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6.3Cálculo de Volumes por
Cascas Cilíndricas
Nesta
seção
aprenderemos
como
aplicar
o método
das cascas
cilíndricas
para
encontrar
o
volume de um sólido.
APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO
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Alguns problemas de volume são muitodifíceis de lidar pelos métodos da seçãoanterior.
VOLUMES POR CASCAS CILÍNDRICAS
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Vamos considerar o problema de encontraro volume de um sólido obtido pela rotaçãoem torno do eixo y da região limitada pory = 2x2 - x3 e y = 0.
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Se a fatiarmos perpendicularmente ao eixoy, obteremos uma arruela.
•
Mas
para
calcularmosOs raios
interno
e
externo
da
arruela, teríamos
de resolver
a equação
cúbicay = 2x2
-
x3
para
x
em
termos
de y; e isto
não
é
fácil.
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Felizmente, existe um método chamadoMétodo das Cascas Cilíndricas, que émais fácil de usar em casos como esse.•
A Figura
mostra
uma
casca
cilíndricade raio
interno
r1
,raio
externo
r2
, e altura
h.
VOLUMES POR CASCAS CILÍNDRICAS
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O seu volume V é calculado pela subtraçãodo volume V1 do cilindro interno do volume V2 do cilindro externo.
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Assim, temos:
2 12 2
2 12 2
2 1
2 1 2 1
2 12 1
( )( )( )
2 ( )2
V V V
r h r h
r r hr r r r hr r
h r r
π π
ππ
π
= −
= −
= −= + −
+= −
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Se fizermos ∆r = r2 – r1 (a espessura dacasca) e (o raio médio dacasca), então a fórmula para o volume de uma casca cilíndrica se torna:
E pode ser memorizada como:
V [circunferência][altura][espessura]
2V rh rπ= Δ
Fórmula 1
( )12 12r r r= +
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Agora, considere S como o sólido obtidopela rotação emtorno do eixo y daregião limitada pory = f(x) [onde f(x) ≥0], y = 0, x = a e x = b, onde b > a ≥ 0.
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos [xi - 1, xi ] de mesma largurae consideramos o ponto médio do i-ésimo subintervalo.
xΔix
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Se o retângulo com base [xi - 1, xi ] e altura é giradoao redor do eixo y, então o resultado éuma casca cilíndricacom raio médioaltura , e espessura ∆x.
( )if x
( )if xix
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Assim, pela Fórmula 1 seu volume é:
Portanto, uma aproximação para o volume V de S é dada pela soma dos volumes dessas cascas:
(2 )[ ( )]i i iV x f x xπ= Δ
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
1 12 ( )
n n
i i ii i
V V x f x xπ= =
≈ = Δ∑ ∑
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Essa aproximação parece tornar-se melhorquando n →∞.
Mas, pela definição de integral, sabemosque:
1lim 2 ( ) 2 ( )
n b
i i an ix f x x x f x dxπ π
→∞=
Δ =∑ ∫
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Então, a seguinte definição pareceplausível:
•
O volume do sólido
na
Figura, obtido
pela rotação
em
torno
do eixo
y da
região
sob a
curva
y =
f(x) de a até
b, é:
onde
0 ≤
a
< b
2 ( )b
aV xf x dxπ= ∫
Fórmula 2MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Usando o argumento das cascascilíndricas, a Fórmula 2 parece razoável, porém mais tarde seremos capazes de demonstrá-la.
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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A melhor maneira para se lembrar daFórmula 2 é pensar em uma casca típica, cortada e achatada como na Figura.
•
Com raio
x, circunferência
2πx, altura
(x),
e espessura ∆x
ou
dx:
( ){
[ ] {2 ( )b
athicknesscircumference height
x f x dxπ∫ 123
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Esse tipo de argumento será útil em outrassituações, tais como quando giramos emtorno de outras retas além do eixo y.
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Ache o volume do sólido obtido pelarotação em torno do eixo y da regiãolimitada pory = 2x2 - x3 e y = 0.
Exemplo 1MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Do esboço da Figura, vemos que umacasca típica tem raio x, circunferência 2πx, e altura f(x) = 2x2 - x3.
Exemplo 1MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Então, pelo método das cascas, o volume é:
( )( )( )
( )
2 2 3
02 3 4
024 51 1
2 5 0
32 165 5
2 2
2 (2 )
2
2 8
π
π
π
π π
= −
= −
⎡ ⎤= −⎣ ⎦= − =
∫∫
V x x x dx
x x x dx
x x
Exemplo 1MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Pode-se verificar que o método das cascasdá a mesma resposta que o método das fatias.
•
A Figura
mostra
o gráfico
gerado
pelo
computador
do sólido
do qual
calculamos
ovolume no Exemplo
1.
Exemplo 1MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Comparando a solução do Exemplo 1 com as observações no começo desta seção, vemos que o método das cascas cilíndricasé muito mais prático que o método das arruelas para esse problema.
•
Não
tivemos
de encontrar
as coordenadas
do máximo local e não
tivemos
de resolver a equação
da
curva
para
x em
termos
de y.•
Contudo, em
outros
exemplos, utilizar
os
métodos
da
seção
anterior podem
ser mais
fáceis.
OBSERVAÇÃO
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Ache o volume de um sólido obtido pelarotação em torno do eixo y da região entre y = x e y = x2.
Exemplo 2MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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A região e uma casca típica são mostradasna Figura.
•
Vemos
que
a casca
tem raio
x, circunferência
2πx, e altura
x -
x2.
Exemplo 2MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Então o volume é:
( )( )( )
1 2
01 2 3
013 4
0
2
2
23 4 6
V x x x dx
x x dx
x x
π
π
ππ
= −
= −
⎡ ⎤= − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫∫
Exemplo 2MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Como o exemplo a seguir mostra, o métododas cascas cilíndricas funciona bemtambém quando giramos ao redor do eixo x. •
Simplesmente
temos
de desenhar
um
diagrama
para
identificar
o raio
e a altura
da casca.
MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação emtorno do eixo x da região sob a curvade 0 a 1.
•
Esse
problema
foi
resolvido
usando-se os discos no Exemplo
2 da
Seção
6.2.
y x=
Exemplo 2MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Para usar as cascas reescrevemoscomo
x =
y2.
•
Pela
rotação
em
tornodo eixo
x, vemos
que
uma
casca
típica
tem raio
y, circunferência
2πy, e altura
1 -
y2.
y x=Exemplo 3MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Então, o volume é:
•
Neste
exemplo, o método
do disco foi
mais simples.
( )( )1 2
01 3
012 4
0
2 1
2 ( )
22 4 2
V y y dy
y y dy
y y
π
π
ππ
= −
= −
⎡ ⎤= − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫∫
Exemplo 3MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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Encontre o volume do sólido obtido pelarotação da região limitada por y = x - x2 e y = 0 em torno da reta x = 2.
Exemplo 4MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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A Figura mostra a região e a cascacilíndrica formada pela rotação em torno dareta x = 2, esta tem raio 2 - x, circunferência2π(2 - x), e altura x - x2.
Exemplo 4MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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O volume do sólido é:
( )( )( )
0 2
10 3 2
114
3 2
0
2 2
2 3 2
24 2
V x x x dx
x x x dx
x x x
π
π
ππ
= − −
= − +
⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫∫
Exemplo 4MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS
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