Anlise de Redes Eltricas
1
1. Representao Matricial de Redes de Sistemas de Potncia
1.6 Equivalncia entre Fontes
Considere um gerador atendendo a uma rede passiva (ZL):
Figura A Tenso Constante Figura B Corrente Constante
VL = EG - IL ZG VL = (IS - IL) ZG = IS ZG - IL ZG
Como VL deve ser o mesmo:
EG - IL ZG = IS ZG - IL ZG IS = EG / ZG (1.1)
Ento, respeitada a Equao (1), podemos substituir uma fonte de tenso constante em
srie com uma impedncia por uma fonte de corrente constante em paralelo com esta mesma
impedncia (podemos tambm usar YG = 1 / ZG).
A rede de um Sistema Eltrico de Potncia (SEP) ativa, ou seja, possui fontes.
Para resolvermos este problema devemos aplicar o princpio da superposio. Ento,
ZL ser a impedncia vista do gerador G1 (impedncia de Thvenin). Este procedimento deve
ser repetido para os outros geradores.
EG
ZG
VL ZL
IG IL
IS VL ZL
IS IL
ZG
~
G1
~
G4
3 1 2
4
6 5
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2
1.7 A Matriz de Admitncia de Barra - YBUS
Seja o sistema de trs barras, dado a seguir:
Figura 1
Em situaes de equilbrio utiliza-se apenas a rede de seqncia positiva. Ento,
representa-se apenas uma fase (a fase a), tendo como referncia a terra (neutro). Cada barra
ser, portanto, um n eltrico e o neutro ser o n de nmero zero.
O sistema da Figura 1 pode ser representado por:
ou
Figura 2 Figura 3
onde:
YG1 = 1/ZG1, YG2 = 1/ZG2, YL1 = 1/ZL1, YL2 = 1/ZL2, YL3 = 1/ZL3 e YD3 = 1/ZD3 so as admitncias/impedmcias de geradores, linhas e transformadores;
V1, V2 e V3 so as tenses nodais de barra;
I1 e I2 so as correntes injetadas nas barras para representar os geradores. Na barra 3
drenada uma corrente para a carga. Porm, no h gerao I3 = 0.
~ G1
L2
2
3
1
D3 (carga)
L3
L1
~ G2
ZL2
2
3
1
ZL3
ZL1
EG2
ZG2
~ ~
ZG1
EG1
ZD3
0 0
0
V2 V1
V3
V2
0
YL2
2
3
1
YL3
YL1
YD3
V1
V3
I1
0
YG1 I2
0
YG2
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3
Aplicando a Lei de Kirchhoff para as correntes nas barras (ns) tem-se:
3232133033
3321122022
2311211011
YYY0
YYY
YYY
LLD
LLG
LLG
VVVVVVI
VVVVVVI
VVVVVVI
Lembrando que V0 = 0 obtm-se:
332323123
332312112
322112111
YYYYY
YYYYY
YYYYY
VVVI
VVVI
VVVI
LLDLL
LLLGL
LLLLG
ou
BUSBUSBUS
LLDLL
LLLGL
LLLLG
VI
V
V
V
I
I
I
Y
(1.2)
YYYYY
YYYYY
YYYYY
3
2
1
32332
33121
21211
3
2
1
V-se que YBUS a matriz que relaciona as correntes injetadas nas barras com as
tenses nas barras, resolvendo de forma sistemtica a Lei de Kirchhoff para as correntes, ou
seja:
IBUS = YBUS VBUS (1.3)
Generalizando para um sistema com n barras, a matriz YBUS fica:
nnn
n
n
BUS
YYY
YYY
YYY
Y
n21
22221
11211
onde:
Yii a soma das admitncias de todos os elementos ligados barra i;
Yij contm o negativo da admitncia do(s) elemento(s) de interligao das barras i e j.
Exemplo 1: Monte a matriz YBUS para o sistema dado a seguir. Suponha que os
valores esto em pu.
ZL2
2
3
1
ZL3
ZL1
G2
ZT2
~ ~
ZT1
G1
SD3 potncia aparente
demandada da barra 3
V2 V1
V3
ZG1 ZG2
SD1
jQ3
Anlise de Redes Eltricas
4
Soluo:
em pu: S = VI* e I = YV
S = VY*V
* S* = V*YV Y = S*/(V*V) = S*/|V|2
determinao de YD1, YD3 e YC3 (banco de capacitores). Note que as cargas e o banco de
capacitores ficam modelados por uma admitncia (impedncia) constante.
YD1 = (SD1)*/|V1|
2; YD3 = (SD3)
*/|V3|
2; YC3 = (-jQ3)
*/|V3|
2
elementos da YBUS:
21
111
11Z
1
Z
1Y
ZZ
1Y
LL
D
TG
1
2112Z
1YY
L
3122
22Z
1
Z
1
ZZ
1Y
LLTG
3
3223Z
1YY
L
32
3333Z
1
Z
1YYY
LL
CD 2
1331Z
1YY
L
Exemplo 2: Calcule a matriz YBUS do Exemplo 1 considerando os valores em pu
listados abaixo. Em seguida obtenha as injees de corrente (IBUS).
SD1 = 2,0 + j1,0; SD3 = 1,2 + j0,6; jQ3 = j0,3
ZG1 = j0,10; ZT1 = j0,05; ZG2 = j0,050; ZT2 = j0,025; ZL1 = ZL2 = ZL3 = j0,10
01 00500,1V ; 0
2 33,10789,1V ; 0
3 40,20500,1 V
Soluo:
pu 907,0j 814,11,05
0,1j0,2
||
SY
221
*1
1
V
DD
pu 0544j 088,11,05
6,0j2,1
||
SY
223
*3
3
V
DD e pu j0,272
1,05
3,0j
||
)jQ(Y
223
*3
3 V
-C
pu j27,574 814,1j0,10
1
j0,10
1 j0,907 1,814
j0,05 j0,10
1Y11
pu j10,0Z
1YYYYYY
1133132232112
L
pu j33,33j0,10
1
j0,10
1
j0,025 j0,050
1Y22
pu j20,272 088,1j0,10
1
j0,10
1 j0,272 j0,544 1,08Y33
pu
j20,272 1,088j10,0j10,0
j10,0j33,33j10,0
j10,0j10,0j27,574814,1
YBUS
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5
Observe que se os elementos shunt (geradores, cargas, bancos de capacitores, etc.) no
forem considerados a matriz YBUS fica singular.
Exerccio: Repita o Exemplo 2 considerando as barras (4 e 5) entre os geradores e os
transformadores, conforme figura abaixo. Os valores de ZBUS(1,1), ZBUS(2,2) e ZBUS(3,3) so
alterados?
1.8 A Matriz de Impedncia de Barra - ZBUS
Vimos que IBUS = YBUS VBUS. Porm, na maioria dos estudos tem-se IBUS e pretende-se
obter VBUS. Para isto, necessrio calcular a matriz de impedncia de barra, ZBUS = -1BUSY .
Ento:
VBUS = ZBUS IBUS (1.4)
Para o sistema da Figura 1 a Equao (1.4) fica:
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
ZZZ
ZZZ
ZZZ
I
I
I
V
V
V
(I3 = 0, pois no h gerao na barra 3)
Analisando apenas para V1:
V1 = Z11I1 + Z12I2 + Z13I3 (1.4-a)
Se aplicarmos o princpio da superposio para o gerador da barra 1, ou seja, se
mantivermos I1 e fizermos I2 = I3 = 0 (fontes mortas), teremos: V1 = Z11I1.
Conclui-se, ento, que Z11 a impedncia de Thvenin vista da barra 1.
Generalizando: Zii a impedncia de Thvenin vista da barra i.
ZL2
2
3
1
ZL3
ZL1
G2
ZT2
~ ~
ZT1
G1
SD3 potncia aparente
demandada da barra 3
V2 V1
V3
ZG1 ZG2
SD1
jQ3
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V-se, ainda, que Z12I2 a contribuio da fonte da barra 2 para a tenso da barra 1. O
raciocnio vlido tambm para Z13I3. Ento, Zij a impedncia de transferncia da barra
j para a barra i.
Observao: Zij NO a impedncia que interliga as barras i e j.
Exerccio: Considere para o sistema do Exemplo 2 que
0
j15,576261,1
j7,486096,2
BUSI . Ento,
obtenha as tenses de barra utilizando:
superposio;
a equao VBUS = ZBUS IBUS, considerando primeiramente apenas I1 e depois apenas I2.
Compare os resultados. Por que o VBUS obtido neste exerccio diferente daquele fornecido
no Exemplo 2?
Exerccio: Para o sistema do Exerccio anterior obtenha a corrente, tenso e potncia
de cada gerador. Compare a corrente e tenso de cada gerador com a corrente injetada e a
tenso na respectiva barra. Calcule SGT = SG1 + SG2 + jQ3 e SDT = SD1 + SD2. Em seguida
calcule SGT SDT. Qual o significado desta diferena? Calcule a potncia em cada elemento
do sistema. Verifique/faa o balano de potncia em cada barra do sistema.
Exerccio: Repita para o caso (VBUS) do Exemplo 2. possvel fazer o mesmo para o
sistema de 5 barras?
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