ARITMÉTICA MODULAR

Um novo contexto para operações básicas

EQUIPE

Wesley Siebra Maurício Neto Joéliton Araújo Ellison Alencar Paulo Dayvson

A OPERAÇÃO (A mod B)

11 (mod 3) = 2

- 37 (mod 5) = 3 5 (mod 7) = 5

CONGRUÊNCIA

EXEMPLO

Verificar se 14 e 22 são congruentes no módulo 6:

O QUE É ARITMÉTICA?

É o estudo das operações básicas: Adição; Subtração; Multiplicação ; Divisão.

CONTEXTO

Esta visão mais simplista da aritmética é normalmente estudada no contexto dos conjuntos Z (inteiros) e Q (naturais).

UM NOVO CONTEXTO

O novo contexto que iremos trabalhar é o conjunto Zn .

Dado um número inteiro n>1, então:

UM NOVO CONTEXTO

Como todo número inteiro produz um resto ao ser dividido por n, Zn tem em si um representante para cada número inteiro.

UMA NOVA VISÃO

ADIÇÃO MODULAR

EXEMPLOS

= (5 + 5) mod 10 = 10 mod 10 = 0

EXEMPLOS

Ainda com n = 10

= (9 + 9) mod 10 = 18 mod 10 = 8

SUBTRAÇÃO MODULAR

Exemplo: (Com n = 10)

= (8 - 5) mod 10 = 3 mod 10 = 3

PRIMOS ENTRE SI

Dois números inteiros quaisquer são primos entre si quando:

mdc(a,b) = 1

INVERSO MODULAR

EXPLORANDO ALGUNS INVERSOS (mod n) , COM n = 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 0 2 4 6 8 1 3 5 7

3 0 3 6 0 3 6 0 3 6

4 0 4 8 3 7 2 6 1 5

5 0 5 1 6 2 7 3 8 4

6 0 6 3 0 6 3 0 6 3

7 0 7 5 3 1 8 6 4 2

8 0 8 7 6 5 4 3 2 1

NOTA-SE QUE...

Os números invertíveis foram: 1, 2, 4, 5, 7 e 8 (primos entre si com 9)

Os não-invertíveis foram: 0, 3 e 6. (Não são primos entre si com

9)

DIVISÃO MODULAR

Onde b-1 é o inverso modular de a.

EXEMPLO

APLICAÇÕES

Cálculos envolvendo datas, períodos e ciclos de tempo e outros;

Identificação (CPF, CNPJ, ISBN,ISSN);

Criptografia; Geração de números pseudo-

aleatórios; Endereçamento de memória; Código de barras; etc.

PROBLEMA PRÁTICO!

SOLUÇÃO...

Como 118 mod 8 = 6, então a estará no fio G.

EXERCÍCIOS

FIM!