POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano.
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POLO MG_09
Encontro 7 – Polinômios
Prof. Luciano
Polinômios
nnnn axaxaxaxP ...2
21
10
DefiniçãoDefiniçãoSoma de monômiosSoma de monômios
naaaa ,... , , , 210Números ComplexosNúmeros Complexos
CoeficientesCoeficientes
... ,2 ,1 , nnn Expoentes Expoentes Números NaturaisNúmeros Naturais
nnnn axaxaxaxP ...2
21
10
Variável Pode assumir valores Pode assumir valores ComplexosComplexos
na Termo independente de xTermo independente de x
x
Polinômios
DefiniçãoDefiniçãoSoma de monômiosSoma de monômios
78 510 xxxP
52
353 78 xxxxP
22
354 23 xixxxP
Polinômios
São PolinômiosSão Polinômios
25 2 xxxxF
12
1523
xxxxF
54321234
xxxxxF
Polinômios
Não são PolinômiosNão são Polinômios
254 23 xxxxPValor NuméricoValor Numérico
?2 P
2225242 23 P
2245842 P 2220322 P 562 P
Polinômios
1P Fornece o valor da soma dos Fornece o valor da soma dos coeficientes do polinômio P(x).coeficientes do polinômio P(x).
0P Fornece o valor do termo Fornece o valor do termo independente de x.independente de x.
Polinômios
Valor NuméricoValor Numérico
234 16164 xxxxP
16164 Soma
36Soma
22 42 xxxP Qual a soma dos Qual a soma dos
coeficientes do polinômio coeficientes do polinômio P(x).P(x).
Polinômios
Valor NuméricoValor Numérico
22 14121 P
2421 P
3661 2 P Soma dos Soma dos coeficientescoeficientes
22 42 xxxP
Polinômios
Valor NuméricoValor NuméricoQual a soma dos Qual a soma dos
coeficientes do polinômio coeficientes do polinômio P(x).P(x).
352 xxP
125
125150608 23 xxxxP
Qual o valor do Qual o valor do termo independente termo independente
de x.de x.
Termo independente de xTermo independente de x
Polinômios
Valor NuméricoValor Numérico
35020 P
3500 P
350 P
1250 P
Termo Termo independente de xindependente de x
Polinômios
Valor NuméricoValor Numérico
352 xxPQual o valor do Qual o valor do
termo independente termo independente de x.de x.
0P
654 xxxP
62522 4 P
610162 P
02 P
Raiz de um polinômioRaiz de um polinômio
é raiz do polinômio é raiz do polinômio P(x).P(x).
2 é raiz do 2 é raiz do polinômio P(x)polinômio P(x)
Polinômios
422 2 iiP
442 2 iiP
02 iP
4142 iP
0P é raiz do polinômio é raiz do polinômio P(x).P(x).
42 xxP
2i é raiz do 2i é raiz do polinômio P(x)polinômio P(x)
Raiz de um polinômioRaiz de um polinômio
Polinômios
0...000 21 nnn xxxxP
Não se define grau para Não se define grau para um polinômio nuloum polinômio nulo
Polinômio NuloPolinômio Nulo
Polinômios
nnnn axaxaxaxP ...2
21
10
00 a
nPgr
Grau de um Polinômio Grau de um Polinômio
Polinômios
1536 234 xxxxxP
124 xxP
12xP
4Pgr
1Pgr
0Pgr
Grau de um Polinômio Grau de um Polinômio
Polinômios
yx2623yx
x7
5Pgr
Observação:Observação:Monômio de grau 3: (2 + 1)Monômio de grau 3: (2 + 1)
Monômio de grau 5: (3 + 2)Monômio de grau 5: (3 + 2)
Monômio de grau 1Monômio de grau 1
xyxyxxP 76 232
Grau de um Polinômio Grau de um Polinômio
Polinômios
xA
xBxA IdênticosIdênticos
xB
, BA C
Identidade polinomialIdentidade polinomial
Polinômios
115204 323452 xnxxxxmxP
1752512 2345 xxxxqxxB
1) Se e 1) Se e 1 152 4 32352 xnxxxmxP
qenm ,
1752512 2345 xxxxqxxBsão polinômiossão polinômios idênticos, então a soma dos valores idênticos, então a soma dos valores positivos de é:positivos de é:
Polinômios
0571
1243
2
qn
m 1242 m162 m4m
4m
713 n83 n
2n
05 q
5q
524 qnm
11 qnm
Polinômios
Operações com Monômios e Polinômios
Adição de MonômiosAdição de Monômios Devemos efetuar a soma ou subtração dos coeficientes numéricos entre os monômios semelhantes.
Ex:
= 12x2 – 2ay3
5x2 – 3ay3 + 7x2 + ay3 5x2 + 7x2 – 3ay3 + ay3
Monômios semelhantes Monômios semelhantes
Multiplicação de Monômios
O produto de monômios é obtido da seguinte forma:
• em seguida, multiplicam-se as partes literais.
Ex: (4ax2) . (–13a3x5) =(4) . (–13) . (a1 . a3) . (x2 . x5) =– 52a4x7
• primeiro, multiplicam-se os coeficientes numéricos;
Lembrando...
Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes.
am.an = am+n
Ex: x4.x9 = x4+9 = x13
Divisão de Monômios
A divisão de monômios é obtida da seguinte forma:
• primeiro, dividem-se os coeficientes numéricos; • em seguida, dividem-se as partes literais.
Lembrando...
Um quociente de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e subtraímos os expoentes.
am:an = am–n
Ex: x12 : x8 = x12–8 = x4 *com a ≠ 0
Adição de Polinômios
Efetue a soma algébrica dos monômios semelhantes. Ex: (4x2 – 7x + 2) + (3x2 + 2x + 3) – (2x2 – x + 6) = = 4x2 – 7x + 2 + 3x2 + 2x + 3 – 2x2 + x – 6 =
eliminando os parênteses
= 4x2 + 3x2 – 2x2 – 7x + 2x + x + 2 + 3 – 6 =
agrupando os termos semelhantes
= 5x2 – 4x – 1 forma reduzida * Não esqueça da regra de sinais!
Multiplicação de Monômiopor Polinômio
A multiplicação de um monômio por um polinômio é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio.
= 8x5y3 – 20x3y7
Ex:4x2y3 . (2x3 – 5xy4) == 4x2y3 . 2x3 + 4x2y3 . (–
5xy4 ) * Não esqueça da regra de sinais!
A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro e, sempre que possível, reduzindo os termos semelhantes. Ex:
(a + b) . (c + d) =
ac + ad + bc + bd
Multiplicação de Monômiopor Polinômio
Divisão de Polinômio por Monômio
Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.
Ex:(18x3 – 12x2 + 3x) : (3x) = = (18x3 : 3x) – (12x2 : 3x) + (3x : 3x) = 6x2 – 4x + 1
Valor Numérico de uma
Após obtida a expressão algébrica, basta substituir cada incógnita pelo valor estabelecido pelo exercício. Ex:
3x2 – 2x + 7y + 3x – 17y
3x2 + x – 10y
Determine o valor numérico da expressão abaixo para x = 2 e y = 3
1º reduzimos os termos semelhantes
Expressão Algébrica
2º substituímos os valores de x = 2 e y = 33.22 + 2 – 10.3 3.4 + 2 – 3012 + 2 – 30 = - 16
Equações polinomiaisEquações polinomiais
0...22
110
nnnn axaxaxa
0PRaízes de uma equaçãoRaízes de uma equação
raizé
Teorema da decomposiçãoTeorema da decomposição n
nnn axaxaxaxP ...22
110
nrxrxrxaxP ...210
Polinômios
Propriedades:Propriedades:
2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por 2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b . x - b .
3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , 3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz .então o conjugado a - bi também será raiz .
1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente 1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .n raízes .
2x2x44 +x³ + 6x² + 2x – 1 = 0+x³ + 6x² + 2x – 1 = 0Grau da equação ( Representa o número de raízes)Grau da equação ( Representa o número de raízes)
Polinômios
4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m 4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .multiplicidade k .
Exemplo: xExemplo: x22 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x11 = x = x22 = 4). = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois. Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.
Propriedades:Propriedades:
Polinômios
Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d a.x³ + bx² + cx + d = 0= 05) Se a = 5) Se a = 1 1 não há raízes fracionárias. não há raízes fracionárias.
6) Se d = 0 6) Se d = 0 x x1 1 = 0 (Lembre a quantidade de = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) expoente da incógnita.) Ex: 2xEx: 2x77+3x+3x44 + 2x² = 0 + 2x² = 0
Polinômios
Há duas raízes nulas
7) Se a + b + c + d = 0 7) Se a + b + c + d = 0 x x11 = 1 é raiz. = 1 é raiz.
Polinômios
Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d a.x³ + bx² + cx + d = 0= 05) Se a = 5) Se a = 1 1 não há raízes fracionárias. não há raízes fracionárias.
6) Se d = 0 6) Se d = 0 x x1 1 = 0 (Lembre a quantidade de = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) expoente da incógnita.) Ex: 2xEx: 2x77+3x+3x44 + 2x² = 0 + 2x² = 0
Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 admite, pelo menos, uma raiz complexa.admite, pelo menos, uma raiz complexa.Teorema das raízes complexas ( PRRI)Teorema das raízes complexas ( PRRI)
06²4³ xxx
Polinômios
11 11 ––44 11 66 11 ––33 -2-2 Resto Resto 0 0x =1 não é raiz. x =1 não é raiz. 44
Divisores do termo independente: 1, 2, 3, 6-1-1
11 ––55 66 Resto = 0 Resto = 0 x x1 1 = -1 é raiz= -1 é raiz00
Grau n – 1Grau n – 1
0652 xx 22 x 33 x
Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 admite, pelo menos, uma raiz complexa.admite, pelo menos, uma raiz complexa.Teorema das raízes complexas ( PRRI)Teorema das raízes complexas ( PRRI)
06²4³ xxx
Polinômios
Teorema das raízes complexasTeorema das raízes complexas
010144 234 xxxx 11 x
––11 11 ––44 ––11 1414 11 ––55 44 00 RestoResto
Grau n – 2 Grau n – 2
01062 xx
101012 x
1010––11
11 ––66 1010 00 RestoResto
Polinômios
010144 234 xxxx 11 x
01062 xx12 x
acb 42 4036
4
abx
2
246
x
226 ix
ix 3
ix 33
ix 34
Teorema das raízes complexasTeorema das raízes complexas
Polinômios
Teorema das raízes complexas ( PRRF)Teorema das raízes complexas ( PRRF)
18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0
Polinômios
Divisores do termo independente: 1
Teorema das raízes complexas ( PRRF)Teorema das raízes complexas ( PRRF)
18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0
Polinômios
Divisores do coeficiente da incógnita de maior expoente: 1, 2, 3, 6, 9, 18PRRF:PRRF: 1/2, 1/3, 1/6, 1/9, 1/18
––1/21/2 1818 99 -2-2 -1-1 1818 00 -2-2 00 Resto Resto x x11 = -1/2 = -1/2
18x² +0x -2 = 0x² = 1/9
3/12 x 3/13 x
Divisores do termo independente: 1
Teorema das raízes complexas ( PRRF)Teorema das raízes complexas ( PRRF)
18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0
Polinômios
Relações de GirardRelações de Girard
02 cbxax
abxx 21
acxx 21
Polinômios
023 dcxbxax
abxxx 321
acxxxxxx 323121
adxxx 321
Relações de GirardRelações de Girard
Polinômios
0...22
110
nnnn axaxaxa
0
1321 ...
aaxxxx n
0
21413121 ...
aaxxxxxxxx nn
0
312421321 ...
aaxxxxxxxxx nnn
0
321 1...aaxxxx nn
n
Relações de GirardRelações de Girard
Polinômios
Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)
P(x)P(x) ax + bax + bQ(x)Q(x)
RRP(x) = (ax + b) P(x) = (ax + b) · Q(x) + R · Q(x) + R
Raiz do divisorRaiz do divisorabx 1
RxQabP
0
RabP
Polinômios
P(x)P(x) ax + bax + bQ(x)Q(x)
RR0R
RabP
Condição necessária para que Condição necessária para que P(x) seja divisível por ax + b.P(x) seja divisível por ax + b.
0
abP
Teorema de D’alembertTeorema de D’alembert
Polinômios
O resto da divisão do polinômioO resto da divisão do polinômio pelo binômio pelo binômio
Teorema do restoTeorema do resto 111122 23 xxxxP
111122 23 xxxxP 5xxD é:é:
1511512525 23 P
1511251212525 P
1553002505 P
3013055 P 45 P
RP 5
Polinômios
P(x)P(x) ax + bax + bQ(x)Q(x)
RR
Grau nGrau nGrau 1Grau 1
Grau n – 1Grau n – 1RestoResto
......
......
Coeficientes de P(x)Coeficientes de P(x)
Raiz do Raiz do divisordivisor
ab
Coeficientes do Coeficientes do polinômio a polinômio a · Q(x)· Q(x)
RestoResto
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD
22 33 – – 77 66 55
21 x
33
Polinômios
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
22 33
33 ++ ==
––11
– – 77 66 55
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
22 33
33 ++ ==
––11 44
– – 77 66 55
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
22 33
33 ++ ==––11 44 1313
– – 77 66 55
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
22 33
33 ––11 44 1313 RestoResto
Coeficientes do Coeficientes do polinômio a polinômio a · Q(x)· Q(x)
– – 77 66 55
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
22 33 – – 77 66 55 33 ––11 44 1313 RestoResto
Coeficientes do Coeficientes do polinômio a polinômio a · Q(x)· Q(x)
Grau do polinômio Grau do polinômio Q(x) é uma unidade Q(x) é uma unidade menor que o grau do polinômio P(x)menor que o grau do polinômio P(x)
xQaquociente 431 2 xxxQ
43 2 xxxQ13 Rresto
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
Equações polinomiaisEquações polinomiais
0...22
110
nnnn axaxaxa
0PRaízes de uma equaçãoRaízes de uma equação
raizé Teorema da decomposiçãoTeorema da decomposição
nnnn axaxaxaxP ...2
21
10
nrxrxrxaxP ...210
Polinômios
Seja p um polinômio de grau seis, cujos coeficientes Seja p um polinômio de grau seis, cujos coeficientes de termo de maior grau é igual a 2. As raízes deste de termo de maior grau é igual a 2. As raízes deste polinômio são c, 2 e 0, com multiplicidades 3, 2 e 1 polinômio são c, 2 e 0, com multiplicidades 3, 2 e 1 respectivamente. Considerando p(1) = 16, o valor da respectivamente. Considerando p(1) = 16, o valor da raiz c é igual a:raiz c é igual a:a) –1.a) –1.b) .b) .c) –7.c) –7.d) 7.d) 7.e) 15. e) 15.
3 221
Polinômios
Sobre todas as raízes da equaçãoSobre todas as raízes da equação afirma-se que essa equação possui:afirma-se que essa equação possui:04423 xxx
01412 xxx04423 xxx
0142 xx
042 x 01 x42 x
4xix 2
1x
iiS 2,2,1 uma raiz real e duas complexas.uma raiz real e duas complexas.
Polinômios
Teorema das raízes complexasTeorema das raízes complexas
010144 234 xxxx 11 x
––11 11 ––44 ––11 1414 11 ––55 44 00 RestoResto
Grau n – 2 Grau n – 2
01062 xx
101012 x
1010––11
11 ––66 1010 00 RestoResto
Polinômios
01062 xxacb 42
4036 4
abx
2
246
x
226 ix
ix 3
ix 33
ix 34
Polinômios
Teorema das raízes complexasTeorema das raízes complexas
010144 234 xxxx 11 x12 x
Seja P(x) um polinômio de terceiro grau, cujo gráfico Seja P(x) um polinômio de terceiro grau, cujo gráfico está representado na figura abaixo: está representado na figura abaixo:
22
2211––11 xx
yy Então o resto da divisão de P(x) Então o resto da divisão de P(x) pelo monômio x + 2 é:pelo monômio x + 2 é:
Polinômios
Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é:
EXER
CÍCI
OS
ESSE
NCI
AIS
RESPOSTA:
Mais alguns...
Uma das raízes de 2x3 – (m +3)x2 + 11x – m = 0 é 1. Quais são as outras raízes dessa equação?
Mais alguns...
A equação 2x³ - 5x² + x + 2 = 0 tem três raízes reais. Uma delas é 1.
Encontre as outras duas.
Mais alguns...
Uma das raízes do polinômio P(x) = 3x3 + 2x2 – 7x + 2 é – 2. Então, a soma das outras raízes desse polinômio é:a) 2/3b) -1c) 4/3 d) -3/4e) 1
Só mais um... (ou não)
Resolver a equação x3 – 6x2 + 3x + 10 = 0, sabendo que a soma de duas raízes é 1.