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GENERACION DE TENSIONESALTERNAS SENOIDALES
1.1 Funciones senoidales
1.2 Inducción electromagnética
1.3 Generador elemental de tensión alterna
1.4 Corriente alterna
1.4.1 Resistores
1.4.2 Inductores
1.4.3 Capacitores
1.5 Agrupamiento de impedancia
1.5.1 Conexión en serie de resistor, inductor y capacitor
1.5.2 Conexión en paralelo de resistor, inductor y capacitor
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1.1 Funciones senoidales
Los sistemas actuales de generación de energía eléctrica, presentan una
característica senoidal, cuya forma genérica para una fuente de tensión es la que semuestra en la figura 1.1.
Función senoidal
t
Tensión
Figura 1.1 Forma de onda senoidal
u(t) = Um sen t
Siendo: Um: Amplitud de la onda senoidalt : Argumento : Frecuencia angular (Radianes / segundo)T: Período de oscilación
Se define como frecuencia (f) a la cantidad de períodos por segundo ó sea:
Luego la frecuencia angular será:
En el caso en que la función tenga un ángulo de fase la expresión es lasiguiente:
u(t) =Um sen (t + )
En esta función el fenómeno ocurre / radianes antes, lo cual indica que lamisma adelanta a u(t) = Um sen t, según se muestra en la figura 3.2.
Hertzó segundo por Ciclos [Hz] T
1 f
f 2T
2ω
Um
T
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Figura 1.2 Función senoidal con ángulo de fase inicial
1.2 Inducción electromagnética
En todo conductor que se mueve a través de un campo magnético, se induceuna fuerza electromotriz de acuerdo a la Ley de Faraday. En la figura 1.3 está
dibujado un conductor en movimiento a través de un campo magnético, el cual se harepresentado por sus dos “polos magnéticos” norte (N) y sur (S).
Figura 1.3 Movimiento de un conductor dentro de un campo magnético
El sentido de dicha fuerza electromotriz, es tal que la corriente que genera,provoca un campo magnético alrededor de dicho conductor, cuyo efecto es oponerse ala causa que lo creó.
En el esquema podemos observar que la fuerza electromotriz inducida, tiene
sentido entrante al plano del dibujo, lo que provoca una fuerza en el conductor que seopone al sentido del movimiento.
Dicho sentido se puede obtener de la siguiente forma práctica:
T
Um
N
S
Líneas de campomagnético
Dirección delmovimiento
del conductor
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Se coloca la palma de la mano derecha en posición tal que reciba elflujo originado por el campo magnético, el pulgar deberá tener elsentido del movimiento y el resto de los dedos nos indica el sentido dela fuerza electromotriz inducida.
En el caso de tener que determinar el sentido de la fuerza originada poruna corriente, se coloca la palma de la mano izquierda en posición talque reciba el flujo originado por el campo magnético, el pulgar indicaráel sentido de la fuerza mientras, que el resto de los dedos se debecolocar en el sentido de dicha corriente.
El valor de la fuerza electromotriz inducida generada es el siguiente:
Dónde: B: Inducción magnética en [Tesla]
l : Longitud del conductor bajo la acción del campo magnético[metros]
v: Velocidad de desplazamiento del conductor [metros /segundo]
d: Distancia recorrida por el conductor en un tiempo “t” [metros]
: Valor del flujo magnético [Weber] = B. d. l
1.3 Generador elemental de tensión alterna
En la figura 1.4, se ha dibujado un generador elemental de corriente alterna.
Figura 1.4 Generador elemental de corriente alterna
)tiempo
magnéticoFlujo(
t
Φ
t
d lBvlBE
Eje degiro
Bobina de “N” espiras
Escobillas
Anillos rozantes
+ -
S N
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El mismo consta de un imán permanente ó electroimán, el cual produce uncampo magnético constante, representado por su flujo ().
Entre ambos polos (Norte - Sur), se coloca una bobina de “N” espiras, montadasobre un eje, al cual se le impone un movimiento giratorio constante por medio de unamáquina impulsora (Motor diesel, turbina de vapor, gas, etc.).
Los terminales de dicha bobina se conectan a un par de anillos rozantes fijos aleje (Aislados eléctricamente entre si y del eje), lo cual permite a través de unasescobillas ó carbones, la continuidad eléctrica entre la parte móvil y la fija a la cual sedebe llevar la corriente.
Si analizamos los fenómenos que ocurren en la bobina en cuestión a lo largo deun giro completo observamos:
En la posición del dibujo la bobina tiene su eje magnético coincidentecon el eje magnético del imán, por lo cual el flujo concatenado por lamisma es máximo.
Al comenzar a girar la bobina, el flujo concatenado va disminuyendohasta hacerse cero, después de rotar un ángulo de 90 °.
Continuando en su giro las bobina vuelve a concatenar nuevamente flujopero en sentido contrario.
Cuando completa un giro de 180° vuelven a estar los ejes magnéticosen la misma dirección con lo cual el flujo concatenado vuelve a sermáximo pero en sentido contrario al inicial.
A partir de este instante vuelve a disminuir el flujo hasta hacerse cerocuando completa un giro de 270°
Desde esta posición la bobina vuelve a concatenar flujo en el sentidoinicial, hasta hacerse máximo con el giro completo de la misma.
Si analizamos el flujo concatenado para una posición cualquiera de la bobina enestudio, al girar un ángulo , tal como se observa en el gráfico de la figura 1.5.
Figura 1.5 Flujo concatenado por una bobina
= sen (Flujo concatenado)
= t (Velocidad angular por tiempo)
= sen t
S N
Eje magnéticode la bobina
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La bobina efectúa “f” revoluciones por segundo, siendo “f” la frecuencia, y comocada revolución comprende 360°, su velocidad angular en radianes será:
= 2f
De acuerdo a la ley de Faraday - Lenz es:
Em = N e = Em cos t
Lo cual nos lleva a obtener una fuerza electromotriz en los terminales de labobina cuya variación en el tiempo es de características senoidales (debido al instante
en el cual se efectuó el análisis en nuestro caso es cosenoidal).Si se representan los valores instantáneos del flujo concatenado por la bobina yla f.e.m. inducida en la misma, vemos que cuando el flujo concatenado es máximo laf.e.m. inducida pasa por su valor mínimo y cuando es mínimo, la f.e.m. inducida esmáxima. Esto nos indica que entre ambos hay un desfasaje de 90°, tal cual se observaen la figura 1.6.
Flujomagnético
t
Fuerza electromotrizinducida
Figura 1.6 Valores instantáneos del flujo concatenadoy la fuerza electromotriz inducida
1.4 Corriente alterna
Representación de funciones senoidales por vectoresy números complejos
Sea una magnitud cualquiera, por ejemplo una tensión como se muestra en lafigura 1.7, de las siguientes características:
u(t) = Um sen (t +θ )
tcosNdt
d N e
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Tensión
t
Función senoidal
Figura 1.7 Función senoidal con un ángulo inicial α
Tracemos al origen y con un ángulo “θ” respecto de la horizontal, un vector queen la escala adecuada represente la amplitud Um de la función.
Hagamos girar dicho vector, alrededor del origen de coordenadas y con unavelocidad angular , en sentido antihorario. Si tomamos la proyección de dicho vectorsobre el eje vertical, la misma estará representando a través del tiempo el valorinstantáneo de la función considerada.
La posición del vector Um, está dibujada para el instante “t = 0”. Cualquier magnitud cuya variación en el tiempo sea senoidal, puede ser
representada mediante este diagrama de “Vectores armónicos”. Si se considera elpar de ejes sobre un plano complejo, en el cual el eje de abscisas es el real y el eje deordenadas el imaginario, el vector corresponderá a un número complejo, cuyo móduloes Um y su argumento es el ángulo α, el cual se puede escribir:
Um =Um e jθ = Um θ
En forma exponencial y polar respectivamente, siendo:
Al estar girando con velocidad angular “” , el vector estará representado por lafunción:
Um = Um e j(t + ) = Um cos (t + ) + j Um sen (t + )
De aquí observamos, que si trabajamos con una función senoidal debemostomar la parte imaginaria ó sea:
Um = Imag.[ Um e j(t + ) ] = Um sen (t + )
Si en cambio trabajamos con la función coseno, debemos tomar la parte real:
Um = Real [Um e j(t + )
] =Um cos (t + )
1- j
θ
θ
u u
Um
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Diagramas fasoriales
Si en lugar de utilizar los valores máximos ó amplitud de las funciones,utilizamos los valores “eficaces” a dicho diagrama le daremos el nombre de Fasorial.
El valor eficaz de una función periódica se define como la raíz cuadrada delvalor medio del cuadrado de la función. Si la función es de la siguiente característica:
u(t) = Um sen (t + ) su valor eficaz será:
Para una función de características senoidales el valor eficaz de la función es:
Un diagrama fasorial muestra la magnitud y el ángulo de fase de cada cantidadfasorial en el plano de los números complejos. Los ángulos se miden en el sentidoantihorario y a partir del eje real positivo, y las magnitudes a partir del origen decoordenadas.
Para indicar que el vector que se está analizando es un fasor, se lo identifica:con la letra en negrita, colocándole una raya ó un punto sobre la letra.
U, U, U
Tomemos por ejemplo dos funciones como las siguientes:
u(t) = Um sen t y
i(t) = Im sen (t - )
Vemos que la segunda atrasa un ángulo “” a la primera, por lo tanto surepresentación fasorial con sus valores eficaces “U” e “I”, para t = 0, es el dibujado enla figura 1.8.
Figura 1.8 Diagrama de fasores
T0
22mef )dtt(senU
T
1 U
2
U U
mef
U
I
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1.4.1 Resistores
Al aplicar una tensión alterna senoidal sobre un resistor puro, la corriente quecircula por el mismo será de acuerdo a la ley de Ohm:
uR(t) = Um sen t
Ambos valores están en fase y su representación instantánea y fasorial (Para t=0), es dibujada en la siguiente figura 1.9.
Tensión
t
Corriente
Figura 1.9 Diagrama de valores instantáneos y fasorialcorrespondiente a carga óhmica pura
A los efectos de no trabajar con los valores instantáneos de la corriente y latensión, se define el valor eficaz de los mismos.
El valor eficaz de la corriente alterna es igual numéricamente a la intensidad deuna corriente continua tal que, en un intervalo de tiempo igual a un período, libera enuna resistencia una cantidad de calor igual a la que libera la corriente alterna.
El calor producido en una resistencia por efecto Joule está dado por:
Pcc = I2cc R
En corriente alterna el valor instantáneo de la potencia es:
pca = (Im sen t)2 R = I2m sen
2 t R
Como: sen2 t = ½ (1 - cos 2t)
Nos quedará: pca = (R I2m /2) (1 - cos 2t)
IR
UR
tsenR
U
R
(t)u(t)
RmR Ri
uR R
iR+
-
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El gráfico correspondiente se observa en la figura 1.10.
Corriente
t
Potencia
Figura 1.10 Valores instantáneos de la potencia sobre un resistor
Se hace notar que la función potencia en corriente alterna es de frecuenciadoble de la corriente que circula. La potencia media se obtiene hallando el valor mediode la expresión de pca ó sea el área bajo la curva de pca y dividiéndola por el período,siendo su valor:
1.4.2 Inductores
En un inductor ideal, por el cual circula una corriente de valor:
iL(t) = ILm sen t
Aparecerá en sus bornes una tensión cuyo valor será:
2
I
2
I I :eficazvalor suSiendo
2
I I :aquíDe
2
IR RI
Luego 2
IR p
m2
mef
2m2
cc
2m2
cc
2m
ca
)2
π
t(ωsenωLLmItωcosωLmIL(t)Lu
Henry)eniónAutoinducc:(L dt
LdiL(t)Lu
L
-
uL
iL+
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ULm
=ILm
ωL
Llamaremos a L = XL Reactancia inductiva []
Um = ILm XL
Observamos que la tensión tiene un adelanto de 90°, con respecto a lacorriente, con lo que sus diagramas de valores instantáneos y fasorial (Para t = 0) sonlos dibujados en la figura 1.11.
Tensión
t
Corriente
Figura 1.11 Diagrama de valores instantáneos y fasorialcorrespondiente a carga inductiva pura
Las relaciones entre los valores eficaces está dado por:
U = XL IL
Si tenemos en cuenta estos valores como fasores:
U = L IL e j /2 = j L IL e
j /2 = j
O sea que la multiplicación por “j” hace girar el vector un ángulo de 90° en elsentido antihorario, con lo que nos queda expresado matemáticamente el desfasaje de90° entre un fasor y el otro.
Por lo tanto para dejar expresado este desfasaje que se produce en un inductor,asociaremos “j” a su reactancia y al conjunto lo llamaremos impedancia inductiva:
ZL = j XL []
)2
t(senU(t)u LmL
UL
IL
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1.4.3 Capacitores
En un capacitor ideal al cual le aplicamos una tensión
uC(t) = Um sen t
La corriente que circulará por el mismo será:
En este caso la corriente tiene un adelanto de 90° con respecto a la tensión, loque se observa en los diagramas de la figura 1.12
Lo cual se toma en cuenta en el cálculo fasorial
Llamaremos a ZC = - j XC Impedancia capacitiva []
Tensión
t
Corriente
Figura 1.12 Diagrama de valores instantáneos y fasorial
correspondiente a carga capacitiva pura
Xc
U I
][capacitivaReactanciaXcC
1
:aLamaremos
)2
t(senCUtcosUC(t)i
Faradios)en(CapacidadC dt
du C(t)i
m
Cm
mCmCC
CC
Xc j-
U e
Xc
U I 2
j-
C
C
-
uC
iC+
IC
UC
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1.5 Agrupamiento de impedancias
1.5.1 Conexión en serie de resistor, inductor y capacitor
Figura 1.13 Agrupamiento de impedancias en serie
Conectando una impedancia a continuación de la otra, efectuamos unaconexión que se denomina “serie”, según se observa en la figura 1.13. Si a esteagrupamiento le aplicamos una tensión U, circulará una corriente I, que es la mismaen cada elemento.
Las caídas de tensión en cada elemento están dadas por:
UR = R I
UL = j XL I
UC = - j XC I
De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, la tensión aplicada será igual a lasuma fasorial de las tensiones parciales. Luego:
U = UR + UL + UC y reemplazando nos queda:
U = R I + j XL I - j XC I = I (R + j XL - j XC) = I [R + j (XL - XC)]
El término “R + j (XL - XC)” es la impedancia equivalente entre los terminalesA - B
Z = R + j (XL - XC)Z
UI
Esta impedancia equivalente tiene un módulo dado por
)R
XX
(tg Arc
:por odeterminadánguloun y)X-(XRZ
CL
2
CL
2
j XL
- j XC
R
U
I
+
-
UR UL
UC
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La representación vectorial de la impedancia se puede observar en el gráfico dela figura 1.14.
Figura 1.14 Diagrama vectorial de impedancias
Resonancia serie
La impedancia de un circuito serie está dada por la siguiente expresión:
Cf 2
1 jLf 2 jR
Z
En esta se observa que manteniendo constantes R, L y C, a medida que la
frecuencia aumenta, la reactancia inductiva aumenta y la capacitiva disminuye, lo cualnos lleva a que partiendo de un circuito con características capacitivas, al aumentar lafrecuencia pasa a tener características inductivas.
Cuando las partes reactivas toman el mismo valor, se compensan y el circuitopresenta las características de una resistencia para la fuente que lo alimenta según seobserva en la figura 1.15.
Por ejemplo si tenemos un circuito alimentado por una fuente a la que lepodemos variar la frecuencia, vamos a tener un valor de la misma en que se cumpleque XL = XC, o sea que:
Cf 2
1Lf 2
0
0
Siendo f 0 la frecuencia para la cual se igualan las reactancias y que llamaremosde resonancia, y cuyo valor será:
L.C
1
2
1f 0
El diagrama fasorial en esta situación es el de la figura 1.15 siendo I0, la corriente para elestado de resonancia.
j
j XL
- j XC
R
Z
De acuerdo a los valores deXL ó XC, la impedanciaresultante tendrácaracterísticas “óhmico -inductivas” u “óhmico – capacitivas”. En el gráfico seha representado unaimpedancia en la queprepondera la reactanciainductiva
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Figura 1.15 Diagramas de impedancias y fasorial
para la frecuencia de resonanciaEn la figura 1.16 vemos lo aquí analizado, siendo el valor de la resistencia mayor al delas reactancias cuando el circuito se hace resonante.
En este caso siendo la corriente única, las caídas de tensión en las reactanciasserán menores que en la resistencia, por lo tanto no aparecerán tensiones mayoresque los de la fuente, o sea:
UR = R. I = UFUENTE UL = j XL I UC = - j XC I UL + UC = 0
Valor de la impedancia en función de la frecuencia
Frecuencia [Hz]
R , X L , X c
, Z
Figura 1.16 Valor de las impedancia en función de la frecuenciapara R › XL y XC en resonancia
En la figura 1.17 se observa como varían las tensiones sobre los elementoscomponentes de circuito, y la corriente en el mismo.
RZ
XL
XC
(XL - XC)
f 0
j XL
- j XC
R
j XL. I0
- j XC. I0
R I0 = U I0
0
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Figura 1.17 Tensiones sobre los elementos componentes del circuito y corriente,para R › XL y XC en resonancia
De las curvas de la figura 1.16 y 1.17 se pueden obtener las siguientes conclusiones:
La reactancia inductiva toma un valor cero para una frecuencia igual a cero y luegova aumentando hasta un valor infinito para el mismo valor de la frecuencia.
La tensión en dicha reactancia inductiva, va aumentando desde cero, llegando a unvalor máximo para la frecuencia de resonancia (Máxima corriente) y luegocomienza a disminuir, tendiendo al valor de la fuente que alimenta el circuito, parauna frecuencia de valor infinito (La reactancia inductiva se comporta como uncircuito abierto, con lo cual no circula corriente, y como reactancia capacitiva secomporta como un cortocircuito, con lo cual la tensión de la fuente aparece enbornes de la bobina).
La reactancia capacitiva, toma un valor igual a infinito para una frecuencia igual acero, con lo cual se comporta como un circuito abierto y la tensión que aparece ensus bornes es la de la fuente mencionada. A medida que aumenta la frecuencia,disminuye la tensión sobre el capacitor y tiende a cero cuando la frecuencia tiendea infinito, ya que el capacitor se estaría comportando como un cortocircuito.
Si analizamos la variación de la corriente en el circuito, observamos:
Para un valor de la frecuencia igual a cero, la reactancia capacitiva toma un valorinfinito, por lo cual no circulará corriente.
A medida que aumenta la frecuencia, va aumentando la corriente hasta llegar a unvalor máximo, que se produce con la frecuencia de resonancia (Lo único que limitala corriente es la parte resistiva ya que las reactivas se compensan)
A partir de esta frecuencia la impedancia del circuito vuelve a aumentar con lo cualla corriente tiende a disminuir y se haría cero con frecuencia de valor infinito(Circuito abierto en la bobina).
El ángulo de desfasaje entre la tensión y la corriente, pasa de ser ohnmico-capacitivo, va disminuyendo su valor, haciéndose cero en resonancia y luego elcircuito se hace de características ohmico-inductivas, tal cual se observa en la
figura 1.18.
Frecuencia [Hz]
Tensiones [V] – Corriente [A]
f 0
UC
UR
UL
I
UFuente
I0
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Figura 1.18 Variación del ángulo “φ” en función de la frecuencia
En la figura 1.19, se analiza el caso en que la resistencia es menor que lasreactancias cuando el circuito es resonante, y en la figura 1.20 las tensiones queaparecen sobre los elementos.
Valor de la impedancia en función de la frecuencia
Frecuencia [Hz]
R , X L , X c , Z
Figura 1.19 Valor de las impedancia en función de la frecuenciapara R ‹ XL y XC en resonancia
Angulo en función de la frecuencia
-50
-30
-10
10
30
50
Frecuencia f [Hz]]
Angulo [º]
Z
R
XL
XC
(XL - XC)
f R
f 0
Circuito ohnmico-capacitivo
Circuito ohnmico-inductivo Circuito ohnmico
puro
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Figura 1.20 Tensiones sobre los elementos componentes del circuito,para R ‹ XL y XC en resonancia
En este caso aparecen sobre tensiones sobre los elementos reactivos, pudiendoser mayor en la reactancia inductiva o capacitiva de acuerdo al valor que tome lafrecuencia
Factor de mérito
Se define como factor de mérito, factor de sobretensión o factor de calidad, a la relación dela tensión que aparece sobre la reactancia inductiva y capacitiva a frecuencia de resonancia y latensión aplicada.
RCω
1
IRCω
I
R
Lω
IR
ILω
U
U
U
UQ
000
00
0
00CL0
También lo podemos definir como la relación entre la energía máxima acumulada con laenergía que se disipa en la resistencia por ciclo de oscilación:
Energía máxima almacenada en la bobina: XL. I2 = ω .L. I
2
Energía máxima almacenada en el capacitor: XC. I2 =
C
I2
Energía disipada en la resistencia en un período: R. I2
Luego el factor de mérito para resonancia nos queda:
RCω1
IRCωI
RLω
IR
ILωQ
0200
2
0020
2
000
Frecuencia [Hz]
Tensión [V] - Corriente [A]
UL
f 0
UR
UC
I I0
UFuente
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Energía en el circuito
La energía puesta en juego en un circuito serie en resonancia, está dada por:
En la resistencia es: 20R IRW . t donde I0 es el valor de la corriente en resonancia.
SiendoR
UI0 t
R
UW
2
R U es la tensión de la fuente
En la reactancia inductiva:2
iLW
20
L
En la reactancia capacitiva:2
uCW
2C
C
Si la corriente tiene la forma:
tωsenIi 00Max0
tωcosUu 0C0MaxC0
tωcosC
C
LI
tωcosCω
Iu 0
0Max
00
0MaxC0Max
Luego la energía puesta en juego en las reactancias va a ser:
tωcosC2
C
LIC
2
tωsenIL
2
uC
2
iLWW 0
2
2
20Max
022
0Max2C
20
CL
Constante2
UC
2
IL tωcos
2
IL
2
tωsenILWW
2C0Max
20Max
02
20Max0
220Max
CL
1tωcostωsen 0202
O sea que la suma de las energías de los campos magnético y eléctrico es constante y novaría con el tiempo.
Toda la energía que pasa de la fuente al circuito se disipa en forma de calor en laresistencia.
La mayor potencia disipada, se produce cuando el circuito está en resonancia, y su valorva a estar dado por:
20R IRP
Por otro lado si queremos saber a qué frecuencia se produce una disipación de potenciaigual a la mitad, la corriente que tendrá que circular deberá ser = 0,707 I0
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GENERACIÓN DE TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
Ing. Julio Álvarez 04/13 20
Para obtener ese valor de corriente, la impedancia total debe ser 1,41 veces el valor de laresistencia. Esto nos lleva a que el valor de la impedancia total, debe ser
R2Cω
1LωR
2
2
La solución de esta ecuación es::
LC
1
2L
R
2L
R2
1
LC
1
2L
R
2L
R2
2
La separación entre estas dos f recuencias se denomina “ancho de banda”, según seobserva en la figura 1.21.
B = ω2 – ω1
C o r r i e n t e [ A ]
Frecuencia w [1/s]
Corriente en función de la frecuencia
Figura 1.21 Variación de la corriente con la frecuencia
1.5.2 Conexión en paralelo de resistor, inductor y capacitor
En este tipo de conexión todos los elementos reciben la misma tensión segúnse observa en la figura 1.22.
w0w1 w2
I0
0,707 I0
Ancho debanda
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Figura 1.22 Impedancias conectadas en paralelo
Las corrientes que circularán por cada elemento tendrán los siguientesvalores:
La corriente total está dada por la suma fasorial de las corrientes en cadaelemento:
I = IR + IL + IC Que reemplazando sus valores nos queda:
I = U (G - j BL + j BC)
Siendo la admitancia del circuito:
Y = G - j BL + j BC (Inversa de la impedancia equivalente)
I = U. Y
Su representación gráfica es la de la figura 1.23.
C
C
L
LRX j-
X j
R
U
IU
IU
I
)
X j
1
X j
1
R
1(
X j-X jR
CLCL
UUUU
I
[Siemens]capacitivaiaSusceptanc B jX j-
1
[Siemens]inductivaiaSusceptanc B j-X j
1
[Siemens]iaConductanc GR
1 :llamamosSi
C
C
L
L
IR IL IC
U
I
+
-
R - j XC j XL
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GENERACIÓN DE TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
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-
Figura 1.23 Diagrama vectorial de admitancias
Resonancia paralelo
En forma análoga al estudio de un circuito serie, en paralelo tenemos:
Lf 2
1 jCf 2 jG
Y Las partes reactivas se igualan para una
frecuencia
L.C
1
2
1f 0
Por lo tanto se puede realizar el mismo análisis que para el circuito serie,trabajando con las admitancias.En el gráfico 1.24 se pueden observar los diagramas de admitancias y el fasorial decorrientes en esta situación.
G
)B(B tg Arc
)B(BGY :Donde
LC
2
LC
2
j
j BC
- j BL
G
Y
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GENERACIÓN DE TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
Ing. Julio Álvarez 04/13 23
Figura 1.24 Diagramas de admitancias y fasorialpara la frecuencia de resonancia
En gráfico 1.25 muestra como varían las admitancias del circuito en función dela frecuencia, mientras que en el 1.26, se muestra la variación de la impedancia (Lainversa de la admitancia)
Valor de la admitancia en función de la frecuencia
Frecuencia [Hz]
G , B
L , B c ,
Figura 1.25 Valor de la admitancia en función de la frecuencia
Y
BL
BC (BC – BL)
G
f 0
- j BL. U = IL
j BC. U = IC G. U = I = IR
U
0
- j BL
j BC G
Y
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GENERACIÓN DE TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
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Impedancia del circuito en función de la frecuencia
Frecuencia w [1/s]
Z
Figura 1.26 Valor de la impedancia del circuito en función de la frecuencia
Del análisis de las curvas observamos:
La admitancia para una frecuencia tendiendo a cero, toma un valor tendiendo ainfinito (Impedancia cero), ya que la inductancia se comporta como uncortocircuito, con lo cual la corriente en la fuente, tendería a infinito.
En resonancia, la corriente toma su valor mínimo ya que al compensarse laspartes reactivas, el valor de la admitancia es mínimo (La corriente en la fuente esla corriente en la resistencia, ya que las corrientes que estén circulando por laspartes reactivas, son de igual valor pero de distinto sentido)
Para frecuencias mayores a la de resonancia, la admitancia vuelve aumentar,debido a la parte capacitiva, tendiendo a infinito para una frecuencia tendiendo adicho valor, con lo que la corriente en la fuente tendería a infinito.
Agrupamiento en paralelo real
El circuito de la figura 1.27 representa el caso real de una bobina con pérdidas en paralelocon un capacitor.
Figura 1.27 Bobina con pérdidas en paralelo con un capacitor
ω0
IRL
IC
U
I
+
R
- j XC
j XL
-
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GENERACIÓN DE TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
La admitancia del circuito está dada por la siguiente expresión:
C jω
ωLR
Lω jRC jω
ωL jR
1Y
22
Descomponiendo en parte real e imaginaria nos queda:
C jω
ωLR
Lω j
ωLR
RY
2222
Para la condición de resonancia, la parte imaginaria se debe hacer cero, o sea:
0Cω
LωR
Lω j 02
02
0
Cω
LωR
Lω02
02
0
2202
02 R
C
LLω terminospasando
C
LLωR
L
CR1
LC
1
L
R
LC
1ω
2
2
2
0
De aquí se desprende que el circuito no resuena para cualquier condición de
funcionamiento, sino que se debe verificar:
C
L R 1
L
CR2
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