Coeficientes binomiais
Binmio de Newton
Mdulo: Coeficientes binomiais e aplicaes
13.1
Apresentar identidades envolvendo coeficientes
binomiais.
Na anlise de algoritmos aparece a necessidade de
manipular relaes envolvendo coeficientes
binomiais.
Objetivo:
Importncia:
13.2Coeficientes binomiais e aplicaes
Definio
Argumentos combinatrio e algbrico
Identidades
Tringulo de Pascal
Teoremas das linhas, das colunas e das diagonais
13.3Coeficientes binomiais e aplicaes
Aula 13: Coeficientes binomiais
Definio:
Chamamos C(n, r) de coeficiente binomial.
13.4Coeficientes binomiais
(0 r n)
Observao
C(n, r) =n!_________
r! (n r)!
expresso algbrica
do coeficiente binomial
envolvendo fatoriais
nmero de possibilidades
de escolher r objetos
diferentes entre n objetos
diferentes
O raciocnio combinatrio est baseado na
decomposio de um conjunto em subconjuntos
adequados e na contagem de seus elementos
aparecem as combinaes simples.
O raciocnio algbrico est baseado na manipulao
dos fatoriais.
13.5Coeficientes binomiais
combinatrios
algbricos
Argumentos combinatrio e algbrico:
Dois tipos de argumentos podem ser usados na
deduo de teoremas e identidades envolvendo
fatoriais ou coeficientes binomiais:
Observaes:
13.6Coeficientes binomiais: Argumentos combinatrio e algbrico
Na resoluo de problemas combinatrios tem-se que:
um raciocnio combinatrio determina a
forma de uma expresso algbrica
e vice-versa
uma forma da expresso algbrica sugere um
raciocnio combinatrio.
raciocnios combinatrios equivalentes geram
identidades algbricas e vice-versa.
Exemplo 1:
Considere trs cidades A, B, C. Sejam nA, nB e nC os
nmeros de caminhos unindo diretamente A e B, B e C,
e A e C respectivamente. Quantos caminhos originados
em A, chegam a C e regressam a A passando pelo menos
uma vez por B?
13.7Coeficientes binomiais: Argumentos combinatrio e algbrico
1
2...
nB
1
2...
nA
1
2...
nC
Possibilidade 1:
Possibilidade 2:
Possibilidade 3:
Ilustrao
A
B
C
Exemplo 1 (continuao):
U1:= conjunto dos caminhos que partem de A, chegam a C passando por B e retornam diretamente a A (c1 U)
U2:= conjunto dos caminhos que saem de A, chegam a C diretamente e voltam a A passando por B (c2 U2)
V:= conjunto dos caminhos que se originam em A, chegam a C e retornam a A passando as duas vezes por B (c3 V)
13.8Coeficientes binomiais: Argumentos combinatrio e algbrico
Resoluo: Raciocnio 1
A
B
C
Possibilidade 1: caminho c1
Possibilidade 2: caminho c2
Possibilidade 3: caminho c3
(U1 U2 = , U1 V = , U2 V = )P.A.
W = U1 U2 V, |W| = |U1| + |U2| + |V|
Sejam
W:= conjunto de caminhos que partem de A, chegam a C e voltam a A passando pelo menos uma vez por B.
Exemplo 1 (raciocnio 1):
= C(nA, 1) C(nB, 1) C(nC, 1) = nAnBnC
= C(nC, 1) C(nB, 1) C(nA, 1) = nCnBnA
13.9Coeficientes binomiais: Argumentos combinatrio e algbrico
1
2...
1
2...
nA nB
nC
1
2...
A
B
C
|W| = nAnBnC + nCnBnA + (nAnB)2 Resposta 1:
possibilidades entre
A e C passando por B
possibilidades entre
C e A passando por B
= C(nA, 1) C(nB, 1) C(nB, 1) C(nA, 1) = (nAnB)2
Calculamos
|U1| |U2| |V|
W:= conjunto de caminhos que partem de A, chegam a C e voltam a A
passando pelo menos uma vez por B.
U:= conjunto universo:= conjunto de todos os caminhos que partem de A, chegam a C e retornam a A.
13.10Coeficientes binomiais: Argumentos combinatrio e algbrico
Y:= conjunto dos caminhos que partem de A, chegam a C e retornam a A sem passar por B.
1
2
nC
W = Y__
= U Y , |W| = |U| |Y|P.A.
Possibilidade
|Y| = C(nC, 1) C(nC, 1) = nC2caminhos que unem
diretamente A e C
caminhos que unem
diretamente C e A
Exemplo 1 (continuao):
Raciocnio 2 (baseado em complemento de um conjunto)
A C
B
Exemplo 1 (raciocnio 2)
= N = nAnB + nC
13.11Coeficientes binomiais: Argumentos combinatrio e algbrico
Possibilidade de caminho entre A e C
passando por B
Possibilidade de caminho direto
entre A e C
nmero de caminhos que unem A e C passando por B +
nmero de caminhos que unem A e C diretamente
N = C(nA, 1)C(nB, 1) + C(nC, 1) = nAnB + nC
caminhos que
unem A e B
caminhos que
unem B e C
caminhos que unem
diretamente A e C
name=clic4
|U| = N N = (nAnB + nC)2caminhos
que unem
C e A
caminhos
que unem
A e C
Clculo de |U|: N:= nmero de caminhos que unem A e C =
Nmero de caminhos que unem C e A
A
B
C
= (nAnB)2 + 2nAnBnC
13.12Coeficientes binomiais: Argumentos combinatrio e algbrico
|W| = (nAnB + nC)2 nC2 Resposta 2:
Exemplo 1 (continuao raciocnio 2)
Resumindo:
|W| = |U| |Y| , |Y| = nC2 , |U| = (nAnB + nC)2
Resposta do problema:
O nmero de caminhos que partem de A, chegam a C
e retornam a A passando pelo menos uma vez por B
(nAnB + nC)2 nC
2 = nAnBnC + nCnBnA + (nAnB)
2.
Observao
2nAnBnC + (nAnB)2 = (nAnB + nC)
2 nC
2 =
= (nAnB + nC) (nAnB + nC) nC2 =
= nAnB(nAnB + nC) + nC(nAnB + nC) nC2 =
= nAnB(nC + nBnA) + nCnAnB
13.13Coeficientes binomiais: Argumentos combinatrio e algbrico
Exemplo 2:
Determine o raciocnio combinatrio no exemplo 1
motivado pela expresso nAnB(nC + nBnA) + nCnAnB ?
caminhos que
unem A e C
passando por B
caminhos
que unem
C e A
caminhos que unem
A e C e retornam a A
passando 1 vez por B
13.14Coeficientes binomiais: Argumentos combinatrio e algbrico
M := nAnB(nC + nBnA) + nCnAnB
Resoluo:
1
2...
1
2...nA nB
nC
A
B
C1
2...
M:= nmero de caminhos que unem A e C passando por B e retornam a A
por qualquer caminho + nmero de caminhos que unem A e C sem
passar por B e retornam a A passando por B.
S:= conjunto de caminhos que unem A e C passando por B e retornam a A.
T:= conjunto de caminhos que unem diretamente A e C e retornam a A
passando por B.
13.15Coeficientes binomiais: Argumentos combinatrio e algbrico
Resposta: O raciocnio combinatrio motivado por
nAnB(nC + nBnA) + nCnAnB corresponde a considerar
W = S T , |S| = nAnB(nC + nBnA) , |T| = nCnAnB ,|W| = |S| + |T| = M (S T = ) P.A.
13.16Coeficientes binomiais
Desafio Voltar
C(n, r) =n!________
r! (n r)!
Prova: Argumento algbrico
=n!
= C(n, n r) __________________(n r)! (n (n r))!
Concluso:
Tem-se o mesmo nmero de combinaes de r elementos escolhidos
entre n e de combinaes de (n r) elementos escolhidos entre n,
ou seja, C(n, r) = C(n, n r).
Fixada uma combinao de r elementos entre n
definida uma combinao de (n r) elementos entre n
automaticamente est
( __ __ __ __ __ )x xr
( __ __ __ __ __ )x x x
Identidades:
(1) Combinao complementar (ou de simetria)
C(n, r) = C(n, n r)
Argumento combinatrio (desafio)
n r
n
(2) Relao de Stifel (1486 - 1567) ou Frmula de Pascal (1623 - 1662)
C(n, r) + C(n, r + 1) = C(n + 1, r + 1)
Desafio Voltar
= C(n + 1, r + 1)(n + 1)!________________________
(r + 1)! ((n + 1) (r + 1))! =
_____________ (r + 1)! (n r)!
n![(r + 1) + (n r)]
n! (n + 1)_____________ (r + 1)! (n r)!
==
=(k+1)k! = (k+1)!
(k = r; k = nr+1)+ =_____________
(r + 1)! (n r)!
n! (n r)_____________ (r + 1)! (n r)!
n! (r + 1)
13.17Coeficientes binomiais: Identidades
Prova: Argumento algbrico (desafio!)
n!C(n, r) + C(n, r + 1) = +________
r! (n r)! __________________ (r + 1)! (n (r + 1))!
n!
Prova (continuao):
(por exemplo, n homens, 1 mulher).
As diferentes maneiras de selecionar nesse grupo um subgrupo de r + 1 elementos (por exemplo, r + 1 pessoas entre os n homens e 1 mulher) podemser decompostos em 2 classes disjuntas:
os que tm r do mesmo tipo e 1 do outro tipo(por exemplo, r homens e 1 mulher)
os que tm r + 1 do mesmo tipo(por exemplo, r + 1 homens)
Seja um grupo (conjunto) formado por n + 1 elementos,
onde n so do mesmo tipo e 1 de outro tipo
13.18Coeficientes binomiais: Identidades
Argumento combinatrio
Logo, pelo princpio da adio, resulta:
Prova (continuao argumento combinatrio):
O nmero de modos de selecionar nesse grupo r + 1
elementos entre n + 1 igual a
13.19Coeficientes binomiais: Identidades
Ou seja,
C(n + 1, r + 1) = C(n, r) + C(n, r + 1)
+
O nmero de modos de selecionar r elementos entre n
O nmero de modos de selecionar r + 1 elementos entre n
C(n, r + 1)
C(n + 1, r + 1)
C(n, r)
Observao
Relao de Stifel
C(n + 1, r + 1) = C(n, r) + C(n, r + 1) n = 1, 2, ...
r = 0, 1, ... , n1
13.20Coeficientes binomiais: Identidades
equivalente a:
C(n, r) n = 2, ...
r = 1, 2, ... , n1
= C(n 1, r 1 ) + C(n 1, r)
(3) Condies de fronteira
C(n, 0) = C(n, n) = 1 , n = 0, 1, ...
( a condio de simetria para r = 0)
( a condio de simetria para r = 1)
13.21Coeficientes binomiais: Identidades
(4) Condies secundrias
C(n, 1) = C(n, n 1) = n , n = 1, 2, ...
Tringulo de Pascal:
C(2, 0) C(2, 1) C(2, 2)n = 2
C(3, 0) C(3, 1) C(3, 2) C(3, 3)
C(4, 0) C(4, 1) C(4, 2) C(4, 3) C(4, 4)
C(5, 0) C(5, 1) C(5, 2) C(5, 3) C(5, 4) C(5, 5)
n = 3
n = 4
n = 5
13.22Coeficientes binomiais
Grfico 1
Ilustrao:linhas
C(0, 0)
C(1, 0) C(1, 1)
n = 0
n = 1
C(4, 2) = C(3, 1) + C(3, 2) = 3 + 3 = 6 (n = 4, r = 2)
Observao: C(n, r) est na linha n e na diagonal r
Relao C(n, r) = C(n 1, r 1 ) + C(n 1, r)
13.23Coeficientes binomiais: Tringulo de Pascal
Notao: C(n, r) = Cr
n
Grfico 2
6
10 10
Ilustrao: C00C
0
1
C0
2
C0
3
C0
4
C0
5
C1
1
C1
2
C1
3
C1
4
C1
5
C2
2
C2
3
C2
4
C2
5
C3
3
C3
4
C3
5
C4
4
C4
5 C5
5
Cr
n = Cr1
n1 + Cr
n1 (relao de Stifel) n = 2, 3,... , r = 1, 2,...
C1
n = Cn1
n = n (condies secundrias) n = 2, 3, ...
3
2
3
4 4
5 5
1
1 1
1 1
1 1
1 1
11
C0
n = Cn
n = 1 (condies de fronteira) n = 0, 1, 2, ...
Propriedades consideradas:
Observao: Cr
n est na linha n e na coluna r
Resoluo: (desafio)
13.24Coeficientes binomiais: Tringulo de Pascal
Desafio Voltar
Resposta: A linha 7 do tringulo de Pascal est dada por:
1 7 21 35 35 21 7
n = 6
1+6 = 7 6+15 = 21 15+20 = 35 20+15 = 35 15+6 = 21 6 + 1 = 7
n = 7
relaes de Stifel
condies de fronteira
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Exemplo 3:
Dada a linha 6 do tringulo de Pascal:
1 6 15 20 15 6 1
Calcule a linha 7 usando as condies de fronteira eas relaes de Stifel (frmula de Pascal).
Ilustrao:
Motivao do teorema das linhas
Teorema das linhas, das colunas e das diagonais:
13.25Coeficientes binomiais
n Soma da linha nObservaes:
1 + 3 + 3 + 1 = 83
1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 1287
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 164
= 23
= 24
= 27
Grfico 1 Grfico 2
1
1 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1
1
1
111
1
11
1
234
5
67
136
10
1521
14
10
2035
1
5
1535
1
621
17 1
n
0
1
234
5
67
13.26Coeficientes binomiais: Teorema das linhas
Ilustrao:
A soma dos elementos da linha 8 do tringulo de
Pascal igual a 28 = 256.
Observao:
Pelo teorema das linhas, podemos calcular a soma
dos elementos de uma linha n sem necessidade de
conhecer seus elementos.
Teorema das linhas
n = 0, 1, 2, ...C0
n + C1
n + C2
n + ... + Cn
n = 2n
13.27Coeficientes binomiais: Teorema das colunas
r Soma da coluna rObservaes:
0 2 4
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 70
1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 352
1 + 5 + 15 = 214
= C(7, 1) = C(6 + 1, 0 + 1)
= C(7, 3) = C(6 + 1, 2 + 1)
= C(7, 5) = C(6 + 1, 4 + 1)
C4
4
C4
5
C4
6
C5
7
7 1 7 21 35 35 21 7 1
Motivao do teorema das colunas
Ilustrao:
n
0
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
4
10
20
1
5
15
1
6 1
r0 1 2 3 4 5 6
13.28Coeficientes binomiais: Teorema das colunas
Ilustrao:
A soma da coluna associada a r = 1 do tringulo de
Pascal com o nmero de linhas n = 6 C1+1
6+1 = C2
7 = 21.
Teorema das colunas
Cr
r + Cr
r+1 + Cr
r+2 + ... + Cr
n = Cr+1
n+1 0 r nn = 0, 1, 2, ...
(k + 2)!_______
(k 1)!=
50
k = 1=
50
k = 1 1.2 ... (k 1) k(k + 1)(k + 2)__________________________
1.2 ... (k 1)
13.29Coeficientes binomiais: Teorema das colunas
=
= 3! 50
k = 1
(k + 2)!______________
3! ((k + 2) 3)!=
50
k = 1 3! (k + 2)!__________
3! (k 1)!
Resoluo:
S = 50
k = 1k(k + 1)(k + 2) =
Exemplo 4:
Determine o valor da soma
S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 50.51.52
= 3! 50
k = 1
coluna do tringulo de
Pascal, r = 3, n = 52
=
C3
k+2 = 3! (C3
3 + C3
4 + ... + C3
52) = 6 . C4
53 = 1.756.950T.C.
Exemplo 5:
Usando as condies secundrias e o teorema dascolunas obtenha a identidade
Resoluo: (desafio) Desafio Voltar
13.30Coeficientes binomiais: Teorema das colunas
n = 1, 2, ...1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)_______
2
= (n + 1)!__________
2! (n 1)!
= n(n + 1)________
2
= = (n + 1) n(n 1)!________________
2! (n 1)!
= C2
n+1 = (n + 1)!_____________
2! (n + 1 2)!=
T.C.
C.S.1 + 2 + 3 + ... + n = C
1
1 + C1
2 + C1
3 + ... C1
n =
13.31Coeficientes binomiais: Teorema das diagonais
7 1 7 21 35 35 21 7 1 1 7 21 35 35 21 7 1
= C2
7
= C4
7
Ilustrao:
Motivao do teorema das diagonais
Grfico 1 Grfico 2
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
4
10
20
1
5
15
1
6 1
n
0
1
2
3
4
5
6
C0
4 + C1
5 + C2
6 = 1 + 5 + 15 = 21
1
5
15
1
5
15
1
3
6
10
15
C0
2 + C1
3 + C2
4 + C3
5 + C4
6 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35
Observaes:
1
3
6
10
15
Ilustrao:
n = 2, r = 4, n + r = 6
C0
2 + C1
3 + C2
4 + C3
5 + C4
6 = C4
7 = 35
13.32Coeficientes binomiais: Teorema das diagonais
n = 0, 1, 2, ...
r = 0, 1, 2, ...
Teorema das diagonais
C0
n + C1
n+1 + C2
n+2 + ... + Cr
n+r = Cr
n+r+1
13.33Coeficientes binomiais
Resumo:
Definio:
Coeficiente binomial: (0 r n)C(n, r) =n!_________
r! (n r)!
Argumentos:
Na deduo de propriedades envolvendo coeficientes
binomiais
combinatrios algbricos
Observao:
Raciocnios combinatrios equivalentes geram
identidades algbricas e vice-versa.
13.34Coeficientes binomiais: Resumo
Identidades:
(1) Combinao complementar : C(n, r) = C(n, n r)
(3) Condies de fronteira : C(n, 0) = C(n, n) = 1
(4) Condies secundrias : C(n, 1) = C(n, n 1) = n
(2) Relao de Stifel :
C(n, r) = C(n 1, r 1) + C(n 1, r)n = 2, ...
r = 0, 1, ... , n1
13.35Coeficientes binomiais: Resumo
Tringulo de Pascal:
C0
0
C0
1
C0
2
C0
3
C1
1
C1
2
C1
3
C2
2
C2
3 C3
3
1
1
1
1
1
2
3
1
3 1
. . .
. . .
. . .
C(2, 0) C(2, 1) C(2, 2)
C(0, 0)
C(1, 0) C(1, 1)
C(3, 0) C(3, 1) C(3, 2) C(3, 3)
Teoremas:
das colunas: Cr
r + Cr
r+1 + ... + Cr
n = Cr+1
n+1
das diagonais: C0
n + C1
n+1+ C2
n+2+ ... + Cr
n+r= Cr
n+r+1
(linha n)
(coluna r)
(diagonal n)
das linhas: C0
n + C1
n + ... + Cn
n = 2n
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