1 – Distribuição de Bernoulli2 – Distribuição Binomial3 – Multinomial4 – Distribuição de Poisson
Renata Souza
Probabilidade
Distribuição de BernoulliUma lâmpada é escolhida ao acaso
A lâmpada é defeituosa(sucesso)
X = 0 se a lâmpada não édefeituosaX = 1 se a lâmpada édefeituosa
P(X=1)= 3/5P(X=0)= 2/5
Ensaio de Bernoulli
Número de ensaios = 1
Distribuição de BernoulliSeja X uma v.ª com dois resultados possíveis: fracasso e sucesso.X→ x1 =1 sucesso; P(X=1)=pX→ x1 =0 fracasso; P(X=0)=1-p=qMédia: μX = p Variância σ2 = pq
Distribuição Binomial
P(não defeituosa)=1-p= 4/7P(defeituosa)= p =3/7
3 Ensaios de Bernoulli, n = 3
Seja X o número de defeituosas
1. O experimento consiste de três ensaios idênticos;2. Dois resultados são possíveis;3. As probabilidades p e (1-p) são as mesmas em cada ensaio;4. Os ensaios são independentes.
Distribuição Binomial
S= { 111, 110, 101, 011, 001, 010, 100, 000}
P(001) = 4/7 × 4/7 × 3/7= 48/343P(010) = 4/7 × 3/7 × 4/7=48/343P(100) = 3/7 × 4/7 × 4/7=48/343
P(X=1) = P(001) + P(010) + P(100)P(X=1) = 3 × 48/343
X = 0 - {000}X = 1 – {001, 010, 100}X = 2 - {110, 101, 011}X = 3 - {111}
Seja X o número de defeituosas
P(não defeituosa)= (1-p)= 4/7P(defeituosa)= p =3/7
Distribuição Binomial
( ) ( )21 7/47/313
)1( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==XP
P(X=1) = P(001) + P(010) + P(100)P(X=1) = 3 × 48/343
Seja X o número de defeituosas
Distribuição Binomial
( ) ( ) xnx ppxn
xXP −−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== 1)(
Função de Probabilidade
ondep(x) = a probabilidade de x sucessos em n ensaiosn = o número de ensaios
p = probabilidade de um sucessoem um ensaio(1-p) = probabildidade de um fracasso em um ensaio
X ∼ B(n,p)
Distribuição Binomial
Seja X uma v.a. Binomial com parâmetros n e p onde p é a probabilidade de sucesso.X→ {0,1,2,..n}Média: μX = npVariância σ2 = npq
Exemplo
Considere uma loja de roupas que receba 3 clientesp = o cliente faz compra = 0,30(1-p) = o cliente não faz compra = 0,70
x p(x)
0 0,343
1 0,441
2 0,189
3 0,027
1,00
30 )70,0()30,0(!3!0
!3
Total
21 )70,0()30,0(!2!1
!3
12 )70,0()30,0(!1!2
!3
03 )70,0()30,0(!0!3
!3
X- número de clientesque compram
Exemplo: Representação Gráfica
0 1 2 3
0,10
0,20
0,30
0,40
0.50
x
P(x)
Função de Probabilidade
Exemplo: CaracterísticasValor Esperado
E(X) = μ = np
Variância
Var(X) = σ2 = np(1-p)
Considerando o exemplo, temos
E(X) = μ = 3 × 0,30 = 0,90
Var(X) = σ2 = np(1-p)= 3 × 0,30 × 0,70 = 0,63
Distribuição MultinomialÉ uma extensão da binomial para mais de dois resultados possíveis.Seja um experimento que permite ter k resultados diferentes (A1,...Ak) formando o espaço amostral.Considere n tentativas deste experimento, sendo que os pi i=1,..,k associados aos k resultados permanecem constantes durante as repetições do experimento, comSejam Xi,..Xk v. as. que são os números de ocorrências associados aos k resultados possíveis com
∑=
=k
iip
11
Distribuição MultinomialFunção de Probabilidade
Com Média: E(Xi)= n × pi
Variância: Var(Xi) = n × pi × qi
knk
nn
kkk ppp
nnnnXnXP ×××××
=== ....!...!
!)...,( 2121
1,1
∑=
=k
ik nn
1
ExemploUm dado é lançado 10 vezes. Qual é a probabilidade de terem aparecido duas vezes o no
2, duas vezes o no 5, três vezes o no 1 e uma vez os demais resultados?n=10 p1= p2= p3 = p5 = p6 = 1/6X1=3, X2=2, X3=1,X4=1,X5=2,X6=1
0025,061
61
61
61
61
61
!1!2!1!1!2!3!10
)1,2,1,1,2,3(121123
654321
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
×××××=
======= XXXXXXP
ExemploE(Xi)=nipi e Var(Xi) = n × pi × qi
E(X1)= 10 × 1/6 =5/3 e Var(X1) = 10 × 1/6 ×5/6=50/36E(X2)= 10 × 1/6 =5/3 e Var(X2) =10 × 1/6 ×5/6=50/36E(X3)= 10 × 1/6 =5/3 e Var(X3) = 10 × 1/6 ×5/6=50/36E(X4)= 10 × 1/6 =5/3 e Var(X4) = 10 × 1/6 ×5/6=50/36E(X5)= 10 × 1/6 =5/3 e Var(X5) = 10 × 1/6 ×5/6=50/36
Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia.Erros tipográficos por página,em um material impresso.Defeitos por unidade (m2,m, etc) por peça fabricadaMortes por ataque de coração por ano, numa cidade.Problemas de filas de espera
Distribuição de Poisson
Distribuição de PoissonRepresenta a distribuição de probabilidade de umavariável aleatória que registra o número de ocorrências sobre um intervalo de tempo ouespaço específicos.Propriedades do experimento Poisson:
A probabilidade de uma ocorrência é a mesma paraquaisquer dois intervalos de tempo.A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervaloé independente da ocorrência ou não-ocorrência em qualquer intervalo
!)(
xexP
x λ−λ= X ∼ P(λ)
Função de Probabilidade de Poisson
Uma variável aleatória de Poisson não tem limites. x = 0,,1,2,3,…P(x) = a probabilidade de x ocorrências em um intervaloλ = valor esperado ou número médio de ocorrências em um
intervaloe = 2,71828 Média: E(X) = λVariância: Var(X)= λ
ExemploSuponha que é observado o número de chegadas a uma caixa automática de um banco durante um período de 15 minutos.A probabilidade de um carro chegar é a mesma
para quaisquer dois períodos de tempo de igualcumprimento.A chegada ou não chegada de um carro em qualquer período de tempo é independente dachegada ou não chegada de um outro carro em qualquer outro período de tempo.
Suponha que o número médio de carros que chegam no período de 15 minutos é 10, então
!10
!)(
xe
xexP
xx λ−π−
=λ
=
X- número de carros que chegam em qualquer período de 15 minutos
A probabilidade de 5 chegadas em 15 minutos
0378,0!5
10)5(105
====−eXP
Exemplo
E(X) = 10 e Var(X) = 10