ffi$ffimmmm üËrxmmrem
EQUAÇAO LINEAR
Todâ equação da foíma
alxl + â2x2 + ... + anxn = b é denominadâ equação l inear
en que: a., a/ , , . . . a. são os coef jc lenleg
b
Exemplos: a) 2x1 3x2 + N3 = S é uma equação linear â três incógnitas.o)x + y = z + t: -1 é uma equaçao neara quatro iniOg;itas.
Obsêrvaçõesjt 1
flï*iïï:"Jãiïïdependente b ror isuar a 2610, a equação rinear denomina.se equação
Exemplo: 5x - 3y = O
29) Uma equação linear não aprêsenta termos clâ form" xi. x, . x2 elc.. Ísto é. cada lêrmo daequação lem uma única incógnita. cujo expoente é sêmpre f. .- -.- -. "-",
As equaÇÕes 3x1 +2x, = _Je.4x.y +z = vZ náo são l ineares.3f) Á solução dê,uma equação lineara n incógnitas é a seqüéncia de números reais ou ènupla
lã';ïã;;;#àïï?j''"câdos respectivamente no trs"io"i,, *,, . .i, *ï,ïiiãfr u","o",r"i4?) Uma solução evidente da equaçâo tineâr homogênea 3x + y = O é a dupta (0, O).
Vejamos alguns êxemplos.
19 exemplo: Dâda a equação linêar4x y + z = 2, êncontrar umâ de 6uas solirçóês.Resolução: Vamos atribuir vâlores arbitrários a x e y e obter o valor dê z.
. _. , x" sãoas incógni tas
é o Ìermo independentê
x=2
tortântq uma sotução é a tripla ordenada (2, O, _6).
157
29 êxemplo: Dada a equação 3x - ry = 5, determinar d parâ que a dupla (- 1, d) seja soluçãoda equâção.
Resolução: \_1,d|
Resposta: d = -4
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM t
fiquat aas seguintes equações são lií€arcs?
a)4a-b+; =0
b\sx+2yz-0c)x 'z-5y-od) xyz = Ì
(lAche duas soluçoes da equação:
- \++&=0.
(3ì"t"..in" -
pu. que (-1, 1, -2) s€ja soìu-ção da equação mx + y - 22 = 6.
/s\ !?Daoa a equaçao -t i
= - t ,acne"pa-
ra que (o, a + l) torne a sentença v€rdadeim.
llPekrmine duas soluçòes da equaçàox+2y z=0.
ftCacute a ae moao que ( - l, a + l, 2.) não se]a'- soluçào dâ equação 2x + 4y + z - 0.
.Denomina-se sistema linear de m equaçóês nâs n incógnitas x1, x2, . . ., xn a todo sistê-ma oa Íorma:
em que aÍ, a12, . . -, a1n, bj, b2, .. . , bn são números rêais.
Sê o conjunto ordenado de números reais (ol, 02, . . ., on) satisfizer todâs as equações dosistema, seíá denominado solução do sislema linear.
ObseNação: Sê o teímo independonte de todâs as equações do sistema for nulo, isto é,b1 = b2 = ... = bn = 0, o sistema l inearserá dito homogôn€o
Uma soluçáo êvidente do sistema linear homogéneo é x = y = z = O.. Esla solução chama-se solução lrivial do sistoma homogênêo. Se o sistema homogêneo
admitiroutra solução ondê âs incógnitas não são lodas nulaq a solução será chamâda solu-Qão não.lrivlal.
158
ExgÍnplo: /lAx+v z=ol 'x+y+nz=ot5x - 2y + 32 = 0
SISTEMA LINEAR
SISÏEMAS LI N EARES EQU IVALENTES
Se dois sistemas lineares 51 e 52 admitem a mêsma soluçáq eles são diios sislemas €qui-valentes.
Exemplo: Calcular m e n, de modo que sejam equivalenÌes os sisiêmas:
ResoluÇão:
f x y=r(2x + y = 5
fmx ny= I{nx t my = 2
. Cálculo de x e y.
2x+y=5
Substituindo-se x ê y no segundo sjstema, vem:
2m- n = - '1 2m- n= 1= 2m+4n=4
J
2n +m=2
2m-n=-1
Resposta: m = 0en = 1.
2m-1= 1
_ t* I
EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM
' ' '2xÌ+3x, xr=0xl 2xz+xj :5xr + x2+x] = 2
a) Verilique se (2, t, 1) é solução de S.b) Verifique se (0, 0, 0) é solução de S.
\Srseia o. isrema: ì3x + ) = k ' 9
[ \ -zy=K+r
Caìcuìe k pam qüe o ' i . lema 'ejâ hoÌo8èn<o.
3 ve, i t ique se o* isr(ma' . , Í ' : , : : "
,,1 ,ì- i, -; ,"".,,.,.";.d ( l -L!e.r-SPl D(rc ' mi le a e b, de moJo que ,e
l^lam equr larente( o\ \ r \ tcmâ\ 1 . , : . e
Ì11-Ì-4
lax+by=l
159
r
EXPRE MATRICIAL DE UM SISTEMA DEEQU LINEARES
Dentrê suasvariadas aplicaçõês, âs mâÌíizes são uÌilizadas naresoluçãode um sistemade equações lineares.
Seja o sisÌema linear:
, t
Obseíve que se vgcê efetuar a multiplicação das matrizês indicadas irá obter o stsremaoaoo,
Se a matíiz constituída pelos coeflciênteg das incógnilas Íorquadrada, o sêu determinanleé dito determinante do sistema.
t^ -l2xr +5x2- &=0Exêmplo: Sela o sistema: 1 4x1 3xz + 6& = -1
l i lx1 + x"-à3=8
Ele pode ser repÍesentado poí meio de matrizes, da seguinte forma:
ssÃocoEs
+ . . . + ahxn = b1+ . . . + a2nxn = b2
::+ . . . + amnxn = bm
ntar oste sistema da seguintê formâ
l ' ' I lb1 Ilx , I lbz It t=t lt t t lt t t llx" t lb" l
TTmaÍiz coluna maÍiz colunaconstlluída dos termos
pêlasincó0nitas independêntes
ï ,
Util izando
[ í ï i ] [ i i ] tl8l
t
I Exprcsse matÍicialmente os sistemâs:
a1 fzx + y=s(x-3y=0
2a+ b+c= -1a +c=0
_3a+5b-c=2
( -*+y+"-t :z
" , 1 2x-y+t=0- ' l Y-z+31 =l
| \+2y z+4t= -5
2 A c\pressão matricial ale ìrm sistema S é:
[ : s l [a l l -+ ll r i l lb l - I 7 lDetermine as equações de S.
b)
160
I
Os sistemas lineares são classificados, quânto ao número de soluçõês, da seguinte torma:
REGRA DE CRAMER
Veiamos a demonstraçâo dessa regra para um sistema linear de três eeuaçÕes a três in-cógnitas.
Seja o sistêmâ:
f^Seiam A = la",_t^-
lo'Io'
l , / lult ipl icando: a'1? equâção porArl (coíatoídearìa 2? êquâção por 421 lcoÍaior de aã)a 39 êquação por A31 lcofalorde a3r) ê somando os produtos, temos:â11411x1 1_ â12A11x2 + â13A11x3 = b1A1ìã21421x1 t ã22Avx2 + aBA21x3 = b2421a3rA31xl + 432431x2 t â$A31xs = b3431
{a1jA1j + aã421 t a31A3tx1 + (aj2A11 + a22A,21+ a32A3ìx2 +(a1341í + a23421 + a$43ìx3 = b1411 + b2A21 + bsA3i
Nessa igualdade, convém dêstacar que:. A exprêssão âÍAÍ + az1A2j + fu1431, pelo têoíeínade Lâplace, pode seí repíêsentadâ
por dêt A.. As expressões â124Í + a22421 + a$Â31 ê arcAÍ * a23A2ì + asA31 são iguais a 0.. A expressão blAÍ + b2421 + qA3r, pelo teorema dê Laplacq pode ser representada por
det 41.
412 â13 |ar) a' | â matriz incompleta desse sistema.-^ l
(auxr+ar"*r*a13x3=b11a)1X1 + atxt + âÌxì = Dr
la31xi+a32X2+â313=D3
ap 413422 423432 433
a matrizobtida de A, substituindo-se a coluna dos coeÍicien.tes de xr pela coluna dos termos independênÌês.
È
t
A íegra de Crameí consiste num método Dârâ se resolver um sistema linear.
ì-
161
Daí a igualdade é expíessa por: det A x1 = det A1.
Ì
i
t i ;
^r- detA
Do mesmo modo, se mulÌiplicârmos â:1: equação por A1,2f equâção por 4223f equâção por A3r, âo somârmos os produlos, terêmos:
em queA2é ãmaÍizobtidadê A, substituindo-se a coluna doscoêficientes oe xr- pela Jolunados têrmos indêpêndêntes.
Analogâmentê, podêmos obtêr:
substituìndo.se a coluna dos coeficientes de x3 pêla coluna dos têrmos indepêndentes.
Genêralizândq num sisÌema lineaí o valor da incógnita xi é dado pela expressão
A é â matrìz incomplêta do sistema;em que: Ai é â matriz obtida dê A, substituindo.se as colunas dos
coêÍicientes de x, pela coluna dos termos independenles.
Vejamos alguns exemplos.( ^..19 exemplo: Resotver o sistema I 2l
, .I = 7
----- - ( x+5Y=-2
Resotução: ^=[ l
- l l +dêÌA=11
| 7 í l
^ '=l_) Ãl=detar - 33
det A, 33 ^"- dêtA - 11 -"
Observe que o sistema é possível e determinado
Resposfa. S = [(3, -1)]
( - . , . .2? exemplo: Rêsolvêro sistema I : +
I = 5
- --- - - - ( x Y=2
Hesotuceo: I í r l' A =l j j l=detA=0t- ' - ' t
A. = l : i l - detA. = -7
logo:7= o rmpossrver
det A., em que A3 é a mâtriz obtida de A,
nz=l ì ; l=derAr= 11
dêt A" 11 ,Y =
-;tã-
&=[-] t ]=detAv=7
r=:Ë* =f , impossiverdet A,^ - dêtA
Besposta: S = A
162
.. det A,x i = detA
ix ,+2xr- &=or39 êxomplo: Resolver o sistema { 3x1 4x; + 5& = 10
Ix1 + x2+ x3=1
Resolução: . Cálculo do determinantê da matriz incompleta.
[ r z -r lA=13 4 5l=dêtA= -12
[1 1 1l
. Cálculo do dêterminante dâs incógnitâs.I o r - r l
n,=lrõ r- d l -aeta, = -zn A:=11 1 1l
l r zol tls a rol= det Á: = o-l l 1 lJ
1 0 1l310 5l+detA, =1 1 1J
3v=s
+12
EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM
I Resolva os sistemas a seguit utìtizando a regÌ-ade Crâmer.
") l , i13ï=' . ' ) l ' ï .
ó Ache o conjunto solução do sistema
ia+b+c+d=0I 2a+5d=4I ì3c-2d=1I ,4b + 3d:5
. 163
. Cálculo das incógnitas.
, =:1"-:i' = ---:-:: =2
det A' +1,xz= "^, í .=- l ; = 1
O sistema é possível e dêtermtnaoo.Fesposfa. S = l(2, - j ,0)l
,."=#nr. ==j =o
4 Determine o conjunto soÌução alo sistema:x+y-10:0x-z- 5=0y-z 3=0
5 Resolva as equações matdciais:
"(? - l) ( i ) :( , ' ï2 Resolva o sisrema: Í^" *
^t =
|' ' - - - - ' ' - t2\+2) I0
3 Resolva, utjljzando a regra de Cmmer:. , (*+zy z=2\ " l 12" y+32=e
(3x + 3y 22 = 3
fzu r* "=:b) la b+2c=3
la+b+ c-6
(2"- y- t"=tc) í -x + 3y + z= -10
l3x+2y -22= -2
"(i í i)(') É)
DISCUSSAO DE UM SISTEMA LINEAR
Seia o sistema linear de n equaçóes â n incógnitas.
aÍx1 + 412X2 + . . . + alnxn = bl
ax( l + autY2 +. . . +.aàXn =b2
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
Discutir o qistema é saber se êle é possÍvel, impossível ou iídotgÍminado
Utlllzando â Íegía de Cíâmer,lemos:
.. det A1 ..2 det A2 det A"xt = detA x- = detA " x" =
ìët Ã:
Vejamos alguns exemplos.
í_í9 6xêmolo: Discutiro sisteme I 3x + my = 2
- - - - -L x Y='r
Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:
l= l i _ï l=detA= -3-mt l
Ar = l i - ì l - det Aí = -2 - mt l
A, = l : Í l= det A' = 1- t , , t
Fazendo: det A = 0 á -3 - m = 0m=-3
det A1 = 0 -
-2 - m = 0ín= 2
rI
Diacussão:SPD+mí-3sPl 3
'mSl ém=-3
164
I
(sistema possívêl e del€rmlnâdo)(slstema po8eÍvel e IndeteÍminado)(sistêma impossÍv€l)
2? exemplo: Determinar k, de modo que o sistema
lkx+2y - z=0{x-3v+z=0lx+ú =2 admita soluçâo única.
Rêsolução: O sistema admite soluçâo única, quando é possível e determinado, isto êdetA + 0.
lk 2 1lA=11 -3 l l=detA.o t
11 0 2l -6k 5/0_6k r 5k' -+
Resposta: kt -Ê
39 gx€mploi Determinaí m, de modo que o sistema
x Y =2x+mY+z=0
-x+ y-z=4 seia incompatível .
Resoluçáo:
| 1 -1 0lA=l 1 m 1l=dêtA= m 1
l-1 1 -11
12 -1 0lA, =10 m 1l=detA' = 2m-6
14 1 -11
1 2 0l' I 0 1l=dotAz= -+
-1 4 ,11
| 1 -1 2lA3=l 1 m 0l=detA3=6m+6
l-1 1 4l
Fazendo: det A =O+-m-1=0
det A1 =0+ 2m 6=0m= 3
detAg=0- 6m +6=0
l%íam= l teremos:x = - 4
- t- ( impossivel). y =
õ ( impossível) e
z = * (indetêrminado).
Respogíaj Sl 3m=-1.
ffiffiffi$i
EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM
I Classifique e resol!" os sisremas: 7 Determine a e b para que o sistema
le"+^y=tzt4x + 4y = b sejaindet€Íminâdo.
I Qual o valor de p para que o sisrema
[n, r , , = +I x + py + z = 0 admiraumasoluçãolinical
[* -Y=z9 Determine o valor de k para que o sjsÌema
(u q-r\4x 22 = 2 seia indeterminado.(2Y-:*=: t
l0 Determineosvalores ileme k, de modo quese,ja compativel e inde(erminado o sistema:
( "+zy m"= - t
\3x y+z=4
l-bt+4y-22=kll (Fuvest-SP) Para qüais valores de a o sistema
{" * y * '
= tìinear l2x + 3y + 42 = a^ admiresolução?
I t zz=a'| 2 Para que valores d€ k o sisrema
I x+y +zz= r\3x - y + 22 = 3( r+kz= z
é compatível e determinado?
. (x*,=ta ' i : " iy = -r
. . íx + v = :o) lz* + 'zy = I
2 Discuta os sistemas:
a1 [ ,n +y=z
. (N+zr=s"r i*+y=4
blfkx+y=1tx + Y:2
3 (Faap-SP) Discuta o sistema
[zr , - ty=t ,1t x+kY=1-k
4 Determine k para que o sist€ma iídicado sejadeterminado:
[ r+y=s{3x 2y=k
tx+ky=55 Calcule â pam que o sistema
la-r- 2y+u=t[ -2\ + ay - 2a = I seja determinado(Sugeçrào: tÍanspone os termos que nào pos.suem ìncógnitas paÉ o 2: membro.)
ó Calcule os \,ãlores de a pala que o sistema
í3x+2v=l
Iax - +i, O sejacompatrlqeoeleÍÌnrnado
t
. Comojá vimos, um sistema linear homogêneo é formado porequaçõês cujos termos in-dêpendentes são todos nulos, isto é:
a1jx1 + Afx2 +. . , + ahxn =0
anxl + Au:X2 + ... + a2nxn = 0
An1\ + ad2x2 + . . . + annxn
. Todo sislema lineal homogêneo é sompre possível, pois admite a solução (0, O, . . ., O),chamada solução trlvial.
166
DISCUSSAO DE UM SISTEMA DE EQUACÕESLINEARES HOMOGENEAS
det A1 = 0,detA2 = 0, . ,detA. = 0.
Fortanlo, para adiscussáo de um sistema linear hoíhogêneo é suficienÌe o estudo do de.têrminante dos coêÍicientes das incógnitas.
Í - "*y-r=o -- !
Exêmplo: Calcular o valor de m paía que o sistemâ I x - y + mz = O tenha somente
a soruçâo triviar. lx + Y -z = o
Feso/ução. Paraquêo sistema tenha somente a soluçâotriviâ|, isto ê, sêia determinado, é ne-cessário quê det A . 0.
ffiffi,18ffi
Ím(R m*11
EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM \,',Iü\
/Ì\Iassifique quanroao número de.oluçóe'. o,' seguintes sistemas homogêneos:
. í:,, r*, = oar l -àx ' +ãx,=o
(x+y+u=ob){x y-32=0
. lx + 4Y = 0
VCalcule o r.alor de a oara oue o sistema
^' Iax+v:0
l* - í =-o renhâ soluçõe1 di lèrentes dâ
triüaÌ.
t{oet.rrnin.rn para que o sisrema
I t
l2x-y+32=0lx + 4y - 52:0(3x + my + 22 = 0
tenha soluções pÍóprias.
Obsgrve que para um sistema homogêneo teromos sempre
1 1 -111 1 ml=detn=2m-270I 1 1) 2m-2-m,1
\fl:alcule o valor de a para que o sisrema
/ lax + y + 2 = 0' \2*-y +z-a=0
{.ar -r a,/ 5 - 0 .era impo\.í\e..
ÁGuvest-SP) Seja M a matriz alos coeficientes do
f ' , , + a* x,+2\=olxr + xr+ 2rr+ Àa=0) x1 +2\2+ xr+ &=0(2xr + xr+ xr+ &=0
a) Calcule o determinante de M.b) Prcve que o sistema admite uma única so-
Ìução.
'!167
Vejamos alguns exemplos:
(nx - sv= 219 gxemDlo: Resolver o sìstema I ;:: ;L--- ' - - tzx + 4Y = 10
Reaoluçâo: Dividindo-se â 29 equaçáo por 2 e trccandca de posição com a 1f equação parafazer o coeficiente de x igual a 1, vem:I .)x+zY=5t4x-3y= -2
Para eliminaí a incógnita x, multiplica-se a 19 equação por (-4) e soma-se c$ma 2i equação:
lx + zy = s| -11y = -22
Da 2? equaçãq vem:11y = -22-y =2
Substituindo y = 2 na 29 êquaçãq temos:x+4=53x=1
Observâção:Fodomos resolver este sislema utilizando somente os coeÍicientes, isto é, a mâ-triz completa associada ao sistema da sêgulnle forma:
I't z 5l f914 -3 -2-
I'r z sll0 11 221
Da 2? equaçáo, vêm:11y=-22)y=2
Substituindo na 1i equaçáq temos:x+2Y=5-x+4=5
FesposÍaj S = [(1,2)]
Íx+2y+42=529 ex€m9fo: Resolver o sistema l2x - y+22=8
(3x 3Y - z=7
Resolução: O coeÍiciente da primeira incógnitâ x é aÍ = 1.
. Ìúulliplicando a primeira equaçáq respectivamente, por (- 2) e por (- 3), e soman-do, respectivamonte, com â 29 e 39 equações, oblemos o sislema equivalente:
5
-8
lx+zy+ tz={ -5y- 62 =
[ -w-tsz =
169
ESCALONAMENTORESOLUCÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR
â) Sistema escálonado
Um sislêma linear é dito escalonado quando eslá disposto nâs seguintes formas:
I
. Observeq-ue na pÍimêirâ equação aparecem todâs as incógnitas, na 2? desapaÍece a in-cógnita x, na 39 desaparecê a incógnita y, e assim sucessivamãnte.
b) Método do €scalonamento
, . O procêsso de resolução de um sistema linear que envolve â eliminação de incógnitasè denominado método do oscalonemênto
Este método procuíâ transformaro sistemadadoem sistemas equivalentes ítêm a mes"ma solução), ate chegar a um sistema êscalonado, usando as sêguintes propriedades:
. Trocar as posiçôes de duas equações.
. Trocaí as incógnitas de posição
. Dividir uma das equações por um númeío real diÍerente de zêro
. Í\4ultiplicar uma êquação por um número rêalê adicionaro resultado a outraequaoáo
. Aplicação do método
Sejâ o sistema
lx+3y=4 lx+2y-z=2(0x+ y=1 e í0x.r5y+z=1
tox +0y z=7 t
411X1 + ãpx2axxl + 422x2
::
+ 413x3 +* azsx: +
-f a.3x3 +
. . . t â1nxn = b1
.. . +az.xn= b2
.. . + amnxn = Dm
Parâ transÍormá.lo num sistema escalonadq devemos prccedêr da seguinte forma:
. Tornar o coeficiênte aÍ igual â 1.
. Tornar iguais a zero os coeficientes de x1 nas êquaçóes Localizadas abaixo da 1?.
. Fazer, se houvêr necessidâde, o coeficiênte de x2 na 2a equação igual a 1.
. Tornar iguâis a zero os coeficientês de x2 nas êquaçóes localizâdas abaixo da 2: ê as-sim sucessÍvamentê. aÌé obtêr um sistema equivalentê na forma escalonada-
. Da última.equaçáo, âchâ.se ovalordâ incógnitaxn, quêsubstituído na penúltimaequa_ção permile encontíaí xn 1, e assim por diante com os valores de x3, ;2 e xj.
168
rr
i*'iti'.gi:,Ì:r l
L
x+2y+42=5
" , 9, = Z-gy- l3z= 8
. Multiplicandose a 29 êquâçâo por(9) e somando-èe com a 3a equaçâq vem:
. Dividindo-se a 29 equação por -5, vem:
lx + 2y + 42 = 5) , , -6.-2
í ^ 11 _ 22
Da 3? equação, vem:
Ëz= -È -z=2
Substituindo na 2i equaçâo, temos:
v+9 =? =v= z
Substituindo na 1? equaçãq obtemos:x-4+8=5+x = 1
s = t0, -2, 2Ì
_r
I rz45ll0 -5 6 2l :[0 -s -13 8l
l r r4slor9Zlc5l0 I -13 ,8
I t z 4 5llor9?lI c c ll " "
11 22 1I c c l
Resposta:
170
Dâ 3: equaçâq temos:
- !z= 4 -z=zSubstituindo-se na 29 equação. vem:. . 12 2 ^
Dâ 1i equaçáq lemos:x-4+8=5=x=1
Utilizando a matriz completa, podemos simplificar ã resoluçâo
l . z 45112 -1 28113 3 - l 7 l
o
ls
( at bt c=39 sx€mplo: Rêsolveí o sistêma 1 3a - b + 2c =
l2a-2b+ c=
Resolução: Utilìzando a matrìz complêta, têmos:
14.-3
1, l oÉà14l-- ì- Í
-31+
t
Da 3i equaçãq temosl0a + 0b + 0c = -5 (impossível)
Reêposta: S = A)
( x+2v -z=q4: exempfo: i Íesotvero srsrema L3X _ y-z=S
Resolução: Obsêrve que o número de incógnitas (três) é maioí do que o número de equações(duas).
Utilizândo a matriz complêtâ, têmos:
l r 2 -1 4l ! -3 '13- i i5 l " -
l ' t "141l0 7 4 7l
O sistema equivalente é:
lx+\-z=aI 7y+42: 7
Note que o sistema é indeterminadq porém, fazêndo z = a, obtemos a soluçãogeral:
. Da 2l equação
-7y + 4a = -z - v = a^ï 7
l1 1 113 -1 2L2 -2 1
11 1 1l0 -4 1[041
11 1 1l0 4 1l0 0 0
12 | ,^.-221 \- 't)
X+
? equâção
,Wl-a=+-x=14ía
$. '+'41Fesposta. S =
171
r
í l t -gv* r=g59 ex€mpfo: Resolvor o sistema l3x + y + 42 = -1
[5x-ry+32=2Rosoluçáo: Ìocando a 3? coluna de posiçâo com â 1:, temos:
z-3y+4x=342+ yl-3x= 13z-2y+5x=2
Utilizando a matíiz completa, lemos:
[ r -ar 3 l ìG14 13 - lJ--- : - Ì13 2s 2l-Í t -s 4 3llo rs -rs r3l , r )l0 7 -7 -71
lr s 4 3l ,.---l0 1 1 -11 i - 7,107771
il + sistema indererminado
!f
Fazêndcse x = À,vem:. Da 2i equação
y-I= -1 -y=À- 1. Da 1: equação
z 3(À-1)+4ì=3+z= - lResposla. S= i0, ì - 1, - \ ) l
6? gxgmplo: Qual o valor de m parâ que o sislema a seguir tenhâ solução única?
fmx + 3y = tzt4x- y=10
Resolução: Opeíando com a matrÍz completa,lemos:
[m o rzl*1[ 4 ,1 101+
l1 -3 4l0 1 -1[000
I r - r ro l@lm 3 121
l . 1 5l -ml ' -T z l[m 3 12t
- i
mrfZ
Da 2: equaçáo, vem:lm+12 I 24 5ml-^ tt = --------
Obsêívândo esta equação, verificâmosque o sistema será possívele delermina-ÃL1t
dose ; - -0, istoé.m
/ 12.
Resposta: m I -12
172
5
24-5m
r -
EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM
I Resolva os sistemâs:
at lax-2y=8Ix+5y=-9
. - í :x+lv=lD'{ :x + zy = 2
2 Resoba os sistemas:
a+4b+3c=la-3b-2x.=5
2a+5b+4c:4
3 Resolm o sistema:
í x+y+ z+ t=2I x-y-22-3t= 5\2x+y-31'+ t= -9l3x-y- z+ t= -6
4 Àche o !ãlor de y Íro sistema:(*++y- z=rl4x+5y+22=12Ix 2y+32=8
5 DeteÍmine o conjunto solução dos sistemas:
atí zx+ y+ z=5 b) i :** y=3l-2x+ y+ z-L l5x+3y=1(2x+5Y+52=17 [x-aY=7
EXERCíC|OS DE F|XAçÃO
233 Ache m, de modo que ( - l, 2, - 3) seja solu-çâodâequaçãolinear2a - 4b + mc : 0.
234Resolm os sistemas:
235 Resoll"4 utilizando a regra de Cramer:
. , [ x + 2y=t- ' t l3x+Xy=9
üí z*-r-q( -ax+6y= -8
\y'
ó Discuta os srstemas;
a) [x+3y=ab)[ x+ y+ z=0(2x+by=4 I "-
y+mz=2
tmx+2y+ z=l
7 Detemine k, parâ que o sistemâ
I4x+Ln:14Ì|g + 9i :2l seja Indetenrunado l
8 Calcule os valoÍes de k e m, de modo que o s$-í , . - . .
tema linear | Ï - 'v :
' seiaimpossivel.(a- Y:
9 Determine m, de modo que o sistema a segurse.,a determinado
Í 3x- y+mz=r
I x+ y+42=0[ -2x +4y z=3
lO Ache o llalor de k paÌa qu. o .irt"."
x- y z=Ox- 2y -22 =0 adrnitasoluF€spóprias.
2x+ky+ z=0
23ó Calcule o valor de t no sistema:
Ix + y + z + t : ol2x-y+t=lly+z-2r:o
l4y+32=7237 Resolva o sistema:
[* *ru*y.sena: -senatx (-sena) + y.cosa = cosa
23E (Fuvest-SP) Ache ÍrL de modo que o sistema
f "o" t +.."o":0 na incógnitâ x
[cosx- mseux: I teúa solução
b)5xr4y-22=Ox+8y-22=O
2.,{+ y- z=O
a\[2,- y = rsb) [x +y+22: -rlx+3y=25 l4x+y+42: -2'
[2x y+22=-4
ll Para que valores reais dep e q o seguinte siste-ma não admite soluçãol
(3x+py+az:ol-x + y+32: 5{2x-3y+ z:q
2a-3b+c=23a+2Ì=o
b-c+d= -4
r
173
239 nesolvâ as equaçòes:
" , / r r ì / - ì / r ì*, ( r _r / (y/ \5/o,(? t ì í , ì = í r ì
\ r r / \y/ \ / /
240 Ounesp) Derermineum vatordep que tomeincompatíveÌ o seguinte sistema:
(*+zy-s"- tl2x 6y+pz=9( ix ay z=p
241 Calcule o valor de a, para que o sistema
f,, * y = r seja compativel et3x + 3Y = a + I d€termjnado.
242 GEI,SP) Derermine a€ b paÍa que o sisrema
f1a t l r+(â+b)y=a{ta' u':rr + {a2 + b1y = badmita uma úniôâ solução.
243 Discuta o sist€ma:
f rx+r 3z= loÍx + y + z = ó(4x+y+pz=q
244 Calcule os ralores de a para que o sist€ma(_"," ,=_,
l* :" - r -a
reìa compaÌ ivele
lüt- 2y + 42 = 5 determirÌado.
í**unr=t245 oaao o s isterna lx +;4J+z=a,
l2x.+2y+(3-a\z=b,calculeos valores dea e b, paú que estesiste-ma seja compativ€l e indeterminado.
24ó Calcule o vaÌor de \ para que o sistema
[x+y v=o{x + Ày z = 0{x + ô + l )y + z = 0âdmita soluções (\ y, z) distintas de (0, 0, 0).
247 Determine os valores de a pâra que o sistema
f ** ' " y = o(x+y 2cosa=0nas incógnitas x e y tenha sotuções diferenrcsda rriviâ1.
248 Calcule o valor de ). para que a equação ma,
/À a s -a\ /x\ /o\Ì r ic iar | - t
^ 0 l ly l= l0 l
I 0 t I l lz l l0 lseia indeterminada.
174
249 Ache o conjunto solução do sisrema abaixo,por escalonam€nio.
íx+zy+ ,=tl3x+ y- 1rz = -2l2x+3y - z=l
250 Resolva, por escalonamento, o sistema:
l2a+3b+4c=sia+ b+ c=2[4a-5b+2c=3
251 Resolva o sistema: .Ìl tx+y z= z| 7x 2z=1
| 5y+32= -1
252 Resolva o sistema por escâlonamento:
fzx+:y++z=e1" y+22=2
\\+1y+22=7253 P.esolva, por escalonâmenro, o sistema:
Í
--")x+y-z+r=0x-y+z-t=2x+y+z-t= 4x-y z- Ì= 4
254 Discura, por escalonamertq o sistema:
fzr+my=:{mx 8y = 0
255 Determine m, para que o sisrema
í+r+rm-2tr=oi r. ' rx iri i0 (eÌâ rmpo'trver'
25ó Calculem ep, deformaqueosistemaseguÌn-te seja impossível.
13\+2y=4Íí ,+4(6x (p+2)y=l
257 Calculemep, deformaqueo sistemasegüin-te seja ind€terminado.
fo" + 1- - 1y = l{9x-2y=p+l
258 Ache o valor de a para que o sistema
l i i r ï . ' i _ l tenhama;sdeuma
lzr+:y+lz=a soruçao'
259 Calcule X, de modo que o sistema a seguir se-ja impossível.(x+3y+42=t
I v+\ '=z| 2x+22=3
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