Línguas
Páginas
Legal
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
1/33
Controle de Sistemas Mecnicos
MODEL0S CANNICOSMODEL0S CANNICOS
Modelo Cannico Controlvel
Modelo Cannico Observvel
Modelo Cannico Diagonal Modelo Cannico de Jordan
Diagrama de Blocos
Exerccio
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
2/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Modelo cannico controlModelo cannico controlvel da EDGvel da EDG
Dada a equao geral de um sistema de ordemn
aplicando-se a transformada de Laplace, o diagrama de blocossimplificado fica
)(011
1
1
011
1
1
tubdt
du
bdt
ud
bdt
ud
b
yadt
dya
dt
yda
dt
yd
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n
++++
=++++
N(s)D(s)-1
vu y
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
3/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Observando que
Anlise do 1 sistema para a relao entrev eu
Considerando apenas o denominadorConsiderando apenas o denominador
)(011
1
1 tuva
dt
dva
dt
vda
dt
vdn
n
nn
n
=++++
1x2xnxnx
1nx 1x
definindo
D(p)-1
vu
)(
1
sD
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
4/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Desconsiderando o numeradorDesconsiderando o numerador
Considerando apenas o denominador
a equao fica
Definindo obtm-se
D(s)-1
vu
)(011
1
1 tuvadt
dva
dt
vda
dt
vdn
n
nn
n
=++++
1
1
3
2
1
=
=
=
=
n
n
ndt
vdx
vx
vx
vx
n
n
ndt
vdx
xvx
xvx
xvx
=
==
==
==
43
32
21
)(1
sD
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
5/33
Controle de Sistemas Mecnicos
ContinuandoContinuando
Notando que a EDG pode ser escrita
o modelo torna-se
)(1
1
110 tudt
vda
dt
dvava
dt
vd
n
n
nn
n
+=
nn xx
xvx
xvxxvx
=
==
====
1
43
32
21
)(12110 tuxaxaxax nnn +=
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
6/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Resultando o modelo parcialResultando o modelo parcial
Em notao matricial, a equao de estado fica
E a de sada
1 1
2 2
0 1 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0( )
1nn n
x x
x xu t
a a a ax x
= +
[ ]
1
2
( ) 1 0 0 0
n
x
x
v t
x
=
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
7/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Considerando apenas o numeradorConsiderando apenas o numerador
Para a relao entrey ev
substituindo as variveis de estado j definidas
12nn
n1n322110n
xbxbxbxaxaxaxau(t)bty
011
)()(++++
+=
vbdt
dvb
dt
vdb
dt
vdbty
n
n
nn
n
n 011
1
1)( ++++=
N(s)
v y
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
8/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Matrizes do modelo controlMatrizes do modelo controlvelvel
O modelo final pode ser escrito
B =
0
0
1
nbD = DuCxy
BuAxx
+=
+=0
1
1
( )
( )
( )
T
n 0
n 1
n n n-1
b b a
b b aC
b b a
=
=
1210
1000
0100
0010
naaaa
A
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
9/33
Controle de Sistemas Mecnicos
ExercExerccio:cio:
Exerccio: Deduzir do DB(adotar sempre que a sadados integradores so as variveis de estado)
uxaxax
xx
+=
=
21102
21
222110 xbxbxby ++=
u
-
a1
a0
-
2x2x
1x y
b0
b1
b2
ubxabbxabby 221211020 )()( ++=
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
10/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Modelo cannico observModelo cannico observvel da EDGvel da EDG
Esta equao pode ser rescrita como
Dada a equao geral de um sistema de ordemn
1 1
1 1 0 1 1 01 1( )
n n n n
n n nn n n n
d y d y dy d u d u dua a a y b b b b u t
dt dt dt dt dt dt
+ + + + = + + + +
1 1
1 1 1 1 0 01 1 ( )
n n n n
n n nn n n nd y d u d y d u dy dub a b a b a y b u t dt dt dt dt dt dt
= + + +
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
11/33
Controle de Sistemas Mecnicos
1x
2x
1 1
1 1 1 1 0 01 1 ( )
n n n n
n n nn n n nd y d u d y d u dy dub a b a b a y b u t dt dt dt dt dt dt
= + + +
n
n
nd xdt
n
nn
d xdt
Forma observForma observvel: Vetor de estadosvel: Vetor de estados
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
12/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Forma observForma observvel: continuavel: continuaoo
Como
n n n
nnn n n
d x d y d ub
dt dt dt
=
1 1 1
1 1 1
n n n
nnn n n
n n
n n
n n
d x d y d ubd t d t d t
x y - b u
x y - b u
x y - b u
=
=
=
=
Integrando sucessivamente
n n y x b u = +
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
13/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Forma observForma observvel: continuavel: continuaoo
n n y x b u= +
1 0 0x a y b u= + 1 0 0( )n nx a x b u b u= + +
1 0 0 0( )n nx a x b b a u= +
n n y x b u= +
2 1 1 1 x a y b u x= + +
2 1 1 1 x a y b u x= + +
2 1 1 1 1( )n nx a x b b a u x= + +
2 1 1 1( )n n x a x b u b u x= + + +
Integrando
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
14/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Forma observForma observvel: continuavel: continuaoo
n n y x b u= +
11 1
11 11 1 1
n nn n
n nn nn n n n
d x d xd y d ua b
dt dt dt dt
= + +
1 1 1n n n nx a y b u x = + +
1 1 1 1( )n n n n n n n x a x b b a u x = + +
1 1 1( )n n n n n nx a x b u b u x = + + +
Integrandosucessivamente
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
15/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Forma Matricial da forma observForma Matricial da forma observvelvel
0 01 10
2 1 2 1 1
1 1 1
0 01 0
( )
0 1
n
n
nn n n n n
b b ax xa x a x b b a
u t
ax x b b a
= +
[ ]
1
2( ) 0 0 0 1 n
n
x
xv t b u
x
= +
x Bx
C D
Em notao matricial, o modelo pode ser escrito:
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
16/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Matrizes do modelo observMatrizes do modelo observvelvel
O modelo final pode ser escrito
0
1
1
0 0
1 0
0 1 n
a
aA
a
=
nbD =
)()()(
)()()(
tDutCty
tButAtdt
d
+=
+=
x
xx
0
1
1
( )
( )
( )
n 0
n 1
n n n-1
b b a
b b aB
b b a
=
[ ]0 0 1C =
Matlab: [a,b,c,d]=canon(T,Matlab: [a,b,c,d]=canon(T,companioncompanion))
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
17/33
Controle de Sistemas Mecnicos
ExercExerccio:cio:
Exerccio: Obter o M.E. do DB abaixo
yaubx
yaubxx
xuby
002
1121
12
=
+=
+=
u-
a1
a0
-
2x2x 1x y
b2
b0
b1
)(
)(
12002
121121
12
xubaubx
xubaubxx
xuby
+=
++=
+=
ubxy
uabbxax
uabbxxax
21
020102
1212111
)(
)(
+=
+=
++=
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
18/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Forma cannica diagonalForma cannica diagonal
Dada a equao geral de um sistema de ordemn
1 1
1 1 0 1 1 01 1( )
n n n n
n n nn n n n
d y d y dy d u d u dua a a y b b b b u t
dt dt dt dt dt dt
+ + + + = + + + +
1 1
1 1 0 1 1 0
1
1 1 0 1 2
( )( )( ) ( )
n n n n
n n n n
n n
n n
b p b p b p b b p b p b p bL p
p a p a p a p p p p p p
+ + + + + + + += =
+ + + + + + +
Esta equao pode ser generalizada como
upp
Cupp
Cupp
Cubyn
nn
)()()( 2
2
1
1
+++
++
++=
1x 2x nx
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
19/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Forma cannica diagonalForma cannica diagonal
As equaes de primeira oredem do sistema
Esta equao de sada pode ser generalizada como
nnn xCxCxCuby ++++= 2211
)( 11
ppux+
=
uppx =+ )( 11
upxpx =+ 111
upxx += 111
upxx += 222
upxx nnn +=
)( nn
ppux
+=
uppx nn =+ )(
upxpx nnn =+
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
20/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Matrizes do modelo diagonalMatrizes do modelo diagonal
Em notao matricial, o modelo pode ser escrito:
[ ]
1
2
1 2( ) n n
n
x
xv t C C C b u
x
= +
1 11
2 22
11
( )
1nn n
x xpx xp
u t
px x
= +
x Bx
C D
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
21/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Forma cannica de JordanForma cannica de Jordan
1 1
1 1 0 1 1 01 1( )
n n n n
n n nn n n nd y d y dy d u d u dua a a y b b b b u t dt dt dt dt dt dt
+ + + + = + + + +
1 1
1 1 0 1 1 0
1 3
1 1 0 1 4
( )( ) ( ) ( )
n n n n
n n n n
n n
n n
b p b p b p b b p b p b p bL pp a p a p a p p p p p p
+ + + + + + + += =+ + + + + + +
Quando a equao geral possui razes repetidas
A equao pode ser generalizada como
upp
Cupp
Cupp
Cupp
Cupp
Cubyn
nn
)()()()()( 4
4
1
32
1
23
1
1
+++
++
++
++
++=
1x 2x nx
3x 4x
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
22/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Forma cannica diagonalForma cannica diagonal
As equaes de primeira oredem do sistema
Esta equao de sada pode ser generalizada como
nnn xCxCxCuby ++++= 2211
)( 33
ppux+
=
uppx =+ )( 33
upxpx =+ 333
))(( 112
ppppux
++=
312 )( xppx =+
3122 xpxpx =+
3x2111 xpxx +=
3122 xpxx +=
upxx nnn +=
upxx += 133
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
23/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Em notao matricial, o modelo pode ser escrito:
1 11
2 21
3 31
4 44
1 0 0
0 1 0
0 0 1( )
1
1nn n
x xp
x xp
x xpu t
x xp
px x
= +
[ ]
1
2
1 2( ) n n
n
x
xv t C C C b u
x
= +
x Bx
C D
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
24/33
Controle de Sistemas Mecnicos
SoluSoluo da equao da equao de estadoo de estado
Considerando as equaes de um sistema de 1a. Ordem
a soluo respectiva pode ser escrita como
buaxdt
dx
+=
dbuexetx
ttaat
)()0()(0
)(
+=
uax
dt
dx=+ duexetx
ttaat
)()0()(
0
)(
+=
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
25/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Exponencial matricialExponencial matricial
Considerando a equao de estado
e definindo-se a funo exponencial matricial atravs da srie
Ento
BuAxdt
dx+=
+++++= kAt Atk
AtAtIe!
1!2
1 2
( )Atkk
At
AeAtk
AAtkkA
dtde =
+
++=+++= 11
!111
!
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
26/33
Controle de Sistemas Mecnicos
SoluSoluo da equao da equao de estadoo de estado
pode-se mostrar, por analogia soluo SISO, que
A soluo para entrada nula fica
e para estado nulo
dBuetxt
tA)()(
0
)(
=
)0()( xetx At=
dBuexetxt
tAAt )()0()(0
)(
+=
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
27/33
Controle de Sistemas Mecnicos
FunFuno de transfernciao de transferncia
Para se obter a FT a partir do modelo de
estado, aplica-se a TL s equaes gerais:
)()()(
)()()(
sDUsCXsY
sBUsAXssX
DuCxy
BuAxx
+=
+=
+=
+=
)()()()()()(1
sBUAsIsXsBUsAXssX==
)()()()()()()()( 1 sUsDsBUAsICsUsDsCXsY +=+=
)()()(
)( 1sDBAsIC
sU
sY+=
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
28/33
Controle de Sistemas Mecnicos
EquaEquao homogneao homognea
A equao homognea corresponde ao
sistema de entrada nula e portanto o modelode estado reduz-se a
Portanto, conhecendo-se a matrizA, o
comportamento natural do sistema pode serdeterminado.
Axx =)()()( ttt BuAxx +=
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
29/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Autovalor e AutovetorAutovalor e Autovetor
Definem-se como autovalores () e autovetores() de uma matrizA a soluo da equao
=A
0)( = AI
0)det( =AI
ou ainda,
cuja soluo, desprezando a trivial, ,exige que a matriz
[I-A]seja singular (no inversvel) e, portanto,
que uma forma de calcular os autovalores.
0=
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
30/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Autovalor e pAutovalor e plolo
Pode-se mostrar que as razes do polinmio
caracterstico, ou plos, so iguais aos autovalores damatriz de estado A.
Considerando que existem infinitas representaes de
estado de um mesmo sistema, pode-se concluir quetodos os modelos vo apresentar os mesmosautovalores.
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
31/33
Controle de Sistemas Mecnicos
ExercExerccio MMAcio MMAPara um sistema MMA, determine o modelo de
estado cannico controlvel correspondente e o
seu diagrama de blocos.
m
k c c k u y y ym m m
+ + =
y
1x2x2x
2 2 1
1 2
c k u x x x
m m m
x x
+ + =
=
1x
onde o vetor de estado
1
2
x yx
x y
= =
1y x=resposta
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
32/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Modelo Cannico ControlModelo Cannico Controlvelvel
na forma matricial padronizada
10C
m
=
0 1A k c
m m
=
0
1B
=
[ ]0D =
A
a a a an
=
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 2 1
B =
0
0
1
nbD =
0
1
1
( )
( )
( )
T
n 0
n 1
n n n-1
b b a
b b a
C
b b a
=
c k u y y y
m m m+ + =
8/6/2019 Apostila Controle - 24 - Modelos Cannicos
33/33
Controle de Sistemas Mecnicos
Modelo Cannico ObservModelo Cannico Observvelvel
na forma matricial padronizada
[ ]0 1C =
0
1
k
mAc
m
=
1
0
B m =
[ ]0D =
c k u y y y
m m m+ + =
0
1
1
0 0 0
1 0 0
0 0 1 n
a
aA
a
=
nbD =
0
0
1
T
C
=
0
1
1
( )
( )
( )
T
n 0
n 1
n n n-1
b b a
b b aB
b b a
=
Top Related