Utilizando a distribuio emprica, transformamos o conjunto de dados ),...,( ,,1 tnt xx ,
Tt ,...2,1= , em variveis aleatrias uniformes ),...,( ,,1 tnt uu . Pela teoria de
probabilidades, temos: )1,0(~)(1 UXFU X= , e fazemos ento
)(1 tnt xFu= , Tt ,...2,1= , em que nF a distribuio emprica de X .
Segundo Estgio: Estimamos o parmetro da seguinte forma:
21
);,...,(lnmaxarg1
,,1 ==
T
ttnt uuc (5-9)
5.5 Estimao No-Paramtrica
Acoplamentos Empricos
Definio 5.2: Seja uma amostra tx==Tttnt xx 1,,1 )},...,{( . O acoplamento emprico
dado por:
=
=
T
tnntntt
n txxtxxtxxTT
tTt
Tt
C1
,22,211,121 )}(),...,(),({1,...,, 1 (5-10)
onde )( ji tx , ni ,...,1= , nj ,...,1= so estatsticas de ordem e Tttt n ,...,,1 21 . Ou
seja, o acoplamento emprico a proporo da amostra que satisfazem
)(),...,(),( ,22,211,1 nntntt txxtxxtxx .
Definio 5.3: Seja uma amostra como na definio 5.2. A freqncia do acoplamento emprico dada por:
=
contrrio caso 0amostra pertencem )(),...,(),(( se
,...,, 22111
21 nnTn txtxtxTt
Tt
Ttc (5-11)
As relaes entre C e c so dadas por:
= = =
=
1
1
2
21 1 1
2121 ,...,,,...,,t
i
t
i
t
i
nnn
nTi
Ti
Ti
cTt
Tt
Tt
C L (5-12)
= =
+++
+++=
2
1
2
1
2211...21
1
211
,...,1
,1)1(,...,,
i i
nniiin
n
n
Tit
Tit
Tit
CTt
Tt
Tt
c L (5-13)
22
Sejam C e c , respectivamente o acoplamento emprico e a freqncia do
acoplamento emprico de uma amostra Tttt xx 1,2,1 )},{( = . Ento podemos obter o rh
de Spearman e o tau de Kendall respectivamente por:
= =
=
T
t
T
ts T
ttTt
Tt
CT 1 1 2
21212
1 2
,1
12 (5-14)
e
= =
=
=
=
T
t
T
t
t
p
t
qk T
tTpc
Tq
Tt
cTq
Tpc
Tt
Tt
cT
T2 2
1
1
1
1
2121
1 2
1 2
,.,,.,1
2 (5-15)
5.6. Seleo de Funes de Acoplamento
Iremos discutir como selecionar a melhor famlia de acoplamentos para uma
determinada amostra.
5.6.1. Acoplamentos Arquimedianos
Apresentamos a seguir uma abordagem proposta por Genest e Rivest (1993)
que nos permite selecionar o melhor acoplamento que se ajusta a um conjunto de
dados real, no caso da classe dos acoplamentos Arquimedianos. Essa abordagem
baseada no seguinte teorema:
Teorema 5.1: Seja C um acoplamento Arquimediano gerado por , e seja
}),),(|]1,0[),({()( 2 tvuCvuVtK CC = (5-16)
(onde CV calculado como no item (iii) da definio 2.2). Ento para qualquer
]1,0[t ,
)(')()(ttttKC
= (5-17)
23
)(tKC pode ser interpretada como a medida abaixo da curva de nvel C(u,v)=t. Uma
estimao no-paramtrica de (5-17) dada por:
}{1)(1
tT
tK iT
iC =
=
1 , (5-18)
onde };...;;{1
1,,,2,2,1,1
1injnijij
T
ji xxxxxxT
= =
1 , para Ti ,...,1= .
Podemos ento escolher diversas representaes paramtricas dos acoplamentos
atravs de algumas funes geradoras i . Comparamos ento a estimativa no-
paramtrica K e as funes K tericas de diversas famlias arquimedianas, e
escolhemos a que melhor se ajusta estimativa K , sendo que essa comparao pode ser feita atravs de um grfico Quantil-Quantil. Ou podemos escolher o
acoplamento que minimiza a distncia em 2L entre (5-17) e (5-18), que dada por:
[ ] dzzKzKKKd =1
0
2
2 )()(),( (5-19)
5.6.2. Acoplamento Emprico
Seja KkkC 1}{ o conjunto de acoplamentos disponveis. A escolha das
famlias de acoplamentos a serem consideradas est relacionada com a estrutura
de dependncia dos dados a serem modelados e tambm com os objetivos da
modelagem. Pelo mtodo de seleo atravs do acoplamento emprico, utilizado por
Romano (2002), escolheremos a funo de acoplamento kC que minimiza a
seguinte distncia entre kC e o acoplamento emprico definido em (5-10):
( )2
1
1 1 1
211 ,...,,...,,
=
= =
T
t
T
t
nk
nkn
nTt
TtC
Tt
TtCCCd L (5-20)
Esta distncia pode tambm ser utilizada para estimar o vetor de parmetros
de um acoplamento dado ),( uC da seguinte forma:
24
( )2
1
2);()(minarg
=
uuu
CC (5-21)
5.6.2. Critrio de Informao de Akaike (AIC)
Suponha que um modelo estatstico de Q parmetros seja ajustado aos
dados. Para assegurar a qualidade do ajuste do modelo, Akaike (1973) introduziu
um critrio de informao. O critrio chamado na literatura de AIC (Akaikes
information criterion), e definido como:
QQAIC 2)lhana verossimimximaln(2)( += (5-22)
Podemos utilizar este critrio para a escolha do melhor acoplamento, ou seja,
escolher a funo de acoplamento estimada que nos d o menor AIC, onde a
funo de verossimilhana dada por (5-4). Smith (2003) utiliza este critrio para a
seleo de funes de acoplamento.
6. Simulao de Variveis Aleatrias utilizando Cpulas
Uma das utilizaes mais importantes das funes de acoplamento na
gerao de vetores pseudo-aleatrios, que pode ser utilizada para compreendermos
e testarmos modelos de sistemas do mundo real.
Inicialmente sero apresentados mtodos gerais para a gerao de vetores
pseudo-aleatrios e aps isso, sero mostrados algoritmos especficos para os
acoplamentos gaussianos e t-Student.
6.1. Mtodo Geral
1. Gere n variveis )1,0(Uniforme independentes, ),...,( 1 nvv
2. Considere 11 vu =
3. Seja
25
)1,...,1,,....,()1,...,1,,....,(
)},...,(),...,/({),...,(11
1),...,(
11
),...,(111111,...,1/
11
11
===
mm
uu
mm
uummmmmmm uuC
uuCuuUUuUPuuC
m
m
ento calcule recursivamente ),,...,( 111
1,...,1/ mmmmm vuuCu
= para nm ,...,2= . Deste
modo teremos que o vetor ),...,( 1 nuu gerado uma observao do vetor
),...,( 1 nUU , que tem distribuio conjunta C ;
4. Transforme o vetor uniforme ),...,( 1 nuu no vetor desejado ),...,( 1 nxx , utilizando
as inversas )(1 iii uFx= para ni ,...,2,1= .
6.2. Mtodo de Rejeio
1. Gere 1+n variveis vuuu n ,,....,, 21 )1,0(Uniforme independentes;
2. Aceitar os valores gerados se ),...,( 1 nuucv . Caso contrrio, retornar ao passo
1;
3. O vetor ),...,( 1 nuu uma observao gerada da funo de acoplamento C ;
4. Transforme o vetor uniforme ),...,( 1 nuu no vetor desejado ),...,( 1 nxx , utilizando
as inversas )(1 iii uFx= para ni ,...,2,1= .
6.3. Acoplamentos Gaussianos
Considere a funo de acoplamento gaussiano, denotada por (4-1). Temos
que R tem dimenso nn e positiva definida. Neste caso, existe uma matriz A
tambm nn tal que TAAR = . Tambm assumido que as variveis aleatrias
nZZ ,...,1 so normais-padro independentes. Seja ),...,( 1 nZZ=Z . Ento temos
que:
),(~ RNA n Z+ .
A matriz A pode ser encontrada atravs da decomposio de Cholesky da matriz R . Temos ento o seguinte algoritmo:
26
1. Encontre a decomposio de Cholesky A da matriz R ;
2. Simule n variveis normal-padro independentes Tnzz ),...,( 1=z ;
3. Faa zx A= ;
4. Determine os componentes )( ii xu = , onde a funo distribuio
acumulada da Normal padro, para ni ,...,2,1= ;
5. O vetor Tnuu ),...,( 1 uma observao do vetor T
nUU ),...,( 1 que tem distribuio
GaRC ;
6. Transforme o vetor uniforme Tnuu ),...,( 1 no vetor desejado T
nxx ),...,( 1 , utilizando
as inversas )( 11 uFx ii
= para ni ,...,2,1= .
6.4. Acoplamentos t-Student
O algoritmo para gerar observaes de um acoplamento t denotado por ,tC
apresentado a seguir:
1. Encontre a decomposio de Cholesky A da matriz R ;
2. Simule n variveis normal-padro independentes Tnzz ),...,( 1=z ;
3. Simule uma varivel s de uma distribuio 2v , independente de z ;
4. Faa zy A= ;
5. Faa yxsv= ;
6. Determine os componentes )( ivi xtu = , para ni ,...,2,1= ;
7. O vetor Tnuu ),...,( 1 uma observao do vetor T
nUU ),...,( 1 que tem distribuio
,tC ;
8. Transforme o vetor uniforme Tnuu ),...,( 1 no vetor desejado T
nxx ),...,( 1 , utilizando
as inversas )( 11 uFx ii
= para ni ,...,2,1= .
6.5. Acoplamentos Arquimedianos
No caso de acoplamentos Arquimedianos, temos dois resultados que iro
nos auxiliar na construo de um algoritmo de simulao. O primeiro deles um
27
corolrio do teorema 5.1, cuja prova pode ser encontrada em Nelsen(1999), (p.
104).
Corolrio 6.1: Seja TVU ),( um vetor aleatrio com distribuio conjunta C , onde
C um acoplamento arquimediano gerado por . Ento a funo CK dada por (5-
17) a funo de distribuio da varivel aleatria ),( VUC .
Teorema 6.1: sob as hipteses do corolrio 6.1, a funo de distribuio conjunta
),( tsH das variveis aleatrias [ ])()()(
VUUS
+
= e ),( VUCT = dada por
)(),( tsKtsH C= para todo 2]1,0[),( ts . Ento S e T so independentes, e S
uniformemente distribuda em ]1,0[ .
Temos ento o seguinte algoritmo para simulao:
1. Gere duas variveis )1,0(Uniforme independentes s e q ;
2. Faa )(1 qKt C= , onde CK a funo de distribuio da varivel aleatria
),( VUC . Deste modo temos que t uma observao da varivel aleatria
),( VUCT = ;
3. Faa ))((]1[ tsu = e ))()1((]1[ tsv = ;
4. Temos que o par ),( vu uma observao de um vetor aleatrio ),( VU , com
distribuio conjunta C .
6.6. Acoplamento de Plackett
Um algoritmo para simular dados distribudos de acordo com o acoplamento
de Plackett consiste em simular uma observao de uma das marginais e ento
simular a outra marginal utilizando o acoplamento. O algoritmo apresentado a
seguir:
1. Gere duas variveis )1,0(Uniforme independentes u e t ;
28
2. Defina )1( tta = e 2)1)(1(4 += uaub ;
3. Calcule ])1(2[
])21()21()1(2[2
2
+++
=
abtauuav ;
4. u e v sero distribudos de acordo com uma distribuio de Plackett. 6.7. Ilustrao
Para ilustrar o uso das funes de acoplamento na gerao de vetores Pseudo-
Aleatrios, consideraremos dois casos:
Caso 1: Primeiramente, iremos gerar observaes de um vetor 3-dimensional de
variveis atravs de uma cpula da famlia arquimediana (Cook-Johnson),
utilizando, primeiramente, normais-padro univariadas como distribuies marginais,
gerando atravs do mtodo da rejeio.
Acoplamento 3-dimensional Cook-Johnson:
/1321321 )(),,(
++= uuuuuuC
1321321
321
3213
321 )())(12)(1(),,(
),,(13
++++=
=
uuuuuuuuuuuuC
uuuc
Algoritmo 1: 1. Gere 4 variveis vuuu ,,, 321 )1,0(Uniforme independentes; 2. Aceitar os valores gerados se ),,( 321 uuucv . Caso contrrio, retornar ao passo 1; 3. O vetor ),,( 321 uuu uma observao gerada da funo de acoplamentoC ; 4. Transforme o vetor uniforme ),,( 321 uuu no vetor desejado ),,( 321 xxx , utilizando as inversas )(1 ii ux
= para 3,2,1=i , Onde a funo normal padro univariada.
29
-2 -1 0 1 2
-3-2
-10
12
3
N1
N2
-3 -2 -1 0 1 2 3-2
-10
12
3N2
N3
-2 -1 0 1 2
-2-1
01
23
N1
N3
Grfico 6.1: 1000 observaes geradas pelo algoritmo 1, com marginais normais-padro,
1= . O grfico acima mostra os cruzamentos entre as 3 variveis geradas com
acoplamento Cook-Johnson, com parmetro 1= . Note que, para este valor de parmetro, a distribuio conjunta possui uma leve dependncia na cauda inferior.
-1 0 1 2 3
-2-1
01
23
N1
N2
-2 -1 0 1 2 3
-2-1
01
23
N2
N3
-1 0 1 2 3
-2-1
01
23
N1
N3
Grfico 6.2: 1000 observaes geradas pelo algoritmo 1, com marginais normais-padro,
5= . Note que quando aumentamos o parmetro , a dependncia na cauda inferior
aumenta. Quando , o acoplamento de Cook-Johnson se aproxima da
dependncia perfeita positiva.
Caso 2: Iremos gerar agora observaes de um vetor aleatrio 3-dimensional com
cpula tambm de Cook-Johnson, com parmetro 5= , sendo as marginais:
)2,2(~)1(~
)1,0(~
3
2
1
WeibullXlExponenciaX
NormalX
30
O grfico a seguir mostra os cruzamentos dessas varveis 321 ,, XXX :
-2 -1 0 1 2 3
02
46
X1
X2
0 2 4 6
12
34
56
X2
X3
-2 -1 0 1 2 3
12
34
56
X1
X3
Grfico 6.3: 1000 observaes geradas pelo algoritmo 1, com marginais X1:Normal-Padro,
X2:Exponencial(1), X3: Weibull(2,2), 5= .
Como era de se esperar, a dependncia na cauda inferior existe, no importando
quais so as marginais escolhidas para a cpula.
Caso 3: Agora, iremos gerar observaes de um vetor bidimensional utilizando um
Acoplamento t com 4 graus de liberdade e marginais Gamma(3,1). A Matriz de
Correlaes considerada neste exemplo :
=
185,085,01
R,
Algoritmo 2:
1. Encontre a decomposio de Cholesky A da matriz R ;
2. Simule 2 variveis normal-padro independentes Tzz ),( 21=z ;
3. Simule uma varivel s de uma distribuio 2v , independente de z ;
4. Faa zy A= ;
5. Faa yxsv= ;
6. Determine os componentes )( ivi xtu = , para 2,1=i ;
31
7. O vetor Tuu ),( 21 uma observao do vetor TUU ),( 21 que tem distribuio ,
tC ;
8. Transforme o vetor uniforme Tuu ),( 21 no vetor desejado Txx ),( 21 , utilizando as
inversas )( 11 uFx ii
= para 2,1=i .
0 2 4 6 8 10
02
46
810
g1
g2
0 2 4 6 8 10 12
02
46
810
12
rgamma(1000, 3, 1)
rgam
ma(
1000
, 3, 1
)
Grfico 6.4 I e II: 1000 observaes geradas pelo algoritmo 2, com marginais
g1:Gamma(3,1), g2:Gamma(3,1), no primeiro grfico, e 1000 observaes geradas de 2 distribuies Gamma(3,1) independentes.
Note que, quando usamos o acoplamento, obtemos observaes provindas
de variveis aleatrias visivelmente dependentes.
6.8. Consideraes Finais sobre Simulao
Vimos que relativamente fcil gerar observaes de n variveis
dependentes entre si, embora para isso, devemos ter em mos toda a estrutura de
dependncia entre essas variveis, de forma que essa estrutura seja condizente
com o problema que estamos estudando, ou com o modelo que est sendo criado.
7. Valor em Risco
A noo de risco de um portflio (carteira, conjunto de ativos) est associada
ao fato de que seu retorno em um dado perodo de tempo no conhecido de
antemo. Ao contrrio, existe um conjunto de retornos possveis. As probabilidades
32
de ocorrncia de cada um dos elementos deste conjunto iro determinar, em ltima
instncia, o potencial de perda da carteira.
Definimos a varivel aleatria X : valor do portflio e a varivel aleatria R : retorno do portflio.
Ao montarmos o portflio, investimos uma quantidade inicial 0XW = . Iremos
considerar mxx ,...,0 : valor do portflio nos tempos },...,1,0{ m (discretos). Estes
tempos podem ser m dias, semanas, meses, de acordo com o horizonte que desejamos para o clculo do VaR.
Definimos ento 11
=i
ii X
XR : retorno do portflio no perodo ]1;1[ i . Assim
mrr ,...,1 uma amostra da varivel aleatria R .
O VaR (Value-at-Risk) de um portflio definido como a mxima perda em
unidades monetrias num dado espao de tempo a um certo nvel de confiana.
Por exemplo, se uma carteira cujo valor de mercado R$ 100.000,00,
apresentasse uma probabilidade de retornos dirios abaixo de 2% igual a 5%,
ento poderamos dizer que a carteira tem 5% de probabilidade de gerar uma perda
financeira maior ou igual a R$ 2000,00, ou em linguagem estatstica, o Value-at-Risk
desta carteira de R$ 2000,00 a 95% de confiana em horizonte dirio.
Esta a definio do VaR absoluto. Podemos trabalhar tambm com o VaR
relativo, que mede a perda mxima considerando o retorno mdio da carteira. Ou
seja: VaR (relativo) = VaR (absoluto) + retorno mdio (monetrio).
Vamos supor que R (retorno da carteira) seja uma varivel aleatria contnua e que conhecemos sua distribuio de probabilidades. Sua funo de
densidade )(Rf .
Seja )(RE= o retorno mdio (percentual) da carteira. Ento W o
retorno mdio (monetrio) desta carteira.
Seja *R o valor de R cuja rea a esquerda da curva )(Rf seja 100 c%.
33
Definimos ento :
VaR(absoluto) = R* W
VaR(relativo) = R* W + W
Estas medidas esto definidas a 100 (1-c)% de confiana.
Graficamente, temos:
Grfico 7.1 Valor em Risco, graficamente
8. Teoria de Valores Extremos
Nesta seo apresentaremos os resultados clssicos sobre a teoria de
valores extremos aplicada s funes de acoplamento.
8.1. Principais Resultados
Seja ,..., 21 XX uma seqncia de variveis aleatrias i.i.d. com funo de
Distribuio )(xF . Classicamente, caracterizamos as caudas de )(xF a partir da
distribuio do mximo 2),,...,max( 1 = nXXM nn , que :
. para ,)]([}]{[}),...,{max( 1 == xxFxXPxXXPnn
n (8-1)
O comportamento assinttico dessa distribuio perto do limite superior
direito do suporte de )(xF , denotado por Fx , e definido por up=xFxxF. Para todo Fxx < temos que:
34
.n para 0,)]([}{ = nn xFxMP (8-2)
E, se >
=
0 ,0 },exp{0 ,0
)(,2 xxx
xH (8-6)
Weibull:
>>
=
,0 ,10,0 })(exp{
)(,2 xxx
xH
(8-7)
O teorema de Fisher-Tippet implica que se )( nnn dxcF + no degenerada
quando n , para certas constantes 0>nc , nd , ento
n
cdx
HxFn
nn ,0)( (8-8)
35
Para alguma H .
Definio 8.1. (Domnio de atrao). Se (8-8) se verifica, dizemos que )(xF
pertence ao domnio de atrao do mximo da distribuio de valores extremos H ,
e denotamos por )(HMDAF .
possvel representar as trs distribuies de valores extremos em uma
nica classe de distribuies, conhecida como a distribuio de valores extremos
generalizada (GEV), dada por:
=+=
0 se }}exp{exp{0 se })1(exp{)(
1
y
yyH (8-9)
Onde 01 >+ y . A famlia de locao e escala correspondente ,,H obtida
substituindo-se y por /)( y , para e 0> . Se o ndice de cauda
zero (caso limite quando 0 ), )(yH corresponde distribuio Gumbel. Os
casos 0 correspondem respectivamente s distribuies Weibull ou a
Frchet, e temos que 1= .
Agora considere NXX ,...,1 variveis aleatrias i.i.d. com fd )( HMDAF ,
para algum , e um limiar alto u predefinido. Chamamos de limiar alto, algum
valor do suporte de X perto de Fx . Seja uN o nmero de excedentes do limiar u ,
isto , )(1 uX
N
iu iN
>== 1 , onde 1)( =>uX i1 se uX i > , e 0 caso contrrio. Os
excessos alm do limiar u denotados por uN
YY ,....,1 , so os valores 0> uX i .
A distribuio condicional do excesso uXY = , denotada por uF , tem
funo de sobrevivncia
0 ,)(1
)(1}/{)(
+=>>= y
uFyuFuXyYPyFu (8-10)
Podemos modelar os excessos como uma distribuio do tipo Pareto, a partir do
resultado que se segue:
36
)( HMDAF se e somente se existe uma funo (.)a positiva e mensurvel tal
que, para 01 >+ x , tem-se
=
+=+
0 se 0 se )1(
)())((lim
1
xxu e
xuF
uxauFF
(8-11)
Que pode ser reescrito por:
=
+=
>>
0 se 0 se )1(/
)(lim
1
xxu e
xuXxua
uXPF
(8-12)
Teorema 8.2. Seja ,..., 21 XX uma seqncia de variveis aleatrias i.i.d. com
Distribuio )(xF , e suponha que )( HMDAF , )(yH dada em (8-9). Ento,
para u suficientemente grande, a distribuio de uXY = condicional a uX > , aproximadamente,
=
+=
0 se 10 se )1(1)(
1
xe
xyP (8-13)
Onde 0y se 0 , e /10 y se 0 ), e tipo 3, Beta ( 0nc , nd . Assim, vemos que os excessos padronizados por uma
escala alm dos limiares altos possuem uma distribuio tipo Pareto com ndice de
cauda /1 , se e somente se )( HMDAF .
37
9. Modelos de Volatilidade
Suponha uma srie de retornos tX . Essa srie pode ser modelada como um
nvel t mais uma perturbao t . Podemos considerar que existe uma relao
aditiva entre os componentes, e que a perturbao o produto de dois processos
independentes. Dessa forma, temos:
tttX +=
ttt = [9-1]
Sob as suposies de que as perturbaes t e o nvel t so processos
independentes, os processos }{ t e }{ t so independentes e que }{ t um
processo rudo branco com mdia zero e varincia 1. No caso mais simples temos
ct = (constante). Porm, estaremos modelando o nvel t atravs de modelos
ARMA(p,q).
9.1. Modelo GARCH(p,q)
O modelo GARCH (Generalized Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity) dado por:
ttt =
=
=
++=q
jjtj
p
itit
1
2
11
20
2 [9-2]
onde }{ t um processo rudo branco com mdia zero e varincia 1. Em geral,
supes-se que )1,0(~ Nt ou tt ~ (TStudent padronizada). So restries
que garantem que a varincia condicional seja positiva:
00 > , 0i para i = 1, ..., p, 0j para j = 1, ..., q, e =
38
)(1)(
11
0
==
+= q
jj
p
ii
tVar
[9-3]
Que finita quando 111
39
conjunta, a qual podemos caracterizar atravs de uma funo de acoplamento, e
que o ndice de dependncia nas caudas nos d uma informao geral que leva em
considerao a existncia de dependncia nos valores extremos do conjunto de
dados. Essa abordagem ser aplicada aos mercados brasileiro, argentino, russo e
mexicano, atravs do principal ndice das bolsas de valores de cada um desses
pases.
10.2. Mtodos de Anlise
A anlise se inicia com a estimao da cpula emprica de Deheuvels
(1979), aplicada sobre os valores dos log-retornos calculados para cada mercado, e
sua utilizao na obteno dos ndices de dependncia nas caudas inferior e
superior (veja Caillault & Gugan (2003)). Com essas estimativas podemos notar a
simetria dos dados ou a falta de dependncia em uma das caudas, o que nos ajuda
a escolher um conjunto de cpulas que possuam essas propriedades.
A seguir, para os diferentes acoplamentos escolhidos, estimamos os
parmetros de dependncia pelo mtodo de mxima verossimilhana. Sero
utilizados o critrio de informao de Akaike (AIC) e a proporo de vezes em que a
perda de um portflio constitudo pelos ndices dois a dois, excede o Valor em
Risco, para discriminar entre os diferentes acoplamentos e nos ajudar a escolher a
melhor cpula. Veremos que possvel, tambm, estimar a dependncia nas
caudas a partir da cpula escolhida. A distribuio marginal que ser utilizada em
toda a anlise a Distribuio de Pareto Generalizada.
10.3. O Conjunto de Dados
Por serem contagiadas com variaes do mercado internacional com mais
freqncia e intensidade, escolhemos trabalhar com as bolsas de valores dos
seguintes mercados latino-americanos:
- Brasil, atravs do ndice IBOVESPA (IBV), de 08/10/1996 a 14/03/2005;
- Argentina, atravs do ndice MERVAL (MRV), de 27/04/1993 a 14/03/2005;
- Mxico, pelo ndice IPC (IPC), de 08/10/1996 a 14/03/2005;
- Rssia, utilizando o ndice RTSI, de 01/09/1995 a 14/03/2005;
40
10.4. Dependncia nas Caudas
Para os seis pares possveis com os quatro ndices acima, calcularemos,
empiricamente, o ndice de dependncia nas caudas, da seguinte forma: Obtemos
valores da dependncia na cauda superior (inferior), U ( L ), para cada valor ,
discretizado pelo tamanho da amostra, possvel, utilizando
,1),(21
UnC =
(
,),(
LC
= ). Ao se aproximar de = 1 ( += 0 ), certa instabilidade numrica
surge. Selecionamos, ento, visualmente, um ponto logo antes dessa instabilidade. Ao fazer isso, adicionamos certa incerteza, j que inclumos a
subjetividade do observador na obteno do valor que ser utilizado. Mostraremos o
mtodo para o par IBOVESPA MERVAL, sendo que, para os outros pares, as
dependncias so calculadas de forma anloga.
alpha
U.B
VPM
RV
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Dependncia na Cauda Superior IBOVESPA x Merval
alpha[1500:n]
U.B
VPM
RV[
1500
:n]
0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Dependncia na Cauda Superior IBOVESPA x Merval
Grfico 10.1 Grfico da dependncia na cauda superior estimada de forma emprica para o par IBOVESPA MERVAL. O segundo grfico mostra uma ampliao na regio prxima
1. O intervalo de confiana de 80% foi obtido atravs do mtodo Bootstrap.
Observe que, no grfico 10.1, a partir de 95.0= , a instabilidade numrica torna-se bem mais evidente. O ponto escolhido para obter a dependncia na cauda
superior para esse par foi 9552.0= , onde obtivemos 2333,0=U [0,1777 ;
0,3].Em seguida obtivemos, da mesma forma, a dependncia na cauda inferior:
41
alpha
L.B
VP
MR
V
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Dependncia na Cauda Inferior IBOVESPA x Merval
alpha[0:500]
L.B
VP
MR
V[0
:500
]
0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.0
0.2
0.4
0.6
Dependncia na Cauda Inferior IBOVESPA x Merval
Grfico 10.2 Grfico da dependncia na cauda inferior estimada de forma emprica para o par IBOVESPA MERVAL. O segundo grfico mostra uma ampliao na regio prxima
0. O intervalo de confiana de 80% foi obtido atravs do mtodo Bootstrap.
Pelo grfico 10.2, notamos que a instabilidade numrica alcana at,
aproximadamente, 05,0= . Escolhemos, para a dependncia na cauda inferior o
ponto 0472,0= , em que obtivemos 3473,0=L [0,2947 ; 0,4105].
A partir desses nmeros, podemos concluir que, para o par IBOVESPA MERVAL,
existe certa co-movimentao, e que ela mais evidente em perodos de maiores
perdas. Analogamente obtivemos os valores para os outros cinco pares possveis:
Par Cauda Inferior Cauda Superior IPC - IBOVESPA
IBOVESPA - MERVAL IBOVESPA - RTSI
IPC - MERVAL IPC - RTSI
RTSI - MERVAL
0.3363 [0.2727 , 0.3909] 0.2325 [0.1937 , 0.2945] 0.3473 [0.2947 , 0.4105] 0.2333 [0.1777 , 0.3000] 0.1650 [0.1262 , 0.2233] 0.1171 [0.0810 , 0.1531] 0.3000 [0.2666 , 0.3777] 0.2325 [0.1937 , 0.2945] 0.2200 [0.1800 , 0.2800] 0.1397 [0.1103 , 0.1911] 0.2368 [0.2000 , 0.2736] 0.1130 [0.0869 , 0.1565]
Tabela 10.1: ndices de Dependncia nas Caudas para todos os pares possveis de ndices, com seus respectivos intervalos de confiana (80%).
Vemos que os valores estimados da dependncia na cauda inferior so
menores que os valores da cauda superior, o que indica uma maior co-
movimentao, para todos os pares, em situaes de grande perda. A partir desses
valores, devemos, ento, escolher algumas cpulas para estimao pelo mtodo de
mxima verossimilhana cannica. Para a escolha das cpulas, podemos notar,
principalmente, a simetria em relao dependncia nas caudas.
Podemos considerar o par IPC IBOVESPA assimtrico. Porm o intervalo
de confiana para a dependncia de suas caudas se intercepta, o que pode
acarretar simetria com, certa probabilidade. Podemos escolher uma cpula
42
arquimediana, como as arquimedianas bivariadas e a cpula de dependncia. Ou
uma cpula simtrica como a t-student. O mesmo ocorre com todos, menos com o
par RTSI MERVAL.
Na tabela 10.2, para todos os pares de ndices, so mostrados os valores
estimados da dependncia nas caudas para algumas cpulas estimadas por MVC,
onde percebemos que:
1. As estimativas das dependncias nas caudas da cpula t-Student, para
todos os pares, est aqum do observado empiricamente.
2. A cpula BB3 apresenta dependncia terica unitria, na cauda superior.
3. A dependncia nas caudas da cpula BB7 foi a que mais se aproximou dos
valores estimados empiricamente.
4. Em geral, as estimativas das dependncias nas caudas atravs das cpulas
paramtricas estavam muito diferentes das dependncias estimadas
empiricamente.
Par Cpula Cauda Inferior Cauda Superior
IPC - IBOVESPA BB1 0.2576 0.1875 BB3 1.0000 0.2414 T-Student 0.1969 0.1969
IBOVESPA - MERVAL
BB1 0.2816 0.2065 BB3 1.0000 0.2514 BB7 0.3319 0.2502 T-Student 0.2114 0.2114
IBOVESPA - RTSI BB3 1.0000 0.1555 T-Student 0.0441 0.0441
IPC MERVAL
BB1 0.2458 0.1620 BB3 1.0000 0.2317 BB7 0.2868 0.1990 T-Student 0.1441 0.1441
IPC RTSI BB3 1.0000 0.1630 T-Student 0.0853 0.0853
RTSI - MERVAL BB3 1.0000 0.1473 T-Student 0.0392 0.0392 Tabela 10.2: Dependncia nas caudas para algumas cpulas.
10.5. Discriminao entre Cpulas
Nesta seo verificaremos a qualidade do ajuste das cpulas relacionadas
aos seis pares de mercados que esto sendo estudados. Foram calculados o AIC, e
43
a proporo em que as perdas ultrapassaram o Valor em Risco para os nveis
95.0= e 99.0= . Caso a funo de acoplamento e as distribuies marginais
sejam adequadas, esta proporo deve ser prxima de 1 . As cpulas apresentadas abaixo foram as que obtiveram os melhores ajustes com relao
mxima verossimilhana (foram calculadas as cpulas Normal, Frank,
Kimeldorf.sampson, Gumbel, Galambos, Husler.reiss, BB1 a 7 (Joe, 1997) , Tawn,
Normal.mix, Joe e T-Student). A tabela 10.3 mostra as estatsticas que usaremos
para discriminar entre as cpulas.
Note que, em termos do AIC, o acoplamento T-Student o melhor para
todos os pares, seguido pelo acoplamento BB3. Com relao proporo que
ultrapassa o VaR, temos que, em geral, o acoplamento T-Student tambm o que
mais se aproxima. Veja tambm que, para os pares IBOVESPA-MERVAL e IPC-
MERVAL, todas as cpulas escolhidas subestimam o VaR (fora BB7, cujos VaR no
puderam ser estimados devido falta de convergncia durante o ajuste da cpula).
Par Cpula p/ VaR 0.05 p/ VaR 0.01 AIC IPC
IBOVESPA
BB1BB3
T-Student
0.041158 (1) 0.039414 (3) 0.039762 (2)
0.009068 (1) 0.006975 (3) 0.008022 (2)
-360.87 (3) -502.11 (2) -685.58 (1)
IBOVESPA MERVAL
BB1BB3BB7
T-Student
0.056218 (2) 0.056716 (3) 0.008457 (*) 0.054726 (1)
0.012935 (2) 0.012935 (3) 0.009452 (*) 0.011940 (1)
-285.16 (3) -389.79 (2) -284.36 (*) -517.52 (1)
IBOVESPA RTSI
BB3T-Student
0.032868 (2) 0.044574 (1)
0.007654 (2) 0.010355 (1)
-120.34 (2) -221.61 (1)
IPC MERVAL
BB1BB3BB7
T-Student
0.072942 (3) 0.072942 (2) 0.016264 (*) 0.071956 (1)
0.018728 (3) 0.017249 (2) 0.018235 (*) 0.016264 (1)
-231.48 (3) -327.90 (2) -231.90 (*) -419.67 (1)
IPC RTSI
BB3T-Student
0.048315 (2) 0.050531 (1)
0.010638 (2) 0.010638 (1)
-138.26 (2) -275.48 (1)
RTSI MERVAL
BB3T-Student
0.039694 (2) 0.043765 (1)
0.010178 (1) 0.008651 (2)
-93.620 (2) -179.51 (1)
Tabela 10.3: Discriminao entre as cpulas. Entre parnteses est a ordem de escolha das cpulas. (*) indica que houve um erro durante a estimao do valor.
10.6. Concluses
1. Por existirem infinitas cpulas que podem ser desenvolvidas, a seleo se torna
pouco conclusiva, fazendo-se necessrios novos estudos sobre a escolha das
cpulas que iremos comparar em nosso estudo.
44
2. Numa anlise inicial podemos utilizar as estimaes, acima calculadas, das
dependncias nas caudas, para tentar entender a co-movimentao entre os
mercados estudados.
3. Se encontrarmos uma cpula que caracterize, da melhor forma possvel, a co-
movimentao entre o par de mercados (atravs do ndice de dependncia nas
caudas), podemos incluir essa informao no clculo do risco de um portflio
composto por esses ativos, atravs do uso da cpula no clculo do VaR.
11. Aplicao 2
11.1. Introduo
Como sabido, a situao poltica de um pas influi na sua economia de
maneira bem significativa. Isso pde ser notado em diversas situaes que
ocorreram no pas em um perodo recente (eleies, renovao de ministrio,
principalmente da Fazenda, CPIs e escndalos envolvendo grandes personalidades
do governo, entre outras). Cada uma dessas notcias interferiu na negociao de
ativos financeiros em bolsa de valores, causando, muitas vezes, aumento e, em
outras, diminuio da volatilidade de um determinado ativo.
Outros perodos ainda mais significativos, como as eleio presidencial, em 2002,
pode ter sido a causa at de uma mudana na tendncia de crescimento ou queda
dos preos de ativos negociados em bolsa de valores.
O objetivo desta aplicao ser estudar a dependncia (estocstica) entre diversos
ativos negociados na Bolsa de Valores de So Paulo, nos perodos de grandes
variaes de alta e baixa, utilizando o conceito de funes de acoplamento e
dependncia nas caudas, quando so utilizados filtros para a mdia e para a
heteroscedasticidade do tipo ARMA-GARCH. Estaremos estudando, principalmente,
a influncia da eleio presidencial de 2002 nas dependncias entre os ativos,
buscando uma funo de acoplamento que melhor caracterize a dependncia entre
os pares de ativos das sries filtradas. Essa abordagem ser aplicada a ativos de
trs setores, negociados na Bolsa de Valores de So Paulo, e com participao no
ndice IBOVESPA: Telecomunicaes, Minerao e Bancrio. No captulo 2,
apresentaremos o conjunto de dados. Em 3, a metodologia. No captulo 4, os
resultados. E, em 5, as concluses.
45
11.2. O Conjunto de Dados
Estaremos estudando, alm do ndice IBOVESPA (IBV), os seguintes ativos
financeiros, no perodo de 03/10/2000 a 10/10/2005, totalizando 1429 observaes:
Telecomunicaes:
-TeleMar ON (TEL), 9.081% de participao no IBOVESPA;
-Embratel ON (EMB), 2.443% de participao no IBOVESPA;
Minerao:
-Petrobrs ON (PET), 7.926% de participao no IBOVESPA;
-Vale do Rio Doce ON (VAL), 6.966% de participao no IBOVESPA;
Bancrio
-Bradesco, ON (BRA), 3.264% de participao no IBOVESPA;
-Ita AS ON (ITA), 2.506% de participao no IBOVESPA;
Esses ativos somam, no total, um peso de 31,18% do ndice IBOVESPA.
A fim de se obter as diferenas (possivelmente) decorrentes do perodo de
instabilidade, dividiremos o conjunto de dados em dois perodos: Antes do anncio
dos resultados do segundo turno das Eleies para presidente em 2002 (Perodo A),
e depois de anunciados esses resultados (Perodo B). Analisaremos os dados no
perodo completo (todas as 1429 observaes), e tambm nos perodos A e B (com
701 e 728 observaes, respectivamente), referentes aos dados de 03/10/2000 a
04/11/2002 e de 05/11/2002 a 10/10/2005.
Os pares cujas dependncias sero estudadas nesses perodos, so:
Dependncia entre ndice:
-IBV x TEL, EMB, PET, VAL, BRA, IT
Dependncias entre empresas de setores diferentes:
-TEL x PET, TEL x BRA e PET x BRA;
Dependncias entre empresas no mesmo setor:
-TEL x EMB, PET x VAL e BRA x ITA;
46
11.3. Mtodos de Anlise
A anlise se inicia com a obteno dos log-retornos dos ativos que sero estudados.
Nesses log-retornos so aplicados os filtros ARMA-GARCH e obtidos os resduos,
que sero utilizados, par a par, na estimao da cpula emprica de Deheuvels
(1979), e na obteno dos ndices de dependncia nas caudas inferior e superior
(veja Caillault & Gugan (2003)). Com essas estimativas podemos notar a simetria
dos dados ou a falta de dependncia em uma das caudas, o que nos ajuda a
escolher um conjunto de cpulas que possuam essas propriedades. Faremos esses
procedimentos para o perodo completo, e tambm para os outros dois perodos.
A seguir, para os diferentes acoplamentos escolhidos, estimamos os parmetros de
dependncia pelo mtodo de mxima verossimilhana. Ser utilizado o critrio de
informao de Akaike (AIC), para discriminar entre os diferentes acoplamentos e
nos ajudar a escolher a melhor cpula. Veremos que possvel, tambm, estimar a
dependncia nas caudas a partir da cpula escolhida.
Iremos, ento, comparar os valores das dependncias estimados para o perodo
completo e para o perodo dividido em duas partes, assim como os parmetros dos
modelos ARMA-GARCH, verificando as diferenas entre os modelos e entre as
dependncias, que podem ter sido causadas por influncia da instabilidade poltica.
11.3.1. Estimao dos Modelos ARMA-GARCH
Para todos os ativos apresentados anteriormente, utilizamos filtros do tipo
ARMA-GARCH, de mdia e de heteroscedasticidade, da seguinte forma: Sob um
ndice calculado o seu log-retorno. Atravs do grfico de autocorrelaes,
verificamos se existe a necessidade de adicionar parmetros ARMA ao modelo. Se
for necessrio, filtramos os log-retornos com o modelo ARMA, obtendo resduos.
Ento, para esses resduos ao quadrado, verificamos o grfico de autocorrelaes,
que nos dir sobre a necessidade de adicionar parmetros GARCH ao modelo.
Como ilustrao, apresentaremos a seleo do modelo ARMA-GARCH para
os log-retornos das da TELEMAR ON, no perodo completo. As estimativas das
funes de Autocorrelao e Autocorrelao Parcial so apresentadas no Grfico
11.1.
47
Lag
ACF
0 5 10 15 20 25 30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Series : RET.TEL
Lag
Parti
al A
CF
0 5 10 15 20 25 30
-0.0
50.
00.
05
Series : RET.TEL
Grfico 11.1: Autocorrelao e Autocorrelao Parcial para os log-retornos dos preos da Telemar ON.
Ajustamos, ento um modelo mais geral, e verificamos quais parmetros so
significativos. Neste caso, optamos por um modelo AR(1), cujo diagnstico (como
veremos abaixo), se mostra favorvel esse modelo. Obtendo os resduos desse
modelo, e elevando os resduos ao quadrado, calculamos a funo de
Autocorrelao, que mostrada no grfico 11.2:
0 5 10 15 20 25 30
Lag
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ACF
Series: Residuals RET.TEL ^2
Grfico 11.2: Autocorrelao para os resduos do modelo ARMA(1,0) ao quadrado, para
Telemar ON.
Note que a persistncia do modelo bem evidente, indicando que podemos
utilizar um modelo GARCH para modelar a volatilidade. Selecionado o modelo
ARMA(1,0)-GARCH(1,1), calculamos os Q-Q plots para os resduos finais, a fim de
48
verificar se a distribuio utilizada, normal, condiz com o observado. Se no for
condizente, podemos utilizar a distribuio t-student, de caudas mais pesadas:
-2
0
2
4
-2 0 2
QQ-Plot
1
8
455
Quantiles of gaussian distribution
Stan
dard
ized
Res
idua
ls
QQ-Plot of Standardized Residuals
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4
QQ-Plot
1
1428
1429
Quantiles of t distribution
Stan
dard
ized
Res
idua
ls
QQ-Plot of Standardized Residuals
Grfico 11.3: Q-Q Plot dos resduos do modelo ARMA-GARCH utilizando Distribuies Normal e T-Student.
Note, pelo grfico 11.3, que os resduos possuem caudas mais pesadas que
a normal, e um pouco mais pesadas que a t. Optaremos, aqui pela distribuio t-
student. Finalmente, obtemos, ento, os seguintes resultados para o modelo de
TELEMAR ON:
Tabela 11.1: Estimativas dos parmetros e diagnsticos para o modelo ARMA-
GARCH de Telemar ON:
Tabela 11.1: Estimativas dos parmetros e diagnsticos para o modelo ARMA-GARCH de Telemar ON:
Telemar ON: ARMA(1,0) GARCH (1,1) T-Student Valor Erro Padr. t-valor Pr(>|t|) C 2.761e-004 5.931e-004 0.4655 3.208e-001 AR(1) 7.086e-002 2.745e-002 2.5809 4.976e-003 A 9.293e-006 4.275e-006 2.1740 1.493e-002 ARCH(1) 6.823e-002 1.352e-002 5.0474 2.528e-007 GARCH(1) 9.171e-001 1.584e-002 57.891 0.000e+000
Persistncia Calculada: 0,98533 t-student com 21.93222 g.l. e erro padro 10.37621
Teste de Normalidade: Jarque-Bera: 6.779, p-valor=0.03373 Teste de Ljung-Box para resduos: 10.21, p-valor=0.5972 g.l: 12
Teste de Ljung-Box para resduos ao quadrado: 12.28,p-valor=0.438 g.l: 12 : O teste de Jarque-Bera calcula a Curtose e a Assimetria para verificar a normalidade. Hiptese nula: Normalidade. : O teste de Ljung-Box verifica se o resduo, aps aplicado o modelo, um rudo branco. Hiptese nula: Rudo Branco.
49
11.4. Resultados Analogamente ao apresentado na seo 11.3.1, calculamos os modelos
ARMA-GARCH para todos os ativos sendo estudados, nos perodos completo, A e
B. Os resultados das estimativas dos parmetros so apresentados nas tabelas
11.5 a 11.11 (ver apndice B).
Nessas tabelas, podemos notar as diferenas nos formulaes e nos
parmetros dos modelos ARMA-GARCH para os perodos completo, A e B.
Podemos observar que, em geral, os modelos para o perodo B possui persistncias
ligeiramente maiores do que o perodo A, e que os parmetros, mesmo quando os
modelos possuem a mesma formulao nos perodos A e B, so diferentes,
indicando que os perodos A e B possuem diferenas notveis. Vemos tambm que,
em geral, o perodo completo possui uma formulao muitas vezes diferente da
formulao para os perodos A e B.
Outra caracterstica interessante que, muitas vezes, pode ser utilizada uma
distribuio normal para as inovaes, a maioria delas no perodo B, indicando
caudas menos pesadas nesse perodo (volatilidade mais baixa).
A seguir, a partir dos resduos dos modelos estimados acima, obtemos, para
os pares propostos, as dependncias nas caudas de forma emprica. A tabela 11.2
mostra essas dependncias, nos perodos completo, A e B. Nessa tabela, notamos
que, em geral, as dependncias na cauda inferior, referentes s perdas, so
maiores do que as dependncias na cauda superior (ganhos), indicando maior
concordncia entre as perdas das empresas, do que entre os ganhos.
Analisando, de uma forma geral, as dependncias nos perodos A e B,
podemos observar que, para a maioria dos pares, foram maiores no perodo A do
que no perodo B. Essa mudana na dependncia, entre um perodo e o outro, pode
ter relao com a mudana poltica que ocorreu no incio do ano de 2003, quando
assumiram os novos presidente e ministrios.
Veja tambm que a dependncia na cauda superior entre uma empresa de
telecomunicaes (no caso a Telemar) e uma empresa de minerao (Petrobrs),
no perodo B foi estimada como zero, indicando que essas empresas tiveram pouca
concordncia nos ganhos, nesse perodo. Podemos observar tambm um aumento
da dependncia na cauda inferior do perodo A para o perodo B.
50
Tabela 11.2: Dependncias nas Caudas Empricas para todos os pares de ativos sendo estudados, no perodo completo e nos perodos A e B.
Perodo Completo Dependncia nas Caudas Superior IC (80%) Inferior IC (80%) IBVxBRA 0,3199 [0,2560 ; 0,3880] 0,5033 [0,4415 ; 0,5705] IBVxEMB 0,2236 [0,1561 ; 0,3143] 0,4396 [0,3694 ; 0,5106] IBVxITA 0,3027 [0,2449 ; 0,3851] 0,4618 [0,3849 ; 0,5499] IBVxPET 0,3407 [0,2562 ; 0,4438] 0,4541 [0,4038 ; 0,5217] IBVxTEL 0,3307 [0,2549 ; 0,4348] 0,5102 [0,2959 ; 0,6928] IBVxVAL 0,2194 [0,1342 ; 0,3057] 0,3033 [0,3476 ; 0,3617] TELxPET 0,2054 [0,1447 ; 0,2756] 0,2854 [0,1359 ; 0,3652] TELxBRA 0,2535 [0,2004 ; 0,3231] 0,3672 [0,3027 ; 0,4294] PETxBRA 0,1221 [0,0646 ; 0,2074] 0,2660 [0,1979 ; 0,3390] TELxEMB 0,1908 [0,1332 ; 0,2603] 0,3583 [0,2757 ; 0,4400] PETxVAL 0,1975 [0,1498 ; 0,2498] 0,2097 [0,1359 ; 0,2960] BRAxITA 0,2318 [0,1665 ; 0,3094] 0,4576 [0,3836 ; 0,5250] Perodo A Dependncia nas Caudas Superior IC (80%) Inferior IC (80%) IBVxBRA 0,3150 [0,2260 ; 0,4106] 0,4299 [0,2810 ; 0,5832] IBVxEMB 0,3417 [0,2477 ; 0,4852] 0,3739 [0,2864 ; 0,4898] IBVxITA 0,3586 [0,2726 ; 0,4704] 0,5020 [0,4090 ; 0,6136] IBVxPET 0,4390 [0,2985 ; 0,5446] 0,4188 [0,3359 ; 0,4864] IBVxTEL 0,4326 [0,3157 ; 0,5819] 0,6535 [0,5832 ; 0,7298] IBVxVAL 0,2260 [0,1658 ; 0,3379] 0,3382 [0,2575 ; 0,4207] TELxPET 0,2698 [0,1898 ; 0,3671] 0,2834 [0,2195 ; 0,3816] TELxBRA 0,2691 [0,2075 ; 0,3641] 0,3926 [0,3286 ; 0,4835] PETxBRA 0,1416 [0,0905 ; 0,2235] 0,2997 [0,2178 ; 0,3848] TELxEMB 0,3333 [0,2257 ; 0,4129] 0,3748 [0,2928 ; 0,4692] PETxVAL 0,1840 [0,1359 ; 0,2600] 0,2929 [0,2373 ; 0,3513] BRAxITA 0,2337 [0,1687 ; 0,3333] 0,5329 [0,4450 ; 0,6054] Perodo B Dependncia nas Caudas Superior IC (80%) Inferior IC (80%) IBVxBRA 0,3752 [0,3032 ; 0,4559] 0,4424 [0,3633 ; 0,5133] IBVxEMB 0,1224 [0,0583 ; 0,2524] 0,5195 [0,4528 ; 0,6010] IBVxITA 0,2207 [0,1188 ; 0,3812] 0,3457 [0,2621 ; 0,4844] IBVxPET 0,3961 [0,3147 ; 0,4835] 0,5245 [0,4404 ; 0,6135] IBVxTEL 0,2727 [0,1777 ; 0,4188] 0,2312 [0,5557 ; 0,7086] IBVxVAL 0,2119 [0,1477 ; 0,2774] 0,2683 [0,2188 ; 0,3372] TELxPET 0,0000 [0,0000 ; 0,3710] 0,3681 [0,2919 ; 0,4449] TELxBRA 0,1710 [0,0859 ; 0,2781] 0,3854 [0,3041 ; 0,4579] PETxBRA 0,2901 [0,2204 ; 0,3542] 0,3028 [0,2240 ; 0,3659] TELxEMB 0,2425 [0,1816 ; 0,3194] 0,4606 [0,3884 ; 0,5470] PETxVAL 0,2210 [0,1492 ; 0,2991] 0,2196 [0,1505 ; 0,2873] BRAxITA 0,3370 [0,2738 ; 0,4356] 0,3895 [0,3242 ; 0,4842]
No caso das empresas Telemar (Telecomunicaes) e Bradesco (Bancrio),
notamos um decrescimento nas dependncias do perodo A para o perodo B,
indicando uma diminuio na concordncia dos ganhos e perdas desses ativos.
51
J para Petrobrs x Bradesco, observamos um aumento na concordncia
para os ganhos e as perdas. Para os ativos dentro do mesmo setor, vemos que,
para o setor de telecomunicaes ocorreu um aumento na concordncia entre as
perdas e diminuio da concordncia entre os ganhos, do perodo A para o B. No
setor bancrio e de minerao vemos um aumento na concordncia entre os
ganhos e diminuio da concordncia entre as perdas.
No grfico a seguir vemos as dependncias na cauda inferior nos perodos
completo, A e B, de todas as empresas contra o ndice IBOVESPA, sendo que
aparecem no grfico primeiro as empresas de maior participao na construo do
ndice IBOVESPA.
Dat
a
C7EMBITABRAVALPETTEL
321321321321321321
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
Dependncias na Cauda Inferior nos Perodos Completo, A e B (1, 2 e 3)
Grfico 11.4: Dependncias na Cauda Inferior nos Perodos Completo, A e B, para os ativos
que compem, no total, 31,18% do ndice IBOVESPA, sendo Telemar (TEL) 9,08%, Petrobrs (PET) 7,92%, Vale do Rio Doce (VAL) 6,96%, Bradesco (BRA) 3,26%, Ita S/A
(ITA) 2,5% e Embratel (EMB) 2,44%.
Vemos, pelo grfico 11.4, que as empresas de maior peso no ndice
IBOVESPA so tambm as de maior concordncia com esse ndice, quando
ocorrem grandes perdas.
A seguir, obtivemos as dependncias nas caudas de forma paramtrica,
atravs do Mtodo de Mxima Verossimilhana Cannica, para as cpulas
arquimedianas BB1 e BB7 (biparamtricas) e da cpula T-Student (Elptica). Os
resultados so apresentados nas tabelas 11.3 e 11.4. Os AIC (Critrio de
52
Informao de Akaike), para cada par/perodo mostrado nas tabelas 11.12, 11.13
e 11.14, no apndice B.
Tabela 11.3: Dependncia nas Caudas no paramtrica, e estimadas atravs do Mtodo de Mxima Verossimilhana Cannica, atravs das Cpulas BB1, BB7 e T-Student, para os
pares relacionados com o ndice IBOVESPA. Os valores em negrito so referentes s
melhores opes de cpulas em termos do AIC , para cada perodo.
Dependncia nas Caudas Paramtrica Perodo Completo Perodo A Perodo B Superior Inferior Superior Inferior Superior Inferior IBVxBRA BB1 0,3528 0,4570 0,3200 0,5078 0,3463 0,4068 BB7 0,4054 0,5183 0,3593 0,5548 0,3822 0,4788 T-Student 0,1465 0,1465 0,0845 0,0845 0,0647 0,0647 N. Param. 0,3199 0,5033 0,3150 0,4299 0,3752 0,4424 IBVxEMB BB1 0,4053 0,4457 0,4414 0,3872 0,3000 0,5305 BB7 0,4400 0,5261 0,4782 0,4923 0,3085 0,5750 T-Student 0,2836 0,2836 0,3309 0,3309 0,1746 0,1746 N. Param. 0,2236 0,4396 0,3417 0,3739 0,1224 0,5195 IBVxITA BB1 0,3405 0,4495 0,3372 0,4965 0,3086 0,3871 BB7 0,3842 0,5117 0,3661 0,5516 0,3392 0,4533 T-Student 0,0544 0,0544 0,0646 0,0646 0,0397 0,0397 N. Param. 0,3027 0,4618 0,3586 0,5020 0,2207 0,3457 IBVxPET BB1 0,3327 0,4543 0,2767 0,4350 0,3725 0,5006 BB7 0,3811 0,5136 0,3204 0,4853 0,4190 0,5601 T-Student 0,2218 0,2218 0,1812 0,1812 0,0722 0,0722 N. Param. 0,3407 0,4541 0,4390 0,4188 0,3961 0,5245 IBVxTEL BB1 0,6030 0,6442 0,5941 0,6589 0,5372 0,6653 BB7 0,6500 0,7131 0,6294 0,7205 0,5767 0,7154 T-Student 0,4251 0,4251 0,4867 0,4867 0,2122 0,2122 N. Param. 0,3307 0,5102 0,4326 0,6535 0,2727 0,2312 IBVxVAL BB1 0,2109 0,1822 0,1985 0,1577 0,1748 0,2714 BB7 0,2358 0,2486 0,2209 0,2227 0,1824 0,3204 T-Student 0,0680 0,0680 0,0432 0,0432 0,0620 0,0620 N. Param. 0,2194 0,3033 0,2260 0,3382 0,2119 0,2683
A partir da tabela 11.3 podemos observar que a cpula T-Student possui
dependncias nas caudas simtrica, e de valor menor do que o observado nas
outras duas funes de acoplamento. Vemos, tambm, que muitas das
dependncias so prximas s estimadas empiricamente, e que, na maioria das
vezes, houve um aumento no valor das dependncias do perodo A para o B. Para o
par IBV x TEL, cujas dependncias paramtricas, segundo o critrio AIC, foram
calculadas utilizando a cpula T-Student, podemos observar que so bem prximas
aos valores estimados empiricamente, e que, assim como ocorre na dependncia
no paramtrica, existe uma diminuio nas dependncias do perodo A para o B.
53
J para os pares IBV x ITA e IBV x VAL, as dependncias foram estimadas bem
abaixo dos valores empricos, indicando que, provavelmente, a cpula selecionada
no a mais adequada para estudar os referidos pares. Podemos notar, tambm,
que, para os pares/perodos em que selecionamos a cpula BB1, as dependncias
so bem prximas s estimadas empiricamente. O critrio AIC no selecionou, para
nenhum par/perodo, a cpula BB7, porm a diferena entre os AIC das cpulas
BB1 e BB7, para a maioria dos pares, so pequenas.
Tabela 11.4: Dependncia nas Caudas no paramtrica, e estimadas atravs do Mtodo de Mxima Verossimilhana Cannica, atravs das Cpulas BB1, BB7 e T-Student, para os
pares relativos aos setores. Os valores em negrito so referentes s melhores opes de
cpulas em termos do AIC , para cada perodo.
Dependncia nas Caudas Paramtrica Perodo Completo Perodo A Perodo B Superior Inferior Superior Inferior Superior Inferior TELxPET BB1 0,2385 0,2973 0,1877 0,3131 0,2629 0,3048 BB7 0,2704 0,3580 0,2135 0,3581 0,2856 0,3730 T-Student 0,1489 0,1489 0,1400 0,1400 0,0228 0,0228 N. Param 0,2054 0,2854 0,2698 0,2834 0,0000 0,3681 TELxBRA BB1 0,2751 0,3297 0,2800 0,3597 0,2384 0,2958 BB7 0,3234 0,3930 0,3201 0,4201 0,2761 0,3560 T-Student 0,1714 0,1714 0,1669 0,1669 0,0720 0,0720 N. Param 0,2535 0,3672 0,2691 0,3926 0,1710 0,3854 PETxBRA BB1 0,1544 0,2081 0,1209 0,2275 0,1585 0,2037 BB7 0,1759 0,2526 0,1339 0,2620 0,1699 0,2523 T-Student 0,0579 0,0579 0,0416 0,0416 0,0083 0,0083 N. Param 0,1221 0,2660 0,1416 0,2997 0,2901 0,3028 TELxEMB BB1 0,3187 0,3699 0,3554 0,3265 0,2199 0,4380 BB7 0,3363 0,4481 0,3743 0,4251 0,2047 0,4841 T-Student 0,2172 0,2172 0,2498 0,2498 0,1138 0,1138 N. Param 0,1908 0,3583 0,3333 0,3748 0,2425 0,4606 PETxVAL BB1 0,1271 0,1643 0,0836 0,1705 0,1423 0,1991 BB7 0,1365 0,2055 0,0846 0,1985 0,1495 0,2449 T-Student 0,0222 0,0222 0,0217 0,0217 0,0069 0,0069 N. Param 0,1975 0,2097 0,1840 0,2929 0,2210 0,2196 BRAxITA BB1 0,3527 0,4037 0,2799 0,4565 0,4001 0,3287 BB7 0,4065 0,4734 0,3306 0,5008 0,4327 0,4345 T-Student 0,2389 0,2389 0,1838 0,1838 0,1871 0,1871 N. Param 0,2318 0,4576 0,2337 0,5329 0,3370 0,3895
Com exceo do par TEL x EMB, no houve consenso na seleo de cpulas pelo
critrio AIC para os pares, principalmente entre os perodos A e B. Embora essa
falta de consenso dificulte a anlise das dependncias, podemos observar que, no
54
par PET x VAL, as dependncias paramtricas so estimadas com um valor
pequeno, diferente das dependncias empricas, em todos os perodos. No par TEL
x PET, vemos que, no perodo completo, a dependncia maior do que no perodo
B, estimadas com a mesma funo de acoplamento. Nesse par, a dependncia na
cauda superior, no perodo B estimada como zero pela funo emprica, e um
valor baixo, pela T-Student.
No par TEL x EMB, cujas dependncias foram estimadas pela cpula T-Student,
vemos que a dependncia paramtrica estimada com um valor menor do que a
emprica, porm essa diferena no to grande. Nesse par, observamos, tambm,
um decaimento na dependncia do perodo A para o perodo B.
11.5. Concluses
1. As funes de acoplamento se mostraram inadequadas, para a maioria dos pares/perodos, estimao das dependncias nas caudas, sendo necessrios
outros estudos, e a comparao de outras cpulas, para que se possa encontrar
uma funo que se adeque melhor aos dados.
2. Numa anlise inicial podemos utilizar as estimaes, acima calculadas, das dependncias nas caudas, para tentar entender como empresas, setores e ndice
concordam entre si. Observamos que, em geral, a dependncia (em especial, na
cauda superior) entre os ativos diminui do perodo A (antes do anncio dos
resultados das eleies de 2002) para o perodo B (depois de anunciado o
vencedor).
3. A filtragem atravs do modelo ARMA-GARCH bastante til, principalmente para eliminar informaes esprias que poderiam influenciar no clculo das
dependncias (na estimao das dependncias nas caudas emprica, o grfico das
dependncias se mostra mais estvel, quando os dados so filtrados). Pode ser
observado que existiram diferenas, muitas vezes significativas entre as estimativas
dos modelos nos perodos A e B, reforando a hiptese de diferena entre esses
perodos.
55
12. Agradecimentos
Agradeo ao caro professor orientador Dr. Luiz Koodi Hotta, por sua
pacincia e seu apoio; a FAPESP, pelo suporte financeiro, sendo que, sem esse,
este projeto seria invivel; e a todos os outros professores do departamento.
13. Referncias Bibliogrficas
Akaike, H, Information theory and an extension of the maximum likelihood principle Em Second International Symposium on Information Theory, Budapest: Akademiai
Kiado, p.267-281, (1973)
Bauwens, L., Laurent, S. and Rombouts, J., Multivariate GARCH models: A survey. CORE Discussion Paper 31, (2003)
Bollerslev, T.: Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, Journal of Econometrics 31, 307-327, (1986)
Bouy, E., Durrleman, V., Nikeghbali, A., Riboulet, G., Roncalli, T., Copulas for Finance: A Reading Guide and Some Applications, Groupe de Recherche
Oprationnelle Crdit Lyonnais, Paris, (2000)
Caillault, C. e GUEGAN, D. Empirical Estimation of Tail Dependence Using Copulas. Application to Asian Markets. Note de Recherche IDHE-MORA n. 5,
(2003).
Calvo, S. e C. Reinhart. Capital flow to latin american: is there evidence of contagion effect? em Guillermo Calvo, Morris Goldstein, e Eduard Hochreiter,
Private Capital Flow to Emerging Markets after the Mexican crisis. Washington,
D.C: Institute for International Economics, (1996).
P. Deheuvels. La fonction de dpendance empirique es ss proprits um test non paramtrique dindpendence. Academic Royale de Belgique Bulletin de la
classe ds sciences 5. Srie, 65:274:292, (1979).
Dos Anjos, U. U., Ferreira, F. H., Kolev, N. V., Mendes, B. V. M., Modelando Dependncias via Cpulas, Minicurso do 16 SINAPE, Caxambu, MG, 2004.
56
Engle, R. F.: Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of U.K. inflation, Econometrica 50(4), 987-1008, (1982).
Forbes, K. e Rigobom, R. Contagion in Latin America: Definitions, Measurement, and Policy Implications National Bureau of Economic Research, Working Paper
7885, (2002).
Genest, C., Rivest, L., Statistical Inference Procedures for Bivariate Archimedean Copulas Journal of American Statistical Association, v. 88, p. 1034 1043, (1993)
Goorberg, R.: A Copula-Based Autorregressive Conditional Dependence Model of International Stock Markets , DNB Working Paper, 22, (2004).
Hansen, B. E.: Autoregressive conditional density estimation, International Economic Review 35(3), 705-730, (1994).
Joe, H., Multivariate Models and Dependence Concepts London: Chapman & Hall, 1997
Lindskog, F., Modelling Dependence with Copulas, dissertao de mestrado, Swiss Federal Institute of Technology, Zurich, (2000)
Nelsen, R., An introduction to Copulas. Springer, New York, (1999)
Nelson, D. B.: Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach, Econometrica 59, 347-370, (1990).
Palaro, H. P., Aplicao de acoplamento no clculo do valor em risco, dissertao de mestrado, IMECC-UNICAMP, (2004)
Palaro, H.P., Valor em Risco, Relatrio Final da disciplina de ME772, graduao, (2002)
Plackett, R. L., A class of bivariate distributions, Journal of American Statistical Association, v. 60, p. 516-522, (1965)
SMITH, M. Modelling sample selection using archimedean copulas, Econometrics Journal, v. 6, p. 99123, (2003)
A. Sklar. Fonctions de rpartition n dimensions et leurs marges Publications dew lInstitut de Statistique de LUniversit de Paris, 8:229-231, (1959)
57
Apndice A
Programas Geradores para a Cpula de Cook-Johnson (Software R)
Caso 1:
teta=1 #ou 5 p
58
W[p]
59
Apndice B Tabelas Tabela 11.5: Modelos ARMA-GARCH para o ndice IBOVESPA
ndice IBOVESPA Perodo Completo Perodo A Perodo B AR(1) GARCH(1,1) t: 26.3795 g.l.
GARCH(1,1) t: 21.9590 g.l.
GARCH(1,1) t: 28.8515 g.l.
Valor p-valor C 0,0008 0.0377
AR(1) 0.0383 0.0881 A 0.0000 0.0329
ARCH(1) 0.0412 0.0000 GARCH(1) 0.9399 0.0000
Persistncia: 0.9811
Valor p-valor C -0.0008 0.1413 A 0.0000 0.0728
ARCH(1) 0.0542 0.0106 GARCH(1) 0.8814 0.0000
Persistncia: 0.9356
Valor p-valorC 0.0018 0.0019A 0.0000 0.1543
ARCH(1) 0.0271 0.0274GARCH(1) 0.9560
0.0000Persistncia:0.9831
Tabela 11.6: Modelos ARMA-GARCH para o ndice Telemar ON
Telemar ON Perodo Completo Perodo A Perodo B AR(1) GARCH(1,1) t: 21.9322 g.l.
AR(1) - GARCH(1,1) t: 18.6397 g.l.
GARCH(1,1) normal
Valor p-valor C 0.0002 0.3208
AR(1) 0.0708 0.0049 A 0.0000 0.0149
ARCH(1) 0.0680 0.0000 GARCH(1) 0.9171 0.0000 Persistncia: 0.9851
Valor p-valor C -0.0008 0.2154
AR(1) 0.0906 0.0114 A 0.0000 0.0462
ARCH(1) 0.0812 0.0015 GARCH(1) 0.8748 0.0000
Persistncia: 0.9560
Valor p-valorC 0.0007 0.1476A 0.0000 0.0934
ARCH(1) 0.0386 0.0063GARCH(1) 0.9447 0.0000
Persistncia: 0.9833
Tabela 11.7: Modelos ARMA-GARCH para o ndice Embratel ON
Embratel ON Perodo Completo Perodo A Perodo B AR(1) GARCH(1,2) t: 9.83253 g.l.
AR(1) - GARCH(1,1) t: 8.242168 g.l.
AR(1) - GARCH(1,1) t: 10.76686 g.l.
Valor p-valor C -0.0011 0.1161
AR(1) 0.0556 0.0212 A 0.0000 0.0063
ARCH(1) 0.1136 0.0000 GARCH(1) 0.2949 0.0830 GARCH(2) 0.5401 0.0030
Persistncia: 0.9486
Valor p-valor C -0.0040 0.0036
AR(1) 0.0734 0.0226 A 0.0000 0.0430
ARCH(1) 0.0616 0.0005 GARCH(1) 0.9120 0.0000
Persistncia: 0.9736
Valor p-valorC 0.0010 0.1915
AR(1) 0.0293 0.2287A 0.0001 0.0152
ARCH(1) 0.1401 0.0004GARCH(1) 0.7457
0.0000Persistncia: 0.8858
60
Tabela 11.8: Modelos ARMA-GARCH para o ndice Petrobrs ON
Petrobrs ON Perodo Completo Perodo A Perodo B AR(1) GARCH(1,1) t: 8.675692 g.l.
MA(1) - GARCH(1,1) t: 7.022493 g.l.
MA(1) - GARCH(1,1) t: 15.96334 g.l.
Valor p-valor C 0.0013 0.0041
AR(1) 0.1157 0.0000 A 0.0000 0.0057
ARCH(1) 0.0812 0.0000 GARCH(1) 0.8596 0.0000 Persistncia: 0.9408
Valor p-valor C 0.0004 0.2918
MA(1) 0.1559 0.0000 A 0.0000 0.0184
ARCH(1) 0.1266 0.0026 GARCH(1) 0.7574 0.0000
Persistncia: 0.8840
Valor p-valorC 0.0021 0.0016
MA(1) 0.1089 0.0021A 0.0000 0.0688
ARCH(1) 0.0541 0.0051GARCH(1) 0.8963
0.0000Persistncia: 0.9504
Tabela 11.9: Modelos ARMA-GARCH para o ndice Vale do Rio Doce ON
Vale do Rio Doce ON Perodo Completo Perodo A Perodo B MA(1) GARCH(1,1) t: 10.22202 g.l.
MA(1) - GARCH(1,1) t: 5.858784 g.l.
MA(1) - GARCH(1,1) normal
Valor p-valor C 0.0015 0.0033
MA(1) 0.0935 0.0003 A 0.0000 0.0049
ARCH(1) 0.0842 0.0000 GARCH(1) 0.8469 0.0000 Persistncia: 0.9311
Valor p-valor C 0.0010 0.0822
MA(1) 0.0521 0.0945 A 0.0000 0.0143
ARCH(1) 0.1500 0.0022 GARCH(1) 0.6846 0.0000
Persistncia: 0.8346
Valor p-valorC 0.0019 0.0080
MA(1) 0.1082 0.0029A 0.0000 0.0650
ARCH(1) 0.0531 0.0101GARCH(1) 0.9149
0.0000Persistncia: 0.9680
Tabela 11.10: Modelos ARMA-GARCH para o ndice Bradesco ON
Bradesco ON Perodo Completo Perodo A Perodo B AR(1) GARCH(1,1) t: 10.82635 g.l.
AR(1) - GARCH(1,1) t: 10.18658 g.l.
GARCH(1,1) normal
Valor p-valor C 0.0010 0.0301
AR(1) 0.0668 0.0061 A 0.0000 0.0016
ARCH(1) 0.0991 0.0000 GARCH(1) 0.8456 0.0000 Persistncia: 0.9447
Valor p-valor C 0.0001 0.4493
AR(1) 0.0993 0.0043 A 0.0000 0.0290
ARCH(1) 0.0936 0.0013 GARCH(1) 0.8476 0.0000
Persistncia: 0.9412
Valor p-valorC 0.0020 0.0026A 0.0000 0.0127
ARCH(1) 0.0965 0.0042GARCH(1) 0.7002
0.0000Persistncia: 0.7967
61
Tabela 11.11: Modelos ARMA-GARCH para o ndice Ita S/A ON
Ita S/A ON Perodo Completo Perodo A Perodo B
GARCH(1,1) t: 28.1213 g.l.
GARCH(1,1) normal
GARCH(1,1) normal
Valor p-valor C 0.0014 0.0034 A 0.0000 0.0086
ARCH(1) 0.0574 0.0000 GARCH(1) 0.9062 0.0000 Persistncia: 0.9636
Valor p-valor C 0.0003 0.3432 A 0.0000 0.0230
ARCH(1) 0.0755 0.0005 GARCH(1) 0.8738 0.0000
Persistncia: 0.9493
Valor p-valorC 0.0021 0.0011A 0.0000 0.1748
ARCH(1) 0.0282 0.0858GARCH(1) 0.9254
0.0000Persistncia: 0.9536
Tabela 11.12: Seleo de Cpulas atravs do Critrio de Informao de Akaike (AIC) para o perodo completo. Os valores em negrito so referentes cpulas que melhor se ajustaram aos dados.
Perodo Completo BB1 BB7 T-Student IBVxBRA -875,761 -857,781 -872,810 IBVxEMB -932,751 -893,260 -967,198 IBVxITA -850,124 -830,692 -864,118 IBVxPET -831,201 -817,205 -822,655 IBVxTEL -1947,869 -1849,129 -1987,005 IBVxVAL -324,154 -316,282 -329,758 TELxPET -464,878 -455,911 -466,206 TELxBRA -563,338 -556,427 -561,013 PETxBRA -282,179 -278,400 -275,418 TELxEMB -648,645 -621,021 -681,054 PETxVAL -213,931 -209,595 -215,253 BRAxITA -788,098 -770,372 -795,411
Tabela 11.13: Seleo de Cpulas atravs do Critrio de Informao de Akaike (AIC) para o perodo A. Os valores em negrito so referentes cpulas que melhor se ajustaram aos dados.
Perodo A BB1 BB7 T-Student IBVxBRA -449,091 -438,223 -449,685 IBVxEMB -460,262 -436,131 -492,393 IBVxITA -455,399 -442,438 -468,338 IBVxPET -349,415 -345,440 -343,493 IBVxTEL -953,666 -895,076 -988,786 IBVxVAL -145,806 -142,424 -150,479 TELxPET -205,840 -203,155 -202,971 TELxBRA -297,778 -291,238 -301,639 PETxBRA -131,603 -130,150 -125,475 TELxEMB -327,402 -309,411 -355,621 PETxVAL -91,017 -89,702 -89,939 BRAxITA -372,302 -367,662 -367,343
62
Tabela 11.14: Seleo de Cpulas atravs do Critrio de Informao de Akaike (AIC) para o perodo B. Os valores em negrito so referentes cpulas que melhor se ajustaram aos dados.
Perodo B BB1 BB7 T-Student IBVxBRA -399,753 -386,616 -409,956 IBVxEMB -456,511 -442,121 -452,957 IBVxITA -356,786 -345,223 -374,175 IBVxPET -520,901 -508,951 -520,888 IBVxTEL -924,562 -877,576 -958,102 IBVxVAL -181,035 -176,191 -181,774 TELxPET -261,687 -252,485 -271,388 TELxBRA -254,482 -251,020 -244,220 PETxBRA -146,299 -142,733 -151,563 TELxEMB -309,237 -299,533 -309,853 PETxVAL -130,096 -126,826 -132,088 BRAxITA -399,082 -376,758 -418,097
Top Related