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Cálculo Numérico – BCC760 Interpolação Polinomial
Departamento de Computação
Página da disciplina
http://www.decom.ufop.br/bcc760/
1. Introdução
2. Objetivo
3. Existência e unicidade
4. Erro de truncamento
5. Métodos de obtenção do polinômio interpolador
5.1 Resolução de sistema linear
5.2 Método de Lagrange
5.3 Método das Diferenças Divididas
5.4 Método das Diferenças Finitas Ascendentes
6. Complexidade dos métodos de interpolação
7. Considerações finais
2
Interpolação Polinomial Conteúdo
Interpolação Polinomial Introdução
Interpolar uma função y=f(x), em um conjunto discreto de pontos, pertencentes a um intervalo [a b], consiste em substituí-la, ou aproximá-la, por uma outra função, y=g(x), escolhida dentro de uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função y=g(x) é, então, usada no lugar da função y=f(x).
3
Interpolação Polinomial Introdução
Situações de utilização da interpolação.
a) Quando y=f(x) não é conhecida na sua forma analítica, mas apenas em um conjunto discreto de pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n.
b) Quando y=f(x) é conhecida na sua forma analítica, mas operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou impossíveis) de realizar, ou seja, a função é difícil de ser tratada.
4
Teoricamente, a função interpoladora, y = g(x), pode ser qualquer. Será tratado o caso em que esta pertence à classe das funções polinomiais.
Os polinômios são facilmente computáveis, suas derivadas e integrais são, também, polinômios, seus zeros podem ser determinados com facilidade.
5
Interpolação Polinomial Introdução
Interpolação Polinomial Introdução
Exemplo – Problema básico
A tabela abaixo relaciona calor específico da água com a temperatura:
Deseja-se, por exemplo, saber:
a) o calor específico da água a 32.5°C;
b) a temperatura para a qual o calor específico é 0.99837.
Solução
6
Temperatura (°C) 20 25 30 35
Calor específico 0.99907 0.99852 0.99826 0.99818
Interpolação
Sendo (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; pontos, com abscissas distintas, de uma função y = f(x), obter o polinômio, y = p(x), de grau máximo n, tal que:
p(xi) = f(xi) = yi, i = 0, 1, ..., n
7
Interpolação Polinomial Objetivo
Representação geométrica
8
x
y
x0 x1 x2 x3 x4 x5
y0
y1
y2
y3
y4 y5
y=f(x)
y=p(x)
Interpolação Polinomial Objetivo
Teorema
Se (xi, yi) i = 0, 1, ..., n; são (n + 1) pontos com abscissas distintas, relativos a uma função, y = f(x), então existe um, e só um, polinômio, y = p(x), de grau máximo n, tal que p(xi) = f(xi) = yi, i = 0, 1, ..., n.
9
Interpolação Polinomial Existência e Unicidade
Demonstração do Teorema
Seja p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Das condições de interpolação, obtém-se o sistema de (n+1) equações lineares.
10
n0n11 n
n1 -n nnnn
10111 n
11 -n n1n1
00011 n
01 -n n0n0
y a xa ... xa xa )x(p
...........................................................................
y a xa ... xa xa )x(p
y a xa ... xa xa )x(p
Note-se que as incógnitas são ai, i = 0, 1, ..., n.
Interpolação Polinomial Existência e Unicidade
Demonstração do Teorema
A matriz dos coeficientes do sistema de equações lineares é:
Portanto
det(X) = (x0 – x1) (x0 – x2) ... (x0 – xn) (x1 – x2)(x1 – x3) ... (x1 – xn) ... (xn - 1 – xn)
c.q.d.
11
1 x ... x x
............................
1 x ... x x
1 x ... x x
X
n1 n
nnn
11 n
1n1
01 n
0n0
Matriz de Vandermonde
Como, por condição, x0, x1, ..., xn são distintos, tem-se que det(X)0, logo o
sistema de equações lineares admite solução única.
Interpolação Polinomial Existência e Unicidade
Teorema
Seja:
(i) (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; pontos com abscissas distintas de uma função y = f(x);
(ii) y = f(x) uma função com (n + 1) derivadas contínuas no intervalo [x0, xn].
Então, para cada x ∈ [x0, xn], existe um número ∈ (x0, xn), que depende de x, tal que
Note-se que f n + 1(.) é a derivada de ordem (n + 1) da função interpolada.
12
1)! n(
))x((f). x-(x ... ) x-(x ). x-(x )x(E p(x) - )x(f
1 n
n10t
Interpolação Polinomial Erro de Truncamento
Exemplo Seja determinar o polinômio que interpola uma função, y=f(x), dada nos pontos a seguir.
Assim
p2(x) = a2x2 + a1x + a0
Tem-se, então, o sistema de equações
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i 0 1 2
xi -1 0 2
yi 4 1 -1
1421)2()2(
11)0()0(
44)1()1(
2102
02
2102
aaafp
afp
aaafp a0 = 1
a1 = -2,333
a2 = 0,667
P2(x) = 0,667x2 -2,333x + 1
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Resolução de Sistema Linear
O sistema de equações lineares pode ser resolvido utilizando qualquer um dos métodos estudados.
Entretanto, tais métodos têm complexidade de ordem cúbica (O(n3)).
É possível expressar o problema de interpolação polinomial de forma que se obtenham meios de solução menos custosos, com complexidade de ordem quadrática (O(n2)).
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Métodos de obtenção do polinômio interpolador Resolução de Sistema Linear
Neste método, o polinômio, y = L(x), que interpola uma função, y = f(x), em um
conjunto de pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n é considerado na forma
L(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + .... + ynLn(x)
onde Li(x), i = 0, 1, ..., n; são polinômios de grau n, tais que
Note-se que, com estas condições, tem-se
L(xi) = f(xi) = yi, i = 0, 1, ..., n
15
n ..., 2, 1, 0, k i, k;i ;0)x(L
1)x(L
ki
ii
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método de Lagrange
Para determinar Li(x), i = 0, 1, ..., n; basta considerar que todo xj, j = 0, 1, ..., n; é um zero de Li(x) quando i j.
Seja determinar de L0(x). Tem-se, por condição, que
Portanto, conhecendo os zeros de L0(x), pode-se representá-lo na forma fatorada
L0(x) = c0.(x – x1).(x – x2) ... (x – xn)
Como
L0(x0) = c0.(x0 – x1).(x0 – x2) ... (x0 – xn) = 1
Logo
16
n02010
n210
xx ... xxxx
xx ... xxxx)x(L
)xx( )xx)(xx(
1c
n02010
0
L0(x0) = 1 L0(xj) = 0; j = 1, 2, ..., n
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método de Lagrange
Sendo assim, conclui-se que
17
nj
xx
xxxL
xxxxxx
xxxxxxxL
n
iji ij
ij
n
n
,....,1,0 ,)(
)(
...
... )(
1
12101
201
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método de Lagrange
Exemplo
Seja y = f(x) determinar o polinômio que interpola uma função dada nos pontos a
seguir utilizando o método de Lagrange e três casas decimais.
Tem-se
18
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método de Lagrange
Como
Então
Mesmo resultado da resolução do sistema de equações lineares!!!
19
1 2,333x - x667,0)x(L 2
6
xx)1(
2
2xx1
3
x2x4)x(L
222
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método de Lagrange
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método das Diferenças Divididas
O Operador Diferenças Divididas
Dada uma função, y = f(x), a sua primeira derivada é definida como:
Sendo (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; um conjunto de pontos da função, então:
Fazendo
Então
24
h
)f(x - h) x(flim )(x' f ii
0 hi
h
f(x) - h) x(flim (x)' f
0 h
i1 i
i1 i
x xi
x- x
)f(x - )x(flim )(x' f
1ii
h = xi + 1 - xi xi + h = xi + 1
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método das Diferenças Divididas – O operador
Definição
Sendo (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; pontos de uma função y = f(x), define-se o operador diferença dividida de primeira ordem, sobre os pontos (xi, yi) e (xi + 1, yi + 1), como:
Ou
Aproximação do valor numérico da 1a derivada de uma função em um ponto.
25
1-n ..., 1, 0, i ,xx
)x(fx(fDy
i1i
i1ii
1-n ..., 1, 0, i ,xx
yyDy
i1i
i1ii
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método das Diferenças Divididas – O operador
De modo análogo são definidos os operadores de ordens superiores.
Ordem 2
Ordem 3
Ordem k
Sendo D0yi = yi, i = 0, 1, ..., n
26
2 -n ..., 1, 0, i , x- x
yD - yD yD
i2 i
i1 ii
2
3 -n ..., 1, 0, i , x- x
yD - yD yD
i3 i
i2
1 i2
i3
k-n ..., 1, 0, i
n ..., 2, 1, k ,
x- x
yD - yD yD
ik i
i
1 -k
1 i
1 -k
i
k
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método das Diferenças Divididas
O polinômio interpolador
Neste método, o polinômio, y=p(x), que interpola uma função, y=f(x), em um conjunto de pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; é considerado na forma
Como p(xi) = yi, i = 0,1, ..., n, então
p(x0) = a0
p(x1) = y0 + a1.(x1 – x0) = y1
Portanto
27
1n10n102010 xx.......xxxxa .......xxxxaxxaa)x(p
01
011
x- x
y - y a
0
0
0 yD a 00 y a
01 Dy a
Demonstra-se que ai = Diy0, i = 0, 1, ..., n.
1n100n
1002
000 xx.......xxxxyD .......xxxxyDxxDyy)x(p
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método das Diferenças Divididas
Teorema
Se y = f(x) é uma função com (n + 1) derivadas continuas em um intervalo [x0, xn]; então existe ξ (x0, xn) tal que
Corolário
Sob as hipóteses do teorema anterior, tem-se que
Exemplos
28
!k
)x(ff(x)D
kk
!n
fyD
n
0n
Exercício
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Depto de Computação – Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – Universidade Federal de Ouro Preto
Prof. José Álvaro Tadeu Ferreira - Notas de aulas de Cálculo Numérico
16
conforme mostra a figura a seguir. Usando interpolação polinomial, Método das Diferen-
ças Divididas, pede-se estimar
a) a altura, em relação ao solo, de um ponto da barra localizado a 2m da parede A;
b) qual deve ser a altura da barra no ponto localizado a 2m da parede A, para que o trecho
compreendido até 5m da mesma seja representado por um polinômio de grau um.
d=12m
pare
de
A
pare
de
B
SOL O
3 m
8 m
Solução
a) Os pontos a considerar são os da t abela a seguir.
i xi V = yi Dyi D2yi
0 0 8 - 1,6 0,169
1 5 0 0,429
2 12 3
p(x) = y0 + (x - x0).Dy0 + (x - x0).(x – x1).D2y0
p(2) = 8 + (2 - 0).(- 1,6) + (2 - 0).(2 – 5).(0,169) p(2) = 3,786m
b) Pede-se para determinar a altura y da barra a 2m da parede A. Os pontos a considerar e
as diferenças divididas estão na tabela a seguir.
i xi yi Dyi D2yi
0 0 8
1 2 y
2 5 0
Para que este trecho seja representado por um polinômio de grau um, é necessário que a
diferença dividida de segunda ordem seja nula. Então, fazendo:
y = 4,8m
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16
conforme mostra a figura a seguir. Usando interpolação polinomial, Método das Diferen-
ças Divididas, pede-se estimar
a) a altura, em relação ao solo, de um ponto da barra localizado a 2m da parede A;
b) qual deve ser a altura da barra no ponto localizado a 2m da parede A, para que o trecho
compreendido até 5m da mesma seja representado por um polinômio de grau um.
d=12m
pare
de
A
pare
de
B
SOLO
3 m
8 m
Solução
a) Os pontos a considerar são os da t abela a seguir.
i xi V = yi Dyi D2yi
0 0 8 - 1,6 0,169
1 5 0 0,429
2 12 3
p(x) = y0 + (x - x0).Dy0 + (x - x0).(x – x1).D2y0
p(2) = 8 + (2 - 0).(- 1,6) + (2 - 0).(2 – 5).(0,169) p(2) = 3,786m
b) Pede-se para determinar a altura y da barra a 2m da parede A. Os pontos a considerar e
as diferenças divididas estão na tabela a seguir.
i xi yi Dyi D2yi
0 0 8
1 2 y
2 5 0
Para que este trecho seja representado por um polinômio de grau um, é necessário que a
diferença dividida de segunda ordem seja nula. Então, fazendo:
y = 4,8m
Exercício
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conforme mostra a figura a seguir. Usando interpolação polinomial, Método das Diferen-
ças Divididas, pede-se estimar
a) a altura, em relação ao solo, de um ponto da barra localizado a 2m da parede A;
b) qual deve ser a altura da barra no ponto localizado a 2m da parede A, para que o trecho
compreendido até 5m da mesma seja representado por um polinômio de grau um.
d=12m
pare
de
A
pare
de
B
SOL O
3 m
8 m
Solução
a) Os pontos a considerar são os da t abela a seguir.
i xi V = yi Dyi D2yi
0 0 8 - 1,6 0,169
1 5 0 0,429
2 12 3
p(x) = y0 + (x - x0).Dy0 + (x - x0).(x – x1).D2y0
p(2) = 8 + (2 - 0).(- 1,6) + (2 - 0).(2 – 5).(0,169) p(2) = 3,786m
b) Pede-se para determinar a altura y da barra a 2m da parede A. Os pontos a considerar e
as diferenças divididas estão na tabela a seguir.
i xi yi Dyi D2yi
0 0 8
1 2 y
2 5 0
Para que este trecho seja representado por um polinômio de grau um, é necessário que a
diferença dividida de segunda ordem seja nula. Então, fazendo:
y = 4,8m
Exercício
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conforme mostra a figura a seguir. Usando interpolação polinomial, Método das Diferen-
ças Divididas, pede-se estimar
a) a altura, em relação ao solo, de um ponto da barra localizado a 2m da parede A;
b) qual deve ser a altura da barra no ponto localizado a 2m da parede A, para que o trecho
compreendido até 5m da mesma seja representado por um polinômio de grau um.
d=12m
pare
de
A
pare
de
B
SOL O
3 m
8 m
Solução
a) Os pontos a considerar são os da t abela a seguir.
i xi V = yi Dyi D2yi
0 0 8 - 1,6 0,169
1 5 0 0,429
2 12 3
p(x) = y0 + (x - x0).Dy0 + (x - x0).(x – x1).D2y0
p(2) = 8 + (2 - 0).(- 1,6) + (2 - 0).(2 – 5).(0,169) p(2) = 3,786m
b) Pede-se para determinar a altura y da barra a 2m da parede A. Os pontos a considerar e
as diferenças divididas estão na tabela a seguir.
i xi yi Dyi D2yi
0 0 8
1 2 y
2 5 0
Para que este trecho seja representado por um polinômio de grau um, é necessário que a
diferença dividida de segunda ordem seja nula. Então, fazendo:
y = 4,8m
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método das Diferenças Finitas Ascendentes
O Operador Diferenças Finitas Ascendentes
Definição
Sejam (xi, yi), i = 0, 1, . . . , n; pontos de uma função, y = f(x), igualmente espaçados, isto é, tais que xi + 1 – xi = h = constante. Sendo assim, define-se a diferença finita ascendente de primeira ordem como:
∆f(x) = f(x + h) – f(x)
Em um ponto xi
∆f(xi) = f(xi + h) – f(xi)
∆yi = yi + 1 – yi, i = 0, 1, 2, ..., n – 1
35
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método das Diferenças Finitas Ascendentes
O Operador Diferenças Finitas Ascendentes
As diferenças finitas ascendentes de ordem superior são definidas, por recorrência.
Ordem 2: Δ2yi= Δyi+1- Δyi, i = 0, 1, ..., n – 2
Ordem 3: Δ3yi= Δ2yi+1- Δ
2yi, i = 0, 1, ..., n – 3
Portanto
Ordem k: Δk yi= Δk -1yi+1 - Δk-1yi, i = 0, 1, ..., n - k
Sendo Δ0yi=yi, i = 0, 1, ..., n
36
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método das Diferenças Finitas Ascendentes
Teorema
Sendo y = f(x) uma função com derivadas contínuas até a ordem k, tem-se que:
∆kf(x) = hk.f (k)(k)
para algum k (x, x + k.h).
Corolário
Tendo em vista o teorema anterior, [∆kf(x) / hk] é uma aproximação para f (k)(x) e o erro cometido tende a zero quando h → 0.
37
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método das Diferenças Finitas Ascendentes
Teorema
Se (xi, yi), i = 0, 1, . . . , n; são pontos de uma função, y = f(x), tais que xi + 1 – xi = h, para todo i = 0, 1, . . . , n – 1, então vale a seguinte relação entre diferenças divididas e diferenças finitas ascendentes.
38
k -n ..., 2, 1, 0, = i
n ..., 2, 1, 0, =k ,
!k.kh
yk ykD i
i
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método das Diferenças Finitas Ascendentes
O polinômio interpolador
Seja a variável:
Tem-se, então, que:
x - x0 = h.z
.
.
.
x – xn - 1 = h.[z – (n - 1)]
39
h
x-x z 0 h.zxx 0
hxx 01 x-x h)x(x 0 hz.h 1)z.(h
2 x-x h).2x(x 0 h.2xx 0 h.2z.h )2z.(h
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Método das Diferenças Finitas Ascendentes
O polinômio interpolador
Efetuando as substituições no polinômio interpolador com diferenças divididas, obtém-se o polinômio interpolador com diferenças finitas ascendentes.
Exemplos
40
0n
03
02
000 y!n
)]1 n(z[ ... )1z(z ... y
!3
)2z)(1z(zy
!2
)1z(zy.zyh.z) x(p
Métodos de obtenção do polinômio interpolador Complexidade dos Método de interpolação
n é o grau do polinômio
47
Método Adições Multiplicações Divisões Total
Lagrange 2.n2 + 3.n 2.n2 + n - 1 n + 1 4.n2 + 5.n
Diferenças divididas
Diferenças finitas
ascendentes n2 + n + 1 n
n.2
5 n.
2
3 2 2
n
2
n 2
2
n
2
n 2
n.2
7 n.
2
5 2
2
n
2
n 2
1 n.2
5 n.
2
3 2
Interpolação Polinomial Considerações finais
1- Os métodos que utilizam diferenças divididas ou finitas ascendentes são eficientes quando se deseja aumentar (ou diminuir) o grau do polinômio obtido, pois basta, simplesmente, acrescentar (ou retirar) termos. Logo, para cálculos exploratórios, estes métodos, em geral, são preferíveis.
2- No método de Lagrange a alteração do grau do polinômio exige que os cálculos sejam, todos, refeitos.
3- O método de Lagrange ocupa menos memória, uma vez que não é necessário o cálculo e o armazenamento uma tabela de diferenças.
48
Interpolação Polinomial Considerações finais
4- A desvantagem na utilização do Método das Diferenças Finitas Ascendentes é a exigência de que as abscissas dos pontos para a interpolação devem ser, necessariamente, equidistantes.
5- Nos métodos que utilizam diferenças divididas ou finitas ascendentes, a estimativa do erro de truncamento pode ser facilmente integrada ao algoritmo, uma vez que utiliza uma diferença.
6- No método de Lagrange, a estimativa do erro de truncamento pode ser obtida apenas se a função interpolada for conhecida analiticamente.
7- O método de Lagrange é um pouco mais fácil de ser implementado.
49
Cálculo Numérico – BCC760 Interpolação Polinomial
Referência
Prof. Paulo Laerte Natti.
Departamento de Matemática
Universidade Estadual de Londrina
Disponível em:
http://www.mat.uel.br/plnatti/Calculo%20Numerico/Aulas/aulas2009.htm
Acessado em 08.4.2010
50
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