7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Robótica
Prof. Reinaldo Bianchi
Centro Universitário da FEI2013
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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3a aula
Parte A
3ª aula completa para agraduação
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Objetivos desta aula
Sistemas de Referência
Coordenadas Homogêneas.
Transformações entre sistemas decoordenadas.
Cinemática de manipuladores:
– Modelo geométrico de um manipulador. – Modelo de Denavit-Hartenberg.
– Cinemática direta.
Capítulos 2 e 3 de “ Introduction to Robotics”,
de J. J. Craig.
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Introdução
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Introdução
Para realizar o controle do manipuladoré necessário o estudo do seu
funcionamento mecânico. Mecânica =
– dinâmica +
– estática + – cinemática!
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Cinemática
Cinemática é o estudo do movimentodos robôs sem levar em conta as forças
e as massas envolvidas. Envolve apenas:
– posição,
– velocidade, – aceleração
– e suas derivadas.
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O problema central da cinemática
O problema central da cinemática écomo definir a posição do robô:
– Cinemática direta:• A partir das posições das articulações,
encontrar a posição e orientação da ferramentano espaço cartesiano da base.
– Cinemática inversa:• Definir as posições das articulações, dada uma
posição e orientação desejada para aferramenta.
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. . .
X
Y
Z
O
Base
Atuador
1 2
i
n
z
y
x
p
p
p
x
n
.
.
.
2
1
θ
p x , p y , p z
Variáveis das
Juntas Variáveis no
espaço
cartesiano
xDireta
Inversa
(Juntas) (Cartesiano)
O problema central
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Solucionando a Cinemática
Para solucionar os problemas decinemática direta e inversa, “basta”
saber computar as relaçõesmatemáticas entre as posições de cadaelo:
– Adota-se um sistema de coordenadas porelo.
– Utiliza-se conceitos de álgebra linear ...
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Descrições Espaciais eTransformações
Capítulo 2 do Craig.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Descrições espaciais
Uma descrição é uma matriz utilizadapara descrever os objetos com os quais
um manipulador deve tratar. A descrição de uma posição é uma
matriz 3 x 1:
AP =
p x
py
pz
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Descrições espaciais (II)
A descrição de uma orientação é umamatriz de rotação 3 x 3:
Denota a diferença entre a orientaçãodesejada e um sistema de coordenadasqualquer:
B
AR = A ˆ XB AYB
AZB[ ] =
r 11 r 12 r 13
r 21 r 22 r 23
r 31 r 32 r 33
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Descrição de uma posição
YA
XA
ZA
{A}
AP
AP =
p x
py
pz
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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x0 = x1 + xf ,y0 = y1 + yf .
Translação
AP =BP + AP BORG
XA
ZA
YA
{A}
ZB
YB
{B}
XB
AP
APBORG
BP
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P R P B A
B
A Rotação 2D
x 1 = x 0 cosq
+ y 0 sinq
y 1 = x 0 sinq + y 0 cosq
XA
YA
x0
y0
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Rotação 3D
YA
XA
ZA BP
BP = p x X B + py Y B + pz Z B
AP = p x A X B + py
AY B + pz AZ B
AP = A X B AY B
AZ B[ ] p x py
pz
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
AP =B AR B
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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R x =
1 0 0
0 cosq senq
0 senq cosq
é
ë
êêê
ù
û
úúú
R y =
cosq
0 senq
0 1 0
senq 0 cosq
é
ë
êêê
ù
û
úúú
R z =
cosq senq 0
senq cosq 0
0 0 1
é
ë
êê
ê
ù
û
úú
ú
Matrizes de rotação parciais 3D
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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De { A} para { B}
{A}
XB
αX
αY
αZ
cos
X ( )=
X A×
X B
cos Y ( ) =Y A× X B
cos Z ( ) = Z A× X B
Pode-se
concluir que:
A X B =
X A× X B
Y A× X B
Z A× X B
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Sistemas de Referências ( Frames)
Um sistema de referência é umadescrição da posição e orientação de
um objeto de maneira conjunta. É composto por 4 matrizes, que
eqüivalem a uma matriz de posição
(origem do sistema) e uma matriz derotação.
{B} ={B AR , AP BORG}
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Sistemas de Referências ( Frames)
Como visto na segunda aula, existemdiversos sistemas de referências
utilizados: – Sistema de coordenadas do mundo.
– Sistema de coordenadas de juntas.
– Sistema de coordenadas do ponto demontagem.
– Origem do sistema: Centro do Atuador.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Sistema do mundo (Base)
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Sistema da garra
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Sistemas com nomes definidos.
Base, Wrist, Tool, Station, Goal
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Sistemas com nomes definidos.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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x
z
yx
z
y
Mapeamento entre 2 sistemas
A relação entre dois sistemas quaisqueré conseguida com uma translação e
uma rotação.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Mapeamento
Se {A} possui a mesma orientação de{B}, então {B} difere de {A} por uma
translação APBORG: AP = BP + APBORG
Mapeamento: a mudança de descriçãode um frame para outro.
O vetor APBORG define um mapeamento.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Mapeamentos gerais:
Translação + Rotação 2D
Qual a matriz que implementa esta transformação???
{A}
XB
YB
ZB
BP
XA
YA
ZA
AP
APBORG
AP =B
AR BP + AP BORG
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Matriz de transformaçãohomogênea
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Coordenadas Homogêneas
A matemática para implementar acomposição de translação e rotação se tornacomplicada quando se deseja realizardiversas operações.
Fato comum em Álgebra Linear, usada emRobótica e Computação Gráfica.
Matrizes de transformações homogêneaspermitem compor transformações de maneiraelegante: – Rotações, Translações e Escalas.
– Em qualquer dimensão do espaço.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Coordenadas Homogêneas
Uma representação homogênea de umvetor n-dimensional utiliza um vetor
com n+1 elementos. O vetor real é obtido dividindo-se todos
os elementos pelo elemento n+1.
O elemento n+1 é um fator de escala.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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x o
y o
1
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
=
cos sen x f
sen
cos
y f
0 0 1
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
x 1
y 1
1
æ
è
ç
çç
ö
ø
Matriz homogênea
Um conjunto de transformações nomundo 2D pode ser representada
completamente por uma matriz 3 x 3:
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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1000
987
654
321
z r r r
yr r r
xr r r 3x3
rotation
matrix
3x1
translation
matrix
perspective global scale
Matriz de Transformação
Homogênea 3D
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Exemplo
Um frame { B} se encontra rotacionadocom relação a um frame { A} por 30
graus (sobre o eixo z), e transladado de10 unidades no eixo x e 5 unidades noeixo y.
Dado que um ponto se encontra naposição (3,7) no frame { B}, onde ele seencontra no frame { A}?
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Dado que:
Usamos a definiçãoe encontramos: AP =B
AT BP =
9
12.5
0
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
BP =
3
7
0
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
B
AT =
cos30 sen30 0 10
sen30 cos 30 0 5
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
Exemplo
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Interpretações da matriz de
transformação homogênea. O mapeamento muda a descrição de
um ponto de um sistema de
coordenadas para o outro. No mapeamento, o ponto não é
modificado: somente sua descrição se
altera.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Cinemática de manipuladores
Capítulo 3 do Craig.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Definição mecânica de um
manipulador Um manipulador pode ser representado
por n corpos rígidos móveis e um corpo
fixo, ligados por n juntas (ouarticulações), formando uma estruturade cadeia.
Teoria de elementos (ou corpos rígidos)é muito bem fundamentada naengenharia mecânica.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Definição mecânica de um
manipulador Um manipulador é uma cadeia cinética
composta por:
– Elos (Links):• Os corpos da cadeia.
– Juntas (Joints):
• As articulações entre os corpos.• Conectam os elos e permitem a realização demovimentos de um elo em relação ao eloanterior.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 39/112
Exemplo de manipulador: PUMA
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Elos (Links)
Um elo (link ) é um corpo rígido quedefine uma relação entre duas juntas
adjacentes de um manipulador. Elos são numerados em ordem
crescente, iniciando pela base do
manipulador: – A base imóvel é o elo 0
– A primeira parte móvel é o elo 1,
– ...
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Numeração dos elos
Elo 1
Elo 2
Elo 3
Elo 0
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Juntas ou Articulações
Juntas (ou articulações) são definidaspor vetores no espaço 3D:
– A junta i é definida pelo vetor no espaçosobre o qual o elo i rotaciona (outranslada) em relação ao elo i - 1.
– São numeradas a partir do primeiro elo.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Rotating pair –
Revolute (R)
Sliding pair –
Prismatic (P)
Juntas
Todas podem ser produzidas a partir deduas: Revolução (R) e Prismática (P)
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Tipos de juntas Revolução (R):
– 1 Dof (Rotação)
Prismática (P): – 1 Dof (Translação)
Cilindrica (C): – 2 Dof (Rotação + Translação)
Helicoidal (H) – 1 Dof (Rotação/ Translação com acoplamento)
Planar (E) – 2 Dof (Translação em 2 direções)
Esférica (S)
– 3 Dof (Rotação em 3 direções)
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Seis possíveis juntas
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Configuração de alguns robôs
Cartesian:
PPP
Cylindrical:
RPP
Spherical:
RRP
SCARA: RRPArticulated: RRR
Hand coordinate:
n: normal vector; s: sliding
vector; a: approach vector
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Numeração das Juntas
J 1
Junta 2J 3
Junta 4
Junta 5
Junta 6
Elo 0
Elo 1
Elo 2
Elo 3
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Parâmetros dos elos
Um elo é especificado por doisparâmetros que definem a posição
relativa e a orientação dos eixos da junta incidente no elo: – O comprimento do elo (link lenght ),
denominado a. – A torção do elo (link twist ), denominado .
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Comprimento do elo ai-1
O comprimento do elo é a distânciaentre os eixos das suas juntas ao longo
de uma linha mutualmenteperpendicular aos eixos das juntas.
Esta perpendicular mútua sempre
existe e é única, exceto no caso ondeos eixos das juntas são paralelos... – Neste caso existem infinitas
perpendiculares de tamanho idêntico.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Torção do elo i-1
A torção de um elo é o ângulo entre asprojeções dos eixos das juntas em um
plano cuja normal é mutualmenteperpendicular aos eixos.
Este ângulo é medido do eixo i-1 para o
eixo i usando a regra da mão direitasobre a perpendicular mútua.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Parâmetros dos elos
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Parâmetros das juntas
Offset, d i – A distância ao longo do eixo da junta i
entre as intercessões das perpendicularesmútuas com os eixos dos elos i-1 e i – Variável para juntas prismáticas.
Ângulo de junta, i – O ângulo entre as perpendiculares mútuas
incidentes no eixo da junta i. – Variável para juntas rotacionais.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Axis i - 1Axis i
i
i - 1
a i - 1a i
d i {
Link i - 1
Link i
Parâmetros elo e juntas
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 54/112
Notação de Denavit-Hartenberg
Metodologia que está se tornandopadrão para calcular os parâmetros
necessários do modelo cinemático. O modelo de D-H permite obter a
posição e a orientação da ferramenta. O modelo D-H define completamente a
cinemática do manipulador.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Notação de Denavit-Hartenberg
Um robô pode ser especificado ao sedescrever os valores de 4 parâmetros
para cada elo: – comprimento (i-1), torção (i-1),
offset (i) e ângulo (i).
A definição da mecânica de ummanipulador usando estes parâmetrossegue a notação de Denavit-Hartenberg.
A Notação D-H especifica ainda...
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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O comprimento e a torção de um elo i
dependem das juntas adjacentes.
Com isso, os términos da cadeia ficamindefinidos.
Por convenção, define-se:
–
–
Valores para ai e i dos elos 0 e n
a0 = an = 0 0 = n = 0
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Parâmetros da junta 1
Se a junta 1 for prismática: –
Se a junta 1 for de rotação: – d
1
= 0
q 1 = var
d 1 = var
q
1 = 0
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Sistemas de referências
Cada corpo elementar (elo) da cadeiacinemática deve ser fixado em um
sistema de referência (frame). Existe uma convenção para anexar
sistemas de referências aos elos, dada
pela Notação D-H: – Frames são numerados de acordo com o
elo ao qual ele está ligado.
– Frame {i} está ligado ao elo i.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Designando referências aos elos
O eixo Z i do frame {i} está alinhadocomo eixo da junta i.
A origem do frame {i} está localizadano ponto onde a perpendicular ai intersecciona o eixo da junta i.
O eixo X i do frame {i} está alinhadocomo a perpendicular ai na direção de i para i+1.
Y i = Z i X i (use regra da mão direita).
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Z i Z i
Definição dos eixos Zi
Definição dos eixos Z i
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Frames e elos
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Elo n
n+1 l n
n
Junta n+1
Junta n
z n
x n
x n+1
z n+1
x n
z n
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Elo n-1
Elo n
z n -1 y n -1
x n -1
z n
x n
y n
z n +1
x n +1
y n +1
d n
n
n
Junta n+1
l n
Junta n-1 Junta n
l n -1
D i d f ê i l
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Designando referências aos elos:
casos especiais
Se ai = 0 (ou seja, os eixos seinterceptam):
– X i = Z i x Z i+1, isto é, X i é perpendicular aoseixos i e i+1 (Use a regra da mão direita).
D i d f ê i l
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Designando referências aos elos:
primeiro elo
O frame {0} é escolhido de maneiraarbitrária:
– escolha o eixo Z 0 alinhado com o Z 1, demaneira que o frame {0} e {1} sejamiguais quando a variável da junta 1 forzero.
– Neste caso:
• e d 1 = 0 se a junta 1 for de rotação,
• ou 1 = 0 se a junta 1 for prismática.
a0 = 0, o = 0
D i d f ê i l
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 66/112
Designando referências aos elos:
último elo
Se a junta for de revolução:
– Escolha o eixo X n para coincidir com o X n-1
quando n = 0. – Escolha a origem do frame {n} de maneira
que d n = 0.
Se a junta for prismática: – Escolha o eixo X n de maneira que n = 0.
– A origem do frame {n} é a interseção de
X n-1 e o eixo da junta n quando d n = 0.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Notação D-H a partir dos frames
ai: a distância entre os eixos Z i e Z i+1 medida sobre o eixo X i.
i: o ângulo entre os eixos Z i e Z i+1 medida sobre o eixo X i. d i: a distância entre os eixos X i-1 e X i
medida sobre o eixo Z i. i: o ângulo entre os eixos X i-1 e X i
medidos sobre o eixo Z i-1 .
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Resumo link-frame attachment
(Craig, pg 77 da 2a. Edição ou 69 da 3a. Edição)
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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Exemplo 1: D-H para robô 3R
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 70/112
Exemplo 1: D-H para robô 3R
Y 0ˆ
Y 1ˆ
Y 3ˆ
Y 2ˆ
X 0ˆ
X 1ˆ
X 2ˆ
X 3ˆ
i i - 1 a i - 1 d i i
1 0 0 0 1
2 0 L1 0 2
3 0 L2 0 3
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 71/112
Exemplo 2: Braço de Stanford
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 72/112
Exemplo 2: Braço de Stanford
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 73/112
Exemplo 2: Braço de Stanford
1
23
Axes 4, 5, 6
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 74/112
X1Y1
Z1
X2
Z2
X3
Z3
X4
X5
X6
Z4
Z5
Z6
X7
Z7
Braço de Stanford
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 75/112
i ai d i i i
1 a1 b1 90° 1
2 a2 b2 90° 2
3 a3 b3 (var ) 90° 90°
4 a4 0 90° 4
5 a5 b5 0° 5
6 a6 b6 0 6
Parâmetros D-H Stanford Arm
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 76/112
O Modelo cinemático de ummanipulador
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 77/112
O modelo cinemático
Expressa a posição e a orientação doelemento terminal do robô em relação a
um sistemas de coordenadas fixo abase, em função das coordenadas de juntas.
O modelo pode ser descrito por umafunção que exprime o espaçocartesiano em função do vetor decoordenadas angulares.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 78/112
O modelo cinemático
O mapeamento T consiste naexpressão analítica da composição dos
movimentos das juntas para realizar omovimento do elemento terminal dorobô.
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 79/112
A transformação para um elo
Rotacione sobre X i-1 o ângulo i -1
Translade sobre X i-1 a distância ai-1
Rotacione sobre Z i o ângulo i Translade sobre Z i a distância d i
Ou seja:
i
i 1T =R x i 1( )T x l i 1( )R z q i ( )T z d i ( )
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 80/112
=
1 0 0 00 cos i 1 sen i 1 0
0 sen i 1 cos i 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
1 0 0 ai 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
cosq
i
senq
i 0 0sen
q i cosq i 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
1 0 0 00 1 0 0
0 0 1 d i
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
=
cosq i senq i 0 ai 1
senq i cos
i 1 cosq i cos
i 1 sen i 1 sen
i 1d i
senq i sen i 1 cosq i sen i 1 cos i 1 cos i 1d i
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
Transformação para um elo.
i i 1T = R
i 1T QR T P QT i P
Notação para diminuir o tamanho:sen = scos = c
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 81/112
Joint n-1 Joint n
Joint n+1Link n-1
Link n
z n -1 y n -1
x n -1
z n
x n
y n
z n +1
x n +1
y n +1
d n
n
n l n l n -1
n-1
T
n
n
1 n
n
n AT 1
n z n xn x R Rl T 11 1n x l T
n z n z n xn x d T R Rl T 11
n-1
11 n x n x R l T
n
n 1T = An = T x l n 1( )R x n 1( )R z q n( )T z d n( ) =
c q n s
q n 0 an 1
sq nc n 1 c q nc n 1 s
n 1 s n 1d n
sq ns n 1 c q ns n 1 c n 1 c n 1d n
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 82/112
Matriz cinemática
Relaciona o sistema de coordenadassolidárias à base do robô com osistema de coordenadas associadas àsua ferramenta terminal.
Em coordenadas homogêneas. Resulta do produto das matrizes de
transformação de cada elo: – Transforma passo a passo.
n
0T =T 1
T 2
T 3
T i
T n
Exemplo 3: Matriz Cinemática
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 83/112
Exemplo 3: Matriz Cinemática
para o robô 3R
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 84/112
n
n 1T = An = T x l n 1( )R x n 1( )R z q n( )T z d n( ) =
c q n s
q n 0 an 1
sq nc n 1 c q nc n 1 s
n 1 s n 1d n
sq ns n 1 c q ns n 1 c n 1 c n 1d n
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
1
0
T =
cos(q 1) sin(q 1) 0 0
sin(q 1) cos(
q 1) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
Matriz cinemática para o robô 3R
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 85/112
n
n 1T = An = T x l n 1( )R x n 1( )R z q n( )T z d n( ) =
c q n s
q n 0 an 1
sq nc n 1 c q nc n 1 s
n 1 s n 1d n
sq ns n 1 c q ns n 1 c n 1 c n 1d n
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
2
1
T =
cos(q 2) sin(q 2 ) 0 L1
sin(q 2) cos(q 2 ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
Matriz cinemática para o robô 3R
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 86/112
n
n 1T = An = T x l n 1( )R x n 1( )R z q n( )T z d n( ) =
c q n s
q n 0 an 1
sq nc n 1 c q nc n 1 s
n 1 s n 1d n
sq ns n 1 c q ns n 1 c n 1 c n 1d n
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
3
2
T =
cos(q 3) sin(q 3 ) 0 L2
sin(q 3) cos(q 3 ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
Matriz cinemática para o robô 3R
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 87/112
3
0T =
cos(
1) sin(
1) 0 0sin( 1) cos( 1) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
×
cos(
2) sin(
2) 0 L1
sin( 2) cos( 2) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
×
cos(
3) sin(
3) 0 L2
sin( 3) cos( 3) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
3
0T =
cos(
1 +
2 +
3) sin(
1 +
2 +
3) 0 L1 cos(
1) +L2 cos(
1 +
2)
sin( 1 + 2 + 3) cos( 1 + 2 + 3) 0 L1 sin( 1) +L2 sin( 1 + 2)
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
3
0T =
c 123 s123 0 L1c 1 +L2c 21
c 123 c 123 0 L1s1 +L2s12
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
Matriz cinemática para o robô 3R
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 88/112
E a ferramenta (ou o último elo)?
L3 ?????
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 89/112
E a ferramenta?
L3 ?????
EndEffector
3T =
1 0 0 L3
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
êêêê
ù
û
úúúú
{ End Effector } = {Tool }
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 90/112
Exemplo 3: Equação completa
EndEffector 0T =
c 123 s123 0 L1c 1 + L2c 21
c 123 c 123 0 L1s1 + L2s12
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
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ê
ù
û
úúú
ú
×
1 0 0 L3
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
êêê
ê
ù
û
úúú
ú
EndEffector
0
T =T B
T =
c 123 s123 0 L1c 1 +L2c 21 +L3c 123
c 123 c 123 0 L1s1 +L2s12 +L3s123
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 91/112
Exemplo 4: Puma
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 92/112
first identify the six joint axis
Modelo cinemático de um Puma
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 93/112
Then assign the z-axis of the coordinate frames(either along the joint axis)
z 0 = z 1 z 2z 3
z 4
z 5z 6
Modelo cinemático de um Puma
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 94/112
Then assign the x-axis of the coordinate framesfor 1 –3 (either along the joint perpendicular or
along the normal to the plane)
x 3
z 4
z 5z 6
x 0 = x 1 = x 2
a 2
d 3
Modelo cinemático de um Puma
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 95/112
Modelo cinemático de um Puma
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 96/112
Then assign the x-axis of the coordinate framesfor 4-6 (either along the joint perpendicular or
along the normal to the plane)
a 3x 5
y 5
x 6
z 6
x 3
y 3
x 4
z 4
d 4
Modelo cinemático de um Puma
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 97/112
Modelo cinemático de um Puma
Parâmetros de elo e junta para o
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 98/112
i i -1
a i -1
d i
i
1 0 0 0 1
2
-90 0 0 2
3 0 a 2 d
3 3
4 -90 a 3 d
4 4
5
90 0 0 5
6 -90 0 0 6
Parâmetros de elo e junta para o
PUMA
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 99/112
Transformações para o Puma
0T1 = Trans(z , a1) Rot(z , 1)1T2 = Trans( x , a2) Rot( x , 2)2T3 = Trans(z , a3) Rot( x , 3)3T4 = Trans(z , a4) Trans(y , -a5) Rot(z , 4)4T5 = Rot( x , 5)5T6 = Rot(z , 6)
Axis Frame Description1 1 rotation about z axis
2 2 rotation about x axis
3 3 rotation along x axis
4 4 rotation about z axis
5 5 rotation along x axis
6 6 rotation about z axis
x
y
z
a 1
1
2
4
3
6
a 2
a 3
a 4
a 55
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 100/112
i
i 1T =
c i s
i 0 ai 1
s i c i 1 c i c i 1 s i 1 s i 1d i
s i s i 1 c
i s i 1 c i 1 c
i 1d i
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
Usando a equação generalizada:
1
0T =
c 1
s 1
0 0
s 1 c
10 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
2
1T =
c 2
s 2
0 0
0 0 1 0
s 2
c 2
0 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
3
2T =
c 3
s 3
0 a2
s 3 c
30 0
0 0 1 d 3
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
4
3T =
c 4
s 4
0 a3
0 0 1 d 4
s 4
c 4
0 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
5
4T =
c 5
s 5
0 0
0 0 1 0
s 5 c
50 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
6
5T =
c 6
s 6
0 0
0 0 1 0
s 6
c 6
0 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
Computamos cada matriz de transformação deelo:
Compute cada transformação
N
0T = 1
0T 21T 3
2T 43T ....... N
N 1T
d i di id i
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 101/112
Multiplicando todas as matrizes individuais de links:
Temos finalmente:
6
0
T = 1
0
T 21
T 32
T 43
T 54
T 65
6
0T =
n x o x a x p x
ny oy ay py
nz oz az pz
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
Compute todas as individuais
i á i d A
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 102/112
Onde:n x = c 1 c 23 c 4c 5c 6 s4s6( ) s23s5c 6[ ] + s1 s4s5s6 +c 4s6( )
ny = s1 c 23 c 4c 5c 6 s4s6( ) s23s5c 6[ ] c 1 s4s5s6 + c 4s6( )
nz = s23 c 4c 5c 6 s4s6( ) c 23s5c 6
o x = c 1 c 23 c 4c 5c 6 s4s6( ) s23s5c 6[ ] + s1 c 4c 6 s4c 5s6( )
oy = s1 c 23 c 4c 5c 6 s4s6( ) s23s5c 6[ ] c 1 c 4c 6 s4c 5s6( )
oz = s23 c 4c 5c 6 s4c 6( ) c 23s5s6
a x = c 1 c 23c 4c 5 s23c 5( ) s1s4s5
ay = s1 c 23c 4c 5 s23c 5( ) + c 1s4s5
az = s23c 4s5 c 23c 5
p x = c 1 a2c 2 + a3c 23 d 4s23( ) d 3s1
py = s1 a2c 2 + a3c 23 d 4s23( ) d 3c 1
pz = a3c 23 a2s2 + d 4c 23
Usando a fórmula de soma dos ângulos :
s23 = sin 2 + 3( ) = c 2c 3 s2s3
c 23 = cos 2 + 3( ) = c 2s3 s2c 3 .
Equações cinemáticas do PUMA
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 103/112
Cinemática direta
Ci á i di
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 104/112
Cinemática direta
Permite, a partir dos valores dascoordenadas de juntas, calcular a
posição do manipulador. Usado para o controle do manipulador.
O problema:
– Determine a posição da ferramenta dadosos valores das juntas θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, … θn
Solução:
– Basta calcular a matriz cinemática
M i i á i ( d )
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 105/112
1000
987
654
321
z r r r yr r r
xr r r 3x3
rotationmatrix
3x1
translationmatrix
perspective global scale
Matriz cinemática… (revendo)
E l l éb i R bô 1R
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 106/112
Exemplo algébrico: Robô 1R
O Robô 1R possui apenas uma juntarotacional…
É o pêndulo simples...
(x,y,f)
10T =
cos(q 1) sin(q 1) 0 0
sin(q
1) cos(q
1) 0 00 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
.
E õ R bô 1R
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 107/112
Equações para o Robô 1R
EndEffector 0T =
cos(
1) sin(
1) 0 0
sin( 1) cos( 1) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
êêêê
ù
û
úúúú
×
1 0 0 L1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
êêêê
ù
û
úúúú
EndEffector
0T =
cos( 1) sin( 1) 0 L1 cos( 1)
sin( 1) cos( 1) 0 L1 sin( 1)
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
Solução completa:
x = L1 cosq 1
y = L1 sinq 1
= q
1
E õ R bô 2R
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
http://slidepdf.com/reader/full/aula-03-parte-a 108/112
Equações para o Robô 2R
EndEffector
0T =
c 12 s12 0 L1c 1 +L2c 21
c 12 c 12 0 L1s1 +L2s12
0 0 1 00 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
x = L1 cosq 1 + L2 cos q 1 + q 2( )
y = L1 sinq 1 + L2 sin
q 1 + q 2( )
= q 1 + q 2( )
(x,y,f)
Solução completa:
E õ R bô 3R
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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REFERENCE
POINT
l 1
l 2
l 3
3
2
1
f ( x , y )
x
y
Equações para o Robô 3R
x = L1 cosq 1 + L2 cos
q 1 + q 2( ) + L3 cos
q 1 + q 2 +
q 3( )
y = L1 sinq 1 + L2 sin
q 1 + q 2( ) + L3 sin q 1 + q 2 + q 3( )
= q 1 + q 2 + q 3( )
EndEffector
0T =
c 123 s123 0 L1c 1 +L2c 21 +L3c 123
c 123 c 123 0 L1s1 +L2s12 +L3s123
0 0 1 0
0 0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
Solução completa:
E õ bô PRRR
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Palletizador da Adept.
x = l 2 cosq 2 + l 3 cos q 2 + q 3( ) + l 4 cos q 2 + q 3 + q 4( )
y = l 2
sinq
2+ l
3sin q
2+ q
3( )+ l
4 sin q
2+ q
3+ q
4( )z = d 1
= q 2 + q 3 + q 4( )
Equações para um robô PRRR
Solução completa:
C l ã
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Conclusão
Modelagem do manipulador érelativamente simples.
Modelo D-H é uma receita de comomodelar o robô.
Cinemática direta é simples.
A seguir: – Laboratório com Matlab!
Fi ó i l (d t i )
7/24/2019 Aula 03 - Parte A
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How do I put myhand here?
Fim… próxima aula (de teoria)…
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