Exerccios Resolvidos de Clculo7 de maio de 2015
Soluo de alguns exerccios de Clculo, referentes ao clculo de limites econtinuidades. A maioria destes exerccios esto propostos nos Livros deClculo do autor James Stewart.
Derivadas
Seja f uma funo contnua num ponto x. Se fizermos um pequeno encre-mento h em x, ento obtemos f (x + h). Assim o incremento correspodentena funo dado por
f (x+ h) f (x).A taxa de variao de f , isto , a variao nos valores de f dividida pela
variao dos valores de x, :
f (x+ h) f (x)(x+ h) x =
f (x+ h) f (x)h
.
O limite desta taxa de variao quando h se aproxima de 0, isto ,
limh0
f (x+ h) f (x)h
.
chamado a deriva da funo f com respeito a varivel x, usaremos asnotaes f (x), Dx f , fx(x) ou d fdx .
Exemplo 0.1 Vamos calcular a derivada da funo f (x) =
x. Por defini-o temos:
f (x) = limh0
f (x+ h) f (x)h
.
caso o limite existe. Passamos ento a calcula-lo:
f (x) = limh0
f (x+ h) f (x)h
= limh0
x+ h x
h
= limh0
x+ h x
h
x+ h+
xx+ h+
x
= limh0
x+ h xh(
x+ h+
x)
= limh0
h
h(
x+ h+
x)
= limh0
1x+ h+
x
= limh0
12
x.
exercicios resolvidos de calculo 2
Assim, como o limite exite, obtemos
f (x) = 12
x.
1. Vamos calcular a derivada de f (x) = x3.
Temos da definio:
f (x) = limh0
f (x+ h) f (x)h
= limh0
(x+ h)3 x3h
= limh0
x3 + 3x2h+ 3h2x+ h3 x3h
= limh0
3x2h+ 3h2x+ h3
h
= limh0
h (3x2 + 3hx+ h2)h
= limh0
h (3x2 + 3hx+ h2)h
= limh0 3x
2 + 3hx+ h2
= 3x2
2. Vamos agora calcular a funo derivada de g(t) =
9 t. Observamosque o domnio da funo g conjunto (, 9]. Por definio:
g(t) = limh0
9 (t + h) 9 t
h
= limh0
9 (t + h) 9 t
h
9 (t + h) + 9 t9 (t + h) + 9 t
= limh0
9 (t + h) (9 t)h(
9 (t + h) + 9 t)
= limh0
hh(
9 (t + h) + 9 t)
= limh0
19 (t + h) + 9 t
=1
2
9 t .
Aqui cabe ressaltar que o domnio de g(t) o conjunto (, 9), assim ge g possuem domnios diferentes.
exercicios resolvidos de calculo 3
3. Vamos agora calcular a derivada de H(x) = x4 + 4x. Temos ento:
H(x) = limh0
[(x+ h)4 + 4(x+ h)] (x4 + 4x)h
= limh0
(x4 + 4x3h+ 6x2h2 + 4xh3 + h4 + 4x+ 4h) (x4 + 4x)h
= limh0
(x4 + 4x3h+ 6x2h2 + 4xh3 + h4 +4x + 4h) (x4 +4x)h
= limh0
4x3h+ 6x2h2 + 4xh3 + h4 + 4hh
= limh0
h(4x3 + 6x2h+ 4xh2 + h3 + 4)h
= limh0
h(4x3 + 6x2h+ 4xh2 + h3 + 4)
h= lim
h0 4x3 + 6x2h+ 4xh2 + h3 + 4
= 4x3 + 4.
4. Vamos agora mostrar que a funo f (x) = 3
x contnua em 0, contudono diferencivel neste ponto. Para mostrarmos que f no diferen-civel em 0 vamos mostrar que o limite em questo, o da definio dederivada, no existe. De fato, temos
limh0
30+ h 30h
= limh0
30+ hh
= limh0
3hh
= limh0
h1/3
h
= limh0
1h2/3
= +.
Logo f no diferencivel em 0
5. Vamos calcular a derivada das funes sin(x) e cos(x). Usaremos asseguintes identidades trigonmetricas:
cos(a+ b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b)sin(a+ b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(b)
exercicios resolvidos de calculo 4
Comeamos pela funo cosseno:
limh0
cos(x+ h) cos(x)h
= limh0
[cos(x) cos(h) sin(x) sin(h)] cos(x)h
= limh0
cos(x)(cos(h) 1) sin(x) sin(h)h
= cos(x) limh0
(cos(h) 1)h
sin(x) limh0
sin(h)h
= cos(x) 0 sin(x) 1= sin(x).
De forma semelhante, isto , usando os limites fundamentais, obtemos:
limh0
sin(x+ h) sin(x)h
= limh0
[sin(x) cos(h) + sin(h) cos(x)] sin(x)h
= limh0
sin(x)(cos(h) 1) + sin(h) cos(x)h
= limh0
sin(x)(cos(h) 1)h
+ limh0
sin(h) cos(x)h
= sin(x) limh0
(cos(h) 1)h
+ cos(x) limh0
sin(h)h
= sin(x) 0+ cos(x) 1= cos(x).
exercicios resolvidos de calculo 5
Regras de Derivao
Recordamos algumas regras bsicas da operao de derivao:
(1)ddx(c) = 0;
(2)ddx(c f (x)) = c f (x) ;
(3)ddx( f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) ;
(4)ddx( f (x) g(x)) = f (x) g(x) ;
(5)ddx( f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g(x) ;
(6)ddx
(f (x)g(x)
)=
f (x)g(x) f (x)g(x)g(x)2
;
exercicios resolvidos de calculo 6
Regra da Cadeira
Alguns casos especiais da regra da cadeia que valem a pena serem lembrados:
Potncias: ( f (x)n) = n f (x)n1 f (x);Exponenciais:
(e f (x)
)= e f (x) f (x);
Logaritmo: (ln( f (x))) =f (x)f (x)
.
1. Vamos calcular a derivada de h(x) = cos(ln(x)). Observamos ento queesta funo pode ser escrita como h(x) = f (g(x)), onde f (x) = cos(x) eg(x) = ln(x). Aplicando a regra da cadeia obtemos:
h(x) = f (g(x))) g(x)= sin(g(x)) 1
x
= sin(ln(x)) 1x
= sin(ln(x))x
.
2. Vamos agora clcular a derivada de h(x) = sin(
1x
). Observamo, no-
vamente, que podemos escrever h(x) n forma h(x) = f (g(x)), ondef (x) = sin(x) e g(x) = 1x . Aplicamos ento a Regra da cadeia:
h(x) = f (g(x)) g(x)= cos(g(x))
(1x2
)= cos
(1x
)(1
x2
)
= cos
(1x
)x2
.
3. Agora iremos calcular a derivada da funo h(x) = ex2. Escrevendo
h(x) = f (g(x)), onde f (x) = ex e g(x) = x2, e aplicando a Regra daCadeia temos:
h(x) = f (g(x)) g(x)= eg(x) 2x= 2xex
2.
exercicios resolvidos de calculo 7
Referncias
T.M. Apostol. CALCULUS, VOLUME I, 2ND ED. Wiley India Pvt.Limited, 2007. ISBN 9788126515196. URL https://books.google.com.br/books?id=vTpbq0UPDaQC.
J. Stewart. Calculus. Cengage Learning, 2011. ISBN 9781133170693.URL https://books.google.com.br/books?id=kdg8AAAAQBAJ.
DerivadasRegras de DerivaoRegra da Cadeira
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