Limites
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Limites
1.O limite de uma função
2.Propriedades dos limites
3.Técnicas para o cálculo de limites
4.Limites unilaterais
5.Comportamento não-limitado
6.Expressões indeterminadas
7.Limites no infinito
8.Limites infinitos
3
1. O limite de uma função
Na linguagem cotidiana, referimo-nos aolimite de uma velocidade, ao limite do peso de umlutador, ao limite da resistência humana, ou aolimite de uma mola. Todas essas expressõessugerem que o limite é uma cota, que em certasocasiões pode não ser atingida ou mesmoultrapassada.
4
1. O limite de uma função
Consideremos uma mola que se romperá selhe for apenso um peso de 10 kg ou mais. Paradeterminar o quanto a mola se distenderá sem seromper, poderemos anexar-lhe pesos cada vezmaiores, medindo o comprimento da mola para cadapeso w, conforme a figura acima.
5
1. O limite de uma função
Se o comprimento da mola tende para umvalor L, então dizemos que “o limite de x quando wtende para 10 é L.” Um limite matemático ébastante semelhante ao limite de uma mola.
6
1. O limite de uma função
A notação para limite é
que se lê “o limite de f(x) quando x tende para c é L.”
lim ( )x c
f x L→
=
7
1. O limite de uma função
Exemplo 1: Ache o limite de: ( )2
1lim 1x
x→
+
Seja f(x) = x2 + 1. Pelo gráfico de fna figura ao lado, tudo indica quef(x) se aproxima de 2 quando x seaproxima de 1 pela direita ou pelaesquerda. Podemos, assim, escrever
( )2
1lim 1 2x
x→
+ =
8
1. O limite de uma função
Exemplo 1: Ache o limite de: ( )2
1lim 1x
x→
+
x tende para 1
2,2002,0202,0022,0001,9981,9801,810f(x)
1,1001,0101,0011,0000,9990,9900,900x
x tende para 1
f(x) tende para 2 f(x) tende para 2
A tabela abaixo chega à mesmaconclusão. Note que quando x ficacada vez mais próximo de 1, f(x)fica cada vez mais próxima de 2.
9
O gráfico de f, na figura ao lado,sugere que f(x) se aproxima de 2quando x se aproxima de 1 porqualquer dos dois lados.
1. O limite de uma função
Exemplo 2: Ache o limite de:
2
1
1lim 2
1x
xx→
− =−
2
1
1lim
1x
xx→
−−
10
1. O limite de uma função
Exemplo 2: Ache o limite de:
x tende para 1
2,1002,0102,001?1,9991,9901,900f(x)
1,1001,0101,0011,0000,9990,9900,900x
x tende para 1
f(x) tende para 2 f(x) tende para 2
A tabela abaixo reforça estaconclusão. Certifique-se de que nãoimporta se f(x) não é definida parax = 1. O limite depende somente dosvalores de f(x) na vizinhança de 1, enão em 1.
2
1
1lim
1x
xx→
−−
11
Podemos ver que f(x) = -1 paratodos os valores à esquerda dex = 1, e f(x) = 1 para todos osvalores à direita de x = 1. Em taissituações, dizemos que o limite nãoexiste.
1. O limite de uma função
Exemplo 3: Ache o limite de:
1
1lim
1x
x
x→
−= ∃
−
1
1lim
1x
x
x→
−−
12
A tabela abaixo reforça estaconclusão.
1. O limite de uma função
Exemplo 3: Ache o limite de:1
1lim
1x
x
x→
−−
x tende para 1
1,001,001,00?-1,00-1,00-1,00f(x)
1,1001,0101,0011,0000,9990,9900,900x
x tende para 1
f(x) tende para -1 f(x) tende para 1
13
Pelo gráfico de f, parece que f(x)tende para 1 quando x tende para 1por qualquer dos dois lados.
1. O limite de uma função
Exemplo 4: Ache o limite de: , 1( )
0, 1
x xf x
x
≠= =
14
A tabela abaixo reforça estaconclusão. Não importa que f(1) = 0.O limite depende somente dosvalores de f(x) na vizinhança de 1,não em 1.
1. O limite de uma função
Exemplo 4: Ache o limite de: , 1( )
0, 1
x xf x
x
≠= =
x tende para 1
1,1001,0101,0010,0000,9990,9900,900f(x)
1,1001,0101,0011,0000,9990,9900,900x
x tende para 1
f(x) tende para 1 f(x) tende para 1
15
1. O limite de uma função
Há três idéias importantes que podemosextrair dos exemplos anteriores:
1. Dizer que o limite de f(x) é L quando x tendepara c significa que o valor de f(x) pode tornar-se arbitrariamente próximo do número Lescolhendo-se x cada vez mais próximo de c.
2. Para que um limite exista, devemos fazer xtender para c por ambos os lados de c. Se f(x)tende para números diferentes quando x tendepara c pela esquerda ou pela direita, então olimite não existe.
16
1. O limite de uma função
3. O valor de f(x) para x = c não tem qualquerinfluência na existência ou não-existência dolimite de f(x) quando x tende para c. Porexemplo, no Exemplo 2, o limite de f(x) existequando x tende para 1, mesmo que a função nãoseja definida em x = 1.
17
1. O limite de uma função
Definição de Limite de uma Função
Se f(x) se torna arbitrariamente próxima de umnúmero (único) L quando x tende para c dequalquer lado, então
que se lê “o limite de f(x), quando x tende para c éL.”
lim ( )x c
f x L→
=
18
2. Propriedades dos limites
Muitas vezes o limite de f(x), quando xtende para c, é simplesmente f(c), conformeilustrado no Exemplo 1. Sempre que o limite de f(x)quando x tende para c é
dizemos que o limite pode ser calculado porsubstituição direta. É importante que saibamosreconhecer os tipos de funções que apresentamesta propriedade.
lim ( ) ( ), Substituição diretax c
f x f c→
=
19
2. Propriedades dos limites
Propriedades dos Limites
Combinando as propriedades de limites comas seguintes regras para operar com eles, podemosdeterminar os limites de uma ampla diversidade defunções.
Sejam b e c números reais, e n um inteiro positivo.
1. lim 2. lim
3. lim 4. lim
Na propriedade 4, se n é par, c deve ser positivo.
x c x c
n n n n
x c x c
b b x c
x c x c
→ →
→ →
= =
= =
20
2. Propriedades dos limites
Operações com Limites
Sejam b e c números reais e n um inteiropositivo. Se os limites de f(x) e g(x) existemquando x tende para c, então valem as seguintesoperações.
[ ][ ][ ]
1. Múltiplo constante lim ( ) lim ( )
2. Adição lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
3. Multiplicação lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x c x c
x c x c x c
x c x c x c
bf x b f x
f x g x f x g x
f x g x f x g x
→ →
→ → →
→ → →
=
± = ±
⋅ = ⋅
21
2. Propriedades dos limites
Operações com Limites
Sejam b e c números reais e n um inteiropositivo. Se os limites de f(x) e g(x) existemquando x tende para c, então valem as seguintesoperações.
[ ]
lim ( )( )4. Divisão lim , lim ( ) 0
( ) lim ( )
5. Potência lim ( ) lim ( )
6. Radical lim ( ) lim
x c
x c x cx c
nn
x c x c
n
x c x
f xf xg x
g x g x
f x f x
f x
→
→ →→
→ →
→
= ≠
=
= ( )nc
f x→
Na propriedade 6, se n é par e ,então L deve ser positivo.
lim ( )x c
f x L→
=
22
2. Propriedades dos limites
Exemplo 5: Calcule ( )2
2lim 2 3x
x x→
+ −
( )2 2
2 2 2 2
2
lim 2 3 lim lim 2 lim 3 Propriedade aditiva
2 2(2) 3 Substituição direta
4 4 3
x x x xx x x x
→ → → →+ − = + −
= + −= + −
5 Simplificar=
23
2. Propriedades dos limites
Limite de uma Função Polinomial
Se p é uma função polinomial e c é umnúmero real arbitrário, então
lim ( ) ( )x c
p x p c→
=
24
3. Técnicas para o cálculo delimites
Muitas técnicas para o cálculo de limites sebaseiam no teorema da substituição. Basicamente,o teorema afirma que se duas funções coincidemem todos os pontos exceto no ponto (único) c,então elas têm comportamento limite idêntico emx = c.
25
3. Técnicas para o cálculo delimites
O Teorema da Substituição
Seja c um número real e seja f(x) = g(x) paratodo x ≠ c. Se o limite de g(x) existe quando x → c,então o limite de f(x) também existe e
Para aplicar o Teorema da Substituição,podemos utilizar um resultado da álgebra, queafirma que, para uma função polinomial p, p(c) = 0 see somente se (x – c) é fator de p(x).
lim ( ) lim ( )x c x c
f x g x→ →
=
26
3. Técnicas para o cálculo delimites
Exemplo 6: Calcule
Note que tanto o numerador como odenominador se anulam para x = 1. Isto implica que(x – 1) é fator de ambos, podendo, pois, sercancelado.
3
1
1lim
1x
xx→
−−
3 21 ( 1)( 1) Fatoração do numerador
1 1
( 1
x x x xx x
x
− − + +=− −
−=2)( 1)
1
x x
x
+ +−
2
Cancelamento do fator comum
1, x 1 Simplificarx x= + + ≠
27
3. Técnicas para o cálculo delimites
Assim, a função racional (x3 – 1)/(x – 1) e afunção polinomial x2 + x + 1 concordam para todosos valores de x tais que x ≠ 1. Podemos, pois,aplicar o Teorema da Substituição.
( )3
2 2
1 1
1lim lim 1 1 1 1 3
1x x
xx x
x→ →
− = + + = + + =−
28
3. Técnicas para o cálculo delimites
A figura acima ilustra este resultadograficamente. Note que os dois gráficos sãoidênticos, com a única diferença que o gráfico de gcontém o ponto (1, 3), enquanto este ponto estáausente do gráfico de f. Na figura à esquerda, oponto ausente é representado por um pontoaberto.
29
3. Técnicas para o cálculo delimites
Exemplo 7: Calcule
A substituição direta falha porque tanto onumerador como o denominador se anulam quando x= -3.
Todavia, como ambos os limites do numerador e dodenominador são zero, sabemos que eles têm umfator comum (x + 3). Assim, para todo x ≠ -3,podemos cancelar este fator, obtendo:
2
3
6lim
3x
x xx→−
+ −+
( )( )
22
3
3
3
lim 6 06lim
3 lim 3 0x
x
x
x xx xx x
→−
→−→−
← + − =+ −+ ← + =
30
3. Técnicas para o cálculo delimites
2
3 3
3
6 ( 2)( 3)lim lim Fatoração do numerador
3 3
( 2)( 3 lim
x x
x
x x x xx x
x x
→− →−
→−
+ − − +=+ +
− += )
3x +
3
Cancelamento do fator comum
lim ( 2) Simplificar
5 Substituição diretax
x→−
= −
= −
31
3. Técnicas para o cálculo delimites
A figura acima mostra o resultado. Note queo gráfico de f coincide com o gráfico deg(x) = x – 2, com a diferença que o gráfico de ftem uma interrupção (buraco) em (-3, -5).
32
3. Técnicas para o cálculo delimites
Exemplo 8: Calcule
Como o limite do denominador não é zero,podemos utilizar o limite de um quociente.
2
2
2lim
2x
x xx→−
+ −−
2 2
2 2
2 ( 2) 2 2lim lim Substituição direta
2 2 20
Simplificar4
0 O limite é 0
x x
x xx→− →−
+ − − − −=− − −
=−
=
33
4. Limites unilaterais
No Exemplo 3, vimos que um limite pode nãoexistir pelo fato de uma função tender paravalores diferentes à esquerda e à direita de c.Este tipo de comportamento pode ser descrito demodo mais conciso com o conceito de limiteunilateral.
O primeiro limite lê-se como “o limite def(x) quando x tende para c pela esquerda é L.” Osegundo lê-se: “o limite de f(x) quando x tendepara c pela direita é L.”
lim ( ) Limite à esquerda
lim ( ) Limite à direitax c
x c
f x L
f x L
−
+
→
→
=
=
34
4. Limites unilaterais
Exemplo 9: Ache o limite, quando x → 0 pelaesquerda, e o limite, quando x → 0 pela direita, dafunção
2( )
xf x
x=
Pelo gráfico de f, vemos quef(x) = -2 para todo x < 0 e quef(x) = 2 para todo x > 0.
0
0
2lim 2 Limite à esquerda
2lim 2 Limite à direita
x
x
x
xx
x
−
+
→
→
= −
=
35
4. Limites unilaterais
No Exemplo 9, a função tem limitesdiferentes à esquerda e à direita. Em tais casos, olimite de f(x) quando x → c não existe. Para que olimite de uma função exista quando x → c, ambosos limites laterais devem existir e ser iguais.
36
4. Limites unilaterais
Existência de um Limite
Se f é uma função e c e L são números reais,então
se e somente se ambos os limites à esquerda e àdireita são iguais a L.
lim ( )x c
f x L→
=
37
4. Limites unilaterais
Exemplo 10: Ache o limite de f(x), quando x tendepara 1.
2
4 , 1( )
4 , 1
x xf x
x x x
− <=
− >
Tenha em mente que o quenos interessa é o valor de f navizinhança de 1, e não em x = 1.Assim, podemos utilizar asubstituição direta para achar oslimites à esquerda e à direita de 1.
38
4. Limites unilaterais
Exemplo 10: Ache o limite de f(x), quando x tendepara 1.
2
4 , 1( )
4 , 1
x xf x
x x x
− <=
− >
1 1
2
1 1
1 lim ( ) lim (4 ) 4 1 3
1 lim ( ) lim (4 ) 4 1 3x x
x x
Para x f x x
Para x f x x x
− −
+ +
→ →
→ →
< ⇒ = − = − =
> ⇒ = − = − =
Como ambos os limiteslaterais existem e são iguais a 3,decorre que
1lim ( ) 3x
f x→
=
39
4. Limites unilaterais
Exemplo 11: Um serviço de entregas noturnascobra $ 8 pela primeira lb e $ 2 por cada lbadicional. Seja x o peso de uma encomenda e f(x) ocusto de entrega. Mostre que o limite de f(x),quando x → 2, não existe.
8, 0 1
( ) 10, 1 2
12, 2 3
x
f x x
x
< ≤= < ≤ < ≤
40
4. Limites unilaterais
Exemplo 11: Um serviço de entregas noturnascobra $ 8 pela primeira lb e $ 2 por cada lbadicional. Seja x o peso de uma encomenda e f(x) ocusto de entrega. Mostre que o limite de f(x),quando x → 2, não existe.
2
2
lim ( ) 10
lim ( ) 12x
x
f x
f x
−
+
→
→
=
=
Como esses limites unilateraissão diferentes, o limite de f(x),quando x → 2, não existe.
41
5. Comportamento não-limitado
O Exemplo 11 mostra um limite que nãoexiste porque os limites à esquerda e à direita sãodiferentes. Outra maneira importante pela qual umlimite pode não existir é quando f(x) aumenta oudiminui indefinidamente quando x tende para c.
42
5. Comportamento não-limitado
Exemplo 12: Calcule o limite (se possível):
Pela figura, vemos quef(x) decresce sem limitequando x tende para 2 pelaesquerda e cresce sem limitequando x tende para 2 peladireita. Simbolicamente, pode-mos escrever
2
3lim
2x x→ −
43
5. Comportamento não-limitado
Exemplo 12: Calcule o limite (se possível):
2
2
3lim
23
lim2
x
x
x
x
−
+
→
→
= −∞−
= +∞−
2
3lim
2x x→ −
Como f é não-limitadaquando x tende para 2, o limitenão existe
44
5. Comportamento não-limitado
Nota: O sinal de igualdade em
não significa que o limite exista! Pelo contrário,diz-nos como o limite deixa de existir denotando ocomportamento não-limitado de f(x) quando xtende para c.
lim ( )x c
f x+→
= +∞
45
6. Expressões indeterminadas
Costuma-se dizer que as expressões do tipo:
são indeterminadas.
0 00, , ,0 ,0 , ,1
0∞∞ ∞ − ∞ × ∞ ∞
∞
46
6. Expressões indeterminadas
Vejamos por exemplo, a expressão 0/0.
Sejam f e g funções tais que:
lim ( ) lim ( ) 0x a x a
f x g x→ →
= =
47
6. Expressões indeterminadas
Nada se pode afirmar, a priori, sobre olimite do quociente f/g. Dependendo das funções fe g ele pode assumir qualquer valor real ou nãoexistir.
Exprimimos isso dizendo que 0/0 é umsímbolo de indeterminação.
48
6. Expressões indeterminadas
Para comprovar o que foi dito, vejamos doisexemplos:
(i) Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2.
Temos,
0 0lim ( ) lim ( ) 0x x
f x g x→ →
= =
3
20 0 0
( )e lim lim lim 0.
( )x x x
f x xx
g x x→ → →= = =
49
6. Expressões indeterminadas
(ii) Sejam f(x) = x2 e g(x) = 2x2.
Temos,
0 0lim ( ) lim ( ) 0x x
f x g x→ →
= =
2
20 0 0
( ) 1 1e lim lim lim .
( ) 2 2 2x x x
f x xg x x→ → →
= = =
51
7. Limites no infinito
Exemplo 13: Determinar o limite da expressão
2 5lim
8x
xx→+∞
−+
Neste caso, temos uma indeterminação dotipo ∞/∞.
Vamos dividir o numerador e o denominadorpor x e depois aplicar as propriedades de limites,juntamente com a propriedade vista no slideanterior.
52
7. Limites no infinito
Temos,
5 52 2
2 5lim lim lim
8 88 1 1x x x
xx x x
x xx x
→+∞ →+∞ →+∞
− − − = = =+ + +
5 5lim 2 lim 2 lim 2 5 02
88 1 8 0lim 1 limlim 1
x x x
x xx
x x
xx
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →+∞→+∞
− − − ⋅ = = = =+ ⋅ ++
53
7. Limites no infinito
Exemplo 14: Determinar o limite da expressão
3
5
2 3 5lim
4 2x
x xx→+∞
+ ++
Novamente temos uma indeterminação dotipo ∞/∞.
Vamos dividir o numerador e o denominadorpela maior potência de x, que neste caso é x5.
54
7. Limites no infinito
Temos,
3 2 4 52 4 5
5
5 5
2 3 52 3 5 lim2 3 5
lim lim2 24 2 4 lim 4
x
x x
x
x x x x xx x xx
x x
→+∞
→+∞ →+∞
→+∞
+ ++ + + + = = =+ + +
2 4 5
5
1 1 12 lim 3 lim 5 lim
2 0 3 0 5 00
1 4 2 0lim 4 2 lim
x x x
x x
x x x
x
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →+∞
+ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = =+ ⋅ +
55
7. Limites no infinito
Exemplo 15: Determinar o limite da expressão
2
2 5lim
2 5x
x
x→+∞
+−
Neste caso dividimos o numerador e odenominador por x. No denominador tomamosx = raiz quadrada de x2, já que os valores de xpodem ser considerados positivos (x → +∞).
56
7. Limites no infinito
Temos,
22
2 2
5 52 2
2 5lim lim lim
5 52 5 2 2x x x
x xx x x
x x xx x
→+∞ →+∞ →+∞
+ + + = = =− − −
2 2 2
55 5lim 22 lim 2 limlim
5 5 52 lim 2 lim 2
x x x
x
x x
xx x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞
→+∞ →+∞
++ + = = = =
− − −
2
5lim 2 lim 2 0 2 2 2 2 2
225 2 0 2 2 2
lim 2 lim
x x
x x
x
x
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
+ += = = = ⋅ = =−−
57
7. Limites no infinito
Exemplo 16: Determinar o limite da expressão
2
2 5lim
2 5x
x
x→−∞
+−
Como no exemplo anterior, dividimos onumerador e o denominador por x. Como neste casox → -∞, os valores de x podem ser consideradosnegativos. Então, para o denominador, tomamos-x como sendo a raiz quadrada de x2.
58
7. Limites no infinito
Temos,
22
2 2
5 52 2
2 5lim lim lim
5 52 5 2 2x x x
x xx x x
x x xx x
→−∞ →−∞ →−∞
+ + + = = =− − − −
2 2 2
55 5lim 22 lim 2 limlim
5 5 52 lim 2 lim 2
x x x
x
x x
xx x
x x x
→−∞ →−∞ →−∞
→−∞
→−∞ →−∞
++ + = = = =
− − − − − −
( )2
5lim 2 lim 2 0 2 2 2 2 2
225 2 2 22 0lim 2 lim
x x
x x
x
x
→−∞ →−∞
→−∞ →−∞
+ += = = = − ⋅ = − = −−− −− −
59
8. Limites infinitos
Se n é um número inteiro positivo, então:
0
1lim nx x+→
= +∞
0
, se é par1lim
, se é ímparnx
n
x n−→
+∞= −∞
60
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
De certo modo, as propriedades dasoperações envolvendo limites permanecem válidaspara limites infinitos.
A tabela seguinte nos dá um resumo dosfatos principais válidos para os limites infinitos,onde podemos ter x → a, x → a+, x → a-, x → +∞ oux → -∞.
61
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
lim ( )f x lim ( )g x ( )h x = lim ( )h x simbolicamente 01 ±∞ ±∞ ( ) ( )f x g x+ ±∞ ±∞ ± ∞ = ±∞ 02 +∞ +∞ ( ) ( )f x g x− ? ( ) ( ) é indeterminação+∞ − +∞ 03 +∞ k ( ) ( )f x g x+ +∞ k+∞ + = +∞ 04 −∞ k ( ) ( )f x g x+ −∞ k−∞ + = −∞ 05 +∞ +∞ ( ) ( )f x g x⋅ +∞ ( ) ( )+∞ ⋅ +∞ = +∞ 06 +∞ −∞ ( ) ( )f x g x⋅ −∞ ( ) ( )+∞ ⋅ −∞ = −∞ 07 +∞ k > 0 ( ) ( )f x g x⋅ +∞ ( ) , 0k k+∞ ⋅ = +∞ > 08 +∞ k < 0 ( ) ( )f x g x⋅ −∞ ( ) , 0k k+∞ ⋅ = −∞ < 09 ±∞ 0 ( ) ( )f x g x⋅ ? ( ) 0 é indeterminação±∞ ⋅ 10 k ±∞ ( ) / ( )f x g x 0 / ( ) 0k ±∞ = 11 ±∞ ±∞ ( ) / ( )f x g x ? / é indeterminação±∞ ±∞ 12 k > 0 0+ ( ) / ( )f x g x +∞ / 0 , 0k k+ = +∞ > 13 +∞ 0+ ( ) / ( )f x g x +∞ / 0+ = ++∞ ∞ 14 k > 0 0- ( ) / ( )f x g x −∞ / 0 , 0k k− = −∞ > 15 +∞ 0- ( ) / ( )f x g x −∞ / 0−+∞ = −∞ 16 0 0 ( ) / ( )f x g x ? 0 /0 é indeterminação
62
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Exemplo 17: Determinar o limite da expressão
320
1limx
x xx→
+ +
63
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Resolução:
( ) ( )3 32 20 0 0 0
1 1lim lim lim limx x x x
x x x xx x→ → → →
+ + = + +
0 0= + + ∞ = +∞
64
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Exemplo 18: Determinar o limite da expressão
( )5 3lim 3 4 1x
x x→+∞
− +
Neste caso, temos uma indeterminação dotipo ∞ - ∞. Para determinarmos o limite usamos umartifício de cálculo.
65
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Resolução:
( )5 3 52 5
4 1lim 3 4 1 lim 3x x
x x xx x→∞ →∞
− + = − + =
( )52 5
4 1lim lim 3 3 0 0x x
xx x→∞ →∞
⋅ − + = +∞ ⋅ − + = +∞
66
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Exemplo 19: Determinar o limite das expressões
2 2 200 0lim , lim e lim
xx x
x x x
x x x+ − →→ →
67
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Resolução: Para x > 0, temos |x| = x. Assim,
2 20 0 0
1lim lim limx x x
x xx x x+ + +→ → →
= = = +∞
68
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Resolução: Para x < 0, temos |x| = -x. Portanto,
2 20 0 0
1lim lim limx x x
x xx x x− − −→ → →
− −= = = +∞
70
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Exemplo 20: Determinar o limite da expressão
1
5 2lim
1x
xx→−
++
71
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Resolução: Quando x → -1, |x + 1| → 0+. Assim,
( )1
11
lim 5 25 2 3lim
1 lim 1 0x
xx
xxx x
→−+→−
→−
++ −= = = −∞+ +
72
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Exemplo 21: Determinar o limite das expressões
2 2 2
2 2 222 2
3 1 3 1 3 1lim , lim e lim
6 6 6xx x
x x x x x xx x x x x x+ − →→ →
+ + + + + ++ − + − + −
73
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Resolução:
( )( )2 2
22 2
3 1 3 1 11lim lim
6 2 3 0x x
x x x xx x x x+ + +→ →
+ + + += = = +∞+ − − +
74
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Resolução:
( )( )2 2
22 2
3 1 3 1 11lim lim
6 2 3 0x x
x x x xx x x x− − −→ →
+ + + += = = −∞+ − − +
75
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Resolução:
2 2
2 22 2
3 1 3 1lim lim
6 6x x
x x x xx x x x+ −→ →
+ + + +≠+ − + −
Conclusão ????
76
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Exemplo 22: Determinar o limite da expressão
2 3lim
2x
xx→+∞
++
77
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Resolução:
22 2 2
222
3 31 13lim lim lim
1 21 22x x x
xx x xx x
x xx x
→+∞ →+∞ →+∞
+ + + = = =+ ++
2
2
3lim 1
11 2 0lim
x
x
x
x x
→+∞
+
→+∞
+ = = = +∞ +
78
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Exemplo 23: Determinar o limite da expressão
35lim
8 2x
xx→+∞
−+
79
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Resolução:
33 3 3
32 32 3
5 51 15lim lim lim
8 28 28 2x x x
xx x x
x xx xx x
→+∞ →+∞ →+∞
− − − = = =+ ++
3
2 3
5lim 1
18 2 0lim
x
x
x
x x
→+∞
+
→+∞
− − = = = −∞ +
80
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Exemplo 24: Determinar o limite da expressão
4 2
4
2 3 2 1lim
4x
x x xx→+∞
+ + +−
81
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Resolução:
44 2 2 3 4
44
4
3 2 12
2 3 2 1lim lim
44 1x x
xx x x x x x
x xx
→+∞ →+∞
+ + + + + + = =− −
2 3 42 3 4
4 4
3 2 13 2 1 lim 22 2lim 2
4 4 11 lim 1
x
x
x
x x xx x x
x x
→+∞
→+∞
→+∞
+ + ++ + + = = = = −
− − −
82
8.1. Propriedades dos limitesinfinitos
Exemplo 25: Determinar o limite da expressão
2
3
3 1lim
2x
x xx→+∞
+ −−
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