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Aula do cap. 03
Vetores.Conteúdo: Grandezas Escalares e Vetoriais
Adição de Vetores – Método do Paralelogramo
Decomposição de VetoresVetores Unitários e Adição Vetorial.Produto Escalar
Referência:• Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1.Cap. 03 da 6a , 7ª ou 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC.• Sites: http://www.fisica.ufpb.br/~romero/port/notas_de_aula.htm
http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Cursos/Curso1/cv13pi.htmlhttp://www.fsc.ufsc.br/~ccf/parcerias/ntnujava/vector/vector.html
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Grandezas físicas escalares: Ficam definidas quando
expressas por um número e um significado físico:Tempo (t), Volume (V), Massa (m) e Distância Percorrida (d)
Algumas grandezas escalares são sempre positivas (massa). Outras podem
ter os dois sinais.
As grandezas físicas vetoriais: Para serem definidas precisam
de um número, um significado físico e uma orientação:Força (10 N, de baixo para cima),
velocidade (40 km/h para leste)...
Grandezas físicas
Escalares e Vetoriais
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Vetores
O tamanho da SETA (VETOR) é o seu MÓDULO(Magnitude).
• Linha pontilhada ⇒ DIREÇÃO
• Pontas vermelhas ⇒ SENTIDOS possíveis
V
• Vetor: É um ente matemático caracterizado: Módulo,Direção e Sentido
• Representa-se um vetor por um segmento de retaorientado.
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Módulo: É representado graficamente através do tamanho do vetor
ou através de um valor numérico acompanhado de unidade.Direção: É a reta que dá suporte ao vetor e pode ser informadaatravés de palavras como: horizontal, vertical, etc. A direção indica
o ângulo que a reta suporte forma com a reta de referência.
Sentido: É a orientação do vetor dada pela seta e também pode ser informada através de palavras como: para esquerda, para direita, do
ponto A para o ponto B, para baixo, etc.
Vetores
θ
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Exemplo 1:A
Módulo: 3 cm
3 cmDireção: VerticalSentido: Para cima
Vetor A
Exemplo 2:
Módulo: 5,5 cmDireção: Horizontal
Sentido: Para esquerda
Vetor B
B
Vetores
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Vetores Opostos: São ditos opostos quando a
única diferença entre eles é a oposição de sentido.Exemplo:
A - A
Nesse caso: Vetor A oposto ao Vetor - A
Observação: Repare a utilização do sinal “ – “
Vetores
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Deslocamento (D) ≠ Distância Percorrida (d)
• Dist. Percorrida (escalar):d = 200 m.
• Vetor Deslocamento:D = 100 √2 m = 141,42 mDireção – reta suporte quecontém os pontos A e CSentido – de A para C.
A
C
B
D
U
D
100 m (AB)2 + (BC)2 = (AC)2
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a b
h
h2 = a2 + b2
O quadrado construído
sobre a hipotenusa é
equivalente à soma dos
quadrados construídos
sobre os catetos.
Pitágoras
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Método gráfico para Adição de vetorescom direções diferentes.
R = A + BA
B
R
A B
1) - Método do triângulo(polígono)
V1
V2
V3
V1 + V3V2 +
V1
V2
V3
Resultante
Adição de Vetores
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Método gráfico para Adição de vetorescom direções diferentes.
R = A + B
A
B
A
B
2) - Método Paralelogramo
Adição de Vetores
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Soma de deslocamentos é um deslocamento
R = A + B
A + B = B + Anote que
A
B
R
R
AA
B
B R
θ cos AB 2 B A R B A 2 2 + Lei dos co-senos
Adição de Vetores
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Adição de três vetores ou mais
R = A + B + C
R= (A + B) +C = A + (B + C)
note que
A
B
C
R
R
Adição de Vetores
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Adição de Vetores
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Subtração de Vetores
0 (zero) é o vetor nulo
0 = B + (- B)
R = A - B = A + (-B)
A subtração A
B - B
-
BR
B
2 B -0.5 B
Multiplicação por escalar
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FFy
Fxx
y
Relações Trigonométricas num Triângulo Retângulo
Cateto oposto a θ
Cateto adjacente a θ
θ
F
Fy
Hipotenusa
opostoCateto sen =
F
Fx
Hipotenusa
adajacenteCateto cos =
Fx
Fy
adjacenteCateto
opostoCateto tg =
Componentes de um Vetor
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• O segmento pontilhado vermelho (que tem o mesmotamanho de Fy) e Fx formam um triângulo retângulo.
• F é a hipotenusa.• Fx e Fy são os catetos.
FFy
Fx
x
y
α
• Fx = F . cos α
• Fy
= F . sen α
• F 2 = Fx2 + Fy
2
Componentes de um Vetor
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V1x
V1y
V2y
V2xx
y
V1
V2
θ
α Rx
RyR
x
y
V1
θ
α
V2
Exercício
Adição de componentes vetoriais
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Vetor Unitários/Versores
O vetor A pode ser decomposto
em suas componentes
A = Ax + Ay ji
Se definimos vetores unitários
i e j podemos escrever
A = Axi + Ay j
onde Ax e Ay são os módulos
das componentes do vetor. x
y
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Se definimos vetores unitáriosi, j e k podemos escrever
A = Ax
i + Ay
j + Az
k
onde Ax , Ay e Az são os módulos
das componentes do vetor A.
A
Ax
Ay
AZ
No espaço o vetor A pode ser
representado por suas componentes:
A = Ax + Ay + Az
Vetores Unitários/Versores
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A
Ax
Ay
B
By
Bx
Queremos somar os vetores
A e B
C = A + B
Isto é somar as suas componetes
C
C= (Axi + Ay j) + (Bxi + By j)
ou
C = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j
C = Cx i + Cy j
Adição com vetores unitários
i
j
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Adição com vetores unitários
R = A + BOnde: R x = A x + B x
R y=
A y+
B y
Seja um vetor R resultadoda seguinte operação:
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Exemplo:Sendo a = - 2 i e b = 2 i + 2 j , determineo módulo de r = a + b vale:
i
ja
b r
Adição com vetores unitários
o módulo de r = 2 j
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Produto escalar
A
B
Definição: A . B = ⏐A⏐⏐B⏐cosθ
θ
A cosθEm termos de componentes
A . B = AxBx +AyBy +Az Bz
Pois: i.i = j.j = k.k =1 e i.j = i.k = j.k =0
Geométricamente,projeta-se A na direção de B
(A cosθ) B ou (B cosθ) A
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Produto escalar
A
B
A . B = ⏐A⏐⏐B⏐cosθθ
A cosθ
Em termos de componentes
A . B = AxBx +AyBy +Az Bz
Utilizando o produto escalar paraencontrar o ângulo entre 2 vetores
.
B A
B A B A arccos
B A
B A arccos
y y x x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅=
rr
θ
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