UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
Álgebra de Boole
Disciplina: Lógica
Professora Dr.ª: Donizete Ritter
A Matemática Discreta e Lógica torna-se
importante ao incluir os indivíduos no mundo
lógico, pois a lógica está presente nos mais diversos
lugares e aspectos, e assim define Moretto (2007,
p.3) a lógica como: “(...) uma correção do
pensamento, isto é, ela nos ensina a usar
corretamente o raciocínio. Pensar em lógica
significa ordenar o pensamento. (...) A lógica está
presente no nosso cotidiano, nas nossas ações,
quando falamos ou escrevemos (...)”.
Sendo a lógica um estilo de raciocínio, é possível
compará-la com uma arte, a arte de pensar, sem
que para isso seja necessário ser um filósofo. A
lógica está muito relacionada com o pensamento e
estamos interessados em como é possível fazer a
máquina “pensar”.
Como sabemos essas máquinas, os computadores
digitais binários são projetados para armazenar e
manipular informações representadas apenas por
dois algarismos ou dígitos distintos, 0 e 1.
Álgebra de Boole HISTÓRIA
A Álgebra de Boole e aplicável ao projeto doscircuitos lógicos e funciona baseada em princípiosda lógica formal, uma área de estudo da filosofia.
Álgebra Booleana é uma área da matemática quetrata de regras e elementos de lógica. O nome“booleana” é uma retribuição da comunidadecientífica ao matemático inglês George Boole(1815 - 1864), que desenvolveu uma análisematemática sobre a Lógica e em 1854 publicou umlivro no qual propôs os princípios básicos dessaálgebra.
Boole percebeu que poderia estabelecer um
conjunto de símbolos matemáticos para substituir
certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas
conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise
Matemática da Lógica”. Claude B. Shannon
mostrou (em sua tese de Mestrado no MIT) que o
trabalho de Boole poderia ser utilizado para
descrever a operação de sistemas de comutação
telefônica. As observações de Shannon foram
divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise
Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".
DEFINIÇÃO DE ÁLGEBRA DE BOOLE
A Álgebra de Boole é um sistema matemáticocomposto por operadores, regras, postulados eteoremas. Usa funções e variáveis, como naálgebra convencional, que podem assumir apenasum dentre dois valores, zero (0) ou um (1).
Trabalha com dois operadores, o operador AND,simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizadopor (+). O operador AND é conhecido comoproduto lógico e o operador OR e conhecido comosoma lógica. Os mesmos correspondem,respectivamente, as operações de interseção eunião da teoria dos conjuntos.
Tais princípios baseiam-se em um sistema de
álgebra (álgebra das proposições) onde se pode
determinar se uma sentença é falsa ou verdadeira
utilizando-se para isso as funções ou operadores
lógicos: E, OU e NÃO (AND, OR, NOT). Assim,
“choveu ontem à tarde” é um proposição (pode
ser falsa ou verdadeira).
Porém algumas proposições são compostas de
subproposições ligadas por conectivos, no nosso
caso representado pelos operadores lógicos: e, ou
e não. No caso dessas proposições, o operador
lógico usado é que definirá o valor lógico (se
verdadeiro ou falso).
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA DE
BOOLE O postulado básico da álgebra de Boole é a
existência de uma variável booleana tal que:
x≠0 ↔ x=1
x≠1 ↔x=0
A álgebra de Boole é um sistema algébrico queconsiste do conjunto {0,1}, duas operaçõesbinárias chamadas OR (operador: +) e AND (.) euma operação unária NOT.
A operação OR é chamada de soma lógica ouunião, a operação AND é conhecida por produtológico ou interseção e a operação NOT é ditacomplementação ou ainda inversão (não confundircom a soma de números binários).
George Boole estabeleceu dois princípios
fundamentais em que assenta a lógica booleana, e
que são:
princípio da não contradição: "Uma proposição
não pode ser, simultaneamente, verdadeira e
falsa“.
princípio do terceiro excluído: "Uma proposição
só pode tomar um dos dois valores possíveis - ou
é verdadeira ou é falsa - não sendo possível
terceira hipótese"
Como já foi referido, Boole desenvolveu a sua
álgebra a partir de duas grandezas: falso e
verdadeiro.
Também os computadores digitais fazem uso de
sinais binários (0 e 1). Estes sinais pretendem
representar os níveis de tensão, isto é, o 0 significa
que não há passagem de corrente elétrica e 1
significa passagem de corrente elétrica.
Daqui, podemos fazer a analogia entre a linguagem
dos computadores e a álgebra de Boole da seguinte
forma:0/Falso/Não passa corrente elétrica,
1/Verdadeiro/Passa corrente elétrica.
Operadores: As variáveis booleanas são
representadas por letras maiúsculas, A, B, C,...
Operadores Booleanos Fundamentais:
AND, OR e NOT.
Operador AND (interseção).
Definição: A operação lógica AND entre duas ou
mais variáveis somente apresenta resultado 1 se
todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. A
conjunção é representada pela conectiva "."
(ponto, como se fosse a multiplicação pois
também é designada por produto lógico).
Considerando todos os "arranjos" possíveis dos
valores lógicos de duas proposições, A e B,
podemos estabelecer a "tabela de verdade" que
apresenta os resultados possíveis da conjunção
lógica.
Operador OR (união).
Definição: A operação lógica OR entre duas ou
mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos
uma das variáveis estiver no estado lógico 1. A
disjunção inclusiva é representada pela conectiva
"+" (sinal de soma, pois representa a adição
lógica). A tabela de verdade desta operação lógica
é:
Operador NOT (inversor).
Definição: A operação de complementação de
uma variável e implementada através da troca do
valar lógico da referida variável.
Símbolo Lógico:
Tabela Verdade:
Operador NAND:
Definição: A porta NAND (NÃO E) equivale a
uma porta AND seguida por uma porta NOT, isto
é, ela produz uma saída que é o inverso da saída
produzida pela porta AND.
Símbolo Lógico:
Tabela Verdade:
Operador NOR:
Definição: A porta NOR equivale a uma porta OR
seguida por uma porta NOT, isto é, ela produz
uma saída que é o inverso da saída produzida pela
porta OR.
Símbolo Lógico:
Tabela Verdade:
Operador XOR (OU exclusivo)
Definição: A operação lógica XOR entre duas
variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e
somente uma das duas variáveis estiver no estado
lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem
em estados lógicos diferentes).
Símbolo Lógico:
Tabela Verdade:
Operador XNOR (negativo de OU exclusivo)
Definição: A operação lógica XNOR entre duas
variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente
se as duas variáveis estiverem no mesmo estado
lógico.
Símbolo Lógico:
Tabela Verdade:
PROPRIEDADES BÁSICAS
Sendo x uma variável booleana, então:
A álgebra booleana é comutativa e associativa com
relação às duas operações binárias. Sendo x, y, z
variáveis booleanas, então:
Na álgebra booleana, a soma é distributiva sobre oproduto e o produto é distributivo sobre a soma,
Notemos que estas propriedades apresentam-se aospares e que em cada par, uma equação pode serobtida da outra mediante a troca de 1 por 0 e 0 por1 além de permutarmos os AND’s pelos OR’s .
Isto é conhecido como princípio da dualidade daálgebra de Boole (obs: todas estas expressõespodem ser provadas por indução finita, bastandoprovar uma equação e a sua dual estará provada).
PORTAS LÓGICAS
Portas lógicas são dispositivos ou circuitos lógicos
que operam um ou mais sinais lógicos de entrada
para produzir uma e somente uma saída, a qual é
dependente da função implementada no circuito.
Existem 7 Portas Lógicas e são elas:
TABELAS OPERACIONAIS
Semelhante às tabelas verdade da Lógica das
Proposições, podemos construir as tabelas
operacionais para a álgebra booleana. Nestas
últimas os valores lógicos são os dígitos 0 e 1.
CIRCUITO LÓGICO
Todas as complexas operações de um computadornão são mais do que simples operações aritméticase lógicas básicas, como somar bits, complementarbits, comparar e mover bits. Estas operações sãousadas para controlar a forma como o processadortrata os dados, acede à memória e gera resultados.
Todas estas funções do processador são fisicamenterealizadas por circuitos eletrônicos, chamadoscircuitos lógicos. Assim sendo, um computadordigital não é mais do que um "aglomerado" decircuitos lógicos. Quando se deseja construir umcircuito lógico relativamente simples, faz-se uso deum circuito integrado.
IMPLEMENTANDO CIRCUITOS A
PARTIR DE EXPRESSÃO BOOLENAS
É possível desenhar um circuito lógico queexecuta uma função booleana qualquer, ouseja, pode-se desenhar um circuito a partir desua expressão características.
O método para a resolução consiste em seidentificar as portas lógicas na expressão edesenhá-las com as respectivas ligações, apartir das variáveis de entrada deve-se semprerespeitar a hierarquia das funções da aritméticaelementar, ou seja, a solução inicia-seprimeiramente pelos parênteses.
Para exemplificar, será obtido o circuito que
executa a expressão X= ( A+B ) . ( ̅B+C ): Essa
expressão mostra que os termos A+B e ̅B+C são
entradas de portas AND, e cada um deles é gerado
por portas OR independentemente.
Exemplo de um circuito a partir de uma expressão
booleana.
TABELAS VERDADE OBTIDAS DE
EXPRESSÕES BOOLEANAS
Uma maneira de se fazer o estudo de uma funçãobooleana é a utilização da tabela verdade. Paraextrair a tabela da verdade de uma expressãodevem-se seguir alguns procedimentos:
1º) Montar o quadro de possibilidades;
2º) Montar colunas para os vários membros daequação;
3º) Preencher estas colunas com os seus resultados;
4º) montar uma coluna para o resultado final e
5º) Preencher esta coluna com os resultados finais.
Para exemplificar este processo, utiliza-se a expressão
X=A.B.C + A.̅D + ̅A.B.D, a expressão contém 4
variáveis: A, B, C e D, logo, existem 16 possibilidade
de combinações de entrada, para as quatro variáveis, o
número de linhas da tabela é 24=16 linhas, na tabela a
seguir veja que na coluna um o valor 0 e 1 se repete 8
vezes cada um, enquanto na coluna dois se repete 4
vezes, na três duas vezes e na coluna quatro uma vez
cada um.
Desta forma, monta-se o quadro de possibilidade com
quatro variáveis de entrada, três colunas auxiliares,
sendo uma para cada membro da expressão, e uma
coluna para resultado final. Exemplo de tabela verdade
obtida de expressão booleana.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALENCAR FILHO, Edgar de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002
CEFETES, Circuitos e Sistemas Digitais. Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo. Disponível em:< ftp://ftp.cefetes.br/.../Apostila%20com%20base%20no%20livro%20-%20...>. Acesso em: 02 de julho de 2014.
DAGHLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de Boole. 4ª Ed. São Paulo: Atlas, 1995.
FAGOTTO, Eric. Álgebra de Boole. Disponível em:< www.las.ic.unicamp.br/edmar/PUC/2006/CL/CL-AlgBoole-Eric.pdf >. Acesso em: 02 de julho de 2014.
MORETTO, A. Lógica da Matemática. Centro Universitário Leonardo da Vinci Indaial: Grupo UNIASSELVI, 2007.
SOUZA, João Nunes de. Lógica para ciência da computação. Rio de Janeiro: Elsevier, 2002.