Aula 1 - Limites - 1 slide por folha - UNEMAT – Campus...

Limites

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Limites

1.O limite de uma função

2.Propriedades dos limites

3.Técnicas para o cálculo de limites

4.Limites unilaterais

5.Comportamento não-limitado

6.Expressões indeterminadas

7.Limites no infinito

8.Limites infinitos

3

1. O limite de uma função

Na linguagem cotidiana, referimo-nos aolimite de uma velocidade, ao limite do peso de umlutador, ao limite da resistência humana, ou aolimite de uma mola. Todas essas expressõessugerem que o limite é uma cota, que em certasocasiões pode não ser atingida ou mesmoultrapassada.

4


Consideremos uma mola que se romperá selhe for apenso um peso de 10 kg ou mais. Paradeterminar o quanto a mola se distenderá sem seromper, poderemos anexar-lhe pesos cada vezmaiores, medindo o comprimento da mola para cadapeso w, conforme a figura acima.

5


Se o comprimento da mola tende para umvalor L, então dizemos que “o limite de x quando wtende para 10 é L.” Um limite matemático ébastante semelhante ao limite de uma mola.

6


A notação para limite é

que se lê “o limite de f(x) quando x tende para c é L.”

lim ( )x c

f x L→

=

7


Exemplo 1: Ache o limite de: ( )2

1lim 1x

x→

+

Seja f(x) = x2 + 1. Pelo gráfico de fna figura ao lado, tudo indica quef(x) se aproxima de 2 quando x seaproxima de 1 pela direita ou pelaesquerda. Podemos, assim, escrever

( )2

1lim 1 2x

x→

+ =

8


Exemplo 1: Ache o limite de: ( )2

1lim 1x

x→

+

x tende para 1

2,2002,0202,0022,0001,9981,9801,810f(x)

1,1001,0101,0011,0000,9990,9900,900x

x tende para 1

f(x) tende para 2 f(x) tende para 2

A tabela abaixo chega à mesmaconclusão. Note que quando x ficacada vez mais próximo de 1, f(x)fica cada vez mais próxima de 2.

9

O gráfico de f, na figura ao lado,sugere que f(x) se aproxima de 2quando x se aproxima de 1 porqualquer dos dois lados.


Exemplo 2: Ache o limite de:

2

1

1lim 2

1x

xx→

− =−

2

1

1lim

1x

xx→

−−

10



x tende para 1

2,1002,0102,001?1,9991,9901,900f(x)

1,1001,0101,0011,0000,9990,9900,900x

x tende para 1


A tabela abaixo reforça estaconclusão. Certifique-se de que nãoimporta se f(x) não é definida parax = 1. O limite depende somente dosvalores de f(x) na vizinhança de 1, enão em 1.

2

1

1lim

1x

xx→

−−

11

Podemos ver que f(x) = -1 paratodos os valores à esquerda dex = 1, e f(x) = 1 para todos osvalores à direita de x = 1. Em taissituações, dizemos que o limite nãoexiste.



1

1lim

1x

x

x→

−= ∃

−

1

1lim

1x

x

x→

−−

12

A tabela abaixo reforça estaconclusão.


Exemplo 3: Ache o limite de:1

1lim

1x

x

x→

−−

x tende para 1

1,001,001,00?-1,00-1,00-1,00f(x)

1,1001,0101,0011,0000,9990,9900,900x

x tende para 1

f(x) tende para -1 f(x) tende para 1

13

Pelo gráfico de f, parece que f(x)tende para 1 quando x tende para 1por qualquer dos dois lados.


Exemplo 4: Ache o limite de: , 1( )

0, 1

x xf x

x

≠= =

14

A tabela abaixo reforça estaconclusão. Não importa que f(1) = 0.O limite depende somente dosvalores de f(x) na vizinhança de 1,não em 1.


Exemplo 4: Ache o limite de: , 1( )

0, 1

x xf x

x

≠= =

x tende para 1

1,1001,0101,0010,0000,9990,9900,900f(x)

1,1001,0101,0011,0000,9990,9900,900x

x tende para 1


15


Há três idéias importantes que podemosextrair dos exemplos anteriores:

1. Dizer que o limite de f(x) é L quando x tendepara c significa que o valor de f(x) pode tornar-se arbitrariamente próximo do número Lescolhendo-se x cada vez mais próximo de c.

2. Para que um limite exista, devemos fazer xtender para c por ambos os lados de c. Se f(x)tende para números diferentes quando x tendepara c pela esquerda ou pela direita, então olimite não existe.

16


3. O valor de f(x) para x = c não tem qualquerinfluência na existência ou não-existência dolimite de f(x) quando x tende para c. Porexemplo, no Exemplo 2, o limite de f(x) existequando x tende para 1, mesmo que a função nãoseja definida em x = 1.

17


Definição de Limite de uma Função

Se f(x) se torna arbitrariamente próxima de umnúmero (único) L quando x tende para c dequalquer lado, então

que se lê “o limite de f(x), quando x tende para c éL.”

lim ( )x c

f x L→

=

18

2. Propriedades dos limites

Muitas vezes o limite de f(x), quando xtende para c, é simplesmente f(c), conformeilustrado no Exemplo 1. Sempre que o limite de f(x)quando x tende para c é

dizemos que o limite pode ser calculado porsubstituição direta. É importante que saibamosreconhecer os tipos de funções que apresentamesta propriedade.

lim ( ) ( ), Substituição diretax c

f x f c→

=

19


Propriedades dos Limites

Combinando as propriedades de limites comas seguintes regras para operar com eles, podemosdeterminar os limites de uma ampla diversidade defunções.

Sejam b e c números reais, e n um inteiro positivo.

1. lim 2. lim

3. lim 4. lim

Na propriedade 4, se n é par, c deve ser positivo.

x c x c

n n n n

x c x c

b b x c

x c x c

→ →

→ →

= =

= =

20


Operações com Limites

Sejam b e c números reais e n um inteiropositivo. Se os limites de f(x) e g(x) existemquando x tende para c, então valem as seguintesoperações.

[ ][ ][ ]

1. Múltiplo constante lim ( ) lim ( )

2. Adição lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

3. Multiplicação lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

x c x c

x c x c x c

x c x c x c

bf x b f x

f x g x f x g x

f x g x f x g x

→ →

→ → →

→ → →

=

± = ±

⋅ = ⋅

21


Operações com Limites

Sejam b e c números reais e n um inteiropositivo. Se os limites de f(x) e g(x) existemquando x tende para c, então valem as seguintesoperações.

[ ]

lim ( )( )4. Divisão lim , lim ( ) 0

( ) lim ( )

5. Potência lim ( ) lim ( )

6. Radical lim ( ) lim

x c

x c x cx c

nn

x c x c

n

x c x

f xf xg x

g x g x

f x f x

f x

→

→ →→

→ →

→

= ≠

=

= ( )nc

f x→

Na propriedade 6, se n é par e ,então L deve ser positivo.

lim ( )x c

f x L→

=

22


Exemplo 5: Calcule ( )2

2lim 2 3x

x x→

+ −

( )2 2

2 2 2 2

2

lim 2 3 lim lim 2 lim 3 Propriedade aditiva

2 2(2) 3 Substituição direta

4 4 3

x x x xx x x x

→ → → →+ − = + −

= + −= + −

5 Simplificar=

23


Limite de uma Função Polinomial

Se p é uma função polinomial e c é umnúmero real arbitrário, então

lim ( ) ( )x c

p x p c→

=

24

3. Técnicas para o cálculo delimites

Muitas técnicas para o cálculo de limites sebaseiam no teorema da substituição. Basicamente,o teorema afirma que se duas funções coincidemem todos os pontos exceto no ponto (único) c,então elas têm comportamento limite idêntico emx = c.

25


O Teorema da Substituição

Seja c um número real e seja f(x) = g(x) paratodo x ≠ c. Se o limite de g(x) existe quando x → c,então o limite de f(x) também existe e

Para aplicar o Teorema da Substituição,podemos utilizar um resultado da álgebra, queafirma que, para uma função polinomial p, p(c) = 0 see somente se (x – c) é fator de p(x).

lim ( ) lim ( )x c x c

f x g x→ →

=

26


Exemplo 6: Calcule

Note que tanto o numerador como odenominador se anulam para x = 1. Isto implica que(x – 1) é fator de ambos, podendo, pois, sercancelado.

3

1

1lim

1x

xx→

−−

3 21 ( 1)( 1) Fatoração do numerador

1 1

( 1

x x x xx x

x

− − + +=− −

−=2)( 1)

1

x x

x

+ +−

2

Cancelamento do fator comum

1, x 1 Simplificarx x= + + ≠

27


Assim, a função racional (x3 – 1)/(x – 1) e afunção polinomial x2 + x + 1 concordam para todosos valores de x tais que x ≠ 1. Podemos, pois,aplicar o Teorema da Substituição.

( )3

2 2

1 1

1lim lim 1 1 1 1 3

1x x

xx x

x→ →

− = + + = + + =−

28


A figura acima ilustra este resultadograficamente. Note que os dois gráficos sãoidênticos, com a única diferença que o gráfico de gcontém o ponto (1, 3), enquanto este ponto estáausente do gráfico de f. Na figura à esquerda, oponto ausente é representado por um pontoaberto.

29


Exemplo 7: Calcule

A substituição direta falha porque tanto onumerador como o denominador se anulam quando x= -3.

Todavia, como ambos os limites do numerador e dodenominador são zero, sabemos que eles têm umfator comum (x + 3). Assim, para todo x ≠ -3,podemos cancelar este fator, obtendo:

2

3

6lim

3x

x xx→−

+ −+

( )( )

22

3

3

3

lim 6 06lim

3 lim 3 0x

x

x

x xx xx x

→−

→−→−

← + − =+ −+ ← + =

30


2

3 3

3

6 ( 2)( 3)lim lim Fatoração do numerador

3 3

( 2)( 3 lim

x x

x

x x x xx x

x x

→− →−

→−

+ − − +=+ +

− += )

3x +

3

Cancelamento do fator comum

lim ( 2) Simplificar

5 Substituição diretax

x→−

= −

= −

31


A figura acima mostra o resultado. Note queo gráfico de f coincide com o gráfico deg(x) = x – 2, com a diferença que o gráfico de ftem uma interrupção (buraco) em (-3, -5).

32


Exemplo 8: Calcule

Como o limite do denominador não é zero,podemos utilizar o limite de um quociente.

2

2

2lim

2x

x xx→−

+ −−

2 2

2 2

2 ( 2) 2 2lim lim Substituição direta

2 2 20

Simplificar4

0 O limite é 0

x x

x xx→− →−

+ − − − −=− − −

=−

=

33

4. Limites unilaterais

No Exemplo 3, vimos que um limite pode nãoexistir pelo fato de uma função tender paravalores diferentes à esquerda e à direita de c.Este tipo de comportamento pode ser descrito demodo mais conciso com o conceito de limiteunilateral.

O primeiro limite lê-se como “o limite def(x) quando x tende para c pela esquerda é L.” Osegundo lê-se: “o limite de f(x) quando x tendepara c pela direita é L.”

lim ( ) Limite à esquerda

lim ( ) Limite à direitax c

x c

f x L

f x L

−

+

→

→

=

=

34


Exemplo 9: Ache o limite, quando x → 0 pelaesquerda, e o limite, quando x → 0 pela direita, dafunção

2( )

xf x

x=

Pelo gráfico de f, vemos quef(x) = -2 para todo x < 0 e quef(x) = 2 para todo x > 0.

0

0

2lim 2 Limite à esquerda

2lim 2 Limite à direita

x

x

x

xx

x

−

+

→

→

= −

=

35


No Exemplo 9, a função tem limitesdiferentes à esquerda e à direita. Em tais casos, olimite de f(x) quando x → c não existe. Para que olimite de uma função exista quando x → c, ambosos limites laterais devem existir e ser iguais.

36


Existência de um Limite

Se f é uma função e c e L são números reais,então

se e somente se ambos os limites à esquerda e àdireita são iguais a L.

lim ( )x c

f x L→

=

37


Exemplo 10: Ache o limite de f(x), quando x tendepara 1.

2

4 , 1( )

4 , 1

x xf x

x x x

− <=

− >

Tenha em mente que o quenos interessa é o valor de f navizinhança de 1, e não em x = 1.Assim, podemos utilizar asubstituição direta para achar oslimites à esquerda e à direita de 1.

38


Exemplo 10: Ache o limite de f(x), quando x tendepara 1.

2

4 , 1( )

4 , 1

x xf x

x x x

− <=

− >

1 1

2

1 1

1 lim ( ) lim (4 ) 4 1 3

1 lim ( ) lim (4 ) 4 1 3x x

x x

Para x f x x

Para x f x x x

− −

+ +

→ →

→ →

< ⇒ = − = − =

> ⇒ = − = − =

Como ambos os limiteslaterais existem e são iguais a 3,decorre que

1lim ( ) 3x

f x→

=

39


Exemplo 11: Um serviço de entregas noturnascobra $ 8 pela primeira lb e $ 2 por cada lbadicional. Seja x o peso de uma encomenda e f(x) ocusto de entrega. Mostre que o limite de f(x),quando x → 2, não existe.

8, 0 1

( ) 10, 1 2

12, 2 3

x

f x x

x

< ≤= < ≤ < ≤

40


Exemplo 11: Um serviço de entregas noturnascobra $ 8 pela primeira lb e $ 2 por cada lbadicional. Seja x o peso de uma encomenda e f(x) ocusto de entrega. Mostre que o limite de f(x),quando x → 2, não existe.

2

2

lim ( ) 10

lim ( ) 12x

x

f x

f x

−

+

→

→

=

=

Como esses limites unilateraissão diferentes, o limite de f(x),quando x → 2, não existe.

41

5. Comportamento não-limitado

O Exemplo 11 mostra um limite que nãoexiste porque os limites à esquerda e à direita sãodiferentes. Outra maneira importante pela qual umlimite pode não existir é quando f(x) aumenta oudiminui indefinidamente quando x tende para c.

42


Exemplo 12: Calcule o limite (se possível):

Pela figura, vemos quef(x) decresce sem limitequando x tende para 2 pelaesquerda e cresce sem limitequando x tende para 2 peladireita. Simbolicamente, pode-mos escrever

2

3lim

2x x→ −

43


Exemplo 12: Calcule o limite (se possível):

2

2

3lim

23

lim2

x

x

x

x

−

+

→

→

= −∞−

= +∞−

2

3lim

2x x→ −

Como f é não-limitadaquando x tende para 2, o limitenão existe

44


Nota: O sinal de igualdade em

não significa que o limite exista! Pelo contrário,diz-nos como o limite deixa de existir denotando ocomportamento não-limitado de f(x) quando xtende para c.

lim ( )x c

f x+→

= +∞

45

6. Expressões indeterminadas

Costuma-se dizer que as expressões do tipo:

são indeterminadas.

0 00, , ,0 ,0 , ,1

0∞∞ ∞ − ∞ × ∞ ∞

∞

46


Vejamos por exemplo, a expressão 0/0.

Sejam f e g funções tais que:

lim ( ) lim ( ) 0x a x a

f x g x→ →

= =

47


Nada se pode afirmar, a priori, sobre olimite do quociente f/g. Dependendo das funções fe g ele pode assumir qualquer valor real ou nãoexistir.

Exprimimos isso dizendo que 0/0 é umsímbolo de indeterminação.

48


Para comprovar o que foi dito, vejamos doisexemplos:

(i) Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2.

Temos,

0 0lim ( ) lim ( ) 0x x

f x g x→ →

= =

3

20 0 0

( )e lim lim lim 0.

( )x x x

f x xx

g x x→ → →= = =

49


(ii) Sejam f(x) = x2 e g(x) = 2x2.

Temos,

0 0lim ( ) lim ( ) 0x x

f x g x→ →

= =

2

20 0 0

( ) 1 1e lim lim lim .

( ) 2 2 2x x x

f x xg x x→ → →

= = =

50

7. Limites no infinito

Se n é um número inteiro positivo, então:

1lim 0nx x→±∞

=

51


Exemplo 13: Determinar o limite da expressão

2 5lim

8x

xx→+∞

−+

Neste caso, temos uma indeterminação dotipo ∞/∞.

Vamos dividir o numerador e o denominadorpor x e depois aplicar as propriedades de limites,juntamente com a propriedade vista no slideanterior.

52


Temos,

5 52 2

2 5lim lim lim

8 88 1 1x x x

xx x x

x xx x

→+∞ →+∞ →+∞

− − − = = =+ + +

5 5lim 2 lim 2 lim 2 5 02

88 1 8 0lim 1 limlim 1

x x x

x xx

x x

xx

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞→+∞

− − − ⋅ = = = =+ ⋅ ++

53



3

5

2 3 5lim

4 2x

x xx→+∞

+ ++

Novamente temos uma indeterminação dotipo ∞/∞.

Vamos dividir o numerador e o denominadorpela maior potência de x, que neste caso é x5.

54


Temos,

3 2 4 52 4 5

5

5 5

2 3 52 3 5 lim2 3 5

lim lim2 24 2 4 lim 4

x

x x

x

x x x x xx x xx

x x

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

+ ++ + + + = = =+ + +

2 4 5

5

1 1 12 lim 3 lim 5 lim

2 0 3 0 5 00

1 4 2 0lim 4 2 lim

x x x

x x

x x x

x

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

+ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = =+ ⋅ +

55



2

2 5lim

2 5x

x

x→+∞

+−

Neste caso dividimos o numerador e odenominador por x. No denominador tomamosx = raiz quadrada de x2, já que os valores de xpodem ser considerados positivos (x → +∞).

56


Temos,

22

2 2

5 52 2

2 5lim lim lim

5 52 5 2 2x x x

x xx x x

x x xx x

→+∞ →+∞ →+∞

+ + + = = =− − −

2 2 2

55 5lim 22 lim 2 limlim

5 5 52 lim 2 lim 2

x x x

x

x x

xx x

x x x

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

→+∞ →+∞

++ + = = = =

− − −

2

5lim 2 lim 2 0 2 2 2 2 2

225 2 0 2 2 2

lim 2 lim

x x

x x

x

x

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

+ += = = = ⋅ = =−−

57



2

2 5lim

2 5x

x

x→−∞

+−

Como no exemplo anterior, dividimos onumerador e o denominador por x. Como neste casox → -∞, os valores de x podem ser consideradosnegativos. Então, para o denominador, tomamos-x como sendo a raiz quadrada de x2.

58


Temos,

22

2 2

5 52 2

2 5lim lim lim

5 52 5 2 2x x x

x xx x x

x x xx x

→−∞ →−∞ →−∞

+ + + = = =− − − −

2 2 2

55 5lim 22 lim 2 limlim

5 5 52 lim 2 lim 2

x x x

x

x x

xx x

x x x

→−∞ →−∞ →−∞

→−∞

→−∞ →−∞

++ + = = = =

− − − − − −

( )2

5lim 2 lim 2 0 2 2 2 2 2

225 2 2 22 0lim 2 lim

x x

x x

x

x

→−∞ →−∞

→−∞ →−∞

+ += = = = − ⋅ = − = −−− −− −

59

8. Limites infinitos

Se n é um número inteiro positivo, então:

0

1lim nx x+→

= +∞

0

, se é par1lim

, se é ímparnx

n

x n−→

+∞= −∞

60

8.1. Propriedades dos limitesinfinitos

De certo modo, as propriedades dasoperações envolvendo limites permanecem válidaspara limites infinitos.

A tabela seguinte nos dá um resumo dosfatos principais válidos para os limites infinitos,onde podemos ter x → a, x → a+, x → a-, x → +∞ oux → -∞.

61


lim ( )f x lim ( )g x ( )h x = lim ( )h x simbolicamente 01 ±∞ ±∞ ( ) ( )f x g x+ ±∞ ±∞ ± ∞ = ±∞ 02 +∞ +∞ ( ) ( )f x g x− ? ( ) ( ) é indeterminação+∞ − +∞ 03 +∞ k ( ) ( )f x g x+ +∞ k+∞ + = +∞ 04 −∞ k ( ) ( )f x g x+ −∞ k−∞ + = −∞ 05 +∞ +∞ ( ) ( )f x g x⋅ +∞ ( ) ( )+∞ ⋅ +∞ = +∞ 06 +∞ −∞ ( ) ( )f x g x⋅ −∞ ( ) ( )+∞ ⋅ −∞ = −∞ 07 +∞ k > 0 ( ) ( )f x g x⋅ +∞ ( ) , 0k k+∞ ⋅ = +∞ > 08 +∞ k < 0 ( ) ( )f x g x⋅ −∞ ( ) , 0k k+∞ ⋅ = −∞ < 09 ±∞ 0 ( ) ( )f x g x⋅ ? ( ) 0 é indeterminação±∞ ⋅ 10 k ±∞ ( ) / ( )f x g x 0 / ( ) 0k ±∞ = 11 ±∞ ±∞ ( ) / ( )f x g x ? / é indeterminação±∞ ±∞ 12 k > 0 0+ ( ) / ( )f x g x +∞ / 0 , 0k k+ = +∞ > 13 +∞ 0+ ( ) / ( )f x g x +∞ / 0+ = ++∞ ∞ 14 k > 0 0- ( ) / ( )f x g x −∞ / 0 , 0k k− = −∞ > 15 +∞ 0- ( ) / ( )f x g x −∞ / 0−+∞ = −∞ 16 0 0 ( ) / ( )f x g x ? 0 /0 é indeterminação

62



320

1limx

x xx→

+ +

63


Resolução:

( ) ( )3 32 20 0 0 0

1 1lim lim lim limx x x x

x x x xx x→ → → →

+ + = + +

0 0= + + ∞ = +∞

64



( )5 3lim 3 4 1x

x x→+∞

− +

Neste caso, temos uma indeterminação dotipo ∞ - ∞. Para determinarmos o limite usamos umartifício de cálculo.

65


Resolução:

( )5 3 52 5

4 1lim 3 4 1 lim 3x x

x x xx x→∞ →∞

− + = − + =

( )52 5

4 1lim lim 3 3 0 0x x

xx x→∞ →∞

⋅ − + = +∞ ⋅ − + = +∞

66


Exemplo 19: Determinar o limite das expressões

2 2 200 0lim , lim e lim

xx x

x x x

x x x+ − →→ →

67


Resolução: Para x > 0, temos |x| = x. Assim,

2 20 0 0

1lim lim limx x x

x xx x x+ + +→ → →

= = = +∞

68


Resolução: Para x < 0, temos |x| = -x. Portanto,

2 20 0 0

1lim lim limx x x

x xx x x− − −→ → →

− −= = = +∞

69


Resolução:

2 20 0lim limx x

x x

x x+ −→ →= = +∞

70



1

5 2lim

1x

xx→−

++

71


Resolução: Quando x → -1, |x + 1| → 0+. Assim,

( )1

11

lim 5 25 2 3lim

1 lim 1 0x

xx

xxx x

→−+→−

→−

++ −= = = −∞+ +

72


Exemplo 21: Determinar o limite das expressões

2 2 2

2 2 222 2

3 1 3 1 3 1lim , lim e lim

6 6 6xx x

x x x x x xx x x x x x+ − →→ →

+ + + + + ++ − + − + −

73


Resolução:

( )( )2 2

22 2

3 1 3 1 11lim lim

6 2 3 0x x

x x x xx x x x+ + +→ →

+ + + += = = +∞+ − − +

74


Resolução:

( )( )2 2

22 2

3 1 3 1 11lim lim

6 2 3 0x x

x x x xx x x x− − −→ →

+ + + += = = −∞+ − − +

75


Resolução:

2 2

2 22 2

3 1 3 1lim lim

6 6x x

x x x xx x x x+ −→ →

+ + + +≠+ − + −

Conclusão ????

76



2 3lim

2x

xx→+∞

++

77


Resolução:

22 2 2

222

3 31 13lim lim lim

1 21 22x x x

xx x xx x

x xx x

→+∞ →+∞ →+∞

+ + + = = =+ ++

2

2

3lim 1

11 2 0lim

x

x

x

x x

→+∞

+

→+∞

+ = = = +∞ +

78



35lim

8 2x

xx→+∞

−+

79


Resolução:

33 3 3

32 32 3

5 51 15lim lim lim

8 28 28 2x x x

xx x x

x xx xx x

→+∞ →+∞ →+∞

− − − = = =+ ++

3

2 3

5lim 1

18 2 0lim

x

x

x

x x

→+∞

+

→+∞

− − = = = −∞ +

80



4 2

4

2 3 2 1lim

4x

x x xx→+∞

+ + +−

81


Resolução:

44 2 2 3 4

44

4

3 2 12

2 3 2 1lim lim

44 1x x

xx x x x x x

x xx

→+∞ →+∞

+ + + + + + = =− −

2 3 42 3 4

4 4

3 2 13 2 1 lim 22 2lim 2

4 4 11 lim 1

x

x

x

x x xx x x

x x

→+∞

→+∞

→+∞

+ + ++ + + = = = = −

− − −

82



2

3

3 1lim

2x

x xx→+∞

+ −−

83


Resolução:

32 2 3 2 3

33

33

1 3 1 1 3 13 1

lim lim lim222 11

x x x

xx x x x x x x x

x xxx

→+∞ →+∞ →+∞

+ − + − + − = = =− −−

2 3

3

1 3 1lim

00

2 1lim 1

x

x

x x x

x

→+∞

→+∞

+ − = = =

−

Aula 1 - Limites - 1 slide por folha - UNEMAT – Campus...

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