7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
1/31
Ajuste de Curvas
Prof. Jos CarlosAltho
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
2/31
Ementa:
6.1 Introduo 6.2 Ajuste Linear Simples 6.3 Ajuste Linear Mltiplo
6.4 Ajuste Polinomial 6. !rans"orma#es de Modelos
$o Lineares em Lineares
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
3/31
Os valores que uma funo podeassumir esto associados, alm doserros eperimentais, a outrasvari!veis cujo os valores se alteramdurante o eperimento.
Ao se estudar a relao entre duas
vari!veis deve"se inicialmente fa#erum dia$rama de disperso paratermos uma ideia do comportamento
da funo.
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
4/31
Ajuste %inear &imples
'emplo ()
&eja a ta*ela a*aio que representadados de campo)
n i +i
( (, -
- , /,- /,( ,0
1,0 1,(
/ 0 /,0
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
5/31
A ta*ela $era o $r!2co dedisperso a*aio
3 ( - / 1 4 0 5
3
(
-
/
1
4
+i
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
6/31
% tipo de relao mais simples entre
duas &ari'&eis ( a relao linear.$esta relao) temos uma &ari'&elindependente *+, rela-ionada a uma
&ari'&el resposta ou dependente *,por meio de um modelo linear) pore+emplo/
01.+
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
7/31
Para estimarmos os parmetros e
1) de&emos re-orrer ao m(todo dos5uadrados mnimos.
7sta t(-ni-a estima os parmetros
de "orma 5ue a distn-ia total entrea e5uao ajustada e os pontos doe+perimento seja a menor poss&el.
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
8/31
As e5ua#es para determinao dos
parmetros e 1so/
( ) ( )
nxbyb
xnxyxnyxb
xbby
ii
ii
iiii
=
=
+=
.
.).(..
.
10
221
10
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
9/31
Como vimos os par6metros *o e *(&o o*tidos atravs da an!lise do
desvio entre o + real e o + calculadoatravs da equao do ajuste.
7uando derivamos o desvio emrelao a 8o e *( e i$ualamos a
#ero encontramos duas equa9ese passamos a ter um sistema oqual pode ser escrito como umaoperao de matri#es.
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
10/31
:$ualando a #ero e efetuando al$uns
al$e*rismos che$amos aos valoresde 8o e *(. ;as podemos pensartam*m na soluo de um sistemalinear.
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
11/31
Calculando os somat
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
12/31
i i +i
x2 x.y y2
( (, - (,15 -,1
- , /,- ((,/1 (4,10 -4,3
/,( ,0 -1,3( (5,0 (,
1,0 1,( 1,- (,0 4,-(
/ 0 /,0 1 1, ,1
-,1 --,5 (5,/ (-4,/ ((1,
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
13/31
=eali#ando a multiplicao dematri#es che$amos ao sistema
=esolvendo o sistema che$amosaos valores de *o e *(.
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
14/31
>tili#ando o sistema ou as
epress9es de *3 e *( conse$uimosencontrar a melhor reta quedescreve os pontos da ta*ela.
" "- "( 3 ( - / 1 4
"
"
"-
"(
3
(
-
f?@ 3.4 " (.
=B 3.50
%inear ?@
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
15/31
A 5ualidade do ajuste linear (medida atra&(s do -oe8-iente dedeterminao ) -al-ulado -omose9ue :-i( o &alor de -al-ulado
pela e5uao de re9resso;/
( )
( )22
2
2
.1
1
=
ii
cii
y
n
y
yyr
O r quadrado calculado do eemplofoi de 3,1404, demonstra umapreciso de 14,04
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
16/31
Ajuste %inear ;Dltiplo
Ajuste Linear Mltiplo
mio tal 5ue/
01.+12.+2...p.+p
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
17/31
=
iip
ii
ii
i
pipipipiipiip
iipiiiii
iipiiiii
ipii
yx
yx
yx
y
b
b
b
b
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxn
.
.
.
.
...
...
...
2
1
2
1
0
21
222212
112111
21
7+emplo/ ?ados os pontos a se9uir)
determine o ajuste linear mltiplo.
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
18/31
i i( i- +i
3( 13, (30 -
3- 1(,( (35 -/5
3 13,- ((3 -/0
3 1(,- ((- -0/
3/ 1,- ((- -5
31 1,1 (( 4
34 1/,3 ((/ 1/
30 1,0 ((1 1
35 11,3 ((4 51
(3 14,5 ((5 (5
(( 10,- (-3
(- 11,/ (-- /
( 10,4 (- 0( 15,1 (-/ /3
(/ 15, (-0 /(0
(1 43,1 (3 ///
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
19/31
%s somat@rios das -olunas da taela anterior so/i i( i- +i i(
- i-2 i(.i- i(.+i i-.+i
3( 13, (30 - 11,35 ((11 1/(-,
(((3,- -/-4-
3- 1(,( (35 -/5 4,-( ((00( 11/5,5
(/0-,5 -0-(
3 13,- ((3 -/0 1-,3 (-(33 11--
(//(,1 -003
3 1(,- ((- -0/ 4/, (-/ 10/, (4- (5-3
3/ 1,- ((- -5 55,- (-/ 4340,
-345-,0 100
31 1,1 (( 4 3,51 (-415 4(01,0
--315,- 5-((
34 1/,3 ((/ 1/ --/ (--/ 44/ -4-/ (54/
30 1,0 ((1 1 343,
(/1 433,0
-(/5
, -(3035 11,3 ((4 51 /1 (105 44-- -1(1 1-
(3 14,5 ((5 (5 1(3,( ((1( 0303,(
-0/3,( 501(
(( 10,- (-3 1/(,- (33 0(0
3-(-,1 /(13
(- 11,/ (-- / --,-/ (00 0(( -5/5-,/ /-53
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
20/31
i( i- +i i(- i-
2 i(.i- i(.+i i-.+i
(3/,- (045 1-3- 101,3- --(// (-304,(3(4,
1 40-1
olo-ando os &alores namatri=/
=
738326
6,410317
6202
.
2213553,1230871879
3,12308702,684642,1045
18792,104516
2
1
0
b
b
b
Podemos resol&er o sistema de e5ua#es a-imaatra&(s de 5ual5uer m(todo :Bauss;.
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
21/31
Cesultado do sistema de e5ua#es/
0D14E)4
1013)4
20E)F
Assim) a e5uao de ajuste (/
0D14E)4 13)4.+1 E)F.+2O*s) O coe2ciente de determinao =quadrado calculado da mesma forma que oajuste linear simples
( )( )22
2
2
.1
1
=
ii
cii
yn
y
yyr
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
22/31
'ercEcio
Fado os pontos representados na
ta*ela a*aio, ajustar os mesmos aequao)
01.+12.+2i (i -i yi( "- " (/- 3 "( (-
- 3 (3
( /
/ 1 56
0 /
7 (3 4 "-
G011) D)EF3.+1 )F1.+2
=espostaesperada)
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
23/31
Ajuste Polinomial
Hm -aso parti-ular do ajuste linear
mltiplo ( a5uele em 5ue 5ueremosajustar um polin>mio de 9rau *9,.$este -aso) teremos somente uma
&ari'&el independente *+,rela-ionada a uma &ari'&eldependente *, atra&(s de um
polin>mio do tipo/ 01.+2.+2...9.+9
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
24/31
Para este -aso parti-ular) o sistema dee5ua#es anterior se simpli8-a para/
=
++
+
+
i
g
i
ii
i
ggggg
g
g
i
g
ii
yx
yx
yx
y
b
b
b
b
xxxx
xxxx
xxxx
xxxn
i
i
iiii
iiii
iii
i
.
.
.
. 2
2
1
0
.221
2432
132
2
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
25/31
7+emplo/ ?ada a taela aai+o)en-ontre o melor polin>mio de 9rau
3 5ue se ajusta aos dados/i i +i3(
3,3(
3,(333
3
-
3,(
3
3,(
1-3
3,-3
3,4-
3
3,3
3,/44
3
/
3,
3
3,1
-/31
3,/3
3,434(
34
3,13
3,441
30
3,43
3,014
Calculamos os somat
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
26/31
i i +i i- i
i i
/ i1 i+i i
-+i i+i
3(
3,3(
3,(333 3,333( ('"31 ('"30 ('"(3 ('"(- 3,33( ('"3/ ('"34
3-
3,(3
3,(1- 3,3( 3,33( 3,333( ('"3/ ('"31 3,3(1 3,33- 3,333
3
3,-3
3,4- 3,3 3,330 3,33(1 3,333
1,'"3/ 3,305 3,3(45 3,331
3
3,3
3,/44 3,35 3,3-4 3,330( 3,33-
3,3334 3,(1 3,35 3,3(0
3/ 3,3 3,1-/ 3,(1 3,31 3,3-/1 3,3(3- 3,33( 3,-/ 3,(3(- 3,33/
31
3,/3
3,434( 3,-/ 3,(-/ 3,31-/ 3,3(
3,3(/1 3,/1 3,(410 3,300
34
3,13
3,441 3,1 3,-(1 3,(-51 3,3440
3,3111 3,10 3,-405 3,(14
30
3,43
3,014 3,5 3, 3,-3( 3,(10(
3,((41/ 3,/0/4 3,( 3,-04
35
3,03
3,05 3,1 3,/(- 3,351 3,-44
3,-1-( 3,4(// 3,/4- 3,/45
(3
3,53
3,504 3,0( 3,4-5 3,1/1( 3,/53/
3,/( 3,0/0 3,410 3,15(1
( (,3 (,33
A taela -om os somat@rios (/i +i i
- i i
i/ i
1 i+i i-+i i
+i
/,/(4,-3/
(,0/3
(,3-/
-,/
-,-30
(,540(
,/(-4
,40-,4/(
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
27/31
olo-ando os &alores na matri=/
=
7514,2
378,3
5127,42051,7
.
97841,12083,25333,2025,3
2083,25333,2025,38501,3
5333,2025,38501,351,5025,38501,351,511
3
2
1
0
b
b
bb
Cesol&endo este sistema de e5ua#esatra&(s de 5ual5uer m(todo j' &isto:Bauss;/
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
28/31
Soluo do sistema/
0)111
102)6F
20D2)1EF2
301)1F6
7 o polin>mio de ajuste ser'/0)1112)6F.+D2)1EF2.+21)1F6.+3
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
29/31
Transformao de modelos no lineares emlineares
al9uns -asos) deparamos -om modelosessen-ialmente no lineares) -omo por e+emplo) seo dia9rama de disperso de uma determinada"uno se ajustar a uma e+ponen-ial. $estes -asos)apli-amos al9umas re9ras simples paratrans"ormar este modelo no linear em linear para
poder ser traalado.J importante resaltar 5ue os parmetros assim
otidos no so @timos. Isto por5ue o 5ue se ajusta
( o prolema lineari=ado) e no o ori9inal.
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
30/31
7+emplos de trans"orma#es/ 0a.+ K ln:;0ln:a;.ln:+; 0a.+K ln:;0ln:a;ln:;.+ 0a.e.+ K ln:;0ln:a;.+ 0e:a.+1-.+2;K ln:;0a.+1-.+2
21..
21
21
2121
..11
ln1
1
..1
..
1
)ln(.)ln(.)ln()ln(..
21
xcxbaye
y
xcxba
yxcxba
y
xcxbayxxay
xcxba
cb
++=
+=
++=
++
=
++==
++
7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc
31/31
'emplo) Ajustar os pontos a*aio aequao
i i +i
( 3,( /,5
- (,/ 0,0
, (-
,/ (5,0
/ / -(,/
Top Related