MEC 228 - Mecnica I
Cap 2 - Esttica das
Partculas (parte 1)
Livro texto: Mecnica Vetorial para Engenheiros Esttica (Beer e Johnston)
Prof : Angela Marquez
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Introduo
Mecnica - um ramo das cincias fsicas que trata do
estado de repouso ou movimento dos corpos sob a ao de foras. Em geral dividido em 3 reas: mecnica dos corpos rgidos, mecnica dos corpos deformveis e mecnica dos fluidos.
- Nessa disciplina estudaremos a mecnica dos corpos rgidos, que essencial para o projeto e a anlise de membros estruturais, componentes mecnicos ou dispositivos eltricos encontrados na engenharia.
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Introduo
Mecnica dos Corpos Rgidos Divide-se em duas reas:
Esttica Trata do equilbrio dos corpos que esto em
repouso ou em velocidade constante. Dinmica
Preocupa-se com o movimento acelerado dos corpos.
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Conceitos teis Quantidades Bsicas Comprimento
usado para localizar a posio de um ponto no espao e assim descrever o tamanho de um sistema fsico.
Espao Regio geomtrica ocupada por corpos cujas
posies so descritas por medidas lineares e angulares em relao a um sistema de coordenadas. Um ponto definido no espao por 3 coordenadas (x, y, z).
Tempo Medida da sucesso de eventos. Alm da posio no
espao, o instante em que ocorre cada evento deve ser conhecido.
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Conceitos teis
Quantidades Bsicas Massa
a medida da quantidade de matria que usada para comparar a ao de um corpo com a do outro.
Fora Representa a ao (puxo ou empurro) de um corpo
sobre o outro. Esta ao pode ser por contato ou a distncia (foras gravitacionais, foras eletromagnticas). A fora uma grandeza vetorial sendo, ento, representada por seu mdulo, direo e sentido.
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Conceitos teis
Modelos Partcula (ponto material)
Poro da matria que pode ser considerada como ocupando um nico ponto no espao (a sua forma e dimenso no so consideradas)
Corpo Rgido uma combinao de um grande nmero de
partculas que ocupam posies fixas relativamente umas s outras. O corpo se desloca como um todo, no h movimento relativo entre as partculas, portanto no h deformao. Ou seja, no se deforma sob ao de uma carga.
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Leis de Newton
Primeira lei
Uma partcula originalmente em repouso ou movendo-se
em linha reta, com velocidade constante, tende a
permanecer nesse estado, desde que no seja
submetida a uma fora em desequilbrio.
Segunda lei
Uma partcula sob ao de uma fora em desequilbrio F
sofre uma acelerao a que possui a mesma direo da
fora e intensidade diretamente proporcional a fora.
Terceira lei
As foras mtuas de ao e reao entre duas partculas
so iguais, opostas e colineares. 7
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Leis de Newton
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F= ma
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Sistemas de Unidade
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Prefixos
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Vetores de fora escalares e vetores Escalar: qualquer quantidade fsica positiva ou negativa que pode
ser completamente especificada por sua intensidade. Exemplos de
quantidades escalares incluem comprimento, tempo e massa.
Vetor: qualquer quantidade fsica que requer uma intensidade e uma direo para sua descrio. Exemplos de vetores encontrados
na esttica so fora, posio e momento. O vetor representado
por uma seta. O comprimento da seta representa a intensidade do
vetor e o ngulo entre o vetor e um eixo fixo determina a direo de
sua linha de ao. A ponta da seta indica o sentido da direo do
vetor.
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Angela Marquez
Operaes com vetores
Adio
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Operaes com vetores
Adio
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Operaes com vetores
Subtrao
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Adio vetorial de foras
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Determinao da componente
de uma fora
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Adio de vrias foras
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Pontos importantes
Escalar um nmero positivo ou negativo.
Vetor uma quantidade que possui intensidade,
direo e sentido.
A multiplicao ou diviso de um vetor por um
escalar muda a intensidade do vetor. O sentido
dele mudar se o escalar for negativo.
O problema da soma de duas foras pode ser
resolvido usando a lei do paralelogramo ou a
trigonometria.
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angela marquez 19
) cos
sen
0
sen
cos
tg
tg
Reviso de trigonometria
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angela marquez 20
Arcos Notveis
30 150
210 330
45 135
225 315
60 120
240 300
cos
sen
0
tg
90
180
270
0/360
Angela Marquez
angela marquez 21
arco 0 30 45 60 90 180 270 360
rad 06
4
3
2
3
22
seno 02
1
2
2
2
31 0 - 1 0
cosseno 12
3
2
2
2
10 - 1 0 1
tangente
cos
sen 03
31
3- - - 0 - - - 0
Tabela de Entes
Trigonomtricos ...
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angela marquez 22
Relaes Trigonomtricas no
Tringulo Retngulo
Ente
Trigonomtrico Relao no Tringulo Retngulo
Seno de
Cosseno de
Tangente de
HI
COsen
HI
CAcos
CA
COtg
)
Hipotenusa
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Lei dos Senos
Seja um tringulo ABC qualquer
temos :
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
) ( ^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b
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Lei dos Cossenos
Seja um tringulo ABC qualquer
temos :
Ccosba2bac
ouBcosca2cab
ouAcoscb2cba
222
222
222
) ( ^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b
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Lei dos Cossenos
Curiosidade : Quando um dos ngulos do tringulo
reto, por exemplo, = 90, temos :
90coscb2cba 222
Sabe-se que cos 90 = 0, logo ...
0cb2cba 222
Temos, portanto ... 222 cba Teorema de Pitgoras
Angela Marquez
Reviso de geometria e
trigonometria
Os ngulos na Figura a seguir so iguais
entre a transversal e as duas linhas paralelas.
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Angela Marquez
Reviso de geometria e
trigonometria
Para uma linha e sua normal, os ngulos na
Figura a seguir so iguais.
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Angela Marquez
Identidades trigonomtricas
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Angela Marquez
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P-1 ngulos opostos
congruentes
P-2 lados opostos
congruentes
P-3 as diagonais dividem-se
ao meio ( ponto mdio )
M
Propriedade dos
Paralelogramos
+ = 180
Angela Marquez
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P-4 todo paralelogramo que tem
diagonais congruentes
retngulo
P-5 todo paralelogramo que tem
diagonais perpendiculares
losango
P-6 todo quadrado retngulo e
tambm losango e portanto suas
diagonais so congruentes e
perpendiculares
Propriedade dos
Paralelogramos
Angela Marquez
Exemplo 1
O gancho da figura est sujeito a duas foras
F1 e F2. Determine a intensidade e a direo
da fora resultante.
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Angela Marquez
Soluo
32
Angela Marquez
Exemplo 2 Decomponha a fora horizontal de 600N da figura a
seguir nas componentes que atuam ao longo dos eixos
u e v. determine as intensidades dessas componentes.
33
Angela Marquez
Soluo
34
Angela Marquez
Exemplo 3
Determine a intensidade da fora componente F e a
intensidade da fora resultante se Fr estiver direcionada
ao longo do eixo y positivo.
35
Angela Marquez
Soluo
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Angela Marquez
Exerccio
37
Angela Marquez
Soluo
38
Angela Marquez
Soluo
39
Angela Marquez
Exerccios
40
Angela Marquez
Exerccios
41
Angela Marquez
Adio de um sistema de
foras coplanares
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Quando uma fora decomposta em duas componentes ao
longo dos eixos x e y, as componentes so, ento, chamadas de
componentes retangulares.
notao escalar.
notao de vetor cartesiano.
Angela Marquez
Adio de um sistema de
foras coplanares
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Notao escalar
Como essas componentes formam um tringulo retngulo, suas
intensidades podem ser determinadas por:
Angela Marquez
Adio de um sistema de
foras coplanares
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No entanto,
Como esse tringulo e o tringulo maior sombreado so semelhantes, o comprimento proporcional dos lados fornece:
e e
Angela Marquez
Adio de um sistema de
foras coplanares
Tambm possvel representar as
componentes x e y de uma fora em termos de
vetores cartesianos unitrios i e j.
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Angela Marquez
Adio de um sistema de
foras coplanares
46
Como a intensidade de cada componente de F sempre uma
quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e
Fy, ento, podemos expressar F como um vetor cartesiano.
Notao vetorial cartesiana
Angela Marquez
Resultante de foras
coplanares
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Qualquer um dos dois mtodos descritos pode ser
usado para determinar a resultante de vrias foras
coplanares. Por exemplo:
Angela Marquez
Resultante de foras coplanares
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Usando a notao vetorial cartesiana, cada fora representada como um vetor cartesiano, ou seja,
F1 = F1xi + F1yj
F2 = F2xi + F2yj
F3 = F3xi F3yj
O vetor resultante , portanto,
FR = F1 + F2 + F3
= F1xi + F1yj F2xi + F2yj + F3xi F3yj
= (F1x F2x + F3x) i + (F1y + F2y F3y) j
= (FRx) i + (FR y) j
Angela Marquez
Resultante de foras coplanares
Se for usada a notao escalar, temos ento
( + ) FRx = F1x F2x + F3x
(+ ) FRy = F1y + F2y F3y
As componentes da fora resultante de qualquer nmero de
foras coplanares podem ser representadas simbolicamente
pela soma algbrica das componentes x e y de todas as foras,
ou seja,
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Angela Marquez
Resultante de foras
coplanares
Uma vez que estas componentes so determinadas,
elas podem ser esquematizadas ao longo dos eixos x e
y com seus sentidos de direo apropriados, e a fora
resultante pode ser determinada pela adio vetorial.
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Angela Marquez
Resultante de foras coplanares
51
Pelo esquema, a intensidade de FR determinada pelo teorema de
Pitgoras, ou seja,
Alm disso, o ngulo , que especifica a direo da fora
resultante, determinado atravs da trigonometria:
Angela Marquez
Pontos importantes
A resultante de vrias foras coplanares pode ser
determinada facilmente se for estabelecido um sistema
de coordenadas x e y e as foras forem decompostas ao
longo dos eixos.
A direo de cada fora especificada pelo ngulo que
sua linha de ao forma com um dos eixos, ou por um
tringulo da inclinao.
A orientao dos eixos x e y arbitrria e sua direo
positiva pode ser especificada pelos vetores cartesianos
unitrios i e j.
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Angela Marquez
Pontos importantes
As componentes x e y da fora resultante so
simplesmente a soma algbrica das componentes de
todas as foras coplanares.
A intensidade da fora resultante determinada pelo
teorema de Pitgoras e, quando as componentes so
esquematizadas nos eixos x e y, a direo
determinada por meio da trigonometria.
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Angela Marquez
Exemplo 1
Calcule os componentes vertical e horizontal da fora F
de 800 N de intensidade, exercida no parafuso A,
conforme mostrado na figura.
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Angela Marquez
Exemplo 2
Um homem puxa uma corda com a fora de 300 N,
amarrada a um edifcio. Quais so os componentes Fx e
Fy da fora exercida pela corda no ponto A?
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Angela Marquez
Exemplo 3
A ponta de uma
lana O est
submetida a trs
foras
concorrentes.
Determine a
intensidade e a
direo da fora
resultante.
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Angela Marquez
Soluo
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Angela Marquez
Soluo (cont)
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Angela Marquez
Exerccio 2.13
Para o suporte tipo gancho, determine, usando
trigonometria a intensidade e a direo da menor fora
P para a qual a resultante R das duas foras aplicadas
no suporte horizontal, e a correspondente intensidade
de R.
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Angela Marquez
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Equilbrio de uma Partcula
-Quando a resultante de todas as foras que atuam sobre uma partcula zero, esta est em equilbrio.
-Uma partcula submetida ao de duas foras estar em equilbrio quando essas duas foras tiverem a mesma intensidade, a mesma direo e sentidos opostos, sendo nesse caso a resultante das duas foras zero.
100 N
100 N
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Equilbrio de uma Partcula
Para exprimir algebricamente as condies necessrias de equilbrio de uma partcula usamos:
R = F = 0 Decompondo cada fora F em
componentes retangulares temos:
( Fxi + Fyj ) = 0 , ou
( Fx ) i + ( Fy ) j = 0
Condio necessria e suficiente para o equilbrio da partcula.
Fx =0 e Fy= 0,
F4 = 1800 N
F2 = 779,4 N
F3 = 900 N
F1 = 1350 N
Angela Marquez
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Angela Marquez
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Primeira Lei de Newton
Se a fora resultante que atua sobre uma partcula tem intensidade igual a zero, essa partcula permanece em repouso ou se move em movimento retilneo uniforme.
Angela Marquez
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Problemas que Envolvem o Equilbrio de uma Partcula Diagrama de Corpo Livre
Grande nmero de problemas que envolvem estruturas reais pode ser reduzidos efetivamente, a problemas referentes ao equilbrio de uma partcula.
Isto feito escolhendo-se uma partcula conveniente e esquematizando-se um diagrama separado, mostrando todas as foras que sobre ele so exercidas. Este diagrama chamado DIAGRAMA DE CORPO LIVRE.
Angela Marquez
Diagrama de Corpo Livre
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O diagrama de corpo livre representa um
esboo da partcula que mostra todas as
foras que atuam sobre ela.
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Exemplo 1
Tem-se um caixote de 75kg que estava em 2 prdios e est agora sendo colocado sobre um caminho. O caixote suportado por um cabo vertical, unido no ponto A a duas cordas que passam por roldanas fixadas nos prdios em B e C. Deseja-se determinar a trao nas 2 cordas AB e AC.
Angela Marquez
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Soluo
Diagrama de Corpo Livre
Triangulo de
Foras
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Exerccio
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Angela Marquez
Molas
Quando se utilizar uma mola elstica, o comprimento da mola
variar em proporo direta com a fora que atua sobre ela.
A equao da fora atuante na mola
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Angela Marquez
Exemplo de Diagrama de
Corpo Livre - Mola
A esfera da figura tem massa de 6Kg e est
apoiada como mostrado. Desenhe o
diagrama de corpo livre da esfera, da corda
CE e do n em C.
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Exemplo de Diagrama de
Corpo Livre - Esfera
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Angela Marquez
Exemplo de Diagrama de
Corpo Livre - CE
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Angela Marquez
Exemplo de Diagrama de
Corpo Livre - C
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Exerccio
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Angela Marquez