Controle de SistemasModelagem Matemtica
APLICAES DOS MODELOS MATEMTICOSMODELO MATEMTICOSimulao de processo usado para:Representao matemtica do processo realAuxilia a anlise do processo e controle
APLICAES NA REA DE CONTROLE1 - Aprimorar o entendimento do processoEstudar o comportamento do processoexplorar as regies de operao2 - Treinamento de operadoresTreinar em diversas regies do processoTreinar em situaes de emergnciaUtiliza console de operao como interfaceMODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA
PRINCPIOS GERAIS DA MODELAGEM MATEMTICA
Modelos matemticos so obtidos atravs de:
Balano de Massa ( Massa, Volume, Composio, ...)
Balano de Energia ( Temperatura, Calor )
Balano de Momento ( Presso )
Equaes Constitutivas ( Correlaes )MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA
PRINCPIOS GERAIS DA MODELAGEM MATEMTICA( Cont.)Modelos dinmicos so constituidos de:
EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS ( ODE )
EQUAES DIFERENCIAIS PARCIAIS ( PDE )
RELAES ALGBRICAS
MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA
MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAPRINCPIOS GERAIS DA MODELAGEM MATEMTICA( Cont.)Modelos dinmicos so constituidos de:
FORMA GERAL DOS MODELOS DINMICOS
GRAUS DE LIBERDADE NA MODELAGEM
Modelos matemticos devem fornecer uma nica soluo das sadas em funo das entradas.Nmero de variveis desconhecidas devem ser iguais ao nmero de equaes independentes (GRAU DE LIBERDADE ZERO )
Na forma de equao:
NF = NV - NE = 0
NF - Grau de liberdadeNV - Nmero de variveis desconhecidas ( entradas no especificadas + sadas )NE - Nmero de equaes independentes ( equaes diferenciais e algbricas )MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA
SOLUO DO SISTEMA
NF = 0 nico caso satisfatrio
NF > 0 NF variveis tem que ser especificadas
NF < 0 NF equaes tem que ser desenvolvidas
MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA
SISTEMAS HIDRULICOSSISTEMA DE ESTOCAGEM DE LQUIDO COM RESTRIO NA CORRENTE DE SADA
hipteses: densidade constante (r) tanque cilndrico ( rea constante )descarga na sadaMODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA
MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMASISTEMAS HIDRULICOSSISTEMA DE ESTOCAGEM DE LQUIDO COM RESTRIO NA CORRENTE DE SADA (Cont.)
Balano de Massa
Balano de Energia
V = A.h
SISTEMAS HIDRULICOSSISTEMA DE ESTOCAGEM DE LQUIDO COM RESTRIO NA CORRENTE DE SADA (Cont.)
Onde:V - volume do tanquer- densidade do lquidoh - nvel do tanqueqi , q - Vazes volumtricas de entrada e sadaA - SeoRv - Resistncia ao escoamentoMODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA
MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMASISTEMAS HIDRULICOSSISTEMA DE ESTOCAGEM DE LQUIDO COM RESTRIO NA CORRENTE DE SADA (Cont.)
Portanto
Parmetros: A, RvVariveis: h, qi(Nv = 2) Equaes: 1 (Ne = 1)Graus de liberdade: Entradas: qiSadas: h
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
DEFINIO
Mtodo para resolver equaes diferenciais ordinrias
uma operao semelhante transformada logartmica
Eqs diferenciais so transformadas em equaes algbricas
Realiza-se operaes no domnio s
Retorna ao domnio t atravs da transformada inversaTRANSFORMADAS DE LAPLACE
Matemtico francs LAPLACE (1749-1827) inventou um mtodo para resolver equaes diferenciais da seguinte formaMultiplica cada termo da equao diferencial por e-stIntegra cada termo em relao ao tempo de ZERO a INFINITO s uma constante de unidade 1/tempo
Matematicamente:
Onde:F(s) - smbolo da transformada de Laplacef(t) - funo contnua em 0 < t < infinito L - operador de LaplaceTRANSFORMADAS DE LAPLACE
Inversa da Transformada de Laplace
Onde:f(t) - funo que no definida para t < 0L-1 - operador da inversa de LaplaceTRANSFORMADAS DE LAPLACE
PROPRIEDADES
1 - SOMA DE DUAS FUNES
2 - MULTIPLICAO POR UMA CONSTANTE
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
TRANSFORMADAS DE LAPLACEPROPRIEDADES (Cont.)
3 - FUNO COM ATRASO NO TEMPO
TRANSFORMADAS DE LAPLACEPROPRIEDADES (Cont.)
4 - DERIVADA PRIMEIRA DE UMA FUNO
TRANSFORMADAS DE LAPLACEPROPRIEDADES (Cont.)
5 - DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNO
fazendo ou
PROPRIEDADES (Cont.)
5 - DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNO (Cont.)
Substituindo
6 - DERIVADA N-SIMA DE UMA FUNO
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
PROPRIEDADES (Cont.)
7 - INTEGRAL DE UMA FUNO
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
EXEMPLOS
1 - FUNO CONSTANTE
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOS
2 - FUNO DEGRAU UNITRIO
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOS
3 - FUNO PULSO
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOS
3 - FUNO PULSO (Cont.)
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOS
4 - FUNO IMPULSO ( Delta de Dirac )
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOS
4 - FUNO IMPULSO ( Delta de Dirac ) (Cont.)
Aplicando a regra de LHpital
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOS
5 - FUNO EXPONENCIAL
A transformada de Laplace no definida para b < 0
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOS
1 - FUNO TRIGONOMTRICA
TEOREMA DO VALOR FINAL
Relacionado ao comportamento em regime permanente de f(t) - ganho estacionrio da funo
TEOREMA: Se uma transformada de Laplace multiplicada por s, o valor do produto fazendo s tender a zero o valor da transformada inversa com t tendendo a infinito
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
TRANSFORMADAS DE LAPLACETEOREMA DO VALOR INICIAL
No fornece o valor de f(t) em t = 0, mas num tempo ligeiramente superior a ZERO
TEOREMA: Se uma transformada de Laplace multiplicada por s, o valor do produto fazendo s tender a infinito o valor da transformada inversa com t tendendo a zero
EXEMPLO: Determine os valores inicial e final da funoTRANSFORMADAS DE LAPLACE
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
O mtodo mais conveniente utilizar a tabela de transformadas inversas
A funo deve estar numa forma reconhecvel na tabela
Se a transformada F(s) no puder ser encontrada diretamente na tabela, deve-se expandir em fraes parciais para obter funes com transformadas conhecidasTRANSFORMADAS DE LAPLACE
EXPANSO EM FRAES PARCIAIS
O denominador deve ser fatorado
O numerador deve ser, pelo menos, um grau abaixo do denominador
Quando o grau do numerador for igual ou maior que o denominador, o numerador deve ser dividido pelo denominador para dar termos que seja pelo menos um grau abaixo do denominadorTRANSFORMADAS DE LAPLACE
TIPOS DE FRAES PARCIAIS
1 - FATORES LINEARES NO DENOMINADOR
Expresso:
pi (i = 1:n) razes distintas
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
TRANSFORMADAS DE LAPLACETIPOS DE FRAES PARCIAIS (Cont.)
1 - FATORES LINEARES NO DENOMINADOR (Cont.)
Fraes Parciais:
TRANSFORMADAS DE LAPLACETIPOS DE FRAES PARCIAIS (Cont.)
2 - FATORES LINEARES REPETIDOS NO DENOMINADOR
Expresso:
k razes iguais
TIPOS DE FRAES PARCIAIS (Cont.)
2 - FATORES LINEARES REPETIDOS NO DENOMINADOR (Cont.)
Fraes Parciais:TRANSFORMADAS DE LAPLACE
TIPOS DE FRAES PARCIAIS (Cont.)
2 - FATORES LINEARES REPETIDOS NO DENOMINADOR (Cont.)
Fraes Parciais:TRANSFORMADAS DE LAPLACE
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOSExemplo: Realize a expanso em fraes parciais da equao
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOSExemplo 1 (Cont.)
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOSExemplo 1 (Cont.)
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOSExemplo 2
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOSExemplo 2 (Cont.)
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOSExemplo 2 (Cont.)
SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS POR LAPLACE
PROCEDIMENTO
1 - Transformar cada termo da equao diferencial em sua transformada de Laplace
2 - Pesquisar todas as manipulaes Exemplo: Comportamento quando um degrau aplicado ao sistema
3 - Converter a funo de Laplace em uma funo do tempo atravs da transformada inversa. Frequentemente necessrio expandir em fraes parciaisTRANSFORMADAS DE LAPLACE
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
EXEMPLOSeja a equao diferencial
com as seguintes condies iniciais
aplique um degrau unitrio em u
u(t) = 1TRANSFORMADAS DE LAPLACE
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)Etapa 1 ( Aplicao da Transformada de Laplace )
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)Etapa 1 ( Aplicao da Transformada de Laplace ) (Cont.)
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)Etapa 2 ( Operao com a funo de Transferncia)
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)Etapa 3a ( Expanso em Fraes parciais)
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)Etapa 3a ( Expanso em Fraes parciais) (Cont.)
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)Etapa 3b ( Aplicao da Transformada Inversa de Laplace)
Tarefa para casa: descobrir como usar o MATLAB para obter o grfico da funo acima entre t = 0 e t = 100s.
TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)No MATLAB: >> t = [0:0.1:100];>> y = 1/6 - 1/2*exp(-t) + 1/2*exp(-2*t) - 1/6*exp(-3*t);>> plot (t,y);
TRANSFORMADAS DE LAPLACEFunoTransformadaf(t)F(s)Impulso Unitrio d(t)1Degrau Unitrio 1(t)Rampa Unitria t1234t n ( n = 1, 2, 3, ...)Pares de Transformadas de Laplace
TRANSFORMADAS DE LAPLACEFunoTransformadaf(t)F(s)5678Pares de Transformadas de Laplace (Cont.)
TRANSFORMADAS DE LAPLACEFunoTransformadaf(t)F(s)9101112Pares de Transformadas de Laplace (Cont.)
FunoTransformadaf(t)F(s)13141516TRANSFORMADAS DE LAPLACESenide AmortecidaCossenide AmortecidaPares de Transformadas de Laplace (Cont.)
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