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Noções sobre Vetores

Prof. Amintas Paiva Afonso


Espaço Vetorial # Um conjunto E ( ) onde são definidas as seguintes

operações:

+ (x,y) := x + y

+ : E x E E

(x,y) composição interna

. : x E E

(,y) (,x) := . x composição

externa

Espaço Vetorial Para x, y, z E e , , temos as seguintes

propriedades: i) x + y = y + x; ii) x + ( y + z ) = ( x + y ) + z; iii) 0 E tal que: x + 0 = x x E; iv) Dado x E, existe (-x) E tal que: x + (-x) = 0; v) (x) = ()x; vi) (x + y) = x + y; vii) (+)x = x + x; viii) 1.x = x x E;


Espaço Vetorial Um conjunto que satisfaz essas propriedades é chamado

de espaço vetorial real.

(E, +, , ) é um quatérnio e E pode ser o próprio .


Espaço Vetorial Qualquer elemento de um espaço vetorial chama-se

VETOR. Exemplos de espaços vetoriais:

o conjunto os números reais; o conjunto dos números complexos; o conjunto dos vetores da geometria definidos por

meio de segmentos orientados; o conjunto das matrizes Mmxn (), o espaço n; o espaço Cn, o conjunto dos polinômios reais de grau

n Pn();

o conjunto dos polinômios complexos Pn(C), etc.


Espaço Vetorial Para verificar que um determinado conjunto constitui um

espaço vetorial devemos verificar se ele satisfaz cada uma das oito propriedades apresentadas.


Vetores Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para

descrever “coisas” no mundo que têm direção e sentido.

Que coisas são essas? o vento; o fluxo de H2O de um rio; a emissão puntiforme de luz; um campo elétrico; a velocidade de um trem bala; o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton

não explica por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc.


Sistema de Coordenadas

Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas.

Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianasDefine-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer.

. P(x,y)

x

y

0 x’

y’

O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y.


Sistema de coordenadas polaresUm sistema de coordenadas polares é definido quando se dá um ponto O, chamado pólo, uma semi-reta OA que parte desse ponto O, chamado eixo polar, e um segmento arbitrário com unidade de comprimento. Convém, nesse sistema, definir o sentido positivo de rotação em redor do ponto O. (Geralmente, é o sentido anti-horário).

P

O A

Chama-se coordenadas polares de um ponto P qualquer aos números =OP e =ang AOP.

O símbolo P(, ) significa que o ponto P tem coordenadas polares e .


Passagem das coordenas polares para as coordenadas cartesianasSejam (x,y) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas e (, ) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas polares:

x = . cos y = . sen


Representação gráfica A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha

apontando para algum lugar.

Propriedades - direção;- sentido;- magnitude.

Grandezas vetoriais: a aceleração, a velocidade e o deslocamento, força, etc.

Grandezas escalares: a massa, o tempo e a temperatura, densidade, etc.


Representação simbólica Por convenção, para saber que estamos falando de

vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra.

Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por exemplo, um vetor no plano:

u


Representação simbólica A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a

pontos no plano xy.

y2

y1

x2x1

A

X

Y

B

Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as

coordenadas de B são (x2, y2).

Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1)

AB


Exemplo Seja = [2,2].

y2

y1

x2x1

A

X

Y

B

Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,2) e ponto final B(3,4).

= B – A = (3-1, 4-2)=(2,2)

u

(3,4)

(1,2)

u

u


Operações com vetores Considere 2 vetores: e .u

v

v

u

A resultante + é obtida pela chamada “lei do paralelogramo”.

Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades.

u

v

uv


Lei do paralelogramo

v

u

vu

A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo.


Variaçõesv

u

vu

Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo.


Somando mais que dois vetores

a

bba

c

cba

d

dcba


Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente:

Definição:Sejam e dois vetores no

plano. A soma dos vetores e é o vetor

.

Exemplo:Sejam e então,

),( 11 yxu

),( 22 yxv

uv

),( 2121 yyxxvu

)2,1(u

)4,3( v

)2,4())4(2,31( vu

1.ª coordenada

2.ª coordenada


Exemplo: Interpretação geométrica


Diferença de vetores Representamos o vetor + (-1) por .

Esse vetor é a diferença de e .

u

v

vu

uv

u

v

v

vu


Produto de um vetor por um escalarConsidere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for 0, caso contrário, o vetor assume a direção oposta.

w

w

w

w

2 w

3


ExemploSe a = 2, b = -3 e = (1,-2), então:

e

w

)4,2()2,1(2. wa

)6,3()2,1(3. wb


Produto escalar

O produto escalar dos vetores de dimensão n:

a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por:

a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn =

Exemplo

Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1).

. = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6

n

iiiba

1

u

v

uv


Ângulo entre dois vetoresO produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência

de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por:

cos... vuvu

onde é o ângulo formado por e . u

v

u

v


Exemplo

Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2).

cos... vuvu

u

v

. = 2.(-1) + 4.2 = 6uv

2042 22 u

52)1( 22 v

Portanto, 6,05.20

6cos

Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.


Ângulo entre dois vetores

cos... vuvu

Se e

u

v

0. vu 0u

0v

então, cosseno 0Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si.



vuvu 0cos0. O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares .

Exemplo

Os vetores = (2,-4) e = (4,2)

são ortogonais, já que:

u

v

02).4(4.2. vu



Mas, , logo

u=>

u

u .

cos... uuuu

0 2. uuu

Temos então que:

uu

uuu

2

2.


Comprimento ou norma de um vetorO comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x1,y1)

é:

u

21

21 yxu

y1

x

y

u

x10

Além disso, dado um escalar , pertencente a :

uu

..


Desigualdade triangularA norma da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à

soma das normas de cada um dos vetores:

Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski

Essa desigualdade é conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz em homenagem a Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz. Na realidade é a desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, mas o pobre Bunyakovski foi sendo esquecido com o tempo.

vuvu

vuvu

..



Eis o Bunyakowski, porque aqui todos merecem ser lembrados.

Distância entre dois pontosAlém disso, pelo teorema de Pitágoras, podemos obter

comprimento do segmento orientado com ponto inicial P(x1,y1) e ponto final P(x2,y2):

212

21221 yyxxPP

x10

y

x

P1

P2

x2

y1

y2


Exemplo-1Se = (2,-5), então o comprimento de é dado por:

Exemplo-2A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do

segmento orientado é dado por:

u

u

29254)5(2 22 u

PQ

5253)4()25()31( 2222 PQ


Versor ou Vetor unitárioUm vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um

vetor não-nulo, então o vetor:

é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que .

xx

u .1

x

x


ExemploSeja x = (-3,4). Então:

Logo, o vetor

É um vetor unitário, pois:

54)3( 22 x

5

4

5

34,3

5

1.

1x

xu

125

169

5

4

5

322

u


Ponto médio de um segmentoO ponto médio do segmento de reta P1(x1,y1) a P2(x2,y2) é dado

por:

2

,2

),( 2121 yyxxyxM

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

M (x,y)


ExemploDetermine o ponto médio M do segmento P1(-2,3) a P2(4,-2).

2

1,1

2

)2(3,

2

42),( yxM


Produto vetorialDiferentemente do produto escalar, que dá como resultado um

número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor.

Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:

222

111

cba

cba

kji

vu


Produto vetorialA igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte

forma:

Exemplo:Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:

kba

baj

ca

cai

cb

cbvu ...

22

11

22

11

22

11

)5,12,1(5121

313

212

kji

kji

vu


Produto vetorialO produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma

ângulo. Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0

Por outro lado, î x j = k; j x k = î; k x î = j.


Norma do produto vetorialVimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor

ortogonal ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramo formado por esses vetores.

u

v|u x v| = área do paralelogramo

u x v

sen.. vuvu


Norma do produto vetorialQuando dois vetores forem paralelos no plano, então não há

ângulo entre eles. Neste caso, em que = λ. , o produto vetorial x = 0.

Já que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor perpendicular aos vetores originais, como saber a orientação desse vetor? Em outras palavras: para onde ele aponta?!

u

v

v

u

Uma regra prática conhecida como “regra da mão direita” estabelece que se posicionarmos o indicador da mão direita na direção e sentido do vetor u e o dedo médio na direção e sentido de v , o polegar apontará o sentido do terceiro vetor.


Exemplo-1Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e

AD=(2,1,4).

Área = || AB x AD ||

AB x AD =

B C

DA

)1,6,5(65)21()24()14(

412

111 kjikji

kji


Exemplo-1) continuação

|| AB x AD || =

Exemplo-2A medida em radianos do ângulo entre e é .

Sendo || ||=1 e || ||=7, calcule || x ||.

|| x || = || ||.|| ||. sen

= 1 . 7 . sen

= 1 . 7 . 0,5

= 3,5

87,76213625

u 6

v

u

v

v

u

uv

u

v

6


Produto misto Considere os vetores , e . O produto misto é o número

real obtido como resultado da seguinte operação:

O volume do paralelepípedo é dado por :

v

u

w

wvu

.

wvuV

.


ExemploCalcule o volume de um paralelepípedo definido pelos

seguintes vetores: = (2,2,0); = (0,1,0) e = (-2,-1,-1) mas, h=||proj ||

u

v

w

hvuV .

w

wvuV

. )2,0,0(200

010

022 kji

kji

vu

22

200)1,1,2).(2,0,0().(

V

wvu


Título: The Cauchy-Schwarz Master Class : An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities Autor: J. Michael SteeleEditora: Cambridge University Press


Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person

Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada.

Saraiva. São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach.

Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of

Mathematics. Dover, 1990.

Métodos de Cálculo II

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