Aula 01 Modelagem Laplace

Controle de SistemasModelagem Matemtica

APLICAES DOS MODELOS MATEMTICOSMODELO MATEMTICOSimulao de processo usado para:Representao matemtica do processo realAuxilia a anlise do processo e controle

APLICAES NA REA DE CONTROLE1 - Aprimorar o entendimento do processoEstudar o comportamento do processoexplorar as regies de operao2 - Treinamento de operadoresTreinar em diversas regies do processoTreinar em situaes de emergnciaUtiliza console de operao como interfaceMODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA

PRINCPIOS GERAIS DA MODELAGEM MATEMTICA

Modelos matemticos so obtidos atravs de:

Balano de Massa ( Massa, Volume, Composio, ...)

Balano de Energia ( Temperatura, Calor )

Balano de Momento ( Presso )

Equaes Constitutivas ( Correlaes )MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA

PRINCPIOS GERAIS DA MODELAGEM MATEMTICA( Cont.)Modelos dinmicos so constituidos de:

EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS ( ODE )

EQUAES DIFERENCIAIS PARCIAIS ( PDE )

RELAES ALGBRICAS

MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA

MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAPRINCPIOS GERAIS DA MODELAGEM MATEMTICA( Cont.)Modelos dinmicos so constituidos de:

FORMA GERAL DOS MODELOS DINMICOS

GRAUS DE LIBERDADE NA MODELAGEM

Modelos matemticos devem fornecer uma nica soluo das sadas em funo das entradas.Nmero de variveis desconhecidas devem ser iguais ao nmero de equaes independentes (GRAU DE LIBERDADE ZERO )

Na forma de equao:

NF = NV - NE = 0

NF - Grau de liberdadeNV - Nmero de variveis desconhecidas ( entradas no especificadas + sadas )NE - Nmero de equaes independentes ( equaes diferenciais e algbricas )MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA

SOLUO DO SISTEMA

NF = 0 nico caso satisfatrio

NF > 0 NF variveis tem que ser especificadas

NF < 0 NF equaes tem que ser desenvolvidas

MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA

SISTEMAS HIDRULICOSSISTEMA DE ESTOCAGEM DE LQUIDO COM RESTRIO NA CORRENTE DE SADA

hipteses: densidade constante (r) tanque cilndrico ( rea constante )descarga na sadaMODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA

MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMASISTEMAS HIDRULICOSSISTEMA DE ESTOCAGEM DE LQUIDO COM RESTRIO NA CORRENTE DE SADA (Cont.)

Balano de Massa

Balano de Energia

V = A.h

SISTEMAS HIDRULICOSSISTEMA DE ESTOCAGEM DE LQUIDO COM RESTRIO NA CORRENTE DE SADA (Cont.)

Onde:V - volume do tanquer- densidade do lquidoh - nvel do tanqueqi , q - Vazes volumtricas de entrada e sadaA - SeoRv - Resistncia ao escoamentoMODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMA

MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMASISTEMAS HIDRULICOSSISTEMA DE ESTOCAGEM DE LQUIDO COM RESTRIO NA CORRENTE DE SADA (Cont.)

Portanto

Parmetros: A, RvVariveis: h, qi(Nv = 2) Equaes: 1 (Ne = 1)Graus de liberdade: Entradas: qiSadas: h

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

DEFINIO

Mtodo para resolver equaes diferenciais ordinrias

uma operao semelhante transformada logartmica

Eqs diferenciais so transformadas em equaes algbricas

Realiza-se operaes no domnio s

Retorna ao domnio t atravs da transformada inversaTRANSFORMADAS DE LAPLACE

Matemtico francs LAPLACE (1749-1827) inventou um mtodo para resolver equaes diferenciais da seguinte formaMultiplica cada termo da equao diferencial por e-stIntegra cada termo em relao ao tempo de ZERO a INFINITO s uma constante de unidade 1/tempo

Matematicamente:

Onde:F(s) - smbolo da transformada de Laplacef(t) - funo contnua em 0 < t < infinito L - operador de LaplaceTRANSFORMADAS DE LAPLACE

Inversa da Transformada de Laplace

Onde:f(t) - funo que no definida para t < 0L-1 - operador da inversa de LaplaceTRANSFORMADAS DE LAPLACE

PROPRIEDADES

1 - SOMA DE DUAS FUNES

2 - MULTIPLICAO POR UMA CONSTANTE


TRANSFORMADAS DE LAPLACEPROPRIEDADES (Cont.)

3 - FUNO COM ATRASO NO TEMPO


4 - DERIVADA PRIMEIRA DE UMA FUNO


5 - DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNO

fazendo ou

PROPRIEDADES (Cont.)

5 - DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNO (Cont.)

Substituindo

6 - DERIVADA N-SIMA DE UMA FUNO


PROPRIEDADES (Cont.)

7 - INTEGRAL DE UMA FUNO


EXEMPLOS

1 - FUNO CONSTANTE


TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOS

2 - FUNO DEGRAU UNITRIO


3 - FUNO PULSO


3 - FUNO PULSO (Cont.)


4 - FUNO IMPULSO ( Delta de Dirac )


4 - FUNO IMPULSO ( Delta de Dirac ) (Cont.)

Aplicando a regra de LHpital


5 - FUNO EXPONENCIAL

A transformada de Laplace no definida para b < 0


1 - FUNO TRIGONOMTRICA

TEOREMA DO VALOR FINAL

Relacionado ao comportamento em regime permanente de f(t) - ganho estacionrio da funo

TEOREMA: Se uma transformada de Laplace multiplicada por s, o valor do produto fazendo s tender a zero o valor da transformada inversa com t tendendo a infinito


TRANSFORMADAS DE LAPLACETEOREMA DO VALOR INICIAL

No fornece o valor de f(t) em t = 0, mas num tempo ligeiramente superior a ZERO

TEOREMA: Se uma transformada de Laplace multiplicada por s, o valor do produto fazendo s tender a infinito o valor da transformada inversa com t tendendo a zero

EXEMPLO: Determine os valores inicial e final da funoTRANSFORMADAS DE LAPLACE

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

O mtodo mais conveniente utilizar a tabela de transformadas inversas

A funo deve estar numa forma reconhecvel na tabela

Se a transformada F(s) no puder ser encontrada diretamente na tabela, deve-se expandir em fraes parciais para obter funes com transformadas conhecidasTRANSFORMADAS DE LAPLACE

EXPANSO EM FRAES PARCIAIS

O denominador deve ser fatorado

O numerador deve ser, pelo menos, um grau abaixo do denominador

Quando o grau do numerador for igual ou maior que o denominador, o numerador deve ser dividido pelo denominador para dar termos que seja pelo menos um grau abaixo do denominadorTRANSFORMADAS DE LAPLACE

TIPOS DE FRAES PARCIAIS

1 - FATORES LINEARES NO DENOMINADOR

Expresso:

pi (i = 1:n) razes distintas


TRANSFORMADAS DE LAPLACETIPOS DE FRAES PARCIAIS (Cont.)

1 - FATORES LINEARES NO DENOMINADOR (Cont.)

Fraes Parciais:

TRANSFORMADAS DE LAPLACETIPOS DE FRAES PARCIAIS (Cont.)

2 - FATORES LINEARES REPETIDOS NO DENOMINADOR

Expresso:

k razes iguais

TIPOS DE FRAES PARCIAIS (Cont.)

2 - FATORES LINEARES REPETIDOS NO DENOMINADOR (Cont.)

Fraes Parciais:TRANSFORMADAS DE LAPLACE

TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOSExemplo: Realize a expanso em fraes parciais da equao

TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOSExemplo 1 (Cont.)

TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOSExemplo 2

TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLOSExemplo 2 (Cont.)

SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS POR LAPLACE

PROCEDIMENTO

1 - Transformar cada termo da equao diferencial em sua transformada de Laplace

2 - Pesquisar todas as manipulaes Exemplo: Comportamento quando um degrau aplicado ao sistema

3 - Converter a funo de Laplace em uma funo do tempo atravs da transformada inversa. Frequentemente necessrio expandir em fraes parciaisTRANSFORMADAS DE LAPLACE

EXEMPLOSeja a equao diferencial

com as seguintes condies iniciais

aplique um degrau unitrio em u

u(t) = 1TRANSFORMADAS DE LAPLACE

TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)Etapa 1 ( Aplicao da Transformada de Laplace )

TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)Etapa 1 ( Aplicao da Transformada de Laplace ) (Cont.)

TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)Etapa 2 ( Operao com a funo de Transferncia)

TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)Etapa 3a ( Expanso em Fraes parciais)

TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)Etapa 3a ( Expanso em Fraes parciais) (Cont.)

TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)Etapa 3b ( Aplicao da Transformada Inversa de Laplace)

Tarefa para casa: descobrir como usar o MATLAB para obter o grfico da funo acima entre t = 0 e t = 100s.

TRANSFORMADAS DE LAPLACEEXEMPLO (Cont.)No MATLAB: >> t = [0:0.1:100];>> y = 1/6 - 1/2*exp(-t) + 1/2*exp(-2*t) - 1/6*exp(-3*t);>> plot (t,y);

TRANSFORMADAS DE LAPLACEFunoTransformadaf(t)F(s)Impulso Unitrio d(t)1Degrau Unitrio 1(t)Rampa Unitria t1234t n ( n = 1, 2, 3, ...)Pares de Transformadas de Laplace

TRANSFORMADAS DE LAPLACEFunoTransformadaf(t)F(s)5678Pares de Transformadas de Laplace (Cont.)

TRANSFORMADAS DE LAPLACEFunoTransformadaf(t)F(s)9101112Pares de Transformadas de Laplace (Cont.)

FunoTransformadaf(t)F(s)13141516TRANSFORMADAS DE LAPLACESenide AmortecidaCossenide AmortecidaPares de Transformadas de Laplace (Cont.)

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