Apostila de Matemática do Pré-Universitário UFRJ. Autor: Victor T. 26/07/2012.
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Pré-Universitário
UFRJ
Apostila de Matemática: Geometria Espacial
Prof. Victor T.
Apostila de Matemática do Pré-Universitário UFRJ. Autor: Victor T. 26/07/2012.
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Sumário 1)Poliedros ........................................................................................................................ 4
1.1)Componentes .......................................................................................................... 4
1.1.1)Exemplo: Hexaedro (cubo) .............................................................................. 4
1.2)Poliedros Côncavos e Convexos ............................................................................ 4
1.2.1)Exemplo: Poliedro Convexo ............................................................................ 4
1.2.2)Exemplo: Poliedro Côncavo ............................................................................ 5
1.3)Poliedros Regulares ................................................................................................ 6
1.4)Relação de Euler ..................................................................................................... 6
1.4.1)Exemplos ......................................................................................................... 7
1.5)Poliedro Platônico................................................................................................... 7
2)Prismas .......................................................................................................................... 7
2.1)Classificação ........................................................................................................... 8
2.2)Secção no Prisma .................................................................................................... 8
2.2)Área do Prisma ....................................................................................................... 9
2.2.1)Área do Prisma de base hexagonal regular ...................................................... 9
2.3)Volume do Prisma .................................................................................................. 9
3)Cilindros ...................................................................................................................... 10
3.1)Classificação ......................................................................................................... 10
3.2)Secção no Cilindro ............................................................................................... 11
3.3)Área do Cilindro ................................................................................................... 11
3.4)Volume do Cilindro .............................................................................................. 11
4)Cones ........................................................................................................................... 12
4.1)Classificação ......................................................................................................... 12
4.2)Cálculo da Geratriz ............................................................................................... 13
4.3)Secção no Cone .................................................................................................... 13
4.4)Área do Cone ........................................................................................................ 13
4.5)Volume do Cone ................................................................................................... 13
5)Pirâmides ..................................................................................................................... 14
5.1)Classificação ......................................................................................................... 14
5.2)Secção na Pirâmide ............................................................................................... 15
5.3)Área da Pirâmide .................................................................................................. 16
5.3.1)Exemplo de Pirâmide com Base Hexagonal Regular .................................... 16
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5.4)Volume da Pirâmide ............................................................................................. 17
6)Troncos ........................................................................................................................ 17
6.1)Área do Tronco ..................................................................................................... 18
6.2)Volume do Tronco ................................................................................................ 18
7)Esferas ......................................................................................................................... 19
7.1)Área da Esfera ...................................................................................................... 19
7.2)Volume da Esfera ................................................................................................. 19
8)Exercícios .................................................................................................................... 20
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1)Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos,
pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum.
1.1)Componentes
Um poliedro é composto por três elementos em geral:
Vértices
o “pontas”
Arestas
o “dobras”
Faces
o “lados”
1.1.1)Exemplo: Hexaedro (cubo)
1.2)Poliedros Côncavos e Convexos
Um poliedro é convexo se, e somente se, toda semirreta ligando dois pontos
pertencentes ao poliedro está contida no poliedro.
1.2.1)Exemplo: Poliedro Convexo
Vértice
Face
Aresta
Semirreta contida no poliedro!
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1.2.2)Exemplo: Poliedro Côncavo
Semirreta passa fora do poliedro!
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1.3)Poliedros Regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos
regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um
mesmo número de arestas.
Quatro poliedros regulares são mostrados na tabela abaixo.
1.4)Relação de Euler
O matemático suíço Leonhard Euler descobriu que para qualquer poliedro
convexo é valida a relação:
Poliedro Planificação Elementos
Tetraedro
4 faces triangulares
4 vértices
6 arestas
Hexaedro
6 faces quadrangulares
8 vértices
12 arestas
Octaedro
8 faces triangulares
6 vértices
12 arestas
Icosaedro
20 faces triangulares
12 vértices
30 arestas
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1.4.1)Exemplos
1.5)Poliedro Platônico
Um poliedro é considerado platônico se, e somente se:
For convexo
Em cada vértice chegar o mesmo número de arestas
Toda face conter o mesmo número de arestas
For válida a relação de Euler
O Hexaedro acima é um poliedro platônico, porém o Prisma acima não é. Saberia
dizer por quê?
2)Prismas
Um prisma é todo poliedro formado por uma face superior e uma face inferior,
paralelas e congruentes (também chamadas de bases) ligadas por arestas. As laterais de
um prisma são paralelogramos.
Hexaedro V=8 A=12 F=6
8 + 6 = 12 + 2
Prisma
V=12 A=18 F=8
12 + 8 = 18 + 2
Planos paralelos das bases
Base
Face Lateral
Altura
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2.1)Classificação
Um prisma pode ser classificado como reto ou oblíquo (torto), e como regular
ou não regular.
Um prisma é considerado reto se, e somente se suas arestas são perpendiculares
aos planos das bases. Ele é oblíquo (torto) caso contrário.
Prisma Reto
Prisma Oblíquo
Um prisma é considerado regular se suas bases são polígonos regulares (lados
iguais, ângulos iguais). O exemplo de prisma reto acima não é regular, porém o prisma
oblíquo é, dado que suas faces são quadrados.
2.2)Secção no Prisma
Neste ponto é importante definir um tipo de secção chamada secção transversal:
Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano
paralelo aos planos das bases.
É possível interpretar a secção transversal como um corte horizontal, que fatia
o prisma em dois outros prismas. É importante notar que os prismas gerados pelo corte
são semelhantes, e que todas as secções transversais são congruentes (lados e ângulos
iguais).
Plano de Secção
Paralelos!
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2.2)Área do Prisma
Em geral, a área de um poliedro é a soma da área de suas bases com a área de
suas faces (conhecida como área lateral).
Assim podemos escrever para a área de um prisma com ‘n’ faces:
2.2.1)Área do Prisma de base hexagonal regular
Consideremos o prisma abaixo, com aresta ‘a’ e altura ‘h’.
É sabido que a área do Hexágono regular é: √
A área de cada face lateral é: ah
Assim a área total é:
2.3)Volume do Prisma
Para o cálculo do volume do prisma (assim como de muitos poliedros), devemos
levar em consideração a área da base e a altura.
O volume do prisma é:
BL AnAÁrea 2
aha 63²3
AlturaAVolume B
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3)Cilindros
Um cilindro é como um prisma de base circular, e por isso muitos conceitos são
similares.
3.1)Classificação
Assim como um prisma, um cilindro pode ser classificado como reto (de
revolução) ou oblíquo (torto).
Cilindros retos são chamados também de cilindros de revolução, pois são
gerados a partir da rotação completa de um retângulo por um de seus lados.
Base Circular
Altura
Geratriz (“aresta”)
Eixo Retângulo Gerador
Aresta Geradora (Geratriz)
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3.2)Secção no Cilindro
No cilindro vale a pena introduzir um outro tipo de secção, em adição a secção
transversal: a secção meridiana.
Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um
plano que contém o eixo. Em contraste com a secção transversal, a secção meridiana
pode ser interpretada como um corte na vertical.
3.3)Área do Cilindro
Com a diferença das bases serem circulares, o cálculo para a área do cilindro é o
mesmo que o do prisma. Precisamos somar as áreas das bases com a área lateral.
É importante notar que no caso do cilindro, a área lateral é um retângulo que tem
como largura o comprimento da circunferência de base.
3.4)Volume do Cilindro
O cálculo para o volume do cilindro é o mesmo do prisma, ou seja, área da base
multiplicada pela altura.
Eixo
Área do círculo: 𝜋𝑟
Área Lateral: 𝜋𝑟ℎ
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4)Cones
Um cone é como um cilindro cuja base vai afinando com a altura, até que no
ponto mais alto sua base seja um ponto.
4.1)Classificação
Assim como um cilindro, um cone pode ser classificado como reto (de
revolução) ou oblíquo (torto).
Cones retos são chamados também de cones de revolução, pois são gerados a
partir da rotação completa de um triângulo retângulo por um de seus catetos.
Base Circular
Altura
Geratriz (“aresta”)
Lado Gerador (Geratriz)
Triângulo Gerador
Eixo
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4.2)Cálculo da Geratriz
Posto que o cilindro reto é gerado pela rotação de um triângulo retângulo,
podemos ver que a hipotenusa desse triângulo retângulo é a geratriz do cone.
Para encontrar o valor exato da geratriz pode-se usar o Teorema de Pitágoras,
que diz que:
4.3)Secção no Cone
No caso do cone, uma secção transversal (horizontal) gera o que nós chamamos
de tronco de cone, que será abordado no futuro.
Já uma secção meridiana (vertical) corta o cone formando um triângulo isósceles
cujos lados iguais são a geratriz e a base é o diâmetro do círculo de base do cone.
4.4)Área do Cone
Assim como no prisma e no cilindro, precisamos conhecer tanto a área da base
(note que só existe uma base), quanto à área lateral, que desta vez é um setor circular.
4.5)Volume do Cone
Embora parecido com os anteriores, o cone difere principalmente pelo cálculo
do seu volume.
Pode ser observado experimentalmente que um líquido contido em um cilindro é
suficiente para preencher três cones de mesma altura e mesma base.
Portanto o volume do cone é:
²²² rhGeratriz
Área do setor circular: 𝜋𝑟𝑔
Área da circunferência: 𝜋𝑟
3
AlturaAVolume
B
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5)Pirâmides
Uma pirâmide é como um cone de base poligonal plana.
5.1)Classificação
Assim como os anteriores, uma pirâmide pode ser classificada como reta ou
oblíqua (torta).
Uma pirâmide é considerada regular se sua base é um polígono regular (lados e
ângulos iguais), como no exemplo abaixo.
Altura
Base Poligonal
Face Lateral
Polígono Regular
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5.2)Secção na Pirâmide
Assim como nos cones, se dividirmos uma pirâmide através de uma secção
transversal (horizontal), produziremos uma nova pirâmide menor e um tronco de
pirâmide, que estudaremos adiante.
É importante notar que ao seccionar transversalmente uma pirâmide, as bases da
nova pirâmide e do tronco formados são semelhantes e paralelas.
Uma propriedade interessante de secções transversais em pirâmides que é útil
saber é que a razão entre as áreas das bases das pirâmides maior e menor é igual à razão
entre o quadrado das alturas das duas pirâmides. Ou seja:
Outra coisa interessante é que essa propriedade também se aplica para o volume
das pirâmides, só que levando em consideração o cubo das alturas, como segue:
Bases Semelhantes e Paralelas
Nova Pirâmide
Tronco de Pirâmide
²
²
quenaPirâmidePe
andePirâmideGr
quenaPirâmidePe
andePirâmideGr
Altura
Altura
Área
Área
³
³
quenaPirâmidePe
andePirâmideGr
quenaPirâmidePe
andePirâmideGr
Altura
Altura
Volume
Volume
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5.3)Área da Pirâmide
Como fizemos anteriormente, para calcular a área da pirâmide precisamos levar
em consideração a área da base (lembrando que só existe uma base) e a área lateral.
No cálculo da área de uma pirâmide, é especialmente importante saber calcular a
área da base, posto que possa ser qualquer polígono (em geral regular). A estratégia
recomendada é dividir o polígono em triângulos, sempre que possível.
O exemplo abaixo ilustra o caso onde a base da pirâmide é um Hexágono regular.
5.3.1)Exemplo de Pirâmide com Base Hexagonal Regular
Neste exemplo calcularemos a área da base de uma pirâmide de base hexagonal
regular (lados e ângulos iguais).
É importante notar que o hexágono, por ser regular, pode ser dividido em seis
triângulos equiláteros. Esse fenômeno é observado por que o hexágono pode de fato
ser dividido em seis triângulos (como na figura abaixo), e já que todos os triângulos são
iguais (hexágono regular), portanto todos têm todos os ângulos iguais a 60°,
classificando-os como equiláteros.
Já que conseguimos dividir o hexágono em seis triângulos iguais, só nos resta
encontrar a área do triângulo, e multiplica-la pelo número de triângulos. Para encontrar
a área do triângulo, precisamos da largura da base (aresta do hexágono) e da altura do
triângulo, também chamada de apótema da base.
O apótema da base é o segmento de reta que, partindo do centro do polígono, é
perpendicular a um de seus lados. No nosso caso, o apótema da base é justamente a
altura do triângulo!
Para calcular o apótema da base, podemos usar a fórmula que diz que, dado um
polígono regular de ‘n’ lados, a medida do apótema da base é:
Altura do Triângulo
Apótema da Base
)/tan(2 n
arestaApótema
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Se lembrarmos de que π radianos são 180°, vemos rapidamente que a fórmula do
apótema equivale a fórmula da altura do triângulo equilátero.
Um modo alternativo de calcular a altura de um triângulo equilátero é dividi-lo
em dois triângulos retângulos e aplicar o teorema de Pitágoras.
De ambos os jeitos, a conclusão a que se chega é que a altura do triângulo
equilátero é a seguinte:
Sabendo que a fórmula para a área do triângulo é a metade da medida da base
multiplicada pela altura (base.altura/2), encontramos que a área do hexágono é:
√ .
5.4)Volume da Pirâmide
O cálculo do volume da pirâmide é igual ao do cone, ou seja, um terço do
produto da base com a altura.
6)Troncos
Durante os capítulos anteriores seccionamos cones e pirâmides, mas nunca
estudamos chamados troncos gerados a partir desses cortes.
Embora seja um tópico mais “incomum”, vale a pena dar uma olhada nos
troncos de pirâmides e cones, principalmente no cálculo de áreas e volumes.
Na figura abaixo podemos ver exemplos de troncos de cone e pirâmide, além
dos novos poliedros formados pelo corte. É importante lembrar que as bases do poliedro
original e do novo são paralelas e semelhantes.
2
3arestaAltura
Tronco
Poliedro Menor
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6.1)Área do Tronco
O contrário do cone e da pirâmide, um tronco tem duas bases ao invés de só uma.
Portanto no cálculo da área de um tronco de cone ou de pirâmide, temos que levar em
consideração tanto a área lateral quanto a área das duas bases.
Vale a pena dar atenção especial a área do tronco de cone, por que o cálculo da
sua área lateral é um pouco diferente do que estamos acostumados.
As bases circulares são circunferências e sabemos que a área de cada uma é
. Já a área da coroa circular mostrada na figura pode ser obtida diminuindo a
área da coroa menor da maior (cone menor do cone original).
6.2)Volume do Tronco
Para o cálculo do volume de um tronco, seja de cone ou de pirâmide, existe uma
única fórmula, que segue abaixo, onde as variáveis indicam as áreas das bases maior e
menor:
Lembrando que o volume do tronco pode sempre ser obtido retirando-se o
volume do poliedro menor do poliedro maior original.
Bases Circulares
Coroa Circular
)(3
bBbB AAAAAltura
Volume
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7)Esferas
A definição de esfera é uma das mais simples de todas, sendo o conjunto de
pontos a uma distância R (raio) de certo ponto O.
A esfera também é chamada de esfera de revolução, pois, parecido com os
cones e cilindros, é um solido formado pela rotação de um semicírculo em torno de um
eixo.
7.1)Área da Esfera
Supondo uma esfera de raio ‘r’, a área da esfera é dada por:
7.2)Volume da Esfera
Supondo uma esfera de raio ‘r’, o volume da esfera é dado por:
Eixo
Esfera
²4 rÁrea
³3
4rVolume
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8)Exercícios
8.1) (Esc.Naval-93) Um poliedro convexo possui 11 faces. Sabemos que, de um de seus
vértices partem 5 arestas, de 5 outros vértices partem 4 arestas e de cada vértice restante
partem 3 arestas. O número de arestas do poliedro é:
(A) 20 (B) 25 (C) 30 (D) 37 (E) 41
8.2) (Esc.Naval-01) Um poliedro convexo de 25 arestas tem faces triangulares,
quadrangulares e pentagonais. O número de faces quadrangulares vale o dobro do
número de faces pentagonais e o número de faces triangulares excede o de faces
quadrangulares em 4 unidades. Pode-se afirmar que o número de vértices deste poliedro
é:
(A) 14 (B) 13 (C) 11 (D) 10
8.3) (AFA-02.Corpo feminino) Um poliedro platônico, cujas faces são triangulares, tem
30 arestas. Determine o número de arestas que concorrem em cada vértice.
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
8.4) (Esc.Naval-88) Um poliedro convexo é formado por 10 faces triangulares e 10
faces pentagonais . O número de diagonais desse poliedro é:
(A) 12 (B) 10 (C) 8 (D) 6 (E) 4
8.5) (AFA-02/ 03) Um poliedro platônico, cujas faces são triangulares, tem 30 arestas.
Determine o número de arestas que concorrem em cada vértice.
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
8.6) (EEAR.02/ 03.C.F.T) Uma caixa d’água, com forma de um paralelepípedo
retângulo, terá seu volume reduzido à metade do que tinha sido projetado inicialmente.
Para isso, o construtor deverá diminuir as dimensões da base dessa caixa de 20% e 50%,
respectivamente. Já em relação à medida da altura dessa caixa d’água, o construtor irá:
(A) aumentá-la de 30%. (C) diminuí-la de 30%.
(B) aumentá-la de 25%. (D) diminuí-la de 25%.
8.7) (EsPCEx.98 /99) Uma piscina em forma de paralelepípedo retângulo tem largura de
6 metros, diagonal do fundo com 10 metros e diagonal da face que contém o
comprimento igual a 4 5 metros. Para enchê-la com água será utilizado um caminhão
tanque com capacidade de 6000 litros. O número de cargas completas, desse mesmo
caminhão, necessárias para que a piscina fique completamente cheia é:
(A) 24 (B) 28 (C) 32 (D) 54 (E) 80