Capítulo 4
Convecção Natural
Leitura e Exercícios (Incropera & DeWitt)
6ª Edição Seções: 9.1 a 9.9 Exercícios: Cap. 9 –6, 9, 13, 18, 25, 27, 30, 36, 45, 58, 75, 88, 91, 94, 105, 110 5ª Edição Seções: 9.1 a 9.9 Exercícios: Cap. 9 – 6, 9, 13, 18, 25, 27, 30, 36, 45, 58, 75, 88, 92, 94, 105, 110
4.1. Definições
Convecção natural ou livre:
Modo de transferência de calor por convecção em que o movimento do fluido é resultante da própria transferência de calor
Em um fluido submetido a um gradiente de temperatura, existirão gradientes de massa específica resultantes que, na presença de uma força de
campo (ex. gravitacional), poderão resultar em um movimento macroscópico do fluido
thermal plume
Diferença de temperatura (Ts – T∝)
Convecção de calor Força de corpo
(empuxo) (ρs – ρ∝)
Movimento do fluido (camada-limite)
Mecanismo básico
4.1. Definições
0T<
∂
ρ∂(fluidos)
instabilidade?
Importância da convecção natural
1. Valores de h são mais baixos (menores velocidades): Em associações de resistências em série, pode ser a resistência térmica dominante. 2. Como não há custo em se bombear o fluido, a convecção natural é sempre uma alternativa barata de transferência de calor (ex. condensador arame-tubo)
4.1. Definições
q”
x
T
T∝
T1
T2 T3
T∝ T1 T2 T3
q”
R1 R2 R3
Condição de Estabilidade
4.2. Considerações Físicas
Caso (a) ∇ρ negativo no mesmo sentido da aceleração da
gravidade (pode gerar instabilidade e convecção)
Caso (b) ∇ρ negativo no sentido oposto ao da aceleração da
gravidade (estável: condução apenas)
Tipos de escoamentos: não-confinados
4.2. Considerações Físicas
Pluma térmica Jato livre
Tipos de escoamentos: camada-limite
4.2. Considerações Físicas
Tipos de escoamentos: confinados
4.2. Considerações Físicas
Cavidade fechada Canal
Considere o escoamento na camada-limite:
4.3. Equações da Convecção Natural
Hipóteses: • escoamento laminar • regime permanente • geometria bidimensional • força de corpo devida à gravidade • propriedades físicas constantes (a menos da variação de ρ no termo de empuxo)
forças atuando num elemento de fluido
Equações de camada-limite
4.3. Equações da Convecção Natural
Equação do movimento (dir. x): ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂ν+−
∂
∂
ρ−=
∂
∂+
∂
∂2
2
2
2
yu
xug
xp1
yuv
xuu
2
2
yu
∂
∂<<
Equação do movimento (dir. y): ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂ν+
∂
∂
ρ−=
∂
∂+
∂
∂2
2
2
2
yv
xv
yp1
yvv
xvu
(c.l.)
yu∂
∂<< uv <<
2
2
yu
∂
∂<< 2
2
yu
∂
∂<<
Equação da continuidade: 0yv
xu
=∂
∂+
∂
∂
Equações de camada-limite
4.3. Equações da Convecção Natural
Assim:
A eq. do movimento (dir. x) fica:
Como: 0~yp∂
∂∴ g
dxdp
xp
∞ρ−==∂
∂ (só componente hidrostático: região externa está em repouso)
( )ρ
ρ−ρ=−
ρ
ρ=−
∂
∂
ρ− ∞∞ gggg
xp1
ρ
ρΔ= g
2
2
yug
yuv
xuu
∂
∂ν+
ρ
ρΔ=
∂
∂+
∂
∂
inércia empuxo
(motriz)
viscosa
(dissipativa)
O coeficiente de expansão volumétrica térmica
4.3. Equações da Convecção Natural
Se o Δρ for devido a uma variação de temperatura (convecção natural), podemos expressá-lo em função de uma propriedade termodinâmica:
pp T1
TV
V1
∂
ρ∂
ρ−=
∂
∂≡β [K-1]
Aproximação de Boussinesq
4.3. Equações da Convecção Natural
É uma linearização da dependência de ρ em função de T
TT1
−
ρ−ρ
ρ−≈β
∞
∞
)TT( ∞∞ −ρβ≈ρ−ρ
Valores de β [K-1] (líquidos a ~ 25oC e 1 atm) mercúrio: 1,81 x 10-4 água: 2,47 x 10-4
metanol: 12,0 x 10-4
óleo de máquina: 7,0 x 10-4
Gases ideais:
T1
=β
Equações da camada-limite laminar
4.3. Equações da Convecção Natural
( ) 2
2
yuTTg
yuv
xuu
∂
∂ν+−β=
∂
∂+
∂
∂∞
2
2
yT
yTv
xTu
∂
∂α=
∂
∂+
∂
∂
0yv
xu
=∂
∂+
∂
∂
A equação da quantidade de movimento e da energia são acopladas pelo termo de empuxo
inércia empuxo
(motriz)
viscosa
(dissipativa)
4.4. Análise de Ordens de Grandeza Na região da camada-limite
BVI F~F~F
LuF2ref
I∞ρ∝ 2
refV
uFδ
µ∝
( )gF sB ρ−ρ∝ ∞
Objetivo: calcular uref (velocidade característica na camada-limite)
**F’s : forças por unidade de volume
4.4. Análise de Ordens de Grandeza Fazendo:
IB F~F
( )Lu~g2ref
S∞
∞
ρρ−ρ
tem-se
( ) 21
gL~u sref ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
ρ
ρ−ρ
∞
∞
4.4. Análise de Ordens de Grandeza Fazendo:
VI F~F
2ref
2ref u~Lu
δ
ν
temos
21
Lu~
L ref⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ νδ
"Re"1
L (mesmo resultado da convecção forçada)
4.4. Análise de Ordens de Grandeza Combinando os dois resultados:
Introduzindo a hipótese de Boussinesq:
( )
41
3s
2
gL1~
L ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ρρ−
νδ
∞
)TT( −ρβ≈ρ−ρ ∞∞
( )
41
3s
2
gLTTg~
L ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−β
νδ
∞
41
LGr~L
−δ
(crescimento da camada-limite laminar)
4.5. Forma Adimensional e Similaridade
Número de Grashof
GrL =gβ Ts −T∞( )L3
ν2
Forças de empuxo Forças viscosas
4.5. Forma Adimensional e Similaridade
Lxx* =
Considere a adimensionalização pelas seguintes escalas:
Lyy* =
∞
∞
−
−=
TTTTT
s
*
ref
*
uuu =
ref
*
uvv =
( ) ( )[ ]2121
LTTggLu sS
ref ∞∞
∞ −β=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ρ
ρ−ρ=
4.5. Análise de Ordens de Grandeza Substituindo uref na equação do movimento:
2*
*2
2/1L
**
**
*
**
yu
Gr1T
yuv
xuu
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂
E a equação da energia fica:
2*
*2
2/1L
*
**
*
**
yT
PrGr1
yTv
xTu
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
( ) ( )[ ]2121
LTTggLu sS
ref ∞∞
∞ −β=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ρ
ρ−ρ=
Temos:
GrL desempenha na convecção natural o mesmo papel que ReL desemepnha
na convecção forçada
Na presença de corrente livre com u∞ não-nulo
∞
=uuu*
∞
=uvv*
2*
*2
L
*2L
L*
**
*
**
yu
Re1T
ReGr
yuv
xuu
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂
2*
*2
L*
**
*
**
yT
PrRe1
yTv
xTu
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
( )2
3s
LLTTgGr
ν
−β= ∞
ν= ∞LuReL
4.6. Convecção Mista
4.6. Convecção Mista
A análise funcional da solução do sistema de EDPs fornece:
( )Pr,Gr,RefkLhNu LLL == para uma dada
geometria
Regimes de convecção
Efeitos de inércia prevalecem e a convecção natural pode ser desprezada
1ReGr
2L
L <<Se
( )Pr,RefkLhNu LL ==
Efeitos de empuxo prevalecem e os efeitos de convecção forçada são pequenos
1ReGr
2L
L >>Se
( )Pr,GrfkLhNu LL ==
Convecção mista 1ReGr
2L
L ≈Se
( )Pr,Gr,RefkLhNu LLL ==
4.6. Convecção Mista
4.7. Solução da Camada-Limite Laminar A solução por similaridade foi proposta por Ostrach (1953)
(para meio em repouso)
onde, da análise de escalas, temos:
( )ηφ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛δ
φ= 21ref
yuu
41
xGrx)x( ∝δ
(perfis similares)
Combinando com o conceito de função corrente, Ostrach transformou o sistema de EDP’s em EDO’s, que podem ser integradas
numericamente para determinar os perfis de u e T
4.7. Solução da Camada-Limite Laminar Perfis de velocidade e de temperatura
Note que o campo de velocidades também é influenciado por Pr
4.8. Coeficiente de Transferência de Calor Derivando o perfil de temperaturas na parede
0yyTkq
=∂
∂−=ʹ′ʹ′onde:
Substituindo o perfil de temperaturas:
(Pr)g4Gr
ddT
4Gr
khxNu
41
41
x
0
*x
x ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=η
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−===η
( ) 4/12/1
2/1
Pr238,1Pr221,1609,0Pr75,0(Pr)g++
=onde ∞≤≤ Pr0
)TT(q
kx
kxhNu
s
xx
∞−
ʹ′ʹ′==
4.8. Coeficiente de Transferência de Calor Coeficiente de transferência de calor médio
∫∫ ==L
0 x
L
0dxNu
xk
L1hdx
L1h
Substituindo:
(Pr)g4Gr
Lk
34h
41
L ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
os resultados dessa seção são para escoamentos laminares com Ts maior ou menor que T∝
ou:
LL Nu34Nu =
4.9. Efeitos da Turbulência na C. Natural Instabilidade térmica origina o escoamento
Instabilidade hidrodinâmica origina a turbulência no escoamento
Transição laminar-turbulento:
9c,x 10Ra ≈
onde Rax,c é o número de Rayleigh crítico
( )να
−β=≈ ∞
3s
c,xc,xxTTgPrGrRa
Forma geral:
nLL CRaNu =
4.10. Placa Vertical Isotérmica
Churchill e Chu (1975)
Propriedades avaliadas na Tfilme
Válida para toda a faixa de RaL
2
27/816/9
6/1L
L]Pr)492,0(1[
Ra387,0825,0Nu⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++=
4.11. Placa Vertical com fluxo constante
Para q” constante, Ts - T∝ aumenta em função de x. Se:
4/1xx RaNu ∝
4/34/1 xTTkxq
Δ∝Δ
ʹ′ʹ′
Assim:
5/1xT∝Δ
4.11. Placa Vertical com fluxo constante
Para q” constante, as correlações para Ts constante podem ser usadas desde que:
LNu LRae
sejam definidos com base em:
∞−=Δ T)2/L(TT s2/L
o coeficiente de convecção médio é, então:
2/LTqh
Δ
ʹ′ʹ′=
e o cálculo é iterativo.
4.12. Placas Inclinadas
Redução da componente da força de empuxo na direção paralela à placa
Redução da velocidade do fluido ao longo da placa (fato)
Não necessariamente significa uma redução na transferência de calor
(por quê?)
4.12. Placas Inclinadas
Influência da orientação
Superior: aumento Inferior: redução
Superior: redução Inferior: aumento
Redução: componente de g em x é reduzida a gcosθ Aumento: empuxo facilita o deslocamento de fluido para longe da superfície
(3D, plumas)
4.13. Placas Inclinadas
Recomendação
Para convecção a partir de superfícies onde há redução
da transferência de calor, recomenda-se substituir
g por gcosθ
na correlação para placa
vertical se
0 < θ < 60o
4.13. Placas Horizontais
(a) e (d): 4/1LL Ra27,0Nu =
(b) e (c): 4/1LL Ra54,0Nu =
3/1LL Ra15,0Nu =
(105 < RaL < 1010)
(104 < RaL < 107)
(107 < RaL < 1011)
PAL s= área placa
perímetro
Fluido a T∝>Ts
Fluido a T∝>Ts
Fluido a T∝<Ts
Fluido a T∝<Ts
4.14. Cilindro Vertical
Pode ser tratado como uma placa vertical quando:
4/1LGr35
LD≥
correção de Cebeci
4.15. Cilindro Horizontal Longo
Variação do número de Nusselt local
0=θ
π=θ
Nuθ
0 π/2 π
(comportamento no regime laminar)
(no cilindro resfriado a curva é invertida) D é o comprimento característico
Churchill e Chu (1975)
Propriedades avaliadas na Tfilme
Válida para RaD < 1012
2
27/816/9
6/1D
D]Pr)559,0(1[
Ra387,060,0Nu⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++=
4.15. Cilindro Horizontal Longo
Churchill
Propriedades avaliadas na Tfilme
Válida para RaD < 1011
9/416/9
4/1D
D]Pr)469,0(1[
Ra589,02Nu+
+=
4.16. Esfera
4.17. Canais de Placas Paralelas
A princípio, condições de contorno diferentes podem ser aplicadas em (1) e (2), ou seja, T constante ou q” constante Pequenos L/S: desenvolvimento da c.l. é independente para cada placa Grandes L/S: encontro das c.l.’s forma uma condição desenvolvida Se θ ≠ 0: Escoamento é 3D
4.17. Canais de Placas Paralelas
Placas verticais aquecidas simetricamente e isotérmicas (Elenbaas)
( )
4/3
S
sS
L/SRa35exp1
LS
24RaNu
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
(Ar atmosférico, 10-1 < (S/L)RaS < 105)
onde: kS
TTA/qNu
s
S ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
∞
( )αν
−β= ∞
3s
SSTTgRa
(A é a área de uma placa)
Note que para S/L→0:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛→LS
24RaNu s
S
(limite plenamente desenvolvido)
4.17. Canais de Placas Paralelas
Placas verticais aquecidas (Bar-Cohen e Rohsenow)
( ) ( )
2/1
2/1s
22
s
1S
L/SRaC
L/SRaCNu
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
Temperatura constante
kS
TTA/qNu
s
S ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
∞
( )αν
−β= ∞
3s
SSTTgRa
(A é a área de uma placa)
(qualquer S/L)
(C1 e C2 são constantes que dependem da condição de contorno nas placas adjacentes)
4.17. Canais de Placas Paralelas
Placas verticais aquecidas (Bar-Cohen e Rohsenow)
( )
2/1
5/2*s
2*s
1L,S
L/SRaC
L/SRaCNu
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=
Fluxo de calor constante
kS
TTqNuL,s
L,S ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
ʹ′ʹ′=
∞ αν
ʹ′ʹ′β=kSqgRa4
*S
(o sub-índice L se refere a condições em x = L, onde a temperatura da placa assume o valor máximo)
(qualquer S/L)
(C1 e C2 são constantes que dependem da condição de contorno nas placas adjacentes)
4.17. Canais de Placas Paralelas
Placas verticais aquecidas (Bar-Cohen e Rohsenow)
Constantes para as duas situações
Soti é o espaçamento que maximiza a transferência de calor no conjunto, fornecendo o máximo para o produto entre o h médio e a área superficial das placas
Smax é o espaçamento que maximiza a transferência de calor em cada placa individualmente, o qual deve ser alto para evitar interferência entre as c.l.’s
4.18. Cavidades Retangulares
τ = 0o: Cavidade horizontal com aquecimento inferior (instável). τ = 90o: Cavidade vertical com aquecimento lateral (instável). τ = 180o: Cavidade horizontal com aquecimento superior (estável).
( )21 TThq −=ʹ′ʹ′
4.18. Cavidades Retangulares
Limite de estabilidade dado por:
( ) 1708LTTgRa3
21L >
αν
−β=
Horizontal com aquecimento inferior
empuxo vence a resistência viscosa
074,03/1LL PrRa069,0
kLhNu ==
(3 x 105 < RaL < 7 x 109)
propriedades avaliadas na temperatura média
O-R mixture
4.18. Cavidades Retangulares
Horizontal com aquecimento superior
1kLhNuL ==
(condução de calor somente)
4.18. Cavidades Retangulares
Vertical com aquecimento lateral
3,0012,04/1
LLLHPrRa42,0
kLhNu
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==
3/1LL Ra46,0
kLhNu ==
4.18. Cavidades Retangulares
Condutividade térmica efetiva
( ) ( )LTTANukTTAhq 21
L21−
=−=
Leff Nukk =
4.19. Outras Geometrias ex. coletores solares
Correlações disponíveis em Incropera et al. (2007)
4.20. Convecção Mista
1ReGr
2L
L ≈
nL
nF
n NuNuNu ±= (n~3)
(+: escoamentos paralelos e transversais) (-: escoamentos opostos)
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