Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP
Ficha de identificação de Unidade Curricular
1
Álgebra Linear e Geometria Analítica I
Álgebra Linear e Geometria Analítica II
Análise Real I
Análise Real II
Geometria
Introdução às Aplicações da Matemática
Laboratório de Matemática
Tópicos de Matemática Elementar
Algoritmos em Matemática Discreta
Análise Complexa
Análise Numérica
Análise Real III
Equações Diferenciais
Estatística Aplicada
História da Matemática
Probabilidades e Estatística
Teoria de Anéis e Aplicações
Teoria de Grupos
Álgebra Aplicada
Análise e Processamento Digital de Sinal
Análise Linear
Complementos de Geometria
Controlo Automático
Equações às Derivadas Parciais e Análise de Fourier
Geometria Diferencial
Introdução à Topologia
Lógica e Fundamentos
Matemática Computacional
Matemática Discreta
Modelos Matemáticos nas Ciências
Otimização e Aplicações
Projeto Multidisciplinar
Simulação e Processos Estocásticos
Teoria dos Números e Aplicações
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
2
Nome da UC:
Álgebra Linear e Geometria Analítica I
Nome da UC (inglês): Linear Algebra and Analytic Geometry I
ECTS: 9
Nível (1,2,3…): 1
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 42 TP 42
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Álgebra das matrizes. Sistemas de equações lineares e matrizes;
método de eliminação de Gauss. Determinantes.
Espaços vetoriais (devem ser trabalhados essencialmente exemplos em Rn): subespaços
vetoriais; bases e dimensão; soma direta de subespaços.
Aplicações lineares: núcleo e imagem de uma aplicação linear; representação matricial e
mudança de base.
Espaços Euclidianos reais: produto interno, norma, ângulo entre dois vetores; produto
vetorial em R3; bases ortonormadas; complemento ortogonal, projeção ortogonal.
Programa resumido (inglês): Matrix algebra. Systems of linear equations and matrices;
Gaussian elimination method. Determinants. Vector spaces (the main focus should be put in
Rn): vector subspaces; basis and dimension; direct sum of subspaces. Linear maps: image
and kernel of a linear map; matrix representation and change of basis. Real Euclidean
spaces: dot product, norm, angle between vectors; cross product in R3; orthonormal basis;
orthogonal complement and orthogonal projection.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência:
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3
Nome da UC:
Álgebra Linear e Geometria Analítica II
Nome da UC (inglês): Linear Algebra and Analytic Geometry II
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 1
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Geometria analítica em Rn: espaço afim; k-planos, equações
cartesianas; problemas métricos.
Vetores próprios e valores próprios de um endomorfismo e de uma matriz; endomorfismo e
matriz diagonalizável.
Isometrias lineares e matrizes ortogonais; caracterização geométrica das isometrias
lineares em R2 e R3.
Endomorfismos autoadjuntos e matrizes simétricas; diagonalização de matrizes simétricas;
formas quadráticas e aplicação ao estudo das cónicas e das quádricas.
Programa resumido (inglês):
Analytic geometry in Rn: affine space; k-plane; cartesian equations; metric problems.
Eigenvectors and eigenvalues. Diagonalization. Linear isometries and orthogonal matrices;
geometric characterization in R2 and R3. Self-adjoint endomorphisms and symmetric
matrices; diagonalization of symmetric matrices; quadratic forms and application to the
study of conics and quadrics.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Álgebra Linear e Geometria Analítica I.
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4
Nome da UC:
Análise Real I
Nome da UC (inglês): Real Analysis I
ECTS: 9
Nível (1,2,3…): 1
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 42 TP 42
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Sucessões. Limites. Continuidade de funções reais de variável real.
Teoremas de Bolzano e de Weierstrass. Funções trigonométricas inversas. Derivadas.
Extremos locais. Polinómio de Taylor. Primitivação. Integral de Riemann e as suas
propriedades básicas. Teorema Fundamental do Cálculo. Integrais impróprios.
Programa resumido (inglês): Sequences. Limits. Continuity of real functions of a real
variable. Bolzano and Weierstrass theorems. Inverse trigonometrical functions. Derivatives.
Local extrema. The Taylor polynomial. Anti-derivatives. The Riemann integral and its
basics properties. The fundamental theorem of Calculus. Improper integrals.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência:
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5
Nome da UC:
Análise Real II
Nome da UC (inglês): Real Analysis II
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 1
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Séries numéricas e séries de potências: critérios de convergência.
Sucessões e séries de funções reais de variável real: convergência simples e uniforme;
critérios de convergência; séries de funções contínuas. Cálculo diferencial de funções
vetoriais de variável vetorial. Derivada da função composta e derivada da função inversa.
Máximos e mínimos em abertos. Fórmula de Taylor e classificação de pontos críticos.
Integrais múltiplos: propriedades básicas e métodos de cálculo.
Programa resumido (inglês): Numerical series and power series: convergence criteria.
Sequences and series of real functions of a real variable: pointwise and uniform
convergence; convergence criteria; series of continuous functions. Differential calculus of
vector functions of several variables. Derivative of a composite function, and derivative of
the inverse function. Maxima and minima in open sets. Taylor formula and the
classification of critical points. Multiple integrals: basic properties and methods of
computation.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Análise
Real I
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6
Nome da UC:
Geometria
Nome da UC (inglês): Geometry
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 1
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Referência breve a um conjunto de axiomas (do tipo dos que são
sugeridos por Birkhoff) basilares. Referência às construções com régua e compasso e
estudo de algumas construções iniciais. Noção de congruência e casos de congruência dos
triângulos. Isometrias do plano. Teorema de Tales. Noção de Área. Teorema de Pitágoras.
Teoremas de Ceva, de Menelau e da bissetriz. Pontos notáveis. Casos de semelhança de
triângulos e transformações de semelhança. Construção do quarto proporcional e do meio
proporcional. Lei dos senos e dos cossenos. Homotetias. Reta de Euler. Estudo da
circunferência: arco capaz; potência de um ponto relativamente a uma circunferência. Eixo
radical de duas circunferências. Eventual introdução e estudo do conceito de inversão.
Programa resumido (inglês): Brief reference to a set of axioms (of the type suggested by
Birkhoff). Reference to ruler and compass constructions and study of some initial
constructions. Notion of congruence and the cases of congruence of triangles. Isometries of
the plane. The theorem of Thales. Notion of Area. The Pythagorean theorem. Theorems of
Ceva, Menelaus and the angle bisector theorem. Remarkable points of the triangle. Cases of
similarity of triangles and similarity transformations. Construction of the fourth
proportional and the mean proportional. Law of sines and law of cosines. Homotheties.
Euler straight line. Study of the circumference: the inscribed angle theorem; power of a
point relative to a circumference. Radical axis of two circles. Possible introduction and
study of the concept of inversion.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência:
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7
Nome da UC:
Introdução às Aplicações da Matemática
Nome da UC (inglês): Introduction to Applied Mathematics
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 1
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Aplicação de conceitos matemáticos, nomeadamente os estudados em
outras disciplinas do 1º ano, ao tratamento analítico e numérico de modelos matemáticos
em Física, Biologia, Ecologia, Economia, Medicina e outros ramos do conhecimento.
Possíveis tópicos: Aplicações de redes e fluxos, otimização linear, emparelhamentos em
grafos bipartidos; algoritmo de Edmonds-Karp. Método simplex e algoritmo húngaro.
Aplicações de equações às diferenças em R e equações diferenciais simples. Adaptação de
um modelo a um conjunto de dados e critérios de escolha entre modelos.
Programa resumido (inglês): Applications of mathematical concepts, namely the ones
studied in other first-year courses, to the analytical and numerical treatment of
mathematical models in Physics, Biology, Ecology, Economics, Medicine and other fields
of knowledge. Possible topics: Applications of networks and flows, linear optimization,
matchings in bipartite graphs; Edmonds-Karp algorithm. Simplex method and hungarian
algorithm. Applications of difference equations in R and simple differential equations.
Adapting a model to a data set and criteria for choosing between models.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Análise
Real I.
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8
Nome da UC:
Laboratório de Matemática
Nome da UC (inglês): Mathematical Laboratory
ECTS: 3
Nível (1,2,3…): 1
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T TP P 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Introdução a um programa de manipulação algébrica, como por exemplo o
Maxima: utilização interativa e programação. Utilização desse programa para abordar conceitos
e resultados de Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Análise Real I e Tópicos de Matemática
Elementar envolvendo em particular o desenvolvimento e a análise de algoritmos. Possíveis
tópicos: Construção e análise de algoritmos na resolução de problemas como o cálculo de
m.m.c. e m.d.c. (algoritmo de Euclides). Gráficos e propriedades de funções reais de variável
real. Funções elementares, composição com transformações afins, função inversa, função
derivada e primitivas de uma função dada. Estudo numérico de limites de sucessões e funções.
Determinação de máximos e mínimos de funções. Cálculo aproximado de somas de séries e de
integrais definidos. Estudo e aplicação de métodos iterativos para determinação de raízes de
equações não lineares (aplicação do teorema do valor médio) e estimativa dos erros de
aproximação. Aproximação polinomial de funções. Operações com matrizes, produto escalar
de vetores, normas de vetores. Transformações lineares: imagens de subconjuntos de R2 e R3.
Programa resumido (inglês): Introduction to a program of algebraic manipulation, like for
example Maxima: interactive use and programming. Use of that program to study concepts and
results of Linear Algebra and Analytic Geometry I, Real Analysis I and Topics in Elementary
Mathematics involving in particular the development and analysis of algorithms. Possible
topics: construction and analysis of algorithms to solve problems such as calculating l.c.m and
g.c.d. (Euclidean algorithm). Graphs and properties of real functions of a real variable.
Elementary functions, composition with affine transformations, inverse function, anti-
derivatives and derivatives of a given function. Numerical study of limits of sequences and
functions. Computation of maxima and minima of functions. Approximate computation of sums
of series and definite integrals. Study and application of iterative methods for determining roots
of nonlinear equations (using the mean value theorem), and estimate the errors of
approximation. Polynomial approximation functions. Matrix operations, scalar product of
vectors, vector norms. Linear maps: image of subsets of R2 and R3.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência:
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
9
Nome da UC:
Tópicos de Matemática Elementar
Nome da UC (inglês): Topics in Elementary Mathematics
ECTS: 9
Nível (1,2,3…): 1
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 42 TP 42
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido:
Rudimentos de lógica e identificação do seu uso em demonstrações. Linguagem matemática
e simbolismo matemático básico. Números naturais e indução matemática.
Teoria elementar de conjuntos; relações binárias, relações de equivalência; noções básicas
sobre funções. Noções de cardinalidade de conjuntos infinitos.
Aritmética dos inteiros: divisibilidade; o algoritmo da divisão e o algoritmo de Euclides; o
Teorema Fundamental da Aritmética; congruência módulo um inteiro positivo; teorema de
Fermat e teorema de Euler.
Aritmética dos polinómios com coeficientes em Q, R ou C: divisibilidade; o algoritmo da
divisão; raízes de polinómios; raízes racionais de polinómios com coeficientes inteiros;
critério de Eisenstein; referência ao Teorema Fundamental da Álgebra.
Poderão ainda ser abordados outros tópicos, como por exemplo: representação de números
em diferentes bases; dízimas finitas e infinitas, periódicas e não-periódicas; números reais
algébricos e transcendentes.
Programa resumido (inglês): Rudiments of logic and its use in proofs. Mathematical
language and basic mathematical symbolism. Natural numbers and mathematical induction.
Elementary theory of sets; binary relations and equivalence relations; basic notions on
functions. Notions of cardinality of infinite sets. Integer arithmetic: divisibility; the division
algorithm and the Euclidean algorithm; the Fundamental Theorem of Arithmetic;
congruences module a positive integer; Euler’s and Fermat’s theorem. The arithmetic
of polynomial with rational, real or complex coefficients: divisibility; the division
algorithm; roots of polynomials; rational roots of polynomials with integer
coefficients; Eisenstein's criterion; reference to the Fundamental Theorem of Algebra. Examples of topics that may also be addressed: representing numbers in different bases;
finite and infinite, periodic and non-periodic decimal expansions; real algebraic and
transcendental numbers.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência:
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
10
Nome da UC:
Algoritmos em Matemática Discreta
Nome da UC (inglês): Algorithms in Discrete Mathematics
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 2
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido:
1. Permutações, contagem, ordenação e recursividade: revisão e alargamento de
conhecimentos, numa abordagem mais computacional. Geração de permutações. Inversões:
contagem e geração. Combinações: representação binária, geração de subconjuntos com
número fixo de elementos. Árvores de decisão, algoritmos recursivos e enumeração.
2. Grafos e Algoritmos: representação de grafos; conetividade; “depth-first”; “depth-first” e
componentes fortemente conexas; “breadth-first”; algoritmo de Dijkstra; problemas de
caminho mais curto. Circuitos Eulerianos e ciclos Hamiltonianos, problema do caixeiro-
viajante.
3. Dependendo do tempo disponível, abordar alguns dos seguintes tópicos: Redes e fluxos:
método de Ford-Fulkerson; emparelhamentos e método húngaro. Planaridade e teorema de
Kuratowski. Análise de algoritmos.
Programa resumido (inglês):
1. Permutations, counting, ordering and recursion: revision and knowledge enlargement
from a computational viewpoint. Generation of Permutations. Inversions: counting and
generation. Combinations: binary representations, generations of k-subsets. Decision trees,
recursive algorithms and enumeration.
2. Graphs with algorithms: Representation of graphs; connectivity; depth-first; depth-first
and strongly connected components; breadth-first; Dijkstra's algorithm, shortest path
problems. Euler circuits and hamiltonian cycles, the travelling salesman problem.
3. Time permitting: Networks and flows; Ford-Fulkerson method; pairings and Hungarian
method; planarityand the theorem of Kuratowski. Analysis of algorithms.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência:
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
11
Nome da UC:
Análise Complexa
Nome da UC (inglês): Complex Analysis
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 2
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Operações com números complexos e funções complexas. Topologia
do plano complexo. Limites e continuidade. Funções holomorfas e condições de Cauchy-
Riemann. Séries de potências: raio de convergência; derivabilidade de funções definidas
por séries. Funções analíticas. Funções exponencial, logaritmo e trigonométricas. Integrais
ao longo de caminhos. Homotopia. Fórmula de Cauchy. Teoremas de Liouville, Goursat e
de Morera. Analiticidade das funções holomorfas. Singularidades e funções meromorfas.
Representação de Laurent. Teorema do prolongamento de Riemann. Teorema dos resíduos.
Cálculo de integrais utilizando resíduos.
(Poderão ser tratados como exercícios: teorema de Casorati-Weierstrass, princípio do
argumento e teorema de Rouché)
Programa resumido (inglês): Operations with complex numbers, and complex functions.
Topology of the complex plane. Limits and continuity. Holomorphic functions and Cauchy-
Riemann equations. Power series: radius of convergence, differentiability of functions
defined by series. Analytic functions. Exponential, logarithmic and trigonometric functions.
Integrals over paths. Homotopy. Cauchy formula. Liouville, Goursat and Morera theorems.
Analyticity of holomorphic functions. Singularities and meromorphic functions. Laurent
representation. Riemann extension theorem. Residue theorem. Calculation of integrals
using residues.
(The following theorems can be worked as exercises: Casorati-Weierstrass theorem,
principle of the argument and Rouché theorem)
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I e Análise Real II.
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
12
Nome da UC:
Análise Numérica
Nome da UC (inglês): Numerical Analysis
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 2
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Aritmética do computador e erros numéricos. Representação dos
números e operações aritméticas. Erros e sua propagação. Sistemas de equações lineares.
Sistemas triangulares e método de eliminação de Gauss. Equações não lineares. Ordem de
convergência de uma sucessão. Separação de raízes. Métodos das bisseções sucessivas,
iterativo simples e de Newton. Interpolação polinomial. Métodos de Lagrange e de Newton
em diferenças divididas. Interpolação usando splines. Aproximação polinomial
generalizada de uma tabela de valores no sentido dos mínimos quadrados. Derivação e
integração numéricas. Fórmulas em diferenças finitas para derivadas. Erros de truncatura.
Métodos de Newton-Cotes: fórmulas simples e compostas dos rectângulos, dos trapézios e
de Simpson. Erros de truncatura. Integração numérica de equações diferenciais. Métodos de
Euler, “preditor-corrector”, Taylor e de Runge-Kutta. Erros de truncatura.
Programa resumido (inglês): Computer arithmetic and numerical errors. Representation of
numbers and arithmetic operations. Errors and their propagation. Systems of linear
equations. Triangular systems and Gaussian elimination. Nonlinear equations. Order of
convergence of a sequence. Separation of roots. Successive bissections, simple iterative and
Newton methods. Polynomial interpolation. Methods of Lagrange and Newton in divided
differences. Interpolation with splines. Generalized polynomial approximation of a table of
values in the sense of least squares. Numerical differentiation and integration. Formulas in
finite difference for derivatives. Truncation errors. Methods of Newton-Cotes: simple and
composite of rectangles, trapezoids and the Simpson formulas. Truncation errors.
Numerical integration of differential equations. Euler, "predictor-corrector", Taylor and
Runge-Kutta methods. Truncation errors.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I e Análise Real II.
Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP
Ficha de identificação de Unidade Curricular
13
Nome da UC:
Análise Real III
Nome da UC (inglês): Real Analysis III
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 2
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Curvas parametrizadas em Rn. Velocidade e aceleração. Curvatura e
torção. Teorema da função inversa. Teorema da função implícita. Derivação implícita.
Método dos multiplicadores de Lagrange. Integrais de linha. Campos conservativos e
campos de gradientes. Teorema de Green. Cálculo de áreas recorrendo ao Teorema de
Green. Orientação de uma superfície. Fluxo de um campo de vectores ao longo de uma
superfície. Teoremas de Stokes e de Gauss.
Programa resumido (inglês): Parametrized curves in Rn. Velocity and acceleration.
Curvature and torsion. The inverse function theorem. The implicit function theorem.
Implicit differentiation. The method of Lagrange multipliers. Line integrals. Conservative
fields and fields of gradients. Green's theorem. Calculation of areas using the Green's
theorem. Orientation of a surface. Flow of a vector field along a surface. Theorems of
Stokes and Gauss.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I, Análise Real II e Álgebra Linear
e Geometria Analítica I.
Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP
Ficha de identificação de Unidade Curricular
14
Nome da UC:
Equações Diferenciais
Nome da UC (inglês): Differential Equations
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 2
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem. Equações lineares,
equações separáveis e equações exatas. Aplicações. Sistemas de equações diferenciais
ordinárias de 1ª ordem e problema de valor inicial associado. Demonstração do teorema da
existência e unicidade de solução para um problema de valor inicial. Sistemas lineares
homogéneos com coeficientes constantes. Matriz fundamental de soluções e exponencial da
matriz dos coeficientes do sistema. Diagramas de fase de sistemas 2 x 2 lineares
homogéneos com coeficientes constantes. Pontos de equilíbrio e critérios de estabilidade
para pontos de equilíbrio de sistemas lineares e não lineares. Aplicações. Equações
diferenciais ordinárias lineares de 2ª ordem. Cálculo de uma solução particular de uma
equação diferencial linear não homogénea de 2ª ordem através do método da variação dos
parâmetros. Aplicação das equações de 2ª ordem: vibrações mecânicas. Resolução de
equações diferenciais lineares de 2ª ordem por expansão em série de potências.
Programa resumido (inglês): Ordinary differential equations of 1st order. Linear, separable
and exact equations. Applications. Systems of ordinary differential equations of 1st order
and associated initial value problem. Proof of the theorem of the existence and uniqueness
of solution of an initial value problem. Homogeneous linear systems with constant
coefficients. Fundamental matrix of solutions and exponential of the matrix of the
coefficients of the system. Phase diagrams of 2 x 2 homogeneous linear systems with
constant coefficients. Equilibrium points and stability criteria for equilibrium points of
linear and nonlinear systems. Applications. Linear ordinary differential equations of 2nd
order. Calculation of a particular solution of a nonhomogeneous 2nd order linear
differential equation through the method of variation of constants. Application of 2nd order
equations: mechanical vibrations. Solving 2nd order linear differential equations by power
series expansion.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I, Análise Real II, Álgebra Linear e
Geometria Analítica I.
Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP
Ficha de identificação de Unidade Curricular
15
Nome da UC:
Estatística Aplicada
Nome da UC (inglês): Applied Statistics
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 2
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido:
1. Estatísticas. Centralidade e consistência de estimadores. Estatísticas mais comuns, com
relevo para a média e variância amostrais.
2. Estimação pontual. Método dos momentos. Método da máxima verosimilhança.
Propriedades dos estimadores de máxima verosimilhança. 3. Distribuições conjuntas. Normal bivariada e multinomial. 4. Testes de hipóteses. Erros de tipo I e tipo II, estatística de teste, potência do teste. Testes
paramétricos no contexto de uma e duas amostras. Relação entre testes de hipóteses e
intervalos de confiança. Testes de hipóteses não paramétricos: de ajustamento, de
localização, de independência e de homogeneidade.
5. Análise de correlação. Coeficientes de correlação de Pearson e Spearman. Testes de
hipóteses sobre coeficientes de correlação.
Nota: A análise de dados deve usar software estatístico (preferencialmente o R).
Programa resumido (inglês):
1. Statistics. Unbiased and consistent estimators. Most usual statistics, with emphasis on the
sample mean and sample variance.
2. Point estimation. The method of moments. Maximum likelihood estimation. Properties of
the maximum likelihood estimators.
3. Joint distributions. Bivariate gaussian and multinomial.
4. Hypothesis testing. Errors of type I and type II, test statistic, power of a test. One- and
two-sample parametric tests. Relation between hypothesis tests and confidence intervals.
Non-parametric tests: goodness-of-fit, location, independence and homogeneity.
5. Correlation analysis. Pearson and Spearman correlation coeficient. Hypothesis testing.
Remark: Data analysis should use a statistical software (preferably R).
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Probabilidade e Estatística.
Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP
Ficha de identificação de Unidade Curricular
16
Nome da UC:
História da Matemática
Nome da UC (inglês): History of Mathematics
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 2
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Objetivos: Dar uma visão detalhada de algumas das principais etapas
da história da Matemática, evidenciando o aparecimento e evolução de conceitos, técnicas e
notação, e a sua importância no desenvolvimento da Matemática. Promover também o
desenvolvimento de espírito crítico relativamente a algumas simplificações redutoras e
deturpações históricas.
O regente poderá optar por uma perspetiva geral e cronológica da História da Matemática,
focando a Antiguidade Clássica (Mesopotâmia, Egito e Grécia, a Matemática Árabe e a
Matemática na Europa medieval e renascentista), ou optar por algum ou alguns dos
seguintes temas, focando as várias civilizações: desenvolvimento da álgebra, génese das
geometrias não Euclidianas, génese do cálculo infinitesimal, génese da teoria dos grupos,
crise dos fundamentos no fim do século XIX e início do século XX.
Programa resumido (inglês): Objectives: To give a detailed view of some of the main stages
of the history of Mathematics, evidencing the appearance and evolution of concepts,
techniques and notation, and their importance in the development of Mathematics. Also to
promote the development of a critical spirit regarding some simplifications and historical
misrepresentations.
The teacher may choose a general and chronological perspective of the History of
Mathematics, focusing on Classical Antiquity (Mesopotamia, Egypt and Greece, Arabic
Mathematics and Mathematics in medieval and Renaissance Europe), or opt for some of the
following themes, focusing the various civilizations: development of algebra, genesis of
non-Euclidean geometries, genesis of infinitesimal calculus, genesis of group theory, crisis
of fundamentals in the late nineteenth and early twentieth century.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Geometria, Análise Real I, Análise Real II,
Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Álgebra Linear e Geometria Analítica II e Teoria
de Grupos
Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP
Ficha de identificação de Unidade Curricular
17
Nome da UC:
Probabilidades e Estatística
Nome da UC (inglês): Probability and Statistics
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 2
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido:
Experiências aleatórias e regularidade estatística. Espaço de probabilidade (espaço de
resultados, sigma-álgebra, medida de probabilidade). Probabilidade condicional e
independência.
Variáveis aleatórias: funções mensuráveis, caracterização das variáveis aleatórias,
momentos de uma variável aleatória. Desigualdade de Chebyshev. Lei dos grandes
números. Função geradora de momentos.
Distribuições discretas e distribuições contínuas. Vetores aleatórios e sua caracterização,
independência e condicionamento.
Amostragem, somas de variáveis, teorema do limite central, distribuições amostrais.
Variáveis estatísticas, análise exploratória de dados.
Intervalos de confiança para parâmetros populacionais usuais.
Programa resumido (inglês):
Random experiments and statistical regularity. Probability spaces (sample space, sigma-
algebra, probability measure). Conditional probability and independence.
Random variables: measurable functions, characterization of random variables,
moments. Chebyshev’s inequality, law of large numbers. Moment generating function.
Discrete and continuous distributions. Random vectors and their characterization,
independence and conditioning.
Sampling, sampling distributions, sums of random variables, the central limit theorem.
Statistical variables, exploratory data analysis.
Confidence intervals for the usual population parameters.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I, Análise Real II e Tópicos de
Matemática Elementar.
Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP
Ficha de identificação de Unidade Curricular
18
Nome da UC:
Teoria de Anéis e Aplicações
Nome da UC (inglês): Ring Theory and Applications
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 2
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Noção de anel, de domínio de integridade e de corpo. Subanéis.
Homomorfismos e isomorfismos. Produto direto de anéis. Corpo de frações de um domínio
de integridade. Anéis de polinómios com coeficientes num corpo. Polinómios irredutíveis.
Ideais e anéis quociente. Ideais primos e ideais maximais. Corpos obtidos como quocientes
de anéis de polinómios. Extensões de corpos.
Havendo tempo disponível, poderão ainda ser abordados outros tópicos, como por exemplo:
introdução à teoria de Galois; corpos finitos; Teorema de Lasker-Noether; introdução à
teoria dos módulos.
Programa resumido (inglês): Notion of ring, of integral domain, and of field. Subrings.
Homomorphisms and isomorphisms. Direct product of rings. Field of fractions of an
integral domain. Rings of polynomials with coefficients in a field. Irreducible polynomials.
Ideals and quotient rings.Prime ideals and maximal ideals. Fields obtained as quotients of
polynomial rings. Field extensions.
Depending on the time left, some of the following topics could be addressed: introduction
to Galois theory; finite fields; Lasker-Noether theorem; introduction to module theory.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Teoria de Grupos, Tópicos de Matemática
Elementar, Álgebra Linear e Geometria Analítica I.
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19
Nome da UC:
Teoria de Grupos
Nome da UC (inglês): Group Theory
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 2
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 28 TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Noção de grupo e exemplos: grupos de permutações, grupos de
simetria, grupos lineares. Subgrupos e subgrupos gerados por elementos. Grupos cíclicos.
Homomorfismos e isomorfismos. Teorema de Cayley. Produtos diretos. Referência ao
teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados. Classes laterais esquerdas e
direitas módulo um subgrupo; índice de um subgrupo. Teorema de Lagrange. Conjugação e
subgrupos normais. Grupos quociente. Teorema fundamental do homomorfismo.
Programa resumido (inglês): Notion of group and examples: permutation groups, symmetry
groups, linear groups. Subgroup and subgroups generated by elements. Cyclic groups.
Homomorphisms and isomorphisms. Theorem of Cayley. Direct products. Reference to the
fundamental theorem of finitely generated abelian groups. Left and right classes modulo a
subgroup; index of a subgroup. Theorem of Lagrange. Conjugation and normal subgroups.
Quotient groups. Fundamental theorem of the homomorphism.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Tópicos
de Matemática Elementar.
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
20
Nome da UC:
Álgebra Aplicada
Nome da UC (inglês): Applied Algebra
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Mostrar algumas das aplicações da álgebra abstracta, nomeadamente
da teoria de grupos, anéis e corpos, assim como de outras áreas mais recentes da álgebra.
Exemplos de tópicos que poderão ser abordados: Códigos corretores de erros: códigos
lineares e majorantes básicos; códigos cíclicos, códigos BCH e códigos de Reed-Solomon.
O uso de álgebra em Criptografia, nomeadamente do corpo com 256 elementos no
Advanced Encryption Standard (AES). Reticulados e circuitos. Autómatos, linguagens
formais e semigrupos.
Programa resumido (inglês): To show some of the applications of abstract algebra,
including the theory of groups, rings and fields, as well as other more recent areas of
algebra. Examples of topics that may be addressed: Error correcting codes: linear codes and
basic upper bounds, cyclic codes, BCH codes and Reed-Solomon codes. The use of algebra
in cryptography, particularly the field with 256 elements in the Advanced Encryption
Standard (AES). Lattices and circuits. Automata, formal languages and semigroups.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Teoria de Grupos, Teoria de Anéis e Aplicações.
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
21
Nome da UC:
Análise e Processamento Digital de Sinal
Nome da UC (inglês): Digital Signal Processing and Analysis
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Sinais e sistemas: conceitos fundamentais numa perspetiva
determinista. Série de Fourier. Transformada de Fourier sinais periódicos e não periódicos,
funções generalizadas. Análise de sinais e sistemas nos domínios tempo e frequência.
Amostragem de sinais em tempo contínuo. Aplicações a dados simulados e experimentais.
Transformada Z: propriedades e utilização na análise de sistemas. Filtragem FIR e IIR -
implementação e análise. Introdução à análise de sinais estocásticos: análise espetral.
Programa resumido (inglês): Signals and systems: fundamental concepts in a deterministic
perspective. Fourier series. Fourier transform of periodic and non-periodic signals,
generalized functions. Signal analysis and systems in the time and frequency domains.
Sampling signals in continuous time. Applications to simulated and experimental data. Z-
transform: properties and use in systems analysis. FIR and IIR filtering - implementation
and analysis. Introduction to the analysis of stochastic signals: spectral analysis.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Análise
Real I, Análise Real II e Probabilidades e Estatística.
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22
Nome da UC:
Análise Linear
Nome da UC (inglês): Linear Analysis
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido proposto para 2018/19:
- Forma canónica de Jordan. Exponencial de um operador linear.
- Espaços métricos. Completude. Espaços normados. Espaços de Banach.
- Teorema de Baire. Funções contínuas sem derivada.
- Teorema do ponto fixo de Banach. Teorema da função implícita.
- Teorema de Arzelà-Ascoli. Operadores integrais.
- Teorema do ponto fixo de Brouwer.
- Teorema de Stone-Weierstrass.
- Aplicações.
Programa resumido proposto para 2018/19 (inglês):
- Jordan canonical form. Exponential of a linear operator.
- Metric spaces. Complete metric spaces. Normed spaces. Banach spaces.
- Baire’s theorem. Continuous functions without derivative.
- Banach fixed point theorem. Implicit function theorem.
- Arzelà-Ascoli theorem. Integral operators.
- Brouwer’s fixed point theorem.
- Stone-Weierstrass theorem.
- Applications.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Álgebra
Linear e Geometria Analítica II, Análise Real I, Análise Real II
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23
Nome da UC:
Complementos de Geometria
Nome da UC (inglês): Complements of Geometry
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Nesta disciplina serão abordados alguns dos seguintes tópicos:
Geometria afim: coordenadas afins, transformações afins, estrutura abstrata de espaço afim.
Uso de métodos afins para obtenção de resultados geométricos elementares. Retas
projetivas reais e plano projetivo real. Transformações projetivas e transformações de
Mobius. Teoremas de Pappus e de Desargues. Cónicas no plano euclidiano e no plano
projetivo complexo. Polaridades relativamente a uma cónica. Cónica definida por cinco
pontos. Teoremas de Pascal e Brianchon (sobre hexágonos inscritos ou circunscritos em
cónicas). Pontos racionais em cónicas. Curvas algébricas planas afins. Pontos simples e
múltiplos. Tangentes afins. Curvas planas projetivas. Tangentes. Inflexões. Teorema de
Bézout. Teorema dos nove pontos. Pontos racionais em cúbicas. Estrutura de grupo numa
cúbica. Aplicações à perspetiva, computação gráfica, códigos corretores de erros ou
criptografia.
Programa resumido (inglês): There will be addressed some of the following topics:
Affine geometry: affine coordinates, affine transformations, abstract structure of affine
space. Using affine methods to obtain elementary geometric results. Real projective line
and real projective plane. Projective transformations and Mobius transformations.
Theorems of Pappus and Desargues. Conics in the Euclidean plane, and the complex
projective plane. Polarities with respect to a conic. Conic defined by five points. Theorems
of Pascal and Brianchon (about hexagons inscribed or circumscribed in conics). Rational
points on conics. Plane affine algebraic curves. Simple and multiple points. Affine tangents.
Projective plane curves. Tangents. Inflections. Bézout's Theorem. Theorem of the nine
points. Rational points on a cubic. A group structure for a cubic. Applications to
perspective, computer graphics, error correcting codes and cryptography.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Geometria.
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24
Nome da UC:
Controlo Automático
Nome da UC (inglês): Automatic Control
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Transformada de Laplace, definição e teoremas fundamentais.
Modelação: exemplos ilustrativos. Relação entre os modelos de sistemas dinâmicos na
forma de equações diferenciais e as descrições a partir da resposta transitória, funções de
transferência e resposta em frequência. Análise de sistemas lineares: estabilidade,
propriedades de estado estacionário, controlabilidade e observabilidade. Análise de
desempenho, em regime permanente, de sistemas realimentados: sensibilidade, estabilidade
e robustez. Interpretação e utilização de métodos gráficos e métodos como diagramas de
blocos, lugar das raízes, diagramas de Bode e de Nyquist. Controladores simples (p.e. tipo
PID controladores), controladores avanço-atraso e cascata. Projeção de controladores
simples a partir de especificações. Projeção de observadores para estimativa da resposta do
modelo.
Programa resumido (inglês): Laplace transform: definition and fundamental theorems.
Modelling: illustrative examples. Relationship between models of dynamical systems in the
form of differential equations, and descriptions from the transient response, transfer
functions and frequency response. Analysis of linear systems: stability, steady-state
properties, controllability and observability. Seady state performance analysis of feedback
systems: sensitivity, stability and robustness. Interpretation and use of graphical methods
and of methods such as block diagrams, root locus, Bode and Nyquist diagrams. Simple
controllers (e.g. PID controllers), forward-delay and cascade controllers. Projection
controllers from simple specifications. Projection observers to estimate the response of the
model.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Primeiro ano completo, Equações Diferenciais.
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25
Nome da UC:
Equações às Derivadas Parciais e Análise de Fourier
Nome da UC (inglês): Partial Differential Equations and Fourier Analysis
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Séries de Fourier e a sua convergência. Equação do Calor. Equação de
onda. Transformada de Fourier e aplicações. Equação de Laplace.
Programa resumido (inglês): Fourier series and their convergence. The heat equation. The
wave equation. Fourier transform and applications. Laplace equation.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Equações Diferenciais, Análise Real I, Análise
Real II, Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Álgebra Linear e Geometria Analítica II.
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26
Nome da UC:
Geometria Diferencial
Nome da UC (inglês): Differential Geometry
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Noções básicas de topologia necessárias para o desenvolvimento da
teoria. Superfícies regulares e superfícies implícitas. Funções diferenciáveis em superfícies
e aplicações entre superfícies. Plano tangente. Orientabilidade. Primeira forma fundamental.
Área. Curvatura geodésica e normal. Curvas geodésicas. A segunda forma fundamental.
Curvatura de superfícies. Teorema Egrégio de Gauss. Teorema de Gauss-Bonnet.
Programa resumido (inglês): The basic notions of topology necessary for the development
of theory. Regular surfaces and implicit surfaces. Differentiable functions on surfaces and
maps between surfaces. Tangent plane. Orientability. First fundamental form. Area.
Geodesic and normal curvature. Geodesic curves. The second fundamental form. Curvature
of surfaces. Gauss Egregium theorem. The Gauss-Bonnet theorem.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I, Análise Real II, Análise Real III,
Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Álgebra Linear e Geometria Analítica II.
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
27
Nome da UC:
Introdução à Topologia
Nome da UC (inglês): Introduction to Topology
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Espaços métricos. Continuidade e convergência. Isometrias e
homeomorfismos. Conceitos métricos e topológicos: abertos, fechados; vizinhanças;
aderência e interior; fronteira. Topologias, bases e sub-bases. Produto de espaços
topológicos. Espaços conexos; componentes conexas; produto de espaços conexos;
conectividade e invariantes topológicos; conexos por caminhos; funções contínuas em
conexos e generalizações do teorema do valor intermédio de Bolzano. Compacidade;
subconjuntos compactos dos espaços euclidianos; produto de espaços compactos; funções
contínuas em compactos e generalizações do teorema de Weierstrass; espaços compactos e
sequencialmente compactos; continuidade uniforme e homeomorfismos. Espaços
completos; produto de espaços completos; espaços completos e compacidade; o lema da
contração para pontos fixos; o teorema de Baire e aplicações.
Programa resumido (inglês): Metric spaces. Continuity and convergence. Isometries and
homeomorphisms. Metric and topological concepts: open and closed sets; neighborhoods;
closure and interior; boundary. Topologies, bases and sub-bases. Products of topological
spaces. Connected spaces; connected components; products of connected spaces;
connectivity and topological invariants; pathwise connected sets; continuous functions in
connected spaces and generalizations of the intermediate value theorem of Bolzano.
Compactness; compact subsets of Euclidean spaces; product of compact spaces, continuous
functions on compact spaces and generalizations of the theorem of Weierstrass; compact
and sequentially compact spaces, uniform continuity and homeomorphisms. Complete
spaces; products of complete spaces; complete spaces and compactness, the contraction
lemma for fixed points; Baire's theorem and applications.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I, Análise Real II, Análise Real III.
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
28
Nome da UC:
Lógica e Fundamentos
Nome da UC (inglês): Logic and Foundations
ECTS: 6
Nêvel (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Cálculo proposicional e linguagens de primeira ordem e respectivas
sintaxe, semântica, sistema dedutivo e completude. Introdução à teoria dos conjuntos.
Axioma da escolha. Noções de cardinalidade.
Poderão ainda ser abordados ou apenas referidos a título informativo ou descritivo, entre
outros, alguns dos seguintes temas: Decidibilidade do Cálculo Proposicional e (referência a)
indecidibilidade da Lógica de Primeira Ordem; Introdução à teoria de modelos (teorias,
Teorema de Löwenheim/Skolem); Construção dos números naturais (inteiros, racionais) e
reais; Ordinais e Cardinais; Referência aos teoremas da incompletude de Gödel.
Programa resumido (inglês): Propositional calculus, first-order languages and their syntax,
semantics, deductive system and completeness. Introduction to set theory. Axiom of choice.
Notions of cardinality.
One can also address or simply refer, with an informative or descriptive role, among others,
some of the following themes: Decidability of Propositional Calculus and (reference to)
undecidability of First Order Logic, Introduction to model theory (theories, Theorem
Löwenheim / Skolem); construction of the natural (integers, rational) and real numbers;
Ordinals and Cardinals; Reference to Gödel's incompleteness theorems.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Tópicos de Matemática Elementar.
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
29
Nome da UC:
Matemática Computacional
Nome da UC (inglês): Computational Mathematics
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Métodos computacionais em pelo menos duas áreas distintas da
matemática. Esta disciplina poderá ser dada em módulos, sugerindo-se os seguintes
tópicos: Álgebra Computacional, Álgebra Linear Numérica, Teoria da Aproximação,
Geometria Computacional, Métodos Numéricos Iterativos, Teoria dos Números
Computacional.
Programa resumido (inglês): Computational methods in at least two different areas of
mathematics. This course will be given in modules, the following topics being suggested:
Computational Algebra, Numerical Linear Algebra, Approximation Theory, Computational
Geometry, Iterative Numerical Methods, Computational Number Theory.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Todas as unidades obrigatórias dos dois
primeiros anos.
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
30
Nome da UC:
Matemática Discreta
Nome da UC (inglês): Discrete Mathematics
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Escolha de alguns tópicos dentro da Combinatória, da Combinatória
das palavras, da Dinâmica Discreta ou da Geometria Discreta.
Programa resumido (inglês): Some topics among: Combinatorics, Combinatorics on Words,
Discrete Dynamics or Discrete Geometry.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Algoritmos em Matemática Discreta
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
31
Nome da UC:
Modelos Matemáticos nas Ciências
Nome da UC (inglês): Mathematical Methods in the Sciences
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Uma disciplina onde se estudam modelos matemáticos na Biologia,
Economia ou Física. Devem ser tratados modelos de duas áreas distintas.
Programa resumido (inglês): A discipline where mathematical models in Biology,
Economics or Physics are studied. Models in two distinct areas should be addressed.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Equações Diferenciais, Álgebra Linear e
Geometria Analítica I, Análise Real I, Análise Real II.
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Ficha de identificação de Unidade Curricular
32
Nome da UC:
Otimização e Aplicações
Nome da UC (inglês): Optimization and Applications
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Modelos de otimização (lineares e não lineares). Exemplos.
Viabilidade e otimalidade. Estrutura geral dos algoritmos de otimização. Restrições.
Convexidade. Convergência. Otimização sem e com restrições. Modelos, exemplos e
aplicações de Programação Linear (PL), Programação inteira (PI), Binária e Mista (PIM) e
não linear. Uso de software para resolução de problemas de otimização.
Programa resumido (inglês): Optimization models (linear and non-linear). Examples.
Viability and optimality. General structure of optimization algorithms. Restrictions.
Convexity. Convergence. Optimization without and with restrictions. Models, examples
and applications of Linear Programming (PL), Integer Programming (PI), Binary and
Mixed (PIM) and Non Linear Programming (NLP). Use of software for solving
optimization problems.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Análise
Real I e Análise Real II.
Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP
Ficha de identificação de Unidade Curricular
33
Nome da UC:
Projeto Multidisciplinar
Nome da UC (inglês): Multidisciplinary Project
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: TP 28
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Este projecto enquadra-se num processo de desenvolvimento de
competências relevantes e imprescindíveis para carreiras profissionais, incluindo
competências transversais de pensamento crítico, escrita, comunicação e trabalho em
equipa.
Os projetos a desenvolver devem integrar e aplicar competências científicas desenvolvidas
ao longo da formação curricular a outras áreas do saber envolvendo nomeadamente a
modelação, a identificação, a simulação, a previsão, a otimização e o controlo, e a utilização
de ferramentas avançadas de computação.
Programa resumido (inglês): This project is part of a development process of the relevant
skills essential for professional careers, including transversal abilities of critical thinking,
writing, communication and teamwork.
The projects to be developed must integrate and apply scientific skills developed
throughout the educational curriculum to other areas of knowledge, involving, in particular,
the modeling, the identification, the simulation, the prediction, the optimization and control,
and the use of advanced computing tools.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Todas as unidades obrigatórias dos dois
primeiros anos.
Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP
Ficha de identificação de Unidade Curricular
34
Nome da UC:
Simulação e Processos Estocásticos
Nome da UC (inglês): Simulation and Stochastic Processes
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: I. Simulação e Método de Monte Carlo
Aspetos estatísticos da simulação. Simulação de dados (distribuições discretas e contínuas):
métodos gerais, transformações e misturas; utilização crítica de geradores disponíveis
correntes. Integração de Monte Carlo e estimação de valores esperados. Técnicas de
redução de variância. Método de Monte Carlo em inferência estatística. Métodos de
reamostragem.
II. Introdução aos Processos Estocásticos e sua Simulação
Classes de processos estocásticos. Introdução à análise estatística de sinais e séries
temporais: caracterização, estacionariedade, autocorrelação. Processos AR e MA.
Estimação e simulação. Modelação/simulação: cadeias de Markov, processo de Poisson,
passeio aleatório; processos de nascimento e morte, filas de espera.
Programa resumido (inglês): I. Simulation and the Monte Carlo Method
Statistical aspects of simulation. Simulation of data (discrete and continuous distributions):
general methods, transformations and mixtures; critical use of available current generators.
Monte Carlo integration and estimation of expected values. Variance reduction techniques.
Monte Carlo method in statistical inference. Resampling methods.
II. Introduction to Stochastic Processes and their Simulation
Classes of stochastic processes. Introduction to statistical analysis of signals and time
series: characterization, stationarity, autocorrelation. The AR and MA processes. Estimation
and simulation. Modeling/simulation: Markov chains, Poisson process, random walk, birth
and death processes, queuing.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Probabilidades e Estatística, Análise Real I e
Análise Real II.
Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP
Ficha de identificação de Unidade Curricular
35
Nome da UC:
Teoria dos Números e Aplicações
Nome da UC (inglês): Number Theory and Applications
ECTS: 6
Nível (1,2,3…): 3
Área científica (sigla): M
Horas de contacto por semestre: T 56
Departamento responsável: Matemática
Programa resumido: Inteiros de Gauss. Resolução de congruências polinomiais com uma
incógnita. Teorema Chinês dos Restos. Raízes primitivas. Congruências do segundo grau.
Reciprocidade quadrática.
Algumas aplicações: algoritmos de primalidade e algoritmos de fatorização; o sistema
criptográfico RSA; o problema do logaritmo discreto, o protocolo de Diffie-Hellman e a
cifra de ElGamal; provas com conhecimento nulo (zero-knowledge proofs); geradores de
números pseudo-aleatórios.
Programa resumido (inglês): Gaussian integers. Solving polynomial congruences with an
unknown. Chinese Remainder Theorem. Primitive roots. Second degree congruences.
Quadratic reciprocity.
Some applications: algorithms for primality and factorization algorithms, the RSA
cryptosystem, the discrete logarithm problem, the Diffie-Hellman protocol and ElGamal
cipher, zero knowledge proofs; pseudo-random number generators.
Precedências:
Unidades aconselhadas para a frequência: Tópicos de Matemática Elementar.
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