Acoplamentos, Teoria dos Valores Extremos

Acoplamentos, Teoria dos Valores Extremos

e Valor em Risco

Erick Andrade Busato

Dr. Luiz Koodi Hotta

Resumo: Este projeto utiliza a teoria de funes de acoplamentos para entender a co-movimentao entre mercados latino-americanos, que pode ser entendida como a dependncia entre pares de mercados nos perodos de grandes perdas ou ganhos (dependncia nas caudas). Nossa primeira abordagem se baseia na escolha de funes de acoplamento que modelem bem essa dependncia, utilizando, inicialmente, uma modelagem no paramtrica, atravs do acoplamento emprico, para a estimao da dependncia nas caudas. Aps, sero escolhidas cpulas paramtricas que melhor se adaptem s caractersticas de dependncia observadas empiricamente. Veremos que possvel obter o ndice de dependncia nas caudas a partir da cpula paramtrica escolhida, permitindo que faamos uma comparao com os ndices obtidos de forma no paramtrica, e calcular uma medida de risco para um portflio constitudo dos diferentes pares de mercados internacionais. Os clculos sero, ento, refeitos utilizando filtragens atravs de modelos AR(p)- GARCH(r,s) para as distribuies marginais dos mercados (que geralmente apresentam assimetria e caudas pesadas), enquanto modelamos a dependncia entre os mercados utilizando uma famlia de cpulas. Nessa segunda aplicao, o objetivo investigar a dependncia entre ativos da BOVESPA utilizando os conceitos de modelos ARMA-GARCH e Cpulas. 1: Iniciao Cientfica / FAPESP / Depto. Estatstica, UNICAMP 2: Departamento de Estatstica, UNICAMP

1

1. Introduo

Segundo Nelsen (1999), acoplamentos podem ser vistos de duas formas:

sob um ponto de vista, acoplamentos so funes que juntam ou acoplam

funes distribuies conjuntas s suas funes distribuies marginais.

Alternativamente, acoplamento so funes distribuies multivariadas, cujas

marginais unidimensionais so uniformes no intervalo (0,1). Atualmente, o estudo

de funes de acoplamento de grande interesse, principalmente por suas

aplicaes em finanas e aturia, como, por exemplo, a anlise de risco de

mercado, o clculo do risco de um portflio de seguros, o apreamento de

derivativos, entre outros.

Nesta monografia ser apresentada a teoria bsica que se refere s funes

de acoplamento, sua estimao a partir de um conjunto de dados e seu uso na

simulao de variveis aleatrias.

Iniciaremos apresentando as ferramentas bsicas necessrias para o

entendimento das funes de acoplamento.

1.1. A Transformada Integral de Probabilidade

Para um bom entendimento das funes de acoplamento, necessrio definir uma ferramenta de extrema importncia, que a transformada integral de

probabilidade:

Seja X uma varivel aleatria com funo de

distribuio = xxXPxF ),()( , sendo isso denotado por FX ~ . Suponha que

)(xF contnua. Ento, para )1,0(u , existe um valor mnimo nico )(ux , tal que

uuxF =))(( . Formalmente,

})(/inf{)()( 1 uxFxuFux == (1-1)

2

O qual define a funo distribuio inversa. Ento )()( 1 uFxuxF . Uma vez

que )(xF no-decrescente e contnua, ento sua inversa )(1 uF tambm no-

decrescente e contnua sobre )1,0(u . Portanto

ou 'xx > e 'yy < .

Teorema 3.3: Sejam ),( YX e )','( YX vetores aleatrios independentes formados

por variveis aleatrias contnuas, com funes de distribuio conjunta H e 'H

respectivamente, e com funes marginais 1F (de X e 'X ) e 2F (de Y e 'Y ).

Sejam C e 'C as funes de acoplamento de ),( YX e )','( YX respectivamente,

de modo que ))(),((),( 21 yFxFCyxH = e ))(),(('),(' 21 yFxFCyxH = . Ento

definiremos:

)0)')('{(}0)')('{( = YYXXPYYXXPQ

Q , ento, a medida de concordncia. Pode ser mostrado que:

== 2]1,0[ 1),(),('4)',( vudCvuCCCQQ Definio 3.5: Uma medida nos reais de dependncia entre duas variveis

aleatrias contnuas X e Y com funo de acoplamento C uma medida de concordncia se satisfaz as seguintes propriedades:

11

1. definido para cada par YX , de variveis aleatrias contnuas;

2. 1,11 ,, = YXYX e 1, =YX ;

3. XYYX ,, = ;

4. Se X e Y so independentes, ento 0, == YX ;

5. YXYXYX ,,, ==

6. Se C e 'C so acoplamentos tais que 'CC p , ento 'CC ;

7. Se )},{( nn YX uma seqncia de variveis aleatrias contnuas com

acoplamentos nC e se }{ nC converge pontualmente para C , ento CCn = 'lim .

3.3.1. O Tau de Kendall

Definio 3.6: O tau de Kendall para o vetor aleatrio TYX ),( definido como:

)0)')('{(}0)')('{(),( = YYXXPYYXXPYX ,

onde TYX ),( e TYX )','( so vetores aleatrios i.i.d.

vlido ento que

1)),((41),(),('4),(2]1,0[

== VUCEvudCvuCYX

Ento o Tau de Kendall simplesmente a medida de concordncia definida pelo

teorema 3.3.

3.3.2. O Rho de Spearman

Definio 3.7: O Rho de Spearman para o vetor aleatrio TYX ),( definido como:

)0)'')('{(}0)'')('{(),( = YYXXPYYXXPYXS ,

12

onde TYX ),( , TYX )','( e TYX )'',''( so cpias independentes.

, tambm, vlido que:

=== 22 ]1,0[]1,0[ 3),(123),(12),(3),( dudvvuCvuuvdCCQYXS , onde a cpula independente.

3.3.3. Dependncia nas Caudas

O conceito de dependncia nas caudas relacionado com a quantidade de

dependncia na cauda do quadrante direito superior ou na cauda do quadrante

esquerdo inferior de uma distribuio bivariada, como por exemplo, a distribuio do

vetor aleatrio TYX ),( .

Definio 3.8: Seja o vetor TYX ),( de variveis aleatrias contnuas, com

distribuies marginais 1F e 2F . O coeficiente de dependncia na cauda superior de TYX ),( definido como:

UFXFYP

=>>

)}(/)({lim 111

21

,

dado que o limite ]1,0[U exista. Se ]1,0(U , ento X e Y so chamadas

de assintoticamente dependentes na cauda superior. Se 0=U , X e Y so

chamadas de assintoticamente independentes na cauda superior. Caso o limite no

exista, a dependncia na cauda no definida.

Podemos reescrever )}(/)({ 111

2 >> FXFYP como:

)}({1)}(),({)}({)}({1

11

12

11

12

11

+

FXPFYFXPFYPFXP

13

encontrando uma definio equivalente para cpulas:

Definio 3.9: Se C um acoplamento bivariado tal que o limite

UC

=

1),(21lim

1

exista, ento C tem dependncia na cauda superior se ]1,0(U , e

independente na cauda superior se 0=U .

Definio 3.10: Se C um acoplamento bivariado tal que o limite

LC

=

+

),(lim0

exista, ento C tem dependncia na cauda inferior se ]1,0(L , e independente

na cauda inferior se 0=L .

4. Classes de Funes de Acoplamentos

Conhecer as funes de acoplamentos disponveis o primeiro passo para se escolher uma funo adequada para um determinado problema (por exemplo a

modelagem de retornos de uma srie financeira). Sero apresentadas as principais

funes de acoplamentos num caso n-dimensional, embora medidas de

dependncia estejam disponveis apenas num caso bivariado.

4.1. Acoplamentos Elpticos

A razo de se usar acoplamentos elpticos que estes so uma rica fonte de

distribuies multivariadas que compartilham muitas propriedades da distribuio

normal multivariada e possibilita a modelagem de dependncia no-normal. Esta

famlia de funes chamada de elpticas, pois suas curvas de contorno so

elipses.

Definio 4.1: Seja X um vetor aleatrio n-dimensional. Seja n e alguma

matriz nn simtrica no-negativa definida. Se, para algum a funo

14

caracterstica )(tX de X funo da forma quadrtica tt' , ou seja,

)()( tt'tX = , dizemos que X tem distribuio elptica com parmetros , e

, e denotamos por )(~ ,,X nE .

4.1.1. Acoplamentos Gaussianos

Definio 4.2: Seja uma matriz simtrica, positiva definida, com diag( )=1 e

seja a distribuio normal univariada padronizada e seja a distribuio

normal multivariada com matriz de correlao . Pelo corolrio do teorema de Sklar

(2-4), o acoplamento gaussiano multivariado definido por:

))(),...,(),((),...,,( 121

11

21 nnGa uuuuuuC = (4-1)

Onde 1 a inversa da funo distribuio normal padro univariada.

4.1.2. Acoplamentos t

Definio 4.3: Seja uma matriz simtrica, positiva definida, com diag( )=1 e

seja ,T a distribuio t-student com 0= e graus de liberdade e matriz de

correlao . Ento o acoplamento t-student multivariado definido como:

))(),...,(),((),...,,( 121

11

,21, nnt utututTuuuC = (4-2)

Onde 1t a inversa da funo distribuio t padro univariada.

4.2. Acoplamentos Arquimedianos

Definio 4.4: Seja uma funo contnua, estritamente decrescente, de ]1,0[

para ],0[ , tal que 0)1( = . A pseudo-inversa de uma funo

]1,0[],0[:]1[ , dada por:

15

=

ttt

)0( se 0)0(0 se )(1]1[

(4-3)

Note que )(]1[ t contnua e no-crescente em ]1,0[ e estritamente decrescente

em )]0(,0[ . Alm disso, uu = ))((]1[ em ]1,0[ , e

=t

ttu

)0( se (0))0(0 se

))((]1[

(4-4)

Finalmente, se =)0( , ento 1]1[ = .

Teorema 4.1: Seja uma funo contnua, estritamente decrescente, de ]1,0[ para

],0[ , tal que 0)1( = , e seja ]1[ a pseudo-inversa de . Seja C uma funo de 2]1,0[ para ]1,0[ , dada por:

))()((),( 1 vuvuC += (4-5)

Ento C uma funo de acoplamento se, e somente se, convexa.

Funes de acoplamento da forma (4-5) so chamadas de funes de

acoplamentos arquimedianos. A funo chamada de geradora do acoplamento.

Se =)0( , dizemos que uma geradora estrita, o que implica que 1]1[ = .

Teorema 4.2: Sejam X e Y variveis aleatrias com acoplamento arquimediano

C , gerado por . O Tau de Kendall para X e Y dado por:

+=1

0 )(')(41 dttt

C . (4-6)

16

4.2.1 Verso Multivariada de Acoplamentos Arquimedianos

Definio 4.5: Uma funo )(tg completamente montona no intervalo ]1,0[ se

tem derivadas de todas as ordens que alternam o sinal, ou seja, se satisfaz:

0)()1( tgdtd

k

kk (4-7)

Para todo )1,0(t e ,....2,1,0=k

Teorema 4.3: Seja uma funo contnua, estritamente decrescente, de ]1,0[ para

],0[ , tal que =)0( e 0)1( = , e seja 1 a inversa de . Se nC uma

funo de n]1,0[ para ]1,0[ dada por:

))(...)()(()( 211

nn uuuC +++= u (4-8)

Ento nC um acoplamento n-dimensional para todo 2n se, e somente se, 1

completamente montona em ),0[ .

seguir so mostrados exemplos de acoplamentos arquimedianos e seus

geradores:

Famlia Geradora )(t Cpula ),...,,( 21 nuuuC Independncia )log(t nuuu ...21

Frank 0 ,11log

t

+

=1

1

)1(

)1(1log

)log(1

n

n

kuk

Gumbel-Hougaard 0 ,))log(( t [ ] /11

))log((exp

= n

k ku

Cook-Johnson 1 ,1 > t ( ) /11

1

= +nk k nu

Joe 1 ],)1(1log[ t [ ]{ } /11

)1(111 = n

k ku

Gumbel-Barnett 10 )],1(1log[

17

4.2. Acoplamento de Plackett

Uma medida de associao ou dependncia em uma tabela de

contingncia 22 chamada razo do produto cruzado, ou em ingls odds ratio,

que denotaremos por . Por exemplo, seja a tabela 4.2, onde denotamos as

categorias de cada varivel como baixa e alta:

Varivel Coluna Baixa Alta

Baixa a b a+b Alta c d c+d

Varivel Linha

a+c b+d n Tabela 4.2 Uma tabela de contingncia 22

Se a contagem observada das categorias mostradas na tabela foram a, b, c,

d, ento temos )/()( bcad= . Caso 1= , temos que cada entrada observada

(como a) igual ao seu valor esperado sob independncia (neste caso

(a+b)(a+c)/n), onde n=a+b+c+d. Caso 1> , as observaes esto concentradas

nas clulas baixa-baixa e alta-alta. Caso 10 para a varivel X , e respectivamente yY

e yY > para a varivel Y . Ento trocando os nmeros a, b, c, d por suas

probabilidades de ocorrncia, temos:

)],()()][,()([)],()()(1)[,(),(

21

21

yxHyFyxHxFyxHyFxFyxHyx

+

= (4-9)

Para a maioria das distribuies, ),( yx no independente de ),( yx ,

porm podemos encontrar distribuies conjuntas que no dependem de ),( yx .

Seja )(1 xFu = e )(2 yFv = . Utilizando o Teorema de Sklar (2.3) temos que:

18

)],()][,([)],(1)[,(

vuCvvuCuvuCvuvuHC

+

= (4-10)

onde C o acoplamento entre as variveis X e Y .

Resolvendo para C , temos:

[ ]

=

++++

=

1 para

1 para )1(4)])(1(1[))(1(1

),(2

)1(21

uv

uvvuvu

vuC

(4-11)

Que definida para 0> , e satisfaz as condies que definem uma funo

de acoplamento. Assim ))(),((),( yGxFCyxH = a funo distribuio conjunta

entre x e y . Temos ainda que WC = 0

lim e MC =

lim .

5. Estimao e Identificao de Funes de Acoplamento

5.1. Estimao Paramtrica

Seja C uma funo de acoplamento n-dimensional que pertence famlia

},{ C , onde C completamente conhecida com exceo do parmetro .

Seja iX , ni ,...,1= variveis aleatrias com distribuio conjunta H e distribuies

marginais nFF ,...,1 respectivamente. Supondo que cada distribuio marginal

dependa apenas do parmetro i , teremos pelo teorema de Sklar que:

));;(),...,;((),...,( 1111 nnnn xFxFCxxH = (5-1)

ou seja, para conhecermos completamente a distribuio conjunta H devemos

estimar o vetor de parmetros ),,...,,( 21 n= .

Derivando (5-1) para todas as variveis, temos a expresso da funo densidade h :

19

=

=n

iiinnn xfxFxFxFcxxxh

1221121 )())(),...,(),((),...,,( (5-2)

onde if a densidade da funo distribuio marginal iF e c a densidade da

funo de acoplamento dada por:

n

nn

n uuuuuC

uuc

=

....),...,(

),...,(21

11 (5-3)

A seguir apresentaremos alguns mtodos de estimao do vetor de parmetros

),,...,,( 21 n= .

5.2. Mtodo de Mxima Verossimilhana Exata

Suponha que temos uma amostra de tamanho T de um vetor aleatrio n-

dimensional Tttnt xx 1,,1 )},...,{( = . Seja ),,...,,( 21 n= um vetor de parmetros

onde i so os parmetros da distribuio marginal iF , ni ,...2,1= , e o vetor de

parmetros da funo de acoplamento C .

A funo de log-verossimilhana definida por:

= ==

+=T

t

n

iitiintnn

T

tt xfxFxFcl

1 1,,

11,11 );(ln));;(,...,);((ln)( (5-4)

Deste modo, o estimador de mxima verossimilhana de aquele que

maximiza (5-4), ou seja,

)(maxarg

l= (5-5)

esta estimao complicada quando a distribuio tem dimenso grande, pois

requer a estimao conjunta dos parmetros.

20

5.3. Mtodo IFM (Inference function For Margins)

Este mtodo, computacionalmente mais simples que o anterior, divide a

estimao em dois estgios. No primeiro estgio estimamos os parmetros das

marginais iF , pelo mtodo de mxima verossimilhana:

=

=T

titiii xf

1, );(lnmaxarg (5-6)

No segundo estgio, estimamos o parmetro utilizando o mtodo de

mxima verossimilhana condicionado ao que foi obtido no primeiro estgio. Ento,

););(),...,;((lnmaxarg1

,1,11 =

=T

tntnnt xFxFc (5-7)

5.4 Mtodo de Mxima Verossimilhana Cannica

Primeiro Estgio: Primeiramente usa-se a distribuio emprica para estimar as distribuies marginais (abordagem no-paramtrica, ou seja, nenhuma suposio

feita sobre as distribuies marginais).

Definio 5.1: Seja nYY ,...,1 uma amostra aleatria da varivel Y , que tem

distribuiao F . A funo distribuio emprica de Y dada por

]},({)(1

1 yYyF in

inn =

=

1 (5-8)

Utilizando a distribuio emprica, transformamos o conjunto de dados ),...,( ,,1 tnt xx ,

Tt ,...2,1= , em variveis aleatrias uniformes ),...,( ,,1 tnt uu . Pela teoria de

probabilidades, temos: )1,0(~)(1 UXFU X= , e fazemos ento

)(1 tnt xFu= , Tt ,...2,1= , em que nF a distribuio emprica de X .

Segundo Estgio: Estimamos o parmetro da seguinte forma:

21

);,...,(lnmaxarg1

,,1 ==

T

ttnt uuc (5-9)

5.5 Estimao No-Paramtrica

Acoplamentos Empricos

Definio 5.2: Seja uma amostra tx==Tttnt xx 1,,1 )},...,{( . O acoplamento emprico

dado por:

=

=

T

tnntntt

n txxtxxtxxTT

tTt

Tt

C1

,22,211,121 )}(),...,(),({1,...,, 1 (5-10)

onde )( ji tx , ni ,...,1= , nj ,...,1= so estatsticas de ordem e Tttt n ,...,,1 21 . Ou

seja, o acoplamento emprico a proporo da amostra que satisfazem

)(),...,(),( ,22,211,1 nntntt txxtxxtxx .

Definio 5.3: Seja uma amostra como na definio 5.2. A freqncia do acoplamento emprico dada por:

=

contrrio caso 0amostra pertencem )(),...,(),(( se

,...,, 22111

21 nnTn txtxtxTt

Tt

Ttc (5-11)

As relaes entre C e c so dadas por:

= = =

=

1

1

2

21 1 1

2121 ,...,,,...,,t

i

t

i

t

i

nnn

nTi

Ti

Ti

cTt

Tt

Tt

C L (5-12)

= =

+++

+++=

2

1

2

1

2211...21

1

211

,...,1

,1)1(,...,,

i i

nniiin

n

n

Tit

Tit

Tit

CTt

Tt

Tt

c L (5-13)

22

Sejam C e c , respectivamente o acoplamento emprico e a freqncia do

acoplamento emprico de uma amostra Tttt xx 1,2,1 )},{( = . Ento podemos obter o rh

de Spearman e o tau de Kendall respectivamente por:

= =

=

T

t

T

ts T

ttTt

Tt

CT 1 1 2

21212

1 2

,1

12 (5-14)

e

= =

=

=

=

T

t

T

t

t

p

t

qk T

tTpc

Tq

Tt

cTq

Tpc

Tt

Tt

cT

T2 2

1

1

1

1

2121

1 2

1 2

,.,,.,1

2 (5-15)

5.6. Seleo de Funes de Acoplamento

Iremos discutir como selecionar a melhor famlia de acoplamentos para uma

determinada amostra.

5.6.1. Acoplamentos Arquimedianos

Apresentamos a seguir uma abordagem proposta por Genest e Rivest (1993)

que nos permite selecionar o melhor acoplamento que se ajusta a um conjunto de

dados real, no caso da classe dos acoplamentos Arquimedianos. Essa abordagem

baseada no seguinte teorema:

Teorema 5.1: Seja C um acoplamento Arquimediano gerado por , e seja

}),),(|]1,0[),({()( 2 tvuCvuVtK CC = (5-16)

(onde CV calculado como no item (iii) da definio 2.2). Ento para qualquer

]1,0[t ,

)(')()(ttttKC

= (5-17)

23

)(tKC pode ser interpretada como a medida abaixo da curva de nvel C(u,v)=t. Uma

estimao no-paramtrica de (5-17) dada por:

}{1)(1

tT

tK iT

iC =

=

1 , (5-18)

onde };...;;{1

1,,,2,2,1,1

1injnijij

T

ji xxxxxxT

= =

1 , para Ti ,...,1= .

Podemos ento escolher diversas representaes paramtricas dos acoplamentos

atravs de algumas funes geradoras i . Comparamos ento a estimativa no-

paramtrica K e as funes K tericas de diversas famlias arquimedianas, e

escolhemos a que melhor se ajusta estimativa K , sendo que essa comparao pode ser feita atravs de um grfico Quantil-Quantil. Ou podemos escolher o

acoplamento que minimiza a distncia em 2L entre (5-17) e (5-18), que dada por:

[ ] dzzKzKKKd =1

0

2

2 )()(),( (5-19)

5.6.2. Acoplamento Emprico

Seja KkkC 1}{ o conjunto de acoplamentos disponveis. A escolha das

famlias de acoplamentos a serem consideradas est relacionada com a estrutura

de dependncia dos dados a serem modelados e tambm com os objetivos da

modelagem. Pelo mtodo de seleo atravs do acoplamento emprico, utilizado por

Romano (2002), escolheremos a funo de acoplamento kC que minimiza a

seguinte distncia entre kC e o acoplamento emprico definido em (5-10):

( )2

1

1 1 1

211 ,...,,...,,

=

= =

T

t

T

t

nk

nkn

nTt

TtC

Tt

TtCCCd L (5-20)

Esta distncia pode tambm ser utilizada para estimar o vetor de parmetros

de um acoplamento dado ),( uC da seguinte forma:

24

( )2

1

2);()(minarg

=

uuu

CC (5-21)

5.6.2. Critrio de Informao de Akaike (AIC)

Suponha que um modelo estatstico de Q parmetros seja ajustado aos

dados. Para assegurar a qualidade do ajuste do modelo, Akaike (1973) introduziu

um critrio de informao. O critrio chamado na literatura de AIC (Akaikes

information criterion), e definido como:

QQAIC 2)lhana verossimimximaln(2)( += (5-22)

Podemos utilizar este critrio para a escolha do melhor acoplamento, ou seja,

escolher a funo de acoplamento estimada que nos d o menor AIC, onde a

funo de verossimilhana dada por (5-4). Smith (2003) utiliza este critrio para a

seleo de funes de acoplamento.

6. Simulao de Variveis Aleatrias utilizando Cpulas

Uma das utilizaes mais importantes das funes de acoplamento na

gerao de vetores pseudo-aleatrios, que pode ser utilizada para compreendermos

e testarmos modelos de sistemas do mundo real.

Inicialmente sero apresentados mtodos gerais para a gerao de vetores

pseudo-aleatrios e aps isso, sero mostrados algoritmos especficos para os

acoplamentos gaussianos e t-Student.

6.1. Mtodo Geral

1. Gere n variveis )1,0(Uniforme independentes, ),...,( 1 nvv

2. Considere 11 vu =

3. Seja

25

)1,...,1,,....,()1,...,1,,....,(

)},...,(),...,/({),...,(11

1),...,(

11

),...,(111111,...,1/

11

11

===

mm

uu

mm

uummmmmmm uuC

uuCuuUUuUPuuC

m

m

ento calcule recursivamente ),,...,( 111

1,...,1/ mmmmm vuuCu

= para nm ,...,2= . Deste

modo teremos que o vetor ),...,( 1 nuu gerado uma observao do vetor

),...,( 1 nUU , que tem distribuio conjunta C ;

4. Transforme o vetor uniforme ),...,( 1 nuu no vetor desejado ),...,( 1 nxx , utilizando

as inversas )(1 iii uFx= para ni ,...,2,1= .

6.2. Mtodo de Rejeio

1. Gere 1+n variveis vuuu n ,,....,, 21 )1,0(Uniforme independentes;

2. Aceitar os valores gerados se ),...,( 1 nuucv . Caso contrrio, retornar ao passo

1;

3. O vetor ),...,( 1 nuu uma observao gerada da funo de acoplamento C ;

4. Transforme o vetor uniforme ),...,( 1 nuu no vetor desejado ),...,( 1 nxx , utilizando

as inversas )(1 iii uFx= para ni ,...,2,1= .

6.3. Acoplamentos Gaussianos

Considere a funo de acoplamento gaussiano, denotada por (4-1). Temos

que R tem dimenso nn e positiva definida. Neste caso, existe uma matriz A

tambm nn tal que TAAR = . Tambm assumido que as variveis aleatrias

nZZ ,...,1 so normais-padro independentes. Seja ),...,( 1 nZZ=Z . Ento temos

que:

),(~ RNA n Z+ .

A matriz A pode ser encontrada atravs da decomposio de Cholesky da matriz R . Temos ento o seguinte algoritmo:

26

1. Encontre a decomposio de Cholesky A da matriz R ;

2. Simule n variveis normal-padro independentes Tnzz ),...,( 1=z ;

3. Faa zx A= ;

4. Determine os componentes )( ii xu = , onde a funo distribuio

acumulada da Normal padro, para ni ,...,2,1= ;

5. O vetor Tnuu ),...,( 1 uma observao do vetor T

nUU ),...,( 1 que tem distribuio

GaRC ;

6. Transforme o vetor uniforme Tnuu ),...,( 1 no vetor desejado T

nxx ),...,( 1 , utilizando

as inversas )( 11 uFx ii

= para ni ,...,2,1= .

6.4. Acoplamentos t-Student

O algoritmo para gerar observaes de um acoplamento t denotado por ,tC

apresentado a seguir:


2. Simule n variveis normal-padro independentes Tnzz ),...,( 1=z ;

3. Simule uma varivel s de uma distribuio 2v , independente de z ;

4. Faa zy A= ;

5. Faa yxsv= ;

6. Determine os componentes )( ivi xtu = , para ni ,...,2,1= ;

7. O vetor Tnuu ),...,( 1 uma observao do vetor T

nUU ),...,( 1 que tem distribuio

,tC ;

8. Transforme o vetor uniforme Tnuu ),...,( 1 no vetor desejado T

nxx ),...,( 1 , utilizando

as inversas )( 11 uFx ii

= para ni ,...,2,1= .

6.5. Acoplamentos Arquimedianos

No caso de acoplamentos Arquimedianos, temos dois resultados que iro

nos auxiliar na construo de um algoritmo de simulao. O primeiro deles um

27

corolrio do teorema 5.1, cuja prova pode ser encontrada em Nelsen(1999), (p.

104).

Corolrio 6.1: Seja TVU ),( um vetor aleatrio com distribuio conjunta C , onde

C um acoplamento arquimediano gerado por . Ento a funo CK dada por (5-

17) a funo de distribuio da varivel aleatria ),( VUC .

Teorema 6.1: sob as hipteses do corolrio 6.1, a funo de distribuio conjunta

),( tsH das variveis aleatrias [ ])()()(

VUUS

+

= e ),( VUCT = dada por

)(),( tsKtsH C= para todo 2]1,0[),( ts . Ento S e T so independentes, e S

uniformemente distribuda em ]1,0[ .

Temos ento o seguinte algoritmo para simulao:

1. Gere duas variveis )1,0(Uniforme independentes s e q ;

2. Faa )(1 qKt C= , onde CK a funo de distribuio da varivel aleatria

),( VUC . Deste modo temos que t uma observao da varivel aleatria

),( VUCT = ;

3. Faa ))((]1[ tsu = e ))()1((]1[ tsv = ;

4. Temos que o par ),( vu uma observao de um vetor aleatrio ),( VU , com

distribuio conjunta C .

6.6. Acoplamento de Plackett

Um algoritmo para simular dados distribudos de acordo com o acoplamento

de Plackett consiste em simular uma observao de uma das marginais e ento

simular a outra marginal utilizando o acoplamento. O algoritmo apresentado a

seguir:

1. Gere duas variveis )1,0(Uniforme independentes u e t ;

28

2. Defina )1( tta = e 2)1)(1(4 += uaub ;

3. Calcule ])1(2[

])21()21()1(2[2

2

+++

=

abtauuav ;

4. u e v sero distribudos de acordo com uma distribuio de Plackett. 6.7. Ilustrao

Para ilustrar o uso das funes de acoplamento na gerao de vetores Pseudo-

Aleatrios, consideraremos dois casos:

Caso 1: Primeiramente, iremos gerar observaes de um vetor 3-dimensional de

variveis atravs de uma cpula da famlia arquimediana (Cook-Johnson),

utilizando, primeiramente, normais-padro univariadas como distribuies marginais,

gerando atravs do mtodo da rejeio.

Acoplamento 3-dimensional Cook-Johnson:

/1321321 )(),,(

++= uuuuuuC

1321321

321

3213

321 )())(12)(1(),,(

),,(13

++++=

=

uuuuuuuuuuuuC

uuuc

Algoritmo 1: 1. Gere 4 variveis vuuu ,,, 321 )1,0(Uniforme independentes; 2. Aceitar os valores gerados se ),,( 321 uuucv . Caso contrrio, retornar ao passo 1; 3. O vetor ),,( 321 uuu uma observao gerada da funo de acoplamentoC ; 4. Transforme o vetor uniforme ),,( 321 uuu no vetor desejado ),,( 321 xxx , utilizando as inversas )(1 ii ux

= para 3,2,1=i , Onde a funo normal padro univariada.

29

-2 -1 0 1 2

-3-2

-10

12

3

N1

N2

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-10

12

3N2

N3

-2 -1 0 1 2

-2-1

01

23

N1

N3

Grfico 6.1: 1000 observaes geradas pelo algoritmo 1, com marginais normais-padro,

1= . O grfico acima mostra os cruzamentos entre as 3 variveis geradas com

acoplamento Cook-Johnson, com parmetro 1= . Note que, para este valor de parmetro, a distribuio conjunta possui uma leve dependncia na cauda inferior.

-1 0 1 2 3

-2-1

01

23

N1

N2

-2 -1 0 1 2 3

-2-1

01

23

N2

N3

-1 0 1 2 3

-2-1

01

23

N1

N3

Grfico 6.2: 1000 observaes geradas pelo algoritmo 1, com marginais normais-padro,

5= . Note que quando aumentamos o parmetro , a dependncia na cauda inferior

aumenta. Quando , o acoplamento de Cook-Johnson se aproxima da

dependncia perfeita positiva.

Caso 2: Iremos gerar agora observaes de um vetor aleatrio 3-dimensional com

cpula tambm de Cook-Johnson, com parmetro 5= , sendo as marginais:

)2,2(~)1(~

)1,0(~

3

2

1

WeibullXlExponenciaX

NormalX

30

O grfico a seguir mostra os cruzamentos dessas varveis 321 ,, XXX :

-2 -1 0 1 2 3

02

46

X1

X2

0 2 4 6

12

34

56

X2

X3

-2 -1 0 1 2 3

12

34

56

X1

X3

Grfico 6.3: 1000 observaes geradas pelo algoritmo 1, com marginais X1:Normal-Padro,

X2:Exponencial(1), X3: Weibull(2,2), 5= .

Como era de se esperar, a dependncia na cauda inferior existe, no importando

quais so as marginais escolhidas para a cpula.

Caso 3: Agora, iremos gerar observaes de um vetor bidimensional utilizando um

Acoplamento t com 4 graus de liberdade e marginais Gamma(3,1). A Matriz de

Correlaes considerada neste exemplo :

=

185,085,01

R,

Algoritmo 2:


2. Simule 2 variveis normal-padro independentes Tzz ),( 21=z ;

3. Simule uma varivel s de uma distribuio 2v , independente de z ;

4. Faa zy A= ;

5. Faa yxsv= ;

6. Determine os componentes )( ivi xtu = , para 2,1=i ;

31

7. O vetor Tuu ),( 21 uma observao do vetor TUU ),( 21 que tem distribuio ,

tC ;

8. Transforme o vetor uniforme Tuu ),( 21 no vetor desejado Txx ),( 21 , utilizando as

inversas )( 11 uFx ii

= para 2,1=i .

0 2 4 6 8 10

02

46

810

g1

g2

0 2 4 6 8 10 12

02

46

810

12

rgamma(1000, 3, 1)

rgam

ma(

1000

, 3, 1

)

Grfico 6.4 I e II: 1000 observaes geradas pelo algoritmo 2, com marginais

g1:Gamma(3,1), g2:Gamma(3,1), no primeiro grfico, e 1000 observaes geradas de 2 distribuies Gamma(3,1) independentes.

Note que, quando usamos o acoplamento, obtemos observaes provindas

de variveis aleatrias visivelmente dependentes.

6.8. Consideraes Finais sobre Simulao

Vimos que relativamente fcil gerar observaes de n variveis

dependentes entre si, embora para isso, devemos ter em mos toda a estrutura de

dependncia entre essas variveis, de forma que essa estrutura seja condizente

com o problema que estamos estudando, ou com o modelo que est sendo criado.

7. Valor em Risco

A noo de risco de um portflio (carteira, conjunto de ativos) est associada

ao fato de que seu retorno em um dado perodo de tempo no conhecido de

antemo. Ao contrrio, existe um conjunto de retornos possveis. As probabilidades

32

de ocorrncia de cada um dos elementos deste conjunto iro determinar, em ltima

instncia, o potencial de perda da carteira.

Definimos a varivel aleatria X : valor do portflio e a varivel aleatria R : retorno do portflio.

Ao montarmos o portflio, investimos uma quantidade inicial 0XW = . Iremos

considerar mxx ,...,0 : valor do portflio nos tempos },...,1,0{ m (discretos). Estes

tempos podem ser m dias, semanas, meses, de acordo com o horizonte que desejamos para o clculo do VaR.

Definimos ento 11

=i

ii X

XR : retorno do portflio no perodo ]1;1[ i . Assim

mrr ,...,1 uma amostra da varivel aleatria R .

O VaR (Value-at-Risk) de um portflio definido como a mxima perda em

unidades monetrias num dado espao de tempo a um certo nvel de confiana.

Por exemplo, se uma carteira cujo valor de mercado R$ 100.000,00,

apresentasse uma probabilidade de retornos dirios abaixo de 2% igual a 5%,

ento poderamos dizer que a carteira tem 5% de probabilidade de gerar uma perda

financeira maior ou igual a R$ 2000,00, ou em linguagem estatstica, o Value-at-Risk

desta carteira de R$ 2000,00 a 95% de confiana em horizonte dirio.

Esta a definio do VaR absoluto. Podemos trabalhar tambm com o VaR

relativo, que mede a perda mxima considerando o retorno mdio da carteira. Ou

seja: VaR (relativo) = VaR (absoluto) + retorno mdio (monetrio).

Vamos supor que R (retorno da carteira) seja uma varivel aleatria contnua e que conhecemos sua distribuio de probabilidades. Sua funo de

densidade )(Rf .

Seja )(RE= o retorno mdio (percentual) da carteira. Ento W o

retorno mdio (monetrio) desta carteira.

Seja *R o valor de R cuja rea a esquerda da curva )(Rf seja 100 c%.

33

Definimos ento :

VaR(absoluto) = R* W

VaR(relativo) = R* W + W

Estas medidas esto definidas a 100 (1-c)% de confiana.

Graficamente, temos:

Grfico 7.1 Valor em Risco, graficamente

8. Teoria de Valores Extremos

Nesta seo apresentaremos os resultados clssicos sobre a teoria de

valores extremos aplicada s funes de acoplamento.

8.1. Principais Resultados

Seja ,..., 21 XX uma seqncia de variveis aleatrias i.i.d. com funo de

Distribuio )(xF . Classicamente, caracterizamos as caudas de )(xF a partir da

distribuio do mximo 2),,...,max( 1 = nXXM nn , que :

. para ,)]([}]{[}),...,{max( 1 == xxFxXPxXXPnn

n (8-1)

O comportamento assinttico dessa distribuio perto do limite superior

direito do suporte de )(xF , denotado por Fx , e definido por up=xFxxF. Para todo Fxx < temos que:

34

.n para 0,)]([}{ = nn xFxMP (8-2)

E, se >

=

0 ,0 },exp{0 ,0

)(,2 xxx

xH (8-6)

Weibull:

>>

=

,0 ,10,0 })(exp{

)(,2 xxx

xH

(8-7)

O teorema de Fisher-Tippet implica que se )( nnn dxcF + no degenerada

quando n , para certas constantes 0>nc , nd , ento

n

cdx

HxFn

nn ,0)( (8-8)

35

Para alguma H .

Definio 8.1. (Domnio de atrao). Se (8-8) se verifica, dizemos que )(xF

pertence ao domnio de atrao do mximo da distribuio de valores extremos H ,

e denotamos por )(HMDAF .

possvel representar as trs distribuies de valores extremos em uma

nica classe de distribuies, conhecida como a distribuio de valores extremos

generalizada (GEV), dada por:

=+=

0 se }}exp{exp{0 se })1(exp{)(

1

y

yyH (8-9)

Onde 01 >+ y . A famlia de locao e escala correspondente ,,H obtida

substituindo-se y por /)( y , para e 0> . Se o ndice de cauda

zero (caso limite quando 0 ), )(yH corresponde distribuio Gumbel. Os

casos 0 correspondem respectivamente s distribuies Weibull ou a

Frchet, e temos que 1= .

Agora considere NXX ,...,1 variveis aleatrias i.i.d. com fd )( HMDAF ,

para algum , e um limiar alto u predefinido. Chamamos de limiar alto, algum

valor do suporte de X perto de Fx . Seja uN o nmero de excedentes do limiar u ,

isto , )(1 uX

N

iu iN

>== 1 , onde 1)( =>uX i1 se uX i > , e 0 caso contrrio. Os

excessos alm do limiar u denotados por uN

YY ,....,1 , so os valores 0> uX i .

A distribuio condicional do excesso uXY = , denotada por uF , tem

funo de sobrevivncia

0 ,)(1

)(1}/{)(

+=>>= y

uFyuFuXyYPyFu (8-10)

Podemos modelar os excessos como uma distribuio do tipo Pareto, a partir do

resultado que se segue:

36

)( HMDAF se e somente se existe uma funo (.)a positiva e mensurvel tal

que, para 01 >+ x , tem-se

=

+=+

0 se 0 se )1(

)())((lim

1

xxu e

xuF

uxauFF

(8-11)

Que pode ser reescrito por:

=

+=

>>

0 se 0 se )1(/

)(lim

1

xxu e

xuXxua

uXPF

(8-12)

Teorema 8.2. Seja ,..., 21 XX uma seqncia de variveis aleatrias i.i.d. com

Distribuio )(xF , e suponha que )( HMDAF , )(yH dada em (8-9). Ento,

para u suficientemente grande, a distribuio de uXY = condicional a uX > , aproximadamente,

=

+=

0 se 10 se )1(1)(

1

xe

xyP (8-13)

Onde 0y se 0 , e /10 y se 0 ), e tipo 3, Beta ( 0nc , nd . Assim, vemos que os excessos padronizados por uma

escala alm dos limiares altos possuem uma distribuio tipo Pareto com ndice de

cauda /1 , se e somente se )( HMDAF .

37

9. Modelos de Volatilidade

Suponha uma srie de retornos tX . Essa srie pode ser modelada como um

nvel t mais uma perturbao t . Podemos considerar que existe uma relao

aditiva entre os componentes, e que a perturbao o produto de dois processos

independentes. Dessa forma, temos:

tttX +=

ttt = [9-1]

Sob as suposies de que as perturbaes t e o nvel t so processos

independentes, os processos }{ t e }{ t so independentes e que }{ t um

processo rudo branco com mdia zero e varincia 1. No caso mais simples temos

ct = (constante). Porm, estaremos modelando o nvel t atravs de modelos

ARMA(p,q).

9.1. Modelo GARCH(p,q)

O modelo GARCH (Generalized Autoregressive Conditional

Heteroskedasticity) dado por:

ttt =

=

=

++=q

jjtj

p

itit

1

2

11

20

2 [9-2]

onde }{ t um processo rudo branco com mdia zero e varincia 1. Em geral,

supes-se que )1,0(~ Nt ou tt ~ (TStudent padronizada). So restries

que garantem que a varincia condicional seja positiva:

00 > , 0i para i = 1, ..., p, 0j para j = 1, ..., q, e =

38

)(1)(

11

0

==

+= q

jj

p

ii

tVar

[9-3]

Que finita quando 111

39

conjunta, a qual podemos caracterizar atravs de uma funo de acoplamento, e

que o ndice de dependncia nas caudas nos d uma informao geral que leva em

considerao a existncia de dependncia nos valores extremos do conjunto de

dados. Essa abordagem ser aplicada aos mercados brasileiro, argentino, russo e

mexicano, atravs do principal ndice das bolsas de valores de cada um desses

pases.

10.2. Mtodos de Anlise

A anlise se inicia com a estimao da cpula emprica de Deheuvels

(1979), aplicada sobre os valores dos log-retornos calculados para cada mercado, e

sua utilizao na obteno dos ndices de dependncia nas caudas inferior e

superior (veja Caillault & Gugan (2003)). Com essas estimativas podemos notar a

simetria dos dados ou a falta de dependncia em uma das caudas, o que nos ajuda

a escolher um conjunto de cpulas que possuam essas propriedades.

A seguir, para os diferentes acoplamentos escolhidos, estimamos os

parmetros de dependncia pelo mtodo de mxima verossimilhana. Sero

utilizados o critrio de informao de Akaike (AIC) e a proporo de vezes em que a

perda de um portflio constitudo pelos ndices dois a dois, excede o Valor em

Risco, para discriminar entre os diferentes acoplamentos e nos ajudar a escolher a

melhor cpula. Veremos que possvel, tambm, estimar a dependncia nas

caudas a partir da cpula escolhida. A distribuio marginal que ser utilizada em

toda a anlise a Distribuio de Pareto Generalizada.

10.3. O Conjunto de Dados

Por serem contagiadas com variaes do mercado internacional com mais

freqncia e intensidade, escolhemos trabalhar com as bolsas de valores dos

seguintes mercados latino-americanos:

- Brasil, atravs do ndice IBOVESPA (IBV), de 08/10/1996 a 14/03/2005;

- Argentina, atravs do ndice MERVAL (MRV), de 27/04/1993 a 14/03/2005;

- Mxico, pelo ndice IPC (IPC), de 08/10/1996 a 14/03/2005;

- Rssia, utilizando o ndice RTSI, de 01/09/1995 a 14/03/2005;

40

10.4. Dependncia nas Caudas

Para os seis pares possveis com os quatro ndices acima, calcularemos,

empiricamente, o ndice de dependncia nas caudas, da seguinte forma: Obtemos

valores da dependncia na cauda superior (inferior), U ( L ), para cada valor ,

discretizado pelo tamanho da amostra, possvel, utilizando

,1),(21

UnC =

(

,),(

LC

= ). Ao se aproximar de = 1 ( += 0 ), certa instabilidade numrica

surge. Selecionamos, ento, visualmente, um ponto logo antes dessa instabilidade. Ao fazer isso, adicionamos certa incerteza, j que inclumos a

subjetividade do observador na obteno do valor que ser utilizado. Mostraremos o

mtodo para o par IBOVESPA MERVAL, sendo que, para os outros pares, as

dependncias so calculadas de forma anloga.

alpha

U.B

VPM

RV

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Dependncia na Cauda Superior IBOVESPA x Merval

alpha[1500:n]

U.B

VPM

RV[

1500

:n]

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Dependncia na Cauda Superior IBOVESPA x Merval

Grfico 10.1 Grfico da dependncia na cauda superior estimada de forma emprica para o par IBOVESPA MERVAL. O segundo grfico mostra uma ampliao na regio prxima

1. O intervalo de confiana de 80% foi obtido atravs do mtodo Bootstrap.

Observe que, no grfico 10.1, a partir de 95.0= , a instabilidade numrica torna-se bem mais evidente. O ponto escolhido para obter a dependncia na cauda

superior para esse par foi 9552.0= , onde obtivemos 2333,0=U [0,1777 ;

0,3].Em seguida obtivemos, da mesma forma, a dependncia na cauda inferior:

41

alpha

L.B

VP

MR

V

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Dependncia na Cauda Inferior IBOVESPA x Merval

alpha[0:500]

L.B

VP

MR

V[0

:500

]

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.2

0.4

0.6

Dependncia na Cauda Inferior IBOVESPA x Merval

Grfico 10.2 Grfico da dependncia na cauda inferior estimada de forma emprica para o par IBOVESPA MERVAL. O segundo grfico mostra uma ampliao na regio prxima

0. O intervalo de confiana de 80% foi obtido atravs do mtodo Bootstrap.

Pelo grfico 10.2, notamos que a instabilidade numrica alcana at,

aproximadamente, 05,0= . Escolhemos, para a dependncia na cauda inferior o

ponto 0472,0= , em que obtivemos 3473,0=L [0,2947 ; 0,4105].

A partir desses nmeros, podemos concluir que, para o par IBOVESPA MERVAL,

existe certa co-movimentao, e que ela mais evidente em perodos de maiores

perdas. Analogamente obtivemos os valores para os outros cinco pares possveis:

Par Cauda Inferior Cauda Superior IPC - IBOVESPA

IBOVESPA - MERVAL IBOVESPA - RTSI

IPC - MERVAL IPC - RTSI

RTSI - MERVAL

0.3363 [0.2727 , 0.3909] 0.2325 [0.1937 , 0.2945] 0.3473 [0.2947 , 0.4105] 0.2333 [0.1777 , 0.3000] 0.1650 [0.1262 , 0.2233] 0.1171 [0.0810 , 0.1531] 0.3000 [0.2666 , 0.3777] 0.2325 [0.1937 , 0.2945] 0.2200 [0.1800 , 0.2800] 0.1397 [0.1103 , 0.1911] 0.2368 [0.2000 , 0.2736] 0.1130 [0.0869 , 0.1565]

Tabela 10.1: ndices de Dependncia nas Caudas para todos os pares possveis de ndices, com seus respectivos intervalos de confiana (80%).

Vemos que os valores estimados da dependncia na cauda inferior so

menores que os valores da cauda superior, o que indica uma maior co-

movimentao, para todos os pares, em situaes de grande perda. A partir desses

valores, devemos, ento, escolher algumas cpulas para estimao pelo mtodo de

mxima verossimilhana cannica. Para a escolha das cpulas, podemos notar,

principalmente, a simetria em relao dependncia nas caudas.

Podemos considerar o par IPC IBOVESPA assimtrico. Porm o intervalo

de confiana para a dependncia de suas caudas se intercepta, o que pode

acarretar simetria com, certa probabilidade. Podemos escolher uma cpula

42

arquimediana, como as arquimedianas bivariadas e a cpula de dependncia. Ou

uma cpula simtrica como a t-student. O mesmo ocorre com todos, menos com o

par RTSI MERVAL.

Na tabela 10.2, para todos os pares de ndices, so mostrados os valores

estimados da dependncia nas caudas para algumas cpulas estimadas por MVC,

onde percebemos que:

1. As estimativas das dependncias nas caudas da cpula t-Student, para

todos os pares, est aqum do observado empiricamente.

2. A cpula BB3 apresenta dependncia terica unitria, na cauda superior.

3. A dependncia nas caudas da cpula BB7 foi a que mais se aproximou dos

valores estimados empiricamente.

4. Em geral, as estimativas das dependncias nas caudas atravs das cpulas

paramtricas estavam muito diferentes das dependncias estimadas

empiricamente.

Par Cpula Cauda Inferior Cauda Superior

IPC - IBOVESPA BB1 0.2576 0.1875 BB3 1.0000 0.2414 T-Student 0.1969 0.1969

IBOVESPA - MERVAL

BB1 0.2816 0.2065 BB3 1.0000 0.2514 BB7 0.3319 0.2502 T-Student 0.2114 0.2114

IBOVESPA - RTSI BB3 1.0000 0.1555 T-Student 0.0441 0.0441

IPC MERVAL

BB1 0.2458 0.1620 BB3 1.0000 0.2317 BB7 0.2868 0.1990 T-Student 0.1441 0.1441

IPC RTSI BB3 1.0000 0.1630 T-Student 0.0853 0.0853

RTSI - MERVAL BB3 1.0000 0.1473 T-Student 0.0392 0.0392 Tabela 10.2: Dependncia nas caudas para algumas cpulas.

10.5. Discriminao entre Cpulas

Nesta seo verificaremos a qualidade do ajuste das cpulas relacionadas

aos seis pares de mercados que esto sendo estudados. Foram calculados o AIC, e

43

a proporo em que as perdas ultrapassaram o Valor em Risco para os nveis

95.0= e 99.0= . Caso a funo de acoplamento e as distribuies marginais

sejam adequadas, esta proporo deve ser prxima de 1 . As cpulas apresentadas abaixo foram as que obtiveram os melhores ajustes com relao

mxima verossimilhana (foram calculadas as cpulas Normal, Frank,

Kimeldorf.sampson, Gumbel, Galambos, Husler.reiss, BB1 a 7 (Joe, 1997) , Tawn,

Normal.mix, Joe e T-Student). A tabela 10.3 mostra as estatsticas que usaremos

para discriminar entre as cpulas.

Note que, em termos do AIC, o acoplamento T-Student o melhor para

todos os pares, seguido pelo acoplamento BB3. Com relao proporo que

ultrapassa o VaR, temos que, em geral, o acoplamento T-Student tambm o que

mais se aproxima. Veja tambm que, para os pares IBOVESPA-MERVAL e IPC-

MERVAL, todas as cpulas escolhidas subestimam o VaR (fora BB7, cujos VaR no

puderam ser estimados devido falta de convergncia durante o ajuste da cpula).

Par Cpula p/ VaR 0.05 p/ VaR 0.01 AIC IPC

IBOVESPA

BB1BB3

T-Student

0.041158 (1) 0.039414 (3) 0.039762 (2)

0.009068 (1) 0.006975 (3) 0.008022 (2)

-360.87 (3) -502.11 (2) -685.58 (1)

IBOVESPA MERVAL

BB1BB3BB7

T-Student

0.056218 (2) 0.056716 (3) 0.008457 (*) 0.054726 (1)

0.012935 (2) 0.012935 (3) 0.009452 (*) 0.011940 (1)

-285.16 (3) -389.79 (2) -284.36 (*) -517.52 (1)

IBOVESPA RTSI

BB3T-Student

0.032868 (2) 0.044574 (1)

0.007654 (2) 0.010355 (1)

-120.34 (2) -221.61 (1)

IPC MERVAL

BB1BB3BB7

T-Student

0.072942 (3) 0.072942 (2) 0.016264 (*) 0.071956 (1)

0.018728 (3) 0.017249 (2) 0.018235 (*) 0.016264 (1)

-231.48 (3) -327.90 (2) -231.90 (*) -419.67 (1)

IPC RTSI

BB3T-Student

0.048315 (2) 0.050531 (1)

0.010638 (2) 0.010638 (1)

-138.26 (2) -275.48 (1)

RTSI MERVAL

BB3T-Student

0.039694 (2) 0.043765 (1)

0.010178 (1) 0.008651 (2)

-93.620 (2) -179.51 (1)

Tabela 10.3: Discriminao entre as cpulas. Entre parnteses est a ordem de escolha das cpulas. (*) indica que houve um erro durante a estimao do valor.

10.6. Concluses

1. Por existirem infinitas cpulas que podem ser desenvolvidas, a seleo se torna

pouco conclusiva, fazendo-se necessrios novos estudos sobre a escolha das

cpulas que iremos comparar em nosso estudo.

44

2. Numa anlise inicial podemos utilizar as estimaes, acima calculadas, das

dependncias nas caudas, para tentar entender a co-movimentao entre os

mercados estudados.

3. Se encontrarmos uma cpula que caracterize, da melhor forma possvel, a co-

movimentao entre o par de mercados (atravs do ndice de dependncia nas

caudas), podemos incluir essa informao no clculo do risco de um portflio

composto por esses ativos, atravs do uso da cpula no clculo do VaR.

11. Aplicao 2

11.1. Introduo

Como sabido, a situao poltica de um pas influi na sua economia de

maneira bem significativa. Isso pde ser notado em diversas situaes que

ocorreram no pas em um perodo recente (eleies, renovao de ministrio,

principalmente da Fazenda, CPIs e escndalos envolvendo grandes personalidades

do governo, entre outras). Cada uma dessas notcias interferiu na negociao de

ativos financeiros em bolsa de valores, causando, muitas vezes, aumento e, em

outras, diminuio da volatilidade de um determinado ativo.

Outros perodos ainda mais significativos, como as eleio presidencial, em 2002,

pode ter sido a causa at de uma mudana na tendncia de crescimento ou queda

dos preos de ativos negociados em bolsa de valores.

O objetivo desta aplicao ser estudar a dependncia (estocstica) entre diversos

ativos negociados na Bolsa de Valores de So Paulo, nos perodos de grandes

variaes de alta e baixa, utilizando o conceito de funes de acoplamento e

dependncia nas caudas, quando so utilizados filtros para a mdia e para a

heteroscedasticidade do tipo ARMA-GARCH. Estaremos estudando, principalmente,

a influncia da eleio presidencial de 2002 nas dependncias entre os ativos,

buscando uma funo de acoplamento que melhor caracterize a dependncia entre

os pares de ativos das sries filtradas. Essa abordagem ser aplicada a ativos de

trs setores, negociados na Bolsa de Valores de So Paulo, e com participao no

ndice IBOVESPA: Telecomunicaes, Minerao e Bancrio. No captulo 2,

apresentaremos o conjunto de dados. Em 3, a metodologia. No captulo 4, os

resultados. E, em 5, as concluses.

45

11.2. O Conjunto de Dados

Estaremos estudando, alm do ndice IBOVESPA (IBV), os seguintes ativos

financeiros, no perodo de 03/10/2000 a 10/10/2005, totalizando 1429 observaes:

Telecomunicaes:

-TeleMar ON (TEL), 9.081% de participao no IBOVESPA;

-Embratel ON (EMB), 2.443% de participao no IBOVESPA;

Minerao:

-Petrobrs ON (PET), 7.926% de participao no IBOVESPA;

-Vale do Rio Doce ON (VAL), 6.966% de participao no IBOVESPA;

Bancrio

-Bradesco, ON (BRA), 3.264% de participao no IBOVESPA;

-Ita AS ON (ITA), 2.506% de participao no IBOVESPA;

Esses ativos somam, no total, um peso de 31,18% do ndice IBOVESPA.

A fim de se obter as diferenas (possivelmente) decorrentes do perodo de

instabilidade, dividiremos o conjunto de dados em dois perodos: Antes do anncio

dos resultados do segundo turno das Eleies para presidente em 2002 (Perodo A),

e depois de anunciados esses resultados (Perodo B). Analisaremos os dados no

perodo completo (todas as 1429 observaes), e tambm nos perodos A e B (com

701 e 728 observaes, respectivamente), referentes aos dados de 03/10/2000 a

04/11/2002 e de 05/11/2002 a 10/10/2005.

Os pares cujas dependncias sero estudadas nesses perodos, so:

Dependncia entre ndice:

-IBV x TEL, EMB, PET, VAL, BRA, IT

Dependncias entre empresas de setores diferentes:

-TEL x PET, TEL x BRA e PET x BRA;

Dependncias entre empresas no mesmo setor:

-TEL x EMB, PET x VAL e BRA x ITA;

46

11.3. Mtodos de Anlise

A anlise se inicia com a obteno dos log-retornos dos ativos que sero estudados.

Nesses log-retornos so aplicados os filtros ARMA-GARCH e obtidos os resduos,

que sero utilizados, par a par, na estimao da cpula emprica de Deheuvels

(1979), e na obteno dos ndices de dependncia nas caudas inferior e superior

(veja Caillault & Gugan (2003)). Com essas estimativas podemos notar a simetria

dos dados ou a falta de dependncia em uma das caudas, o que nos ajuda a

escolher um conjunto de cpulas que possuam essas propriedades. Faremos esses

procedimentos para o perodo completo, e tambm para os outros dois perodos.

A seguir, para os diferentes acoplamentos escolhidos, estimamos os parmetros de

dependncia pelo mtodo de mxima verossimilhana. Ser utilizado o critrio de

informao de Akaike (AIC), para discriminar entre os diferentes acoplamentos e

nos ajudar a escolher a melhor cpula. Veremos que possvel, tambm, estimar a

dependncia nas caudas a partir da cpula escolhida.

Iremos, ento, comparar os valores das dependncias estimados para o perodo

completo e para o perodo dividido em duas partes, assim como os parmetros dos

modelos ARMA-GARCH, verificando as diferenas entre os modelos e entre as

dependncias, que podem ter sido causadas por influncia da instabilidade poltica.

11.3.1. Estimao dos Modelos ARMA-GARCH

Para todos os ativos apresentados anteriormente, utilizamos filtros do tipo

ARMA-GARCH, de mdia e de heteroscedasticidade, da seguinte forma: Sob um

ndice calculado o seu log-retorno. Atravs do grfico de autocorrelaes,

verificamos se existe a necessidade de adicionar parmetros ARMA ao modelo. Se

for necessrio, filtramos os log-retornos com o modelo ARMA, obtendo resduos.

Ento, para esses resduos ao quadrado, verificamos o grfico de autocorrelaes,

que nos dir sobre a necessidade de adicionar parmetros GARCH ao modelo.

Como ilustrao, apresentaremos a seleo do modelo ARMA-GARCH para

os log-retornos das da TELEMAR ON, no perodo completo. As estimativas das

funes de Autocorrelao e Autocorrelao Parcial so apresentadas no Grfico

11.1.

47

Lag

ACF

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Series : RET.TEL

Lag

Parti

al A

CF

0 5 10 15 20 25 30

-0.0

50.

00.

05

Series : RET.TEL

Grfico 11.1: Autocorrelao e Autocorrelao Parcial para os log-retornos dos preos da Telemar ON.

Ajustamos, ento um modelo mais geral, e verificamos quais parmetros so

significativos. Neste caso, optamos por um modelo AR(1), cujo diagnstico (como

veremos abaixo), se mostra favorvel esse modelo. Obtendo os resduos desse

modelo, e elevando os resduos ao quadrado, calculamos a funo de

Autocorrelao, que mostrada no grfico 11.2:

0 5 10 15 20 25 30

Lag

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ACF

Series: Residuals RET.TEL ^2

Grfico 11.2: Autocorrelao para os resduos do modelo ARMA(1,0) ao quadrado, para

Telemar ON.

Note que a persistncia do modelo bem evidente, indicando que podemos

utilizar um modelo GARCH para modelar a volatilidade. Selecionado o modelo

ARMA(1,0)-GARCH(1,1), calculamos os Q-Q plots para os resduos finais, a fim de

48

verificar se a distribuio utilizada, normal, condiz com o observado. Se no for

condizente, podemos utilizar a distribuio t-student, de caudas mais pesadas:

-2

0

2

4

-2 0 2

QQ-Plot

1

8

455

Quantiles of gaussian distribution

Stan

dard

ized

Res

idua

ls

QQ-Plot of Standardized Residuals

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

QQ-Plot

1

1428

1429

Quantiles of t distribution

Stan

dard

ized

Res

idua

ls

QQ-Plot of Standardized Residuals

Grfico 11.3: Q-Q Plot dos resduos do modelo ARMA-GARCH utilizando Distribuies Normal e T-Student.

Note, pelo grfico 11.3, que os resduos possuem caudas mais pesadas que

a normal, e um pouco mais pesadas que a t. Optaremos, aqui pela distribuio t-

student. Finalmente, obtemos, ento, os seguintes resultados para o modelo de

TELEMAR ON:

Tabela 11.1: Estimativas dos parmetros e diagnsticos para o modelo ARMA-

GARCH de Telemar ON:

Tabela 11.1: Estimativas dos parmetros e diagnsticos para o modelo ARMA-GARCH de Telemar ON:

Telemar ON: ARMA(1,0) GARCH (1,1) T-Student Valor Erro Padr. t-valor Pr(>|t|) C 2.761e-004 5.931e-004 0.4655 3.208e-001 AR(1) 7.086e-002 2.745e-002 2.5809 4.976e-003 A 9.293e-006 4.275e-006 2.1740 1.493e-002 ARCH(1) 6.823e-002 1.352e-002 5.0474 2.528e-007 GARCH(1) 9.171e-001 1.584e-002 57.891 0.000e+000

Persistncia Calculada: 0,98533 t-student com 21.93222 g.l. e erro padro 10.37621

Teste de Normalidade: Jarque-Bera: 6.779, p-valor=0.03373 Teste de Ljung-Box para resduos: 10.21, p-valor=0.5972 g.l: 12

Teste de Ljung-Box para resduos ao quadrado: 12.28,p-valor=0.438 g.l: 12 : O teste de Jarque-Bera calcula a Curtose e a Assimetria para verificar a normalidade. Hiptese nula: Normalidade. : O teste de Ljung-Box verifica se o resduo, aps aplicado o modelo, um rudo branco. Hiptese nula: Rudo Branco.

49

11.4. Resultados Analogamente ao apresentado na seo 11.3.1, calculamos os modelos

ARMA-GARCH para todos os ativos sendo estudados, nos perodos completo, A e

B. Os resultados das estimativas dos parmetros so apresentados nas tabelas

11.5 a 11.11 (ver apndice B).

Nessas tabelas, podemos notar as diferenas nos formulaes e nos

parmetros dos modelos ARMA-GARCH para os perodos completo, A e B.

Podemos observar que, em geral, os modelos para o perodo B possui persistncias

ligeiramente maiores do que o perodo A, e que os parmetros, mesmo quando os

modelos possuem a mesma formulao nos perodos A e B, so diferentes,

indicando que os perodos A e B possuem diferenas notveis. Vemos tambm que,

em geral, o perodo completo possui uma formulao muitas vezes diferente da

formulao para os perodos A e B.

Outra caracterstica interessante que, muitas vezes, pode ser utilizada uma

distribuio normal para as inovaes, a maioria delas no perodo B, indicando

caudas menos pesadas nesse perodo (volatilidade mais baixa).

A seguir, a partir dos resduos dos modelos estimados acima, obtemos, para

os pares propostos, as dependncias nas caudas de forma emprica. A tabela 11.2

mostra essas dependncias, nos perodos completo, A e B. Nessa tabela, notamos

que, em geral, as dependncias na cauda inferior, referentes s perdas, so

maiores do que as dependncias na cauda superior (ganhos), indicando maior

concordncia entre as perdas das empresas, do que entre os ganhos.

Analisando, de uma forma geral, as dependncias nos perodos A e B,

podemos observar que, para a maioria dos pares, foram maiores no perodo A do

que no perodo B. Essa mudana na dependncia, entre um perodo e o outro, pode

ter relao com a mudana poltica que ocorreu no incio do ano de 2003, quando

assumiram os novos presidente e ministrios.

Veja tambm que a dependncia na cauda superior entre uma empresa de

telecomunicaes (no caso a Telemar) e uma empresa de minerao (Petrobrs),

no perodo B foi estimada como zero, indicando que essas empresas tiveram pouca

concordncia nos ganhos, nesse perodo. Podemos observar tambm um aumento

da dependncia na cauda inferior do perodo A para o perodo B.

50

Tabela 11.2: Dependncias nas Caudas Empricas para todos os pares de ativos sendo estudados, no perodo completo e nos perodos A e B.

Perodo Completo Dependncia nas Caudas Superior IC (80%) Inferior IC (80%) IBVxBRA 0,3199 [0,2560 ; 0,3880] 0,5033 [0,4415 ; 0,5705] IBVxEMB 0,2236 [0,1561 ; 0,3143] 0,4396 [0,3694 ; 0,5106] IBVxITA 0,3027 [0,2449 ; 0,3851] 0,4618 [0,3849 ; 0,5499] IBVxPET 0,3407 [0,2562 ; 0,4438] 0,4541 [0,4038 ; 0,5217] IBVxTEL 0,3307 [0,2549 ; 0,4348] 0,5102 [0,2959 ; 0,6928] IBVxVAL 0,2194 [0,1342 ; 0,3057] 0,3033 [0,3476 ; 0,3617] TELxPET 0,2054 [0,1447 ; 0,2756] 0,2854 [0,1359 ; 0,3652] TELxBRA 0,2535 [0,2004 ; 0,3231] 0,3672 [0,3027 ; 0,4294] PETxBRA 0,1221 [0,0646 ; 0,2074] 0,2660 [0,1979 ; 0,3390] TELxEMB 0,1908 [0,1332 ; 0,2603] 0,3583 [0,2757 ; 0,4400] PETxVAL 0,1975 [0,1498 ; 0,2498] 0,2097 [0,1359 ; 0,2960] BRAxITA 0,2318 [0,1665 ; 0,3094] 0,4576 [0,3836 ; 0,5250] Perodo A Dependncia nas Caudas Superior IC (80%) Inferior IC (80%) IBVxBRA 0,3150 [0,2260 ; 0,4106] 0,4299 [0,2810 ; 0,5832] IBVxEMB 0,3417 [0,2477 ; 0,4852] 0,3739 [0,2864 ; 0,4898] IBVxITA 0,3586 [0,2726 ; 0,4704] 0,5020 [0,4090 ; 0,6136] IBVxPET 0,4390 [0,2985 ; 0,5446] 0,4188 [0,3359 ; 0,4864] IBVxTEL 0,4326 [0,3157 ; 0,5819] 0,6535 [0,5832 ; 0,7298] IBVxVAL 0,2260 [0,1658 ; 0,3379] 0,3382 [0,2575 ; 0,4207] TELxPET 0,2698 [0,1898 ; 0,3671] 0,2834 [0,2195 ; 0,3816] TELxBRA 0,2691 [0,2075 ; 0,3641] 0,3926 [0,3286 ; 0,4835] PETxBRA 0,1416 [0,0905 ; 0,2235] 0,2997 [0,2178 ; 0,3848] TELxEMB 0,3333 [0,2257 ; 0,4129] 0,3748 [0,2928 ; 0,4692] PETxVAL 0,1840 [0,1359 ; 0,2600] 0,2929 [0,2373 ; 0,3513] BRAxITA 0,2337 [0,1687 ; 0,3333] 0,5329 [0,4450 ; 0,6054] Perodo B Dependncia nas Caudas Superior IC (80%) Inferior IC (80%) IBVxBRA 0,3752 [0,3032 ; 0,4559] 0,4424 [0,3633 ; 0,5133] IBVxEMB 0,1224 [0,0583 ; 0,2524] 0,5195 [0,4528 ; 0,6010] IBVxITA 0,2207 [0,1188 ; 0,3812] 0,3457 [0,2621 ; 0,4844] IBVxPET 0,3961 [0,3147 ; 0,4835] 0,5245 [0,4404 ; 0,6135] IBVxTEL 0,2727 [0,1777 ; 0,4188] 0,2312 [0,5557 ; 0,7086] IBVxVAL 0,2119 [0,1477 ; 0,2774] 0,2683 [0,2188 ; 0,3372] TELxPET 0,0000 [0,0000 ; 0,3710] 0,3681 [0,2919 ; 0,4449] TELxBRA 0,1710 [0,0859 ; 0,2781] 0,3854 [0,3041 ; 0,4579] PETxBRA 0,2901 [0,2204 ; 0,3542] 0,3028 [0,2240 ; 0,3659] TELxEMB 0,2425 [0,1816 ; 0,3194] 0,4606 [0,3884 ; 0,5470] PETxVAL 0,2210 [0,1492 ; 0,2991] 0,2196 [0,1505 ; 0,2873] BRAxITA 0,3370 [0,2738 ; 0,4356] 0,3895 [0,3242 ; 0,4842]

No caso das empresas Telemar (Telecomunicaes) e Bradesco (Bancrio),

notamos um decrescimento nas dependncias do perodo A para o perodo B,

indicando uma diminuio na concordncia dos ganhos e perdas desses ativos.

51

J para Petrobrs x Bradesco, observamos um aumento na concordncia

para os ganhos e as perdas. Para os ativos dentro do mesmo setor, vemos que,

para o setor de telecomunicaes ocorreu um aumento na concordncia entre as

perdas e diminuio da concordncia entre os ganhos, do perodo A para o B. No

setor bancrio e de minerao vemos um aumento na concordncia entre os

ganhos e diminuio da concordncia entre as perdas.

No grfico a seguir vemos as dependncias na cauda inferior nos perodos

completo, A e B, de todas as empresas contra o ndice IBOVESPA, sendo que

aparecem no grfico primeiro as empresas de maior participao na construo do

ndice IBOVESPA.

Dat

a

C7EMBITABRAVALPETTEL

321321321321321321

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

Dependncias na Cauda Inferior nos Perodos Completo, A e B (1, 2 e 3)

Grfico 11.4: Dependncias na Cauda Inferior nos Perodos Completo, A e B, para os ativos

que compem, no total, 31,18% do ndice IBOVESPA, sendo Telemar (TEL) 9,08%, Petrobrs (PET) 7,92%, Vale do Rio Doce (VAL) 6,96%, Bradesco (BRA) 3,26%, Ita S/A

(ITA) 2,5% e Embratel (EMB) 2,44%.

Vemos, pelo grfico 11.4, que as empresas de maior peso no ndice

IBOVESPA so tambm as de maior concordncia com esse ndice, quando

ocorrem grandes perdas.

A seguir, obtivemos as dependncias nas caudas de forma paramtrica,

atravs do Mtodo de Mxima Verossimilhana Cannica, para as cpulas

arquimedianas BB1 e BB7 (biparamtricas) e da cpula T-Student (Elptica). Os

resultados so apresentados nas tabelas 11.3 e 11.4. Os AIC (Critrio de

52

Informao de Akaike), para cada par/perodo mostrado nas tabelas 11.12, 11.13

e 11.14, no apndice B.

Tabela 11.3: Dependncia nas Caudas no paramtrica, e estimadas atravs do Mtodo de Mxima Verossimilhana Cannica, atravs das Cpulas BB1, BB7 e T-Student, para os

pares relacionados com o ndice IBOVESPA. Os valores em negrito so referentes s

melhores opes de cpulas em termos do AIC , para cada perodo.

Dependncia nas Caudas Paramtrica Perodo Completo Perodo A Perodo B Superior Inferior Superior Inferior Superior Inferior IBVxBRA BB1 0,3528 0,4570 0,3200 0,5078 0,3463 0,4068 BB7 0,4054 0,5183 0,3593 0,5548 0,3822 0,4788 T-Student 0,1465 0,1465 0,0845 0,0845 0,0647 0,0647 N. Param. 0,3199 0,5033 0,3150 0,4299 0,3752 0,4424 IBVxEMB BB1 0,4053 0,4457 0,4414 0,3872 0,3000 0,5305 BB7 0,4400 0,5261 0,4782 0,4923 0,3085 0,5750 T-Student 0,2836 0,2836 0,3309 0,3309 0,1746 0,1746 N. Param. 0,2236 0,4396 0,3417 0,3739 0,1224 0,5195 IBVxITA BB1 0,3405 0,4495 0,3372 0,4965 0,3086 0,3871 BB7 0,3842 0,5117 0,3661 0,5516 0,3392 0,4533 T-Student 0,0544 0,0544 0,0646 0,0646 0,0397 0,0397 N. Param. 0,3027 0,4618 0,3586 0,5020 0,2207 0,3457 IBVxPET BB1 0,3327 0,4543 0,2767 0,4350 0,3725 0,5006 BB7 0,3811 0,5136 0,3204 0,4853 0,4190 0,5601 T-Student 0,2218 0,2218 0,1812 0,1812 0,0722 0,0722 N. Param. 0,3407 0,4541 0,4390 0,4188 0,3961 0,5245 IBVxTEL BB1 0,6030 0,6442 0,5941 0,6589 0,5372 0,6653 BB7 0,6500 0,7131 0,6294 0,7205 0,5767 0,7154 T-Student 0,4251 0,4251 0,4867 0,4867 0,2122 0,2122 N. Param. 0,3307 0,5102 0,4326 0,6535 0,2727 0,2312 IBVxVAL BB1 0,2109 0,1822 0,1985 0,1577 0,1748 0,2714 BB7 0,2358 0,2486 0,2209 0,2227 0,1824 0,3204 T-Student 0,0680 0,0680 0,0432 0,0432 0,0620 0,0620 N. Param. 0,2194 0,3033 0,2260 0,3382 0,2119 0,2683

A partir da tabela 11.3 podemos observar que a cpula T-Student possui

dependncias nas caudas simtrica, e de valor menor do que o observado nas

outras duas funes de acoplamento. Vemos, tambm, que muitas das

dependncias so prximas s estimadas empiricamente, e que, na maioria das

vezes, houve um aumento no valor das dependncias do perodo A para o B. Para o

par IBV x TEL, cujas dependncias paramtricas, segundo o critrio AIC, foram

calculadas utilizando a cpula T-Student, podemos observar que so bem prximas

aos valores estimados empiricamente, e que, assim como ocorre na dependncia

no paramtrica, existe uma diminuio nas dependncias do perodo A para o B.

53

J para os pares IBV x ITA e IBV x VAL, as dependncias foram estimadas bem

abaixo dos valores empricos, indicando que, provavelmente, a cpula selecionada

no a mais adequada para estudar os referidos pares. Podemos notar, tambm,

que, para os pares/perodos em que selecionamos a cpula BB1, as dependncias

so bem prximas s estimadas empiricamente. O critrio AIC no selecionou, para

nenhum par/perodo, a cpula BB7, porm a diferena entre os AIC das cpulas

BB1 e BB7, para a maioria dos pares, so pequenas.

Tabela 11.4: Dependncia nas Caudas no paramtrica, e estimadas atravs do Mtodo de Mxima Verossimilhana Cannica, atravs das Cpulas BB1, BB7 e T-Student, para os

pares relativos aos setores. Os valores em negrito so referentes s melhores opes de

cpulas em termos do AIC , para cada perodo.

Dependncia nas Caudas Paramtrica Perodo Completo Perodo A Perodo B Superior Inferior Superior Inferior Superior Inferior TELxPET BB1 0,2385 0,2973 0,1877 0,3131 0,2629 0,3048 BB7 0,2704 0,3580 0,2135 0,3581 0,2856 0,3730 T-Student 0,1489 0,1489 0,1400 0,1400 0,0228 0,0228 N. Param 0,2054 0,2854 0,2698 0,2834 0,0000 0,3681 TELxBRA BB1 0,2751 0,3297 0,2800 0,3597 0,2384 0,2958 BB7 0,3234 0,3930 0,3201 0,4201 0,2761 0,3560 T-Student 0,1714 0,1714 0,1669 0,1669 0,0720 0,0720 N. Param 0,2535 0,3672 0,2691 0,3926 0,1710 0,3854 PETxBRA BB1 0,1544 0,2081 0,1209 0,2275 0,1585 0,2037 BB7 0,1759 0,2526 0,1339 0,2620 0,1699 0,2523 T-Student 0,0579 0,0579 0,0416 0,0416 0,0083 0,0083 N. Param 0,1221 0,2660 0,1416 0,2997 0,2901 0,3028 TELxEMB BB1 0,3187 0,3699 0,3554 0,3265 0,2199 0,4380 BB7 0,3363 0,4481 0,3743 0,4251 0,2047 0,4841 T-Student 0,2172 0,2172 0,2498 0,2498 0,1138 0,1138 N. Param 0,1908 0,3583 0,3333 0,3748 0,2425 0,4606 PETxVAL BB1 0,1271 0,1643 0,0836 0,1705 0,1423 0,1991 BB7 0,1365 0,2055 0,0846 0,1985 0,1495 0,2449 T-Student 0,0222 0,0222 0,0217 0,0217 0,0069 0,0069 N. Param 0,1975 0,2097 0,1840 0,2929 0,2210 0,2196 BRAxITA BB1 0,3527 0,4037 0,2799 0,4565 0,4001 0,3287 BB7 0,4065 0,4734 0,3306 0,5008 0,4327 0,4345 T-Student 0,2389 0,2389 0,1838 0,1838 0,1871 0,1871 N. Param 0,2318 0,4576 0,2337 0,5329 0,3370 0,3895

Com exceo do par TEL x EMB, no houve consenso na seleo de cpulas pelo

critrio AIC para os pares, principalmente entre os perodos A e B. Embora essa

falta de consenso dificulte a anlise das dependncias, podemos observar que, no

54

par PET x VAL, as dependncias paramtricas so estimadas com um valor

pequeno, diferente das dependncias empricas, em todos os perodos. No par TEL

x PET, vemos que, no perodo completo, a dependncia maior do que no perodo

B, estimadas com a mesma funo de acoplamento. Nesse par, a dependncia na

cauda superior, no perodo B estimada como zero pela funo emprica, e um

valor baixo, pela T-Student.

No par TEL x EMB, cujas dependncias foram estimadas pela cpula T-Student,

vemos que a dependncia paramtrica estimada com um valor menor do que a

emprica, porm essa diferena no to grande. Nesse par, observamos, tambm,

um decaimento na dependncia do perodo A para o perodo B.

11.5. Concluses

1. As funes de acoplamento se mostraram inadequadas, para a maioria dos pares/perodos, estimao das dependncias nas caudas, sendo necessrios

outros estudos, e a comparao de outras cpulas, para que se possa encontrar

uma funo que se adeque melhor aos dados.

2. Numa anlise inicial podemos utilizar as estimaes, acima calculadas, das dependncias nas caudas, para tentar entender como empresas, setores e ndice

concordam entre si. Observamos que, em geral, a dependncia (em especial, na

cauda superior) entre os ativos diminui do perodo A (antes do anncio dos

resultados das eleies de 2002) para o perodo B (depois de anunciado o

vencedor).

3. A filtragem atravs do modelo ARMA-GARCH bastante til, principalmente para eliminar informaes esprias que poderiam influenciar no clculo das

dependncias (na estimao das dependncias nas caudas emprica, o grfico das

dependncias se mostra mais estvel, quando os dados so filtrados). Pode ser

observado que existiram diferenas, muitas vezes significativas entre as estimativas

dos modelos nos perodos A e B, reforando a hiptese de diferena entre esses

perodos.

55

12. Agradecimentos

Agradeo ao caro professor orientador Dr. Luiz Koodi Hotta, por sua

pacincia e seu apoio; a FAPESP, pelo suporte financeiro, sendo que, sem esse,

este projeto seria invivel; e a todos os outros professores do departamento.

13. Referncias Bibliogrficas

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56

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57

Apndice A

Programas Geradores para a Cpula de Cook-Johnson (Software R)

Caso 1:

teta=1 #ou 5 p

58

W[p]

59

Apndice B Tabelas Tabela 11.5: Modelos ARMA-GARCH para o ndice IBOVESPA

ndice IBOVESPA Perodo Completo Perodo A Perodo B AR(1) GARCH(1,1) t: 26.3795 g.l.

GARCH(1,1) t: 21.9590 g.l.

GARCH(1,1) t: 28.8515 g.l.

Valor p-valor C 0,0008 0.0377

AR(1) 0.0383 0.0881 A 0.0000 0.0329

ARCH(1) 0.0412 0.0000 GARCH(1) 0.9399 0.0000

Persistncia: 0.9811

Valor p-valor C -0.0008 0.1413 A 0.0000 0.0728

ARCH(1) 0.0542 0.0106 GARCH(1) 0.8814 0.0000

Persistncia: 0.9356

Valor p-valorC 0.0018 0.0019A 0.0000 0.1543

ARCH(1) 0.0271 0.0274GARCH(1) 0.9560

0.0000Persistncia:0.9831

Tabela 11.6: Modelos ARMA-GARCH para o ndice Telemar ON

Telemar ON Perodo Completo Perodo A Perodo B AR(1) GARCH(1,1) t: 21.9322 g.l.

AR(1) - GARCH(1,1) t: 18.6397 g.l.

GARCH(1,1) normal

Valor p-valor C 0.0002 0.3208

AR(1) 0.0708 0.0049 A 0.0000 0.0149

ARCH(1) 0.0680 0.0000 GARCH(1) 0.9171 0.0000 Persistncia: 0.9851

Valor p-valor C -0.0008 0.2154

AR(1) 0.0906 0.0114 A 0.0000 0.0462

ARCH(1) 0.0812 0.0015 GARCH(1) 0.8748 0.0000

Persistncia: 0.9560

Valor p-valorC 0.0007 0.1476A 0.0000 0.0934

ARCH(1) 0.0386 0.0063GARCH(1) 0.9447 0.0000

Persistncia: 0.9833

Tabela 11.7: Modelos ARMA-GARCH para o ndice Embratel ON

Embratel ON Perodo Completo Perodo A Perodo B AR(1) GARCH(1,2) t: 9.83253 g.l.

AR(1) - GARCH(1,1) t: 8.242168 g.l.

AR(1) - GARCH(1,1) t: 10.76686 g.l.


AR(1) 0.0556 0.0212 A 0.0000 0.0063

ARCH(1) 0.1136 0.0000 GARCH(1) 0.2949 0.0830 GARCH(2) 0.5401 0.0030

Persistncia: 0.9486


AR(1) 0.0734 0.0226 A 0.0000 0.0430

ARCH(1) 0.0616 0.0005 GARCH(1) 0.9120 0.0000

Persistncia: 0.9736

Valor p-valorC 0.0010 0.1915

AR(1) 0.0293 0.2287A 0.0001 0.0152

ARCH(1) 0.1401 0.0004GARCH(1) 0.7457

0.0000Persistncia: 0.8858

60

Tabela 11.8: Modelos ARMA-GARCH para o ndice Petrobrs ON

Petrobrs ON Perodo Completo Perodo A Perodo B AR(1) GARCH(1,1) t: 8.675692 g.l.

MA(1) - GARCH(1,1) t: 7.022493 g.l.

MA(1) - GARCH(1,1) t: 15.96334 g.l.


AR(1) 0.1157 0.0000 A 0.0000 0.0057



MA(1) 0.1559 0.0000 A 0.0000 0.0184

ARCH(1) 0.1266 0.0026 GARCH(1) 0.7574 0.0000

Persistncia: 0.8840


MA(1) 0.1089 0.0021A 0.0000 0.0688

ARCH(1) 0.0541 0.0051GARCH(1) 0.8963


Tabela 11.9: Modelos ARMA-GARCH para o ndice Vale do Rio Doce ON

Vale do Rio Doce ON Perodo Completo Perodo A Perodo B MA(1) GARCH(1,1) t: 10.22202 g.l.

MA(1) - GARCH(1,1) t: 5.858784 g.l.

MA(1) - GARCH(1,1) normal


MA(1) 0.0935 0.0003 A 0.0000 0.0049



MA(1) 0.0521 0.0945 A 0.0000 0.0143

ARCH(1) 0.1500 0.0022 GARCH(1) 0.6846 0.0000

Persistncia: 0.8346


MA(1) 0.1082 0.0029A 0.0000 0.0650

ARCH(1) 0.0531 0.0101GARCH(1) 0.9149


Tabela 11.10: Modelos ARMA-GARCH para o ndice Bradesco ON

Bradesco ON Perodo Completo Perodo A Perodo B AR(1) GARCH(1,1) t: 10.82635 g.l.

AR(1) - GARCH(1,1) t: 10.18658 g.l.

GARCH(1,1) normal


AR(1) 0.0668 0.0061 A 0.0000 0.0016



AR(1) 0.0993 0.0043 A 0.0000 0.0290

ARCH(1) 0.0936 0.0013 GARCH(1) 0.8476 0.0000

Persistncia: 0.9412

Valor p-valorC 0.0020 0.0026A 0.0000 0.0127

ARCH(1) 0.0965 0.0042GARCH(1) 0.7002


61

Tabela 11.11: Modelos ARMA-GARCH para o ndice Ita S/A ON

Ita S/A ON Perodo Completo Perodo A Perodo B

GARCH(1,1) t: 28.1213 g.l.

GARCH(1,1) normal

GARCH(1,1) normal

Valor p-valor C 0.0014 0.0034 A 0.0000 0.0086


Valor p-valor C 0.0003 0.3432 A 0.0000 0.0230

ARCH(1) 0.0755 0.0005 GARCH(1) 0.8738 0.0000

Persistncia: 0.9493

Valor p-valorC 0.0021 0.0011A 0.0000 0.1748

ARCH(1) 0.0282 0.0858GARCH(1) 0.9254


Tabela 11.12: Seleo de Cpulas atravs do Critrio de Informao de Akaike (AIC) para o perodo completo. Os valores em negrito so referentes cpulas que melhor se ajustaram aos dados.

Perodo Completo BB1 BB7 T-Student IBVxBRA -875,761 -857,781 -872,810 IBVxEMB -932,751 -893,260 -967,198 IBVxITA -850,124 -830,692 -864,118 IBVxPET -831,201 -817,205 -822,655 IBVxTEL -1947,869 -1849,129 -1987,005 IBVxVAL -324,154 -316,282 -329,758 TELxPET -464,878 -455,911 -466,206 TELxBRA -563,338 -556,427 -561,013 PETxBRA -282,179 -278,400 -275,418 TELxEMB -648,645 -621,021 -681,054 PETxVAL -213,931 -209,595 -215,253 BRAxITA -788,098 -770,372 -795,411

Tabela 11.13: Seleo de Cpulas atravs do Critrio de Informao de Akaike (AIC) para o perodo A. Os valores em negrito so referentes cpulas que melhor se ajustaram aos dados.

Perodo A BB1 BB7 T-Student IBVxBRA -449,091 -438,223 -449,685 IBVxEMB -460,262 -436,131 -492,393 IBVxITA -455,399 -442,438 -468,338 IBVxPET -349,415 -345,440 -343,493 IBVxTEL -953,666 -895,076 -988,786 IBVxVAL -145,806 -142,424 -150,479 TELxPET -205,840 -203,155 -202,971 TELxBRA -297,778 -291,238 -301,639 PETxBRA -131,603 -130,150 -125,475 TELxEMB -327,402 -309,411 -355,621 PETxVAL -91,017 -89,702 -89,939 BRAxITA -372,302 -367,662 -367,343

62

Tabela 11.14: Seleo de Cpulas atravs do Critrio de Informao de Akaike (AIC) para o perodo B. Os valores em negrito so referentes cpulas que melhor se ajustaram aos dados.

Perodo B BB1 BB7 T-Student IBVxBRA -399,753 -386,616 -409,956 IBVxEMB -456,511 -442,121 -452,957 IBVxITA -356,786 -345,223 -374,175 IBVxPET -520,901 -508,951 -520,888 IBVxTEL -924,562 -877,576 -958,102 IBVxVAL -181,035 -176,191 -181,774 TELxPET -261,687 -252,485 -271,388 TELxBRA -254,482 -251,020 -244,220 PETxBRA -146,299 -142,733 -151,563 TELxEMB -309,237 -299,533 -309,853 PETxVAL -130,096 -126,826 -132,088 BRAxITA -399,082 -376,758 -418,097

Acoplamentos, Teoria dos Valores Extremos

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