Cap. 1 Sistemas Monofásicos

8/17/2019 Cap. 1 Sistemas Monofásicos

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GENERACION DE TENSIONESALTERNAS SENOIDALES

1.1 Funciones senoidales

1.2 Inducción electromagnética

1.3 Generador elemental de tensión alterna

1.4 Corriente alterna

1.4.1 Resistores

1.4.2 Inductores

1.4.3 Capacitores

1.5 Agrupamiento de impedancia

1.5.1 Conexión en serie de resistor, inductor y capacitor

1.5.2 Conexión en paralelo de resistor, inductor y capacitor


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GENERACIÓN DE TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES

Ing. Julio Álvarez 04/13 2

1.1 Funciones senoidales

Los sistemas actuales de generación de energía eléctrica, presentan una

característica senoidal, cuya forma genérica para una fuente de tensión es la que semuestra en la figura 1.1.

Función senoidal

t

Tensión

Figura 1.1 Forma de onda senoidal

u(t) = Um sen t

Siendo: Um: Amplitud de la onda senoidalt : Argumento : Frecuencia angular (Radianes / segundo)T: Período de oscilación

Se define como frecuencia (f) a la cantidad de períodos por segundo ó sea:

Luego la frecuencia angular será:

En el caso en que la función tenga un ángulo de fase la expresión es lasiguiente:

u(t) =Um sen (t + )

En esta función el fenómeno ocurre / radianes antes, lo cual indica que lamisma adelanta a u(t) = Um sen t, según se muestra en la figura 3.2.

Hertzó segundo por Ciclos [Hz] T

1 f

f 2T

2ω

Um

T


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Figura 1.2 Función senoidal con ángulo de fase inicial

1.2 Inducción electromagnética

En todo conductor que se mueve a través de un campo magnético, se induceuna fuerza electromotriz de acuerdo a la Ley de Faraday. En la figura 1.3 está

dibujado un conductor en movimiento a través de un campo magnético, el cual se harepresentado por sus dos “polos magnéticos” norte (N) y sur (S).

Figura 1.3 Movimiento de un conductor dentro de un campo magnético

El sentido de dicha fuerza electromotriz, es tal que la corriente que genera,provoca un campo magnético alrededor de dicho conductor, cuyo efecto es oponerse ala causa que lo creó.

En el esquema podemos observar que la fuerza electromotriz inducida, tiene

sentido entrante al plano del dibujo, lo que provoca una fuerza en el conductor que seopone al sentido del movimiento.

Dicho sentido se puede obtener de la siguiente forma práctica:

T

Um

N

S

Líneas de campomagnético

Dirección delmovimiento

del conductor


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Se coloca la palma de la mano derecha en posición tal que reciba elflujo originado por el campo magnético, el pulgar deberá tener elsentido del movimiento y el resto de los dedos nos indica el sentido dela fuerza electromotriz inducida.

En el caso de tener que determinar el sentido de la fuerza originada poruna corriente, se coloca la palma de la mano izquierda en posición talque reciba el flujo originado por el campo magnético, el pulgar indicaráel sentido de la fuerza mientras, que el resto de los dedos se debecolocar en el sentido de dicha corriente.

El valor de la fuerza electromotriz inducida generada es el siguiente:

Dónde: B: Inducción magnética en [Tesla]

l : Longitud del conductor bajo la acción del campo magnético[metros]

v: Velocidad de desplazamiento del conductor [metros /segundo]

d: Distancia recorrida por el conductor en un tiempo “t” [metros]

: Valor del flujo magnético [Weber] = B. d. l

1.3 Generador elemental de tensión alterna

En la figura 1.4, se ha dibujado un generador elemental de corriente alterna.

Figura 1.4 Generador elemental de corriente alterna

)tiempo

magnéticoFlujo(

t

Φ

t

d lBvlBE

Eje degiro

Bobina de “N” espiras

Escobillas

Anillos rozantes

+ -

S N


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El mismo consta de un imán permanente ó electroimán, el cual produce uncampo magnético constante, representado por su flujo ().

Entre ambos polos (Norte - Sur), se coloca una bobina de “N” espiras, montadasobre un eje, al cual se le impone un movimiento giratorio constante por medio de unamáquina impulsora (Motor diesel, turbina de vapor, gas, etc.).

Los terminales de dicha bobina se conectan a un par de anillos rozantes fijos aleje (Aislados eléctricamente entre si y del eje), lo cual permite a través de unasescobillas ó carbones, la continuidad eléctrica entre la parte móvil y la fija a la cual sedebe llevar la corriente.

Si analizamos los fenómenos que ocurren en la bobina en cuestión a lo largo deun giro completo observamos:

En la posición del dibujo la bobina tiene su eje magnético coincidentecon el eje magnético del imán, por lo cual el flujo concatenado por lamisma es máximo.

Al comenzar a girar la bobina, el flujo concatenado va disminuyendohasta hacerse cero, después de rotar un ángulo de 90 °.

Continuando en su giro las bobina vuelve a concatenar nuevamente flujopero en sentido contrario.

Cuando completa un giro de 180° vuelven a estar los ejes magnéticosen la misma dirección con lo cual el flujo concatenado vuelve a sermáximo pero en sentido contrario al inicial.

A partir de este instante vuelve a disminuir el flujo hasta hacerse cerocuando completa un giro de 270°

Desde esta posición la bobina vuelve a concatenar flujo en el sentidoinicial, hasta hacerse máximo con el giro completo de la misma.

Si analizamos el flujo concatenado para una posición cualquiera de la bobina enestudio, al girar un ángulo , tal como se observa en el gráfico de la figura 1.5.

Figura 1.5 Flujo concatenado por una bobina

= sen (Flujo concatenado)

= t (Velocidad angular por tiempo)

= sen t

S N

Eje magnéticode la bobina


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La bobina efectúa “f” revoluciones por segundo, siendo “f” la frecuencia, y comocada revolución comprende 360°, su velocidad angular en radianes será:

= 2f

De acuerdo a la ley de Faraday - Lenz es:

Em = N e = Em cos t

Lo cual nos lleva a obtener una fuerza electromotriz en los terminales de labobina cuya variación en el tiempo es de características senoidales (debido al instante

en el cual se efectuó el análisis en nuestro caso es cosenoidal).Si se representan los valores instantáneos del flujo concatenado por la bobina yla f.e.m. inducida en la misma, vemos que cuando el flujo concatenado es máximo laf.e.m. inducida pasa por su valor mínimo y cuando es mínimo, la f.e.m. inducida esmáxima. Esto nos indica que entre ambos hay un desfasaje de 90°, tal cual se observaen la figura 1.6.

Flujomagnético

t

Fuerza electromotrizinducida

Figura 1.6 Valores instantáneos del flujo concatenadoy la fuerza electromotriz inducida

1.4 Corriente alterna

Representación de funciones senoidales por vectoresy números complejos

Sea una magnitud cualquiera, por ejemplo una tensión como se muestra en lafigura 1.7, de las siguientes características:

u(t) = Um sen (t +θ )

tcosNdt

d N e


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Tensión

t

Función senoidal

Figura 1.7 Función senoidal con un ángulo inicial α

Tracemos al origen y con un ángulo “θ” respecto de la horizontal, un vector queen la escala adecuada represente la amplitud Um de la función.

Hagamos girar dicho vector, alrededor del origen de coordenadas y con unavelocidad angular , en sentido antihorario. Si tomamos la proyección de dicho vectorsobre el eje vertical, la misma estará representando a través del tiempo el valorinstantáneo de la función considerada.

La posición del vector Um, está dibujada para el instante “t = 0”. Cualquier magnitud cuya variación en el tiempo sea senoidal, puede ser

representada mediante este diagrama de “Vectores armónicos”. Si se considera elpar de ejes sobre un plano complejo, en el cual el eje de abscisas es el real y el eje deordenadas el imaginario, el vector corresponderá a un número complejo, cuyo móduloes Um y su argumento es el ángulo α, el cual se puede escribir:

Um =Um e jθ = Um θ

En forma exponencial y polar respectivamente, siendo:

Al estar girando con velocidad angular “” , el vector estará representado por lafunción:

Um = Um e j(t + ) = Um cos (t + ) + j Um sen (t + )

De aquí observamos, que si trabajamos con una función senoidal debemostomar la parte imaginaria ó sea:

Um = Imag.[ Um e j(t + ) ] = Um sen (t + )

Si en cambio trabajamos con la función coseno, debemos tomar la parte real:

Um = Real [Um e j(t + )

] =Um cos (t + )

1- j

θ

θ

u u

Um


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Diagramas fasoriales

Si en lugar de utilizar los valores máximos ó amplitud de las funciones,utilizamos los valores “eficaces” a dicho diagrama le daremos el nombre de Fasorial.

El valor eficaz de una función periódica se define como la raíz cuadrada delvalor medio del cuadrado de la función. Si la función es de la siguiente característica:

u(t) = Um sen (t + ) su valor eficaz será:

Para una función de características senoidales el valor eficaz de la función es:

Un diagrama fasorial muestra la magnitud y el ángulo de fase de cada cantidadfasorial en el plano de los números complejos. Los ángulos se miden en el sentidoantihorario y a partir del eje real positivo, y las magnitudes a partir del origen decoordenadas.

Para indicar que el vector que se está analizando es un fasor, se lo identifica:con la letra en negrita, colocándole una raya ó un punto sobre la letra.

U, U, U

Tomemos por ejemplo dos funciones como las siguientes:

u(t) = Um sen t y

i(t) = Im sen (t - )

Vemos que la segunda atrasa un ángulo “” a la primera, por lo tanto surepresentación fasorial con sus valores eficaces “U” e “I”, para t = 0, es el dibujado enla figura 1.8.

Figura 1.8 Diagrama de fasores

T0

22mef )dtt(senU

T

1 U

2

U U

mef

U

I


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1.4.1 Resistores

Al aplicar una tensión alterna senoidal sobre un resistor puro, la corriente quecircula por el mismo será de acuerdo a la ley de Ohm:

uR(t) = Um sen t

Ambos valores están en fase y su representación instantánea y fasorial (Para t=0), es dibujada en la siguiente figura 1.9.

Tensión

t

Corriente

Figura 1.9 Diagrama de valores instantáneos y fasorialcorrespondiente a carga óhmica pura

A los efectos de no trabajar con los valores instantáneos de la corriente y latensión, se define el valor eficaz de los mismos.

El valor eficaz de la corriente alterna es igual numéricamente a la intensidad deuna corriente continua tal que, en un intervalo de tiempo igual a un período, libera enuna resistencia una cantidad de calor igual a la que libera la corriente alterna.

El calor producido en una resistencia por efecto Joule está dado por:

Pcc = I2cc R

En corriente alterna el valor instantáneo de la potencia es:

pca = (Im sen t)2 R = I2m sen

2 t R

Como: sen2 t = ½ (1 - cos 2t)

Nos quedará: pca = (R I2m /2) (1 - cos 2t)

IR

UR

tsenR

U

R

(t)u(t)

RmR Ri

uR R

iR+

-


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El gráfico correspondiente se observa en la figura 1.10.

Corriente

t

Potencia

Figura 1.10 Valores instantáneos de la potencia sobre un resistor

Se hace notar que la función potencia en corriente alterna es de frecuenciadoble de la corriente que circula. La potencia media se obtiene hallando el valor mediode la expresión de pca ó sea el área bajo la curva de pca y dividiéndola por el período,siendo su valor:

1.4.2 Inductores

En un inductor ideal, por el cual circula una corriente de valor:

iL(t) = ILm sen t

Aparecerá en sus bornes una tensión cuyo valor será:

2

I

2

I I :eficazvalor suSiendo

2

I I :aquíDe

2

IR RI

Luego 2

IR p

m2

mef

2m2

cc

2m2

cc

2m

ca

)2

π

t(ωsenωLLmItωcosωLmIL(t)Lu

Henry)eniónAutoinducc:(L dt

LdiL(t)Lu

L

-

uL

iL+


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ULm

=ILm

ωL

Llamaremos a L = XL Reactancia inductiva []

Um = ILm XL

Observamos que la tensión tiene un adelanto de 90°, con respecto a lacorriente, con lo que sus diagramas de valores instantáneos y fasorial (Para t = 0) sonlos dibujados en la figura 1.11.

Tensión

t

Corriente

Figura 1.11 Diagrama de valores instantáneos y fasorialcorrespondiente a carga inductiva pura

Las relaciones entre los valores eficaces está dado por:

U = XL IL

Si tenemos en cuenta estos valores como fasores:

U = L IL e j /2 = j L IL e

j /2 = j

O sea que la multiplicación por “j” hace girar el vector un ángulo de 90° en elsentido antihorario, con lo que nos queda expresado matemáticamente el desfasaje de90° entre un fasor y el otro.

Por lo tanto para dejar expresado este desfasaje que se produce en un inductor,asociaremos “j” a su reactancia y al conjunto lo llamaremos impedancia inductiva:

ZL = j XL []

)2

t(senU(t)u LmL

UL

IL


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1.4.3 Capacitores

En un capacitor ideal al cual le aplicamos una tensión

uC(t) = Um sen t

La corriente que circulará por el mismo será:

En este caso la corriente tiene un adelanto de 90° con respecto a la tensión, loque se observa en los diagramas de la figura 1.12

Lo cual se toma en cuenta en el cálculo fasorial

Llamaremos a ZC = - j XC Impedancia capacitiva []

Tensión

t

Corriente

Figura 1.12 Diagrama de valores instantáneos y fasorial

correspondiente a carga capacitiva pura

Xc

U I

][capacitivaReactanciaXcC

1

:aLamaremos

)2

t(senCUtcosUC(t)i

Faradios)en(CapacidadC dt

du C(t)i

m

Cm

mCmCC

CC

Xc j-

U e

Xc

U I 2

j-

C

C

-

uC

iC+

IC

UC


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1.5 Agrupamiento de impedancias

1.5.1 Conexión en serie de resistor, inductor y capacitor

Figura 1.13 Agrupamiento de impedancias en serie

Conectando una impedancia a continuación de la otra, efectuamos unaconexión que se denomina “serie”, según se observa en la figura 1.13. Si a esteagrupamiento le aplicamos una tensión U, circulará una corriente I, que es la mismaen cada elemento.

Las caídas de tensión en cada elemento están dadas por:

UR = R I

UL = j XL I

UC = - j XC I

De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, la tensión aplicada será igual a lasuma fasorial de las tensiones parciales. Luego:

U = UR + UL + UC y reemplazando nos queda:

U = R I + j XL I - j XC I = I (R + j XL - j XC) = I [R + j (XL - XC)]

El término “R + j (XL - XC)” es la impedancia equivalente entre los terminalesA - B

Z = R + j (XL - XC)Z

UI

Esta impedancia equivalente tiene un módulo dado por

)R

XX

(tg Arc

:por odeterminadánguloun y)X-(XRZ

CL

2

CL

2

j XL

- j XC

R

U

I

+

-

UR UL

UC


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La representación vectorial de la impedancia se puede observar en el gráfico dela figura 1.14.

Figura 1.14 Diagrama vectorial de impedancias

Resonancia serie

La impedancia de un circuito serie está dada por la siguiente expresión:

Cf 2

1 jLf 2 jR

Z

En esta se observa que manteniendo constantes R, L y C, a medida que la

frecuencia aumenta, la reactancia inductiva aumenta y la capacitiva disminuye, lo cualnos lleva a que partiendo de un circuito con características capacitivas, al aumentar lafrecuencia pasa a tener características inductivas.

Cuando las partes reactivas toman el mismo valor, se compensan y el circuitopresenta las características de una resistencia para la fuente que lo alimenta según seobserva en la figura 1.15.

Por ejemplo si tenemos un circuito alimentado por una fuente a la que lepodemos variar la frecuencia, vamos a tener un valor de la misma en que se cumpleque XL = XC, o sea que:

Cf 2

1Lf 2

0

0

Siendo f 0 la frecuencia para la cual se igualan las reactancias y que llamaremosde resonancia, y cuyo valor será:

L.C

1

2

1f 0

El diagrama fasorial en esta situación es el de la figura 1.15 siendo I0, la corriente para elestado de resonancia.

j

j XL

- j XC

R

Z

De acuerdo a los valores deXL ó XC, la impedanciaresultante tendrácaracterísticas “óhmico -inductivas” u “óhmico – capacitivas”. En el gráfico seha representado unaimpedancia en la queprepondera la reactanciainductiva


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Figura 1.15 Diagramas de impedancias y fasorial

para la frecuencia de resonanciaEn la figura 1.16 vemos lo aquí analizado, siendo el valor de la resistencia mayor al delas reactancias cuando el circuito se hace resonante.

En este caso siendo la corriente única, las caídas de tensión en las reactanciasserán menores que en la resistencia, por lo tanto no aparecerán tensiones mayoresque los de la fuente, o sea:

UR = R. I = UFUENTE UL = j XL I UC = - j XC I UL + UC = 0

Valor de la impedancia en función de la frecuencia

Frecuencia [Hz]

R , X L , X c

, Z

Figura 1.16 Valor de las impedancia en función de la frecuenciapara R › XL y XC en resonancia

En la figura 1.17 se observa como varían las tensiones sobre los elementoscomponentes de circuito, y la corriente en el mismo.

RZ

XL

XC

(XL - XC)

f 0

j XL

- j XC

R

j XL. I0

- j XC. I0

R I0 = U I0

0


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Figura 1.17 Tensiones sobre los elementos componentes del circuito y corriente,para R › XL y XC en resonancia

De las curvas de la figura 1.16 y 1.17 se pueden obtener las siguientes conclusiones:

La reactancia inductiva toma un valor cero para una frecuencia igual a cero y luegova aumentando hasta un valor infinito para el mismo valor de la frecuencia.

La tensión en dicha reactancia inductiva, va aumentando desde cero, llegando a unvalor máximo para la frecuencia de resonancia (Máxima corriente) y luegocomienza a disminuir, tendiendo al valor de la fuente que alimenta el circuito, parauna frecuencia de valor infinito (La reactancia inductiva se comporta como uncircuito abierto, con lo cual no circula corriente, y como reactancia capacitiva secomporta como un cortocircuito, con lo cual la tensión de la fuente aparece enbornes de la bobina).

La reactancia capacitiva, toma un valor igual a infinito para una frecuencia igual acero, con lo cual se comporta como un circuito abierto y la tensión que aparece ensus bornes es la de la fuente mencionada. A medida que aumenta la frecuencia,disminuye la tensión sobre el capacitor y tiende a cero cuando la frecuencia tiendea infinito, ya que el capacitor se estaría comportando como un cortocircuito.

Si analizamos la variación de la corriente en el circuito, observamos:

Para un valor de la frecuencia igual a cero, la reactancia capacitiva toma un valorinfinito, por lo cual no circulará corriente.

A medida que aumenta la frecuencia, va aumentando la corriente hasta llegar a unvalor máximo, que se produce con la frecuencia de resonancia (Lo único que limitala corriente es la parte resistiva ya que las reactivas se compensan)

A partir de esta frecuencia la impedancia del circuito vuelve a aumentar con lo cualla corriente tiende a disminuir y se haría cero con frecuencia de valor infinito(Circuito abierto en la bobina).

El ángulo de desfasaje entre la tensión y la corriente, pasa de ser ohnmico-capacitivo, va disminuyendo su valor, haciéndose cero en resonancia y luego elcircuito se hace de características ohmico-inductivas, tal cual se observa en la

figura 1.18.

Frecuencia [Hz]

Tensiones [V] – Corriente [A]

f 0

UC

UR

UL

I

UFuente

I0


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Figura 1.18 Variación del ángulo “φ” en función de la frecuencia

En la figura 1.19, se analiza el caso en que la resistencia es menor que lasreactancias cuando el circuito es resonante, y en la figura 1.20 las tensiones queaparecen sobre los elementos.

Valor de la impedancia en función de la frecuencia

Frecuencia [Hz]

R , X L , X c , Z

Figura 1.19 Valor de las impedancia en función de la frecuenciapara R ‹ XL y XC en resonancia

Angulo en función de la frecuencia

-50

-30

-10

10

30

50

Frecuencia f [Hz]]

Angulo [º]

Z

R

XL

XC

(XL - XC)

f R

f 0

Circuito ohnmico-capacitivo

Circuito ohnmico-inductivo Circuito ohnmico

puro


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Figura 1.20 Tensiones sobre los elementos componentes del circuito,para R ‹ XL y XC en resonancia

En este caso aparecen sobre tensiones sobre los elementos reactivos, pudiendoser mayor en la reactancia inductiva o capacitiva de acuerdo al valor que tome lafrecuencia

Factor de mérito

Se define como factor de mérito, factor de sobretensión o factor de calidad, a la relación dela tensión que aparece sobre la reactancia inductiva y capacitiva a frecuencia de resonancia y latensión aplicada.

RCω

1

IRCω

I

R

Lω

IR

ILω

U

U

U

UQ

000

00

0

00CL0

También lo podemos definir como la relación entre la energía máxima acumulada con laenergía que se disipa en la resistencia por ciclo de oscilación:

Energía máxima almacenada en la bobina: XL. I2 = ω .L. I

2

Energía máxima almacenada en el capacitor: XC. I2 =

C

I2

Energía disipada en la resistencia en un período: R. I2

Luego el factor de mérito para resonancia nos queda:

RCω1

IRCωI

RLω

IR

ILωQ

0200

2

0020

2

000

Frecuencia [Hz]

Tensión [V] - Corriente [A]

UL

f 0

UR

UC

I I0

UFuente


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Energía en el circuito

La energía puesta en juego en un circuito serie en resonancia, está dada por:

En la resistencia es: 20R IRW . t donde I0 es el valor de la corriente en resonancia.

SiendoR

UI0 t

R

UW

2

R U es la tensión de la fuente

En la reactancia inductiva:2

iLW

20

L

En la reactancia capacitiva:2

uCW

2C

C

Si la corriente tiene la forma:

tωsenIi 00Max0

tωcosUu 0C0MaxC0

tωcosC

C

LI

tωcosCω

Iu 0

0Max

00

0MaxC0Max

Luego la energía puesta en juego en las reactancias va a ser:

tωcosC2

C

LIC

2

tωsenIL

2

uC

2

iLWW 0

2

2

20Max

022

0Max2C

20

CL

Constante2

UC

2

IL tωcos

2

IL

2

tωsenILWW

2C0Max

20Max

02

20Max0

220Max

CL

1tωcostωsen 0202

O sea que la suma de las energías de los campos magnético y eléctrico es constante y novaría con el tiempo.

Toda la energía que pasa de la fuente al circuito se disipa en forma de calor en laresistencia.

La mayor potencia disipada, se produce cuando el circuito está en resonancia, y su valorva a estar dado por:

20R IRP

Por otro lado si queremos saber a qué frecuencia se produce una disipación de potenciaigual a la mitad, la corriente que tendrá que circular deberá ser = 0,707 I0


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Para obtener ese valor de corriente, la impedancia total debe ser 1,41 veces el valor de laresistencia. Esto nos lleva a que el valor de la impedancia total, debe ser

R2Cω

1LωR

2

2

La solución de esta ecuación es::

LC

1

2L

R

2L

R2

1

LC

1

2L

R

2L

R2

2

La separación entre estas dos f recuencias se denomina “ancho de banda”, según seobserva en la figura 1.21.

B = ω2 – ω1

C o r r i e n t e [ A ]

Frecuencia w [1/s]

Corriente en función de la frecuencia

Figura 1.21 Variación de la corriente con la frecuencia

1.5.2 Conexión en paralelo de resistor, inductor y capacitor

En este tipo de conexión todos los elementos reciben la misma tensión segúnse observa en la figura 1.22.

w0w1 w2

I0

0,707 I0

Ancho debanda


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Figura 1.22 Impedancias conectadas en paralelo

Las corrientes que circularán por cada elemento tendrán los siguientesvalores:

La corriente total está dada por la suma fasorial de las corrientes en cadaelemento:

I = IR + IL + IC Que reemplazando sus valores nos queda:

I = U (G - j BL + j BC)

Siendo la admitancia del circuito:

Y = G - j BL + j BC (Inversa de la impedancia equivalente)

I = U. Y

Su representación gráfica es la de la figura 1.23.

C

C

L

LRX j-

X j

R

U

IU

IU

I

)

X j

1

X j

1

R

1(

X j-X jR

CLCL

UUUU

I

[Siemens]capacitivaiaSusceptanc B jX j-

1

[Siemens]inductivaiaSusceptanc B j-X j

1

[Siemens]iaConductanc GR

1 :llamamosSi

C

C

L

L

IR IL IC

U

I

+

-

R - j XC j XL


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-

Figura 1.23 Diagrama vectorial de admitancias

Resonancia paralelo

En forma análoga al estudio de un circuito serie, en paralelo tenemos:

Lf 2

1 jCf 2 jG

Y Las partes reactivas se igualan para una

frecuencia

L.C

1

2

1f 0

Por lo tanto se puede realizar el mismo análisis que para el circuito serie,trabajando con las admitancias.En el gráfico 1.24 se pueden observar los diagramas de admitancias y el fasorial decorrientes en esta situación.

G

)B(B tg Arc

)B(BGY :Donde

LC

2

LC

2

j

j BC

- j BL

G

Y


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Figura 1.24 Diagramas de admitancias y fasorialpara la frecuencia de resonancia

En gráfico 1.25 muestra como varían las admitancias del circuito en función dela frecuencia, mientras que en el 1.26, se muestra la variación de la impedancia (Lainversa de la admitancia)

Valor de la admitancia en función de la frecuencia

Frecuencia [Hz]

G , B

L , B c ,

Figura 1.25 Valor de la admitancia en función de la frecuencia

Y

BL

BC (BC – BL)

G

f 0

- j BL. U = IL

j BC. U = IC G. U = I = IR

U

0

- j BL

j BC G

Y


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Impedancia del circuito en función de la frecuencia

Frecuencia w [1/s]

Z

Figura 1.26 Valor de la impedancia del circuito en función de la frecuencia

Del análisis de las curvas observamos:

La admitancia para una frecuencia tendiendo a cero, toma un valor tendiendo ainfinito (Impedancia cero), ya que la inductancia se comporta como uncortocircuito, con lo cual la corriente en la fuente, tendería a infinito.

En resonancia, la corriente toma su valor mínimo ya que al compensarse laspartes reactivas, el valor de la admitancia es mínimo (La corriente en la fuente esla corriente en la resistencia, ya que las corrientes que estén circulando por laspartes reactivas, son de igual valor pero de distinto sentido)

Para frecuencias mayores a la de resonancia, la admitancia vuelve aumentar,debido a la parte capacitiva, tendiendo a infinito para una frecuencia tendiendo adicho valor, con lo que la corriente en la fuente tendería a infinito.

Agrupamiento en paralelo real

El circuito de la figura 1.27 representa el caso real de una bobina con pérdidas en paralelocon un capacitor.

Figura 1.27 Bobina con pérdidas en paralelo con un capacitor

ω0

IRL

IC

U

I

+

R

- j XC

j XL

-


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La admitancia del circuito está dada por la siguiente expresión:

C jω

ωLR

Lω jRC jω

ωL jR

1Y

22

Descomponiendo en parte real e imaginaria nos queda:

C jω

ωLR

Lω j

ωLR

RY

2222

Para la condición de resonancia, la parte imaginaria se debe hacer cero, o sea:

0Cω

LωR

Lω j 02

02

0

Cω

LωR

Lω02

02

0

2202

02 R

C

LLω terminospasando

C

LLωR

L

CR1

LC

1

L

R

LC

1ω

2

2

2

0

De aquí se desprende que el circuito no resuena para cualquier condición de

funcionamiento, sino que se debe verificar:

C

L R 1

L

CR2

Cap. 1 Sistemas Monofásicos

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