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Noções sobre Vetores
Prof. Amintas Paiva Afonso
Noções sobre Vetores
Espaço Vetorial # Um conjunto E ( ) onde são definidas as seguintes
operações:
+ (x,y) := x + y
+ : E x E E
(x,y) composição interna
. : x E E
(,y) (,x) := . x composição
externa
Espaço Vetorial Para x, y, z E e , , temos as seguintes
propriedades: i) x + y = y + x; ii) x + ( y + z ) = ( x + y ) + z; iii) 0 E tal que: x + 0 = x x E; iv) Dado x E, existe (-x) E tal que: x + (-x) = 0; v) (x) = ()x; vi) (x + y) = x + y; vii) (+)x = x + x; viii) 1.x = x x E;
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Espaço Vetorial Um conjunto que satisfaz essas propriedades é chamado
de espaço vetorial real.
(E, +, , ) é um quatérnio e E pode ser o próprio .
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Espaço Vetorial Qualquer elemento de um espaço vetorial chama-se
VETOR. Exemplos de espaços vetoriais:
o conjunto os números reais; o conjunto dos números complexos; o conjunto dos vetores da geometria definidos por
meio de segmentos orientados; o conjunto das matrizes Mmxn (), o espaço n; o espaço Cn, o conjunto dos polinômios reais de grau
n Pn();
o conjunto dos polinômios complexos Pn(C), etc.
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Espaço Vetorial Para verificar que um determinado conjunto constitui um
espaço vetorial devemos verificar se ele satisfaz cada uma das oito propriedades apresentadas.
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Vetores Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para
descrever “coisas” no mundo que têm direção e sentido.
Que coisas são essas? o vento; o fluxo de H2O de um rio; a emissão puntiforme de luz; um campo elétrico; a velocidade de um trem bala; o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton
não explica por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc.
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Sistema de Coordenadas
Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas.
Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianasDefine-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer.
. P(x,y)
x
y
0 x’
y’
O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y.
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Sistema de coordenadas polaresUm sistema de coordenadas polares é definido quando se dá um ponto O, chamado pólo, uma semi-reta OA que parte desse ponto O, chamado eixo polar, e um segmento arbitrário com unidade de comprimento. Convém, nesse sistema, definir o sentido positivo de rotação em redor do ponto O. (Geralmente, é o sentido anti-horário).
P
O A
Chama-se coordenadas polares de um ponto P qualquer aos números =OP e =ang AOP.
O símbolo P(, ) significa que o ponto P tem coordenadas polares e .
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Passagem das coordenas polares para as coordenadas cartesianasSejam (x,y) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas e (, ) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas polares:
x = . cos y = . sen
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Representação gráfica A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha
apontando para algum lugar.
Propriedades - direção;- sentido;- magnitude.
Grandezas vetoriais: a aceleração, a velocidade e o deslocamento, força, etc.
Grandezas escalares: a massa, o tempo e a temperatura, densidade, etc.
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Representação simbólica Por convenção, para saber que estamos falando de
vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra.
Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por exemplo, um vetor no plano:
u
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Representação simbólica A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a
pontos no plano xy.
y2
y1
x2x1
A
X
Y
B
Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as
coordenadas de B são (x2, y2).
Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1)
AB
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Exemplo Seja = [2,2].
y2
y1
x2x1
A
X
Y
B
Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,2) e ponto final B(3,4).
= B – A = (3-1, 4-2)=(2,2)
u
(3,4)
(1,2)
u
u
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Operações com vetores Considere 2 vetores: e .u
v
v
u
A resultante + é obtida pela chamada “lei do paralelogramo”.
Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades.
u
v
uv
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Lei do paralelogramo
v
u
vu
A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo.
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Variaçõesv
u
vu
Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo.
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Somando mais que dois vetores
a
bba
c
cba
d
dcba
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Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente:
Definição:Sejam e dois vetores no
plano. A soma dos vetores e é o vetor
.
Exemplo:Sejam e então,
),( 11 yxu
),( 22 yxv
uv
),( 2121 yyxxvu
)2,1(u
)4,3( v
)2,4())4(2,31( vu
1.ª coordenada
2.ª coordenada
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Exemplo: Interpretação geométrica
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Diferença de vetores Representamos o vetor + (-1) por .
Esse vetor é a diferença de e .
u
v
vu
uv
u
v
v
vu
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Produto de um vetor por um escalarConsidere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for 0, caso contrário, o vetor assume a direção oposta.
w
w
w
w
2 w
3
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ExemploSe a = 2, b = -3 e = (1,-2), então:
e
w
)4,2()2,1(2. wa
)6,3()2,1(3. wb
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Produto escalar
O produto escalar dos vetores de dimensão n:
a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por:
a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn =
Exemplo
Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1).
. = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6
n
iiiba
1
u
v
uv
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Ângulo entre dois vetoresO produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência
de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por:
cos... vuvu
onde é o ângulo formado por e . u
v
u
v
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Exemplo
Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2).
cos... vuvu
u
v
. = 2.(-1) + 4.2 = 6uv
2042 22 u
52)1( 22 v
Portanto, 6,05.20
6cos
Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.
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Ângulo entre dois vetores
cos... vuvu
Se e
u
v
0. vu 0u
0v
então, cosseno 0Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si.
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Ângulo entre dois vetores
vuvu 0cos0. O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares .
Exemplo
Os vetores = (2,-4) e = (4,2)
são ortogonais, já que:
u
v
02).4(4.2. vu
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Ângulo entre dois vetores
Mas, , logo
u=>
u
u .
cos... uuuu
0 2. uuu
Temos então que:
uu
uuu
2
2.
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Comprimento ou norma de um vetorO comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x1,y1)
é:
u
21
21 yxu
y1
x
y
u
x10
Além disso, dado um escalar , pertencente a :
uu
..
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Desigualdade triangularA norma da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à
soma das normas de cada um dos vetores:
Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski
Essa desigualdade é conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz em homenagem a Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz. Na realidade é a desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, mas o pobre Bunyakovski foi sendo esquecido com o tempo.
vuvu
vuvu
..
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Eis o Bunyakowski, porque aqui todos merecem ser lembrados.
Distância entre dois pontosAlém disso, pelo teorema de Pitágoras, podemos obter
comprimento do segmento orientado com ponto inicial P(x1,y1) e ponto final P(x2,y2):
212
21221 yyxxPP
x10
y
x
P1
P2
x2
y1
y2
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Exemplo-1Se = (2,-5), então o comprimento de é dado por:
Exemplo-2A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do
segmento orientado é dado por:
u
u
29254)5(2 22 u
PQ
5253)4()25()31( 2222 PQ
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Versor ou Vetor unitárioUm vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um
vetor não-nulo, então o vetor:
é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que .
xx
u .1
x
x
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ExemploSeja x = (-3,4). Então:
Logo, o vetor
É um vetor unitário, pois:
54)3( 22 x
5
4
5
34,3
5
1.
1x
xu
125
169
5
4
5
322
u
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Ponto médio de um segmentoO ponto médio do segmento de reta P1(x1,y1) a P2(x2,y2) é dado
por:
2
,2
),( 2121 yyxxyxM
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
M (x,y)
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ExemploDetermine o ponto médio M do segmento P1(-2,3) a P2(4,-2).
2
1,1
2
)2(3,
2
42),( yxM
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Produto vetorialDiferentemente do produto escalar, que dá como resultado um
número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor.
Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:
222
111
cba
cba
kji
vu
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Produto vetorialA igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte
forma:
Exemplo:Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:
kba
baj
ca
cai
cb
cbvu ...
22
11
22
11
22
11
)5,12,1(5121
313
212
kji
kji
vu
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Produto vetorialO produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma
ângulo. Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0
Por outro lado, î x j = k; j x k = î; k x î = j.
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Norma do produto vetorialVimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor
ortogonal ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramo formado por esses vetores.
u
v|u x v| = área do paralelogramo
u x v
sen.. vuvu
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Norma do produto vetorialQuando dois vetores forem paralelos no plano, então não há
ângulo entre eles. Neste caso, em que = λ. , o produto vetorial x = 0.
Já que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor perpendicular aos vetores originais, como saber a orientação desse vetor? Em outras palavras: para onde ele aponta?!
u
v
v
u
Uma regra prática conhecida como “regra da mão direita” estabelece que se posicionarmos o indicador da mão direita na direção e sentido do vetor u e o dedo médio na direção e sentido de v , o polegar apontará o sentido do terceiro vetor.
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Exemplo-1Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e
AD=(2,1,4).
Área = || AB x AD ||
AB x AD =
B C
DA
)1,6,5(65)21()24()14(
412
111 kjikji
kji
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Exemplo-1) continuação
|| AB x AD || =
Exemplo-2A medida em radianos do ângulo entre e é .
Sendo || ||=1 e || ||=7, calcule || x ||.
|| x || = || ||.|| ||. sen
= 1 . 7 . sen
= 1 . 7 . 0,5
= 3,5
87,76213625
u 6
v
u
v
v
u
uv
u
v
6
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Produto misto Considere os vetores , e . O produto misto é o número
real obtido como resultado da seguinte operação:
O volume do paralelepípedo é dado por :
v
u
w
wvu
.
wvuV
.
Noções sobre Vetores
ExemploCalcule o volume de um paralelepípedo definido pelos
seguintes vetores: = (2,2,0); = (0,1,0) e = (-2,-1,-1) mas, h=||proj ||
u
v
w
hvuV .
w
wvuV
. )2,0,0(200
010
022 kji
kji
vu
22
200)1,1,2).(2,0,0().(
V
wvu
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Título: The Cauchy-Schwarz Master Class : An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities Autor: J. Michael SteeleEditora: Cambridge University Press
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Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person
Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada.
Saraiva. São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach.
Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of
Mathematics. Dover, 1990.
Métodos de Cálculo II
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