Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP Ficha de … · Graphs and properties of real functions...

Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP

Ficha de identificação de Unidade Curricular

1

Álgebra Linear e Geometria Analítica I

Álgebra Linear e Geometria Analítica II

Análise Real I

Análise Real II

Geometria

Introdução às Aplicações da Matemática

Laboratório de Matemática

Tópicos de Matemática Elementar

Algoritmos em Matemática Discreta

Análise Complexa

Análise Numérica

Análise Real III

Equações Diferenciais

Estatística Aplicada

História da Matemática

Probabilidades e Estatística

Teoria de Anéis e Aplicações

Teoria de Grupos

Álgebra Aplicada

Análise e Processamento Digital de Sinal

Análise Linear

Complementos de Geometria

Controlo Automático

Equações às Derivadas Parciais e Análise de Fourier

Geometria Diferencial

Introdução à Topologia

Lógica e Fundamentos

Matemática Computacional

Matemática Discreta

Modelos Matemáticos nas Ciências

Otimização e Aplicações

Projeto Multidisciplinar

Simulação e Processos Estocásticos

Teoria dos Números e Aplicações

jntavar

Caixa de Texto

Para o ano lectivo 2018/19



2

Nome da UC:

Álgebra Linear e Geometria Analítica I

Nome da UC (inglês): Linear Algebra and Analytic Geometry I

ECTS: 9

Nível (1,2,3…): 1

Área científica (sigla): M

Horas de contacto por semestre: T 42 TP 42

Departamento responsável: Matemática

Programa resumido: Álgebra das matrizes. Sistemas de equações lineares e matrizes;

método de eliminação de Gauss. Determinantes.

Espaços vetoriais (devem ser trabalhados essencialmente exemplos em Rn): subespaços

vetoriais; bases e dimensão; soma direta de subespaços.

Aplicações lineares: núcleo e imagem de uma aplicação linear; representação matricial e

mudança de base.

Espaços Euclidianos reais: produto interno, norma, ângulo entre dois vetores; produto

vetorial em R3; bases ortonormadas; complemento ortogonal, projeção ortogonal.

Programa resumido (inglês): Matrix algebra. Systems of linear equations and matrices;

Gaussian elimination method. Determinants. Vector spaces (the main focus should be put in

Rn): vector subspaces; basis and dimension; direct sum of subspaces. Linear maps: image

and kernel of a linear map; matrix representation and change of basis. Real Euclidean

spaces: dot product, norm, angle between vectors; cross product in R3; orthonormal basis;

orthogonal complement and orthogonal projection.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência:



3

Nome da UC:

Álgebra Linear e Geometria Analítica II

Nome da UC (inglês): Linear Algebra and Analytic Geometry II

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 1




Programa resumido: Geometria analítica em Rn: espaço afim; k-planos, equações

cartesianas; problemas métricos.

Vetores próprios e valores próprios de um endomorfismo e de uma matriz; endomorfismo e

matriz diagonalizável.

Isometrias lineares e matrizes ortogonais; caracterização geométrica das isometrias

lineares em R2 e R3.

Endomorfismos autoadjuntos e matrizes simétricas; diagonalização de matrizes simétricas;

formas quadráticas e aplicação ao estudo das cónicas e das quádricas.

Programa resumido (inglês):

Analytic geometry in Rn: affine space; k-plane; cartesian equations; metric problems.

Eigenvectors and eigenvalues. Diagonalization. Linear isometries and orthogonal matrices;

geometric characterization in R2 and R3. Self-adjoint endomorphisms and symmetric

matrices; diagonalization of symmetric matrices; quadratic forms and application to the

study of conics and quadrics.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Álgebra Linear e Geometria Analítica I.



4

Nome da UC:

Análise Real I

Nome da UC (inglês): Real Analysis I

ECTS: 9

Nível (1,2,3…): 1




Programa resumido: Sucessões. Limites. Continuidade de funções reais de variável real.

Teoremas de Bolzano e de Weierstrass. Funções trigonométricas inversas. Derivadas.

Extremos locais. Polinómio de Taylor. Primitivação. Integral de Riemann e as suas

propriedades básicas. Teorema Fundamental do Cálculo. Integrais impróprios.

Programa resumido (inglês): Sequences. Limits. Continuity of real functions of a real

variable. Bolzano and Weierstrass theorems. Inverse trigonometrical functions. Derivatives.

Local extrema. The Taylor polynomial. Anti-derivatives. The Riemann integral and its

basics properties. The fundamental theorem of Calculus. Improper integrals.

Precedências:




5

Nome da UC:

Análise Real II

Nome da UC (inglês): Real Analysis II

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 1




Programa resumido: Séries numéricas e séries de potências: critérios de convergência.

Sucessões e séries de funções reais de variável real: convergência simples e uniforme;

critérios de convergência; séries de funções contínuas. Cálculo diferencial de funções

vetoriais de variável vetorial. Derivada da função composta e derivada da função inversa.

Máximos e mínimos em abertos. Fórmula de Taylor e classificação de pontos críticos.

Integrais múltiplos: propriedades básicas e métodos de cálculo.

Programa resumido (inglês): Numerical series and power series: convergence criteria.

Sequences and series of real functions of a real variable: pointwise and uniform

convergence; convergence criteria; series of continuous functions. Differential calculus of

vector functions of several variables. Derivative of a composite function, and derivative of

the inverse function. Maxima and minima in open sets. Taylor formula and the

classification of critical points. Multiple integrals: basic properties and methods of

computation.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Análise

Real I



6

Nome da UC:

Geometria

Nome da UC (inglês): Geometry

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 1




Programa resumido: Referência breve a um conjunto de axiomas (do tipo dos que são

sugeridos por Birkhoff) basilares. Referência às construções com régua e compasso e

estudo de algumas construções iniciais. Noção de congruência e casos de congruência dos

triângulos. Isometrias do plano. Teorema de Tales. Noção de Área. Teorema de Pitágoras.

Teoremas de Ceva, de Menelau e da bissetriz. Pontos notáveis. Casos de semelhança de

triângulos e transformações de semelhança. Construção do quarto proporcional e do meio

proporcional. Lei dos senos e dos cossenos. Homotetias. Reta de Euler. Estudo da

circunferência: arco capaz; potência de um ponto relativamente a uma circunferência. Eixo

radical de duas circunferências. Eventual introdução e estudo do conceito de inversão.

Programa resumido (inglês): Brief reference to a set of axioms (of the type suggested by

Birkhoff). Reference to ruler and compass constructions and study of some initial

constructions. Notion of congruence and the cases of congruence of triangles. Isometries of

the plane. The theorem of Thales. Notion of Area. The Pythagorean theorem. Theorems of

Ceva, Menelaus and the angle bisector theorem. Remarkable points of the triangle. Cases of

similarity of triangles and similarity transformations. Construction of the fourth

proportional and the mean proportional. Law of sines and law of cosines. Homotheties.

Euler straight line. Study of the circumference: the inscribed angle theorem; power of a

point relative to a circumference. Radical axis of two circles. Possible introduction and

study of the concept of inversion.

Precedências:




7

Nome da UC:

Introdução às Aplicações da Matemática

Nome da UC (inglês): Introduction to Applied Mathematics

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 1




Programa resumido: Aplicação de conceitos matemáticos, nomeadamente os estudados em

outras disciplinas do 1º ano, ao tratamento analítico e numérico de modelos matemáticos

em Física, Biologia, Ecologia, Economia, Medicina e outros ramos do conhecimento.

Possíveis tópicos: Aplicações de redes e fluxos, otimização linear, emparelhamentos em

grafos bipartidos; algoritmo de Edmonds-Karp. Método simplex e algoritmo húngaro.

Aplicações de equações às diferenças em R e equações diferenciais simples. Adaptação de

um modelo a um conjunto de dados e critérios de escolha entre modelos.

Programa resumido (inglês): Applications of mathematical concepts, namely the ones

studied in other first-year courses, to the analytical and numerical treatment of

mathematical models in Physics, Biology, Ecology, Economics, Medicine and other fields

of knowledge. Possible topics: Applications of networks and flows, linear optimization,

matchings in bipartite graphs; Edmonds-Karp algorithm. Simplex method and hungarian

algorithm. Applications of difference equations in R and simple differential equations.

Adapting a model to a data set and criteria for choosing between models.

Precedências:


Real I.



8

Nome da UC:

Laboratório de Matemática

Nome da UC (inglês): Mathematical Laboratory

ECTS: 3

Nível (1,2,3…): 1


Horas de contacto por semestre: T TP P 28


Programa resumido: Introdução a um programa de manipulação algébrica, como por exemplo o

Maxima: utilização interativa e programação. Utilização desse programa para abordar conceitos

e resultados de Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Análise Real I e Tópicos de Matemática

Elementar envolvendo em particular o desenvolvimento e a análise de algoritmos. Possíveis

tópicos: Construção e análise de algoritmos na resolução de problemas como o cálculo de

m.m.c. e m.d.c. (algoritmo de Euclides). Gráficos e propriedades de funções reais de variável

real. Funções elementares, composição com transformações afins, função inversa, função

derivada e primitivas de uma função dada. Estudo numérico de limites de sucessões e funções.

Determinação de máximos e mínimos de funções. Cálculo aproximado de somas de séries e de

integrais definidos. Estudo e aplicação de métodos iterativos para determinação de raízes de

equações não lineares (aplicação do teorema do valor médio) e estimativa dos erros de

aproximação. Aproximação polinomial de funções. Operações com matrizes, produto escalar

de vetores, normas de vetores. Transformações lineares: imagens de subconjuntos de R2 e R3.

Programa resumido (inglês): Introduction to a program of algebraic manipulation, like for

example Maxima: interactive use and programming. Use of that program to study concepts and

results of Linear Algebra and Analytic Geometry I, Real Analysis I and Topics in Elementary

Mathematics involving in particular the development and analysis of algorithms. Possible

topics: construction and analysis of algorithms to solve problems such as calculating l.c.m and

g.c.d. (Euclidean algorithm). Graphs and properties of real functions of a real variable.

Elementary functions, composition with affine transformations, inverse function, anti-

derivatives and derivatives of a given function. Numerical study of limits of sequences and

functions. Computation of maxima and minima of functions. Approximate computation of sums

of series and definite integrals. Study and application of iterative methods for determining roots

of nonlinear equations (using the mean value theorem), and estimate the errors of

approximation. Polynomial approximation functions. Matrix operations, scalar product of

vectors, vector norms. Linear maps: image of subsets of R2 and R3.

Precedências:




9

Nome da UC:

Tópicos de Matemática Elementar

Nome da UC (inglês): Topics in Elementary Mathematics

ECTS: 9

Nível (1,2,3…): 1




Programa resumido:

Rudimentos de lógica e identificação do seu uso em demonstrações. Linguagem matemática

e simbolismo matemático básico. Números naturais e indução matemática.

Teoria elementar de conjuntos; relações binárias, relações de equivalência; noções básicas

sobre funções. Noções de cardinalidade de conjuntos infinitos.

Aritmética dos inteiros: divisibilidade; o algoritmo da divisão e o algoritmo de Euclides; o

Teorema Fundamental da Aritmética; congruência módulo um inteiro positivo; teorema de

Fermat e teorema de Euler.

Aritmética dos polinómios com coeficientes em Q, R ou C: divisibilidade; o algoritmo da

divisão; raízes de polinómios; raízes racionais de polinómios com coeficientes inteiros;

critério de Eisenstein; referência ao Teorema Fundamental da Álgebra.

Poderão ainda ser abordados outros tópicos, como por exemplo: representação de números

em diferentes bases; dízimas finitas e infinitas, periódicas e não-periódicas; números reais

algébricos e transcendentes.

Programa resumido (inglês): Rudiments of logic and its use in proofs. Mathematical

language and basic mathematical symbolism. Natural numbers and mathematical induction.

Elementary theory of sets; binary relations and equivalence relations; basic notions on

functions. Notions of cardinality of infinite sets. Integer arithmetic: divisibility; the division

algorithm and the Euclidean algorithm; the Fundamental Theorem of Arithmetic;

congruences module a positive integer; Euler’s and Fermat’s theorem. The arithmetic

of polynomial with rational, real or complex coefficients: divisibility; the division

algorithm; roots of polynomials; rational roots of polynomials with integer

coefficients; Eisenstein's criterion; reference to the Fundamental Theorem of Algebra. Examples of topics that may also be addressed: representing numbers in different bases;

finite and infinite, periodic and non-periodic decimal expansions; real algebraic and

transcendental numbers.

Precedências:




10

Nome da UC:

Algoritmos em Matemática Discreta

Nome da UC (inglês): Algorithms in Discrete Mathematics

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 2




Programa resumido:

1. Permutações, contagem, ordenação e recursividade: revisão e alargamento de

conhecimentos, numa abordagem mais computacional. Geração de permutações. Inversões:

contagem e geração. Combinações: representação binária, geração de subconjuntos com

número fixo de elementos. Árvores de decisão, algoritmos recursivos e enumeração.

2. Grafos e Algoritmos: representação de grafos; conetividade; “depth-first”; “depth-first” e

componentes fortemente conexas; “breadth-first”; algoritmo de Dijkstra; problemas de

caminho mais curto. Circuitos Eulerianos e ciclos Hamiltonianos, problema do caixeiro-

viajante.

3. Dependendo do tempo disponível, abordar alguns dos seguintes tópicos: Redes e fluxos:

método de Ford-Fulkerson; emparelhamentos e método húngaro. Planaridade e teorema de

Kuratowski. Análise de algoritmos.


1. Permutations, counting, ordering and recursion: revision and knowledge enlargement

from a computational viewpoint. Generation of Permutations. Inversions: counting and

generation. Combinations: binary representations, generations of k-subsets. Decision trees,

recursive algorithms and enumeration.

2. Graphs with algorithms: Representation of graphs; connectivity; depth-first; depth-first

and strongly connected components; breadth-first; Dijkstra's algorithm, shortest path

problems. Euler circuits and hamiltonian cycles, the travelling salesman problem.

3. Time permitting: Networks and flows; Ford-Fulkerson method; pairings and Hungarian

method; planarityand the theorem of Kuratowski. Analysis of algorithms.

Precedências:




11

Nome da UC:

Análise Complexa

Nome da UC (inglês): Complex Analysis

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 2




Programa resumido: Operações com números complexos e funções complexas. Topologia

do plano complexo. Limites e continuidade. Funções holomorfas e condições de Cauchy-

Riemann. Séries de potências: raio de convergência; derivabilidade de funções definidas

por séries. Funções analíticas. Funções exponencial, logaritmo e trigonométricas. Integrais

ao longo de caminhos. Homotopia. Fórmula de Cauchy. Teoremas de Liouville, Goursat e

de Morera. Analiticidade das funções holomorfas. Singularidades e funções meromorfas.

Representação de Laurent. Teorema do prolongamento de Riemann. Teorema dos resíduos.

Cálculo de integrais utilizando resíduos.

(Poderão ser tratados como exercícios: teorema de Casorati-Weierstrass, princípio do

argumento e teorema de Rouché)

Programa resumido (inglês): Operations with complex numbers, and complex functions.

Topology of the complex plane. Limits and continuity. Holomorphic functions and Cauchy-

Riemann equations. Power series: radius of convergence, differentiability of functions

defined by series. Analytic functions. Exponential, logarithmic and trigonometric functions.

Integrals over paths. Homotopy. Cauchy formula. Liouville, Goursat and Morera theorems.

Analyticity of holomorphic functions. Singularities and meromorphic functions. Laurent

representation. Riemann extension theorem. Residue theorem. Calculation of integrals

using residues.

(The following theorems can be worked as exercises: Casorati-Weierstrass theorem,

principle of the argument and Rouché theorem)

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I e Análise Real II.



12

Nome da UC:

Análise Numérica

Nome da UC (inglês): Numerical Analysis

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 2




Programa resumido: Aritmética do computador e erros numéricos. Representação dos

números e operações aritméticas. Erros e sua propagação. Sistemas de equações lineares.

Sistemas triangulares e método de eliminação de Gauss. Equações não lineares. Ordem de

convergência de uma sucessão. Separação de raízes. Métodos das bisseções sucessivas,

iterativo simples e de Newton. Interpolação polinomial. Métodos de Lagrange e de Newton

em diferenças divididas. Interpolação usando splines. Aproximação polinomial

generalizada de uma tabela de valores no sentido dos mínimos quadrados. Derivação e

integração numéricas. Fórmulas em diferenças finitas para derivadas. Erros de truncatura.

Métodos de Newton-Cotes: fórmulas simples e compostas dos rectângulos, dos trapézios e

de Simpson. Erros de truncatura. Integração numérica de equações diferenciais. Métodos de

Euler, “preditor-corrector”, Taylor e de Runge-Kutta. Erros de truncatura.

Programa resumido (inglês): Computer arithmetic and numerical errors. Representation of

numbers and arithmetic operations. Errors and their propagation. Systems of linear

equations. Triangular systems and Gaussian elimination. Nonlinear equations. Order of

convergence of a sequence. Separation of roots. Successive bissections, simple iterative and

Newton methods. Polynomial interpolation. Methods of Lagrange and Newton in divided

differences. Interpolation with splines. Generalized polynomial approximation of a table of

values in the sense of least squares. Numerical differentiation and integration. Formulas in

finite difference for derivatives. Truncation errors. Methods of Newton-Cotes: simple and

composite of rectangles, trapezoids and the Simpson formulas. Truncation errors.

Numerical integration of differential equations. Euler, "predictor-corrector", Taylor and

Runge-Kutta methods. Truncation errors.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I e Análise Real II.



13

Nome da UC:

Análise Real III

Nome da UC (inglês): Real Analysis III

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 2




Programa resumido: Curvas parametrizadas em Rn. Velocidade e aceleração. Curvatura e

torção. Teorema da função inversa. Teorema da função implícita. Derivação implícita.

Método dos multiplicadores de Lagrange. Integrais de linha. Campos conservativos e

campos de gradientes. Teorema de Green. Cálculo de áreas recorrendo ao Teorema de

Green. Orientação de uma superfície. Fluxo de um campo de vectores ao longo de uma

superfície. Teoremas de Stokes e de Gauss.

Programa resumido (inglês): Parametrized curves in Rn. Velocity and acceleration.

Curvature and torsion. The inverse function theorem. The implicit function theorem.

Implicit differentiation. The method of Lagrange multipliers. Line integrals. Conservative

fields and fields of gradients. Green's theorem. Calculation of areas using the Green's

theorem. Orientation of a surface. Flow of a vector field along a surface. Theorems of

Stokes and Gauss.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I, Análise Real II e Álgebra Linear

e Geometria Analítica I.



14

Nome da UC:

Equações Diferenciais

Nome da UC (inglês): Differential Equations

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 2




Programa resumido: Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem. Equações lineares,

equações separáveis e equações exatas. Aplicações. Sistemas de equações diferenciais

ordinárias de 1ª ordem e problema de valor inicial associado. Demonstração do teorema da

existência e unicidade de solução para um problema de valor inicial. Sistemas lineares

homogéneos com coeficientes constantes. Matriz fundamental de soluções e exponencial da

matriz dos coeficientes do sistema. Diagramas de fase de sistemas 2 x 2 lineares

homogéneos com coeficientes constantes. Pontos de equilíbrio e critérios de estabilidade

para pontos de equilíbrio de sistemas lineares e não lineares. Aplicações. Equações

diferenciais ordinárias lineares de 2ª ordem. Cálculo de uma solução particular de uma

equação diferencial linear não homogénea de 2ª ordem através do método da variação dos

parâmetros. Aplicação das equações de 2ª ordem: vibrações mecânicas. Resolução de

equações diferenciais lineares de 2ª ordem por expansão em série de potências.

Programa resumido (inglês): Ordinary differential equations of 1st order. Linear, separable

and exact equations. Applications. Systems of ordinary differential equations of 1st order

and associated initial value problem. Proof of the theorem of the existence and uniqueness

of solution of an initial value problem. Homogeneous linear systems with constant

coefficients. Fundamental matrix of solutions and exponential of the matrix of the

coefficients of the system. Phase diagrams of 2 x 2 homogeneous linear systems with

constant coefficients. Equilibrium points and stability criteria for equilibrium points of

linear and nonlinear systems. Applications. Linear ordinary differential equations of 2nd

order. Calculation of a particular solution of a nonhomogeneous 2nd order linear

differential equation through the method of variation of constants. Application of 2nd order

equations: mechanical vibrations. Solving 2nd order linear differential equations by power

series expansion.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I, Análise Real II, Álgebra Linear e

Geometria Analítica I.



15

Nome da UC:

Estatística Aplicada

Nome da UC (inglês): Applied Statistics

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 2




Programa resumido:

1. Estatísticas. Centralidade e consistência de estimadores. Estatísticas mais comuns, com

relevo para a média e variância amostrais.

2. Estimação pontual. Método dos momentos. Método da máxima verosimilhança.

Propriedades dos estimadores de máxima verosimilhança. 3. Distribuições conjuntas. Normal bivariada e multinomial. 4. Testes de hipóteses. Erros de tipo I e tipo II, estatística de teste, potência do teste. Testes

paramétricos no contexto de uma e duas amostras. Relação entre testes de hipóteses e

intervalos de confiança. Testes de hipóteses não paramétricos: de ajustamento, de

localização, de independência e de homogeneidade.

5. Análise de correlação. Coeficientes de correlação de Pearson e Spearman. Testes de

hipóteses sobre coeficientes de correlação.

Nota: A análise de dados deve usar software estatístico (preferencialmente o R).


1. Statistics. Unbiased and consistent estimators. Most usual statistics, with emphasis on the

sample mean and sample variance.

2. Point estimation. The method of moments. Maximum likelihood estimation. Properties of

the maximum likelihood estimators.

3. Joint distributions. Bivariate gaussian and multinomial.

4. Hypothesis testing. Errors of type I and type II, test statistic, power of a test. One- and

two-sample parametric tests. Relation between hypothesis tests and confidence intervals.

Non-parametric tests: goodness-of-fit, location, independence and homogeneity.

5. Correlation analysis. Pearson and Spearman correlation coeficient. Hypothesis testing.

Remark: Data analysis should use a statistical software (preferably R).

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Probabilidade e Estatística.



16

Nome da UC:

História da Matemática

Nome da UC (inglês): History of Mathematics

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 2




Programa resumido: Objetivos: Dar uma visão detalhada de algumas das principais etapas

da história da Matemática, evidenciando o aparecimento e evolução de conceitos, técnicas e

notação, e a sua importância no desenvolvimento da Matemática. Promover também o

desenvolvimento de espírito crítico relativamente a algumas simplificações redutoras e

deturpações históricas.

O regente poderá optar por uma perspetiva geral e cronológica da História da Matemática,

focando a Antiguidade Clássica (Mesopotâmia, Egito e Grécia, a Matemática Árabe e a

Matemática na Europa medieval e renascentista), ou optar por algum ou alguns dos

seguintes temas, focando as várias civilizações: desenvolvimento da álgebra, génese das

geometrias não Euclidianas, génese do cálculo infinitesimal, génese da teoria dos grupos,

crise dos fundamentos no fim do século XIX e início do século XX.

Programa resumido (inglês): Objectives: To give a detailed view of some of the main stages

of the history of Mathematics, evidencing the appearance and evolution of concepts,

techniques and notation, and their importance in the development of Mathematics. Also to

promote the development of a critical spirit regarding some simplifications and historical

misrepresentations.

The teacher may choose a general and chronological perspective of the History of

Mathematics, focusing on Classical Antiquity (Mesopotamia, Egypt and Greece, Arabic

Mathematics and Mathematics in medieval and Renaissance Europe), or opt for some of the

following themes, focusing the various civilizations: development of algebra, genesis of

non-Euclidean geometries, genesis of infinitesimal calculus, genesis of group theory, crisis

of fundamentals in the late nineteenth and early twentieth century.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Geometria, Análise Real I, Análise Real II,

Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Álgebra Linear e Geometria Analítica II e Teoria

de Grupos



17

Nome da UC:

Probabilidades e Estatística

Nome da UC (inglês): Probability and Statistics

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 2




Programa resumido:

Experiências aleatórias e regularidade estatística. Espaço de probabilidade (espaço de

resultados, sigma-álgebra, medida de probabilidade). Probabilidade condicional e

independência.

Variáveis aleatórias: funções mensuráveis, caracterização das variáveis aleatórias,

momentos de uma variável aleatória. Desigualdade de Chebyshev. Lei dos grandes

números. Função geradora de momentos.

Distribuições discretas e distribuições contínuas. Vetores aleatórios e sua caracterização,

independência e condicionamento.

Amostragem, somas de variáveis, teorema do limite central, distribuições amostrais.

Variáveis estatísticas, análise exploratória de dados.

Intervalos de confiança para parâmetros populacionais usuais.


Random experiments and statistical regularity. Probability spaces (sample space, sigma-

algebra, probability measure). Conditional probability and independence.

Random variables: measurable functions, characterization of random variables,

moments. Chebyshev’s inequality, law of large numbers. Moment generating function.

Discrete and continuous distributions. Random vectors and their characterization,

independence and conditioning.

Sampling, sampling distributions, sums of random variables, the central limit theorem.

Statistical variables, exploratory data analysis.

Confidence intervals for the usual population parameters.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I, Análise Real II e Tópicos de

Matemática Elementar.



18

Nome da UC:

Teoria de Anéis e Aplicações

Nome da UC (inglês): Ring Theory and Applications

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 2




Programa resumido: Noção de anel, de domínio de integridade e de corpo. Subanéis.

Homomorfismos e isomorfismos. Produto direto de anéis. Corpo de frações de um domínio

de integridade. Anéis de polinómios com coeficientes num corpo. Polinómios irredutíveis.

Ideais e anéis quociente. Ideais primos e ideais maximais. Corpos obtidos como quocientes

de anéis de polinómios. Extensões de corpos.

Havendo tempo disponível, poderão ainda ser abordados outros tópicos, como por exemplo:

introdução à teoria de Galois; corpos finitos; Teorema de Lasker-Noether; introdução à

teoria dos módulos.

Programa resumido (inglês): Notion of ring, of integral domain, and of field. Subrings.

Homomorphisms and isomorphisms. Direct product of rings. Field of fractions of an

integral domain. Rings of polynomials with coefficients in a field. Irreducible polynomials.

Ideals and quotient rings.Prime ideals and maximal ideals. Fields obtained as quotients of

polynomial rings. Field extensions.

Depending on the time left, some of the following topics could be addressed: introduction

to Galois theory; finite fields; Lasker-Noether theorem; introduction to module theory.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Teoria de Grupos, Tópicos de Matemática

Elementar, Álgebra Linear e Geometria Analítica I.



19

Nome da UC:

Teoria de Grupos

Nome da UC (inglês): Group Theory

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 2




Programa resumido: Noção de grupo e exemplos: grupos de permutações, grupos de

simetria, grupos lineares. Subgrupos e subgrupos gerados por elementos. Grupos cíclicos.

Homomorfismos e isomorfismos. Teorema de Cayley. Produtos diretos. Referência ao

teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados. Classes laterais esquerdas e

direitas módulo um subgrupo; índice de um subgrupo. Teorema de Lagrange. Conjugação e

subgrupos normais. Grupos quociente. Teorema fundamental do homomorfismo.

Programa resumido (inglês): Notion of group and examples: permutation groups, symmetry

groups, linear groups. Subgroup and subgroups generated by elements. Cyclic groups.

Homomorphisms and isomorphisms. Theorem of Cayley. Direct products. Reference to the

fundamental theorem of finitely generated abelian groups. Left and right classes modulo a

subgroup; index of a subgroup. Theorem of Lagrange. Conjugation and normal subgroups.

Quotient groups. Fundamental theorem of the homomorphism.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Tópicos

de Matemática Elementar.



20

Nome da UC:

Álgebra Aplicada

Nome da UC (inglês): Applied Algebra

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3


Horas de contacto por semestre: T 56


Programa resumido: Mostrar algumas das aplicações da álgebra abstracta, nomeadamente

da teoria de grupos, anéis e corpos, assim como de outras áreas mais recentes da álgebra.

Exemplos de tópicos que poderão ser abordados: Códigos corretores de erros: códigos

lineares e majorantes básicos; códigos cíclicos, códigos BCH e códigos de Reed-Solomon.

O uso de álgebra em Criptografia, nomeadamente do corpo com 256 elementos no

Advanced Encryption Standard (AES). Reticulados e circuitos. Autómatos, linguagens

formais e semigrupos.

Programa resumido (inglês): To show some of the applications of abstract algebra,

including the theory of groups, rings and fields, as well as other more recent areas of

algebra. Examples of topics that may be addressed: Error correcting codes: linear codes and

basic upper bounds, cyclic codes, BCH codes and Reed-Solomon codes. The use of algebra

in cryptography, particularly the field with 256 elements in the Advanced Encryption

Standard (AES). Lattices and circuits. Automata, formal languages and semigroups.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Teoria de Grupos, Teoria de Anéis e Aplicações.



21

Nome da UC:

Análise e Processamento Digital de Sinal

Nome da UC (inglês): Digital Signal Processing and Analysis

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido: Sinais e sistemas: conceitos fundamentais numa perspetiva

determinista. Série de Fourier. Transformada de Fourier sinais periódicos e não periódicos,

funções generalizadas. Análise de sinais e sistemas nos domínios tempo e frequência.

Amostragem de sinais em tempo contínuo. Aplicações a dados simulados e experimentais.

Transformada Z: propriedades e utilização na análise de sistemas. Filtragem FIR e IIR -

implementação e análise. Introdução à análise de sinais estocásticos: análise espetral.

Programa resumido (inglês): Signals and systems: fundamental concepts in a deterministic

perspective. Fourier series. Fourier transform of periodic and non-periodic signals,

generalized functions. Signal analysis and systems in the time and frequency domains.

Sampling signals in continuous time. Applications to simulated and experimental data. Z-

transform: properties and use in systems analysis. FIR and IIR filtering - implementation

and analysis. Introduction to the analysis of stochastic signals: spectral analysis.

Precedências:


Real I, Análise Real II e Probabilidades e Estatística.



22

Nome da UC:

Análise Linear

Nome da UC (inglês): Linear Analysis

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido proposto para 2018/19:

- Forma canónica de Jordan. Exponencial de um operador linear.

- Espaços métricos. Completude. Espaços normados. Espaços de Banach.

- Teorema de Baire. Funções contínuas sem derivada.

- Teorema do ponto fixo de Banach. Teorema da função implícita.

- Teorema de Arzelà-Ascoli. Operadores integrais.

- Teorema do ponto fixo de Brouwer.

- Teorema de Stone-Weierstrass.

- Aplicações.

Programa resumido proposto para 2018/19 (inglês):

- Jordan canonical form. Exponential of a linear operator.

- Metric spaces. Complete metric spaces. Normed spaces. Banach spaces.

- Baire’s theorem. Continuous functions without derivative.

- Banach fixed point theorem. Implicit function theorem.

- Arzelà-Ascoli theorem. Integral operators.

- Brouwer’s fixed point theorem.

- Stone-Weierstrass theorem.

- Applications.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Álgebra

Linear e Geometria Analítica II, Análise Real I, Análise Real II



23

Nome da UC:

Complementos de Geometria

Nome da UC (inglês): Complements of Geometry

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido: Nesta disciplina serão abordados alguns dos seguintes tópicos:

Geometria afim: coordenadas afins, transformações afins, estrutura abstrata de espaço afim.

Uso de métodos afins para obtenção de resultados geométricos elementares. Retas

projetivas reais e plano projetivo real. Transformações projetivas e transformações de

Mobius. Teoremas de Pappus e de Desargues. Cónicas no plano euclidiano e no plano

projetivo complexo. Polaridades relativamente a uma cónica. Cónica definida por cinco

pontos. Teoremas de Pascal e Brianchon (sobre hexágonos inscritos ou circunscritos em

cónicas). Pontos racionais em cónicas. Curvas algébricas planas afins. Pontos simples e

múltiplos. Tangentes afins. Curvas planas projetivas. Tangentes. Inflexões. Teorema de

Bézout. Teorema dos nove pontos. Pontos racionais em cúbicas. Estrutura de grupo numa

cúbica. Aplicações à perspetiva, computação gráfica, códigos corretores de erros ou

criptografia.

Programa resumido (inglês): There will be addressed some of the following topics:

Affine geometry: affine coordinates, affine transformations, abstract structure of affine

space. Using affine methods to obtain elementary geometric results. Real projective line

and real projective plane. Projective transformations and Mobius transformations.

Theorems of Pappus and Desargues. Conics in the Euclidean plane, and the complex

projective plane. Polarities with respect to a conic. Conic defined by five points. Theorems

of Pascal and Brianchon (about hexagons inscribed or circumscribed in conics). Rational

points on conics. Plane affine algebraic curves. Simple and multiple points. Affine tangents.

Projective plane curves. Tangents. Inflections. Bézout's Theorem. Theorem of the nine

points. Rational points on a cubic. A group structure for a cubic. Applications to

perspective, computer graphics, error correcting codes and cryptography.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Geometria.



24

Nome da UC:

Controlo Automático

Nome da UC (inglês): Automatic Control

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido: Transformada de Laplace, definição e teoremas fundamentais.

Modelação: exemplos ilustrativos. Relação entre os modelos de sistemas dinâmicos na

forma de equações diferenciais e as descrições a partir da resposta transitória, funções de

transferência e resposta em frequência. Análise de sistemas lineares: estabilidade,

propriedades de estado estacionário, controlabilidade e observabilidade. Análise de

desempenho, em regime permanente, de sistemas realimentados: sensibilidade, estabilidade

e robustez. Interpretação e utilização de métodos gráficos e métodos como diagramas de

blocos, lugar das raízes, diagramas de Bode e de Nyquist. Controladores simples (p.e. tipo

PID controladores), controladores avanço-atraso e cascata. Projeção de controladores

simples a partir de especificações. Projeção de observadores para estimativa da resposta do

modelo.

Programa resumido (inglês): Laplace transform: definition and fundamental theorems.

Modelling: illustrative examples. Relationship between models of dynamical systems in the

form of differential equations, and descriptions from the transient response, transfer

functions and frequency response. Analysis of linear systems: stability, steady-state

properties, controllability and observability. Seady state performance analysis of feedback

systems: sensitivity, stability and robustness. Interpretation and use of graphical methods

and of methods such as block diagrams, root locus, Bode and Nyquist diagrams. Simple

controllers (e.g. PID controllers), forward-delay and cascade controllers. Projection

controllers from simple specifications. Projection observers to estimate the response of the

model.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Primeiro ano completo, Equações Diferenciais.



25

Nome da UC:

Equações às Derivadas Parciais e Análise de Fourier

Nome da UC (inglês): Partial Differential Equations and Fourier Analysis

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido: Séries de Fourier e a sua convergência. Equação do Calor. Equação de

onda. Transformada de Fourier e aplicações. Equação de Laplace.

Programa resumido (inglês): Fourier series and their convergence. The heat equation. The

wave equation. Fourier transform and applications. Laplace equation.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Equações Diferenciais, Análise Real I, Análise

Real II, Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Álgebra Linear e Geometria Analítica II.



26

Nome da UC:

Geometria Diferencial

Nome da UC (inglês): Differential Geometry

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido: Noções básicas de topologia necessárias para o desenvolvimento da

teoria. Superfícies regulares e superfícies implícitas. Funções diferenciáveis em superfícies

e aplicações entre superfícies. Plano tangente. Orientabilidade. Primeira forma fundamental.

Área. Curvatura geodésica e normal. Curvas geodésicas. A segunda forma fundamental.

Curvatura de superfícies. Teorema Egrégio de Gauss. Teorema de Gauss-Bonnet.

Programa resumido (inglês): The basic notions of topology necessary for the development

of theory. Regular surfaces and implicit surfaces. Differentiable functions on surfaces and

maps between surfaces. Tangent plane. Orientability. First fundamental form. Area.

Geodesic and normal curvature. Geodesic curves. The second fundamental form. Curvature

of surfaces. Gauss Egregium theorem. The Gauss-Bonnet theorem.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I, Análise Real II, Análise Real III,

Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Álgebra Linear e Geometria Analítica II.



27

Nome da UC:

Introdução à Topologia

Nome da UC (inglês): Introduction to Topology

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido: Espaços métricos. Continuidade e convergência. Isometrias e

homeomorfismos. Conceitos métricos e topológicos: abertos, fechados; vizinhanças;

aderência e interior; fronteira. Topologias, bases e sub-bases. Produto de espaços

topológicos. Espaços conexos; componentes conexas; produto de espaços conexos;

conectividade e invariantes topológicos; conexos por caminhos; funções contínuas em

conexos e generalizações do teorema do valor intermédio de Bolzano. Compacidade;

subconjuntos compactos dos espaços euclidianos; produto de espaços compactos; funções

contínuas em compactos e generalizações do teorema de Weierstrass; espaços compactos e

sequencialmente compactos; continuidade uniforme e homeomorfismos. Espaços

completos; produto de espaços completos; espaços completos e compacidade; o lema da

contração para pontos fixos; o teorema de Baire e aplicações.

Programa resumido (inglês): Metric spaces. Continuity and convergence. Isometries and

homeomorphisms. Metric and topological concepts: open and closed sets; neighborhoods;

closure and interior; boundary. Topologies, bases and sub-bases. Products of topological

spaces. Connected spaces; connected components; products of connected spaces;

connectivity and topological invariants; pathwise connected sets; continuous functions in

connected spaces and generalizations of the intermediate value theorem of Bolzano.

Compactness; compact subsets of Euclidean spaces; product of compact spaces, continuous

functions on compact spaces and generalizations of the theorem of Weierstrass; compact

and sequentially compact spaces, uniform continuity and homeomorphisms. Complete

spaces; products of complete spaces; complete spaces and compactness, the contraction

lemma for fixed points; Baire's theorem and applications.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Análise Real I, Análise Real II, Análise Real III.



28

Nome da UC:

Lógica e Fundamentos

Nome da UC (inglês): Logic and Foundations

ECTS: 6

Nêvel (1,2,3…): 3




Programa resumido: Cálculo proposicional e linguagens de primeira ordem e respectivas

sintaxe, semântica, sistema dedutivo e completude. Introdução à teoria dos conjuntos.

Axioma da escolha. Noções de cardinalidade.

Poderão ainda ser abordados ou apenas referidos a título informativo ou descritivo, entre

outros, alguns dos seguintes temas: Decidibilidade do Cálculo Proposicional e (referência a)

indecidibilidade da Lógica de Primeira Ordem; Introdução à teoria de modelos (teorias,

Teorema de Löwenheim/Skolem); Construção dos números naturais (inteiros, racionais) e

reais; Ordinais e Cardinais; Referência aos teoremas da incompletude de Gödel.

Programa resumido (inglês): Propositional calculus, first-order languages and their syntax,

semantics, deductive system and completeness. Introduction to set theory. Axiom of choice.

Notions of cardinality.

One can also address or simply refer, with an informative or descriptive role, among others,

some of the following themes: Decidability of Propositional Calculus and (reference to)

undecidability of First Order Logic, Introduction to model theory (theories, Theorem

Löwenheim / Skolem); construction of the natural (integers, rational) and real numbers;

Ordinals and Cardinals; Reference to Gödel's incompleteness theorems.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Tópicos de Matemática Elementar.



29

Nome da UC:

Matemática Computacional

Nome da UC (inglês): Computational Mathematics

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido: Métodos computacionais em pelo menos duas áreas distintas da

matemática. Esta disciplina poderá ser dada em módulos, sugerindo-se os seguintes

tópicos: Álgebra Computacional, Álgebra Linear Numérica, Teoria da Aproximação,

Geometria Computacional, Métodos Numéricos Iterativos, Teoria dos Números

Computacional.

Programa resumido (inglês): Computational methods in at least two different areas of

mathematics. This course will be given in modules, the following topics being suggested:

Computational Algebra, Numerical Linear Algebra, Approximation Theory, Computational

Geometry, Iterative Numerical Methods, Computational Number Theory.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Todas as unidades obrigatórias dos dois

primeiros anos.



30

Nome da UC:

Matemática Discreta

Nome da UC (inglês): Discrete Mathematics

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido: Escolha de alguns tópicos dentro da Combinatória, da Combinatória

das palavras, da Dinâmica Discreta ou da Geometria Discreta.

Programa resumido (inglês): Some topics among: Combinatorics, Combinatorics on Words,

Discrete Dynamics or Discrete Geometry.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Algoritmos em Matemática Discreta



31

Nome da UC:

Modelos Matemáticos nas Ciências

Nome da UC (inglês): Mathematical Methods in the Sciences

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido: Uma disciplina onde se estudam modelos matemáticos na Biologia,

Economia ou Física. Devem ser tratados modelos de duas áreas distintas.

Programa resumido (inglês): A discipline where mathematical models in Biology,

Economics or Physics are studied. Models in two distinct areas should be addressed.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Equações Diferenciais, Álgebra Linear e

Geometria Analítica I, Análise Real I, Análise Real II.



32

Nome da UC:

Otimização e Aplicações

Nome da UC (inglês): Optimization and Applications

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido: Modelos de otimização (lineares e não lineares). Exemplos.

Viabilidade e otimalidade. Estrutura geral dos algoritmos de otimização. Restrições.

Convexidade. Convergência. Otimização sem e com restrições. Modelos, exemplos e

aplicações de Programação Linear (PL), Programação inteira (PI), Binária e Mista (PIM) e

não linear. Uso de software para resolução de problemas de otimização.

Programa resumido (inglês): Optimization models (linear and non-linear). Examples.

Viability and optimality. General structure of optimization algorithms. Restrictions.

Convexity. Convergence. Optimization without and with restrictions. Models, examples

and applications of Linear Programming (PL), Integer Programming (PI), Binary and

Mixed (PIM) and Non Linear Programming (NLP). Use of software for solving

optimization problems.

Precedências:


Real I e Análise Real II.



33

Nome da UC:

Projeto Multidisciplinar

Nome da UC (inglês): Multidisciplinary Project

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3


Horas de contacto por semestre: TP 28


Programa resumido: Este projecto enquadra-se num processo de desenvolvimento de

competências relevantes e imprescindíveis para carreiras profissionais, incluindo

competências transversais de pensamento crítico, escrita, comunicação e trabalho em

equipa.

Os projetos a desenvolver devem integrar e aplicar competências científicas desenvolvidas

ao longo da formação curricular a outras áreas do saber envolvendo nomeadamente a

modelação, a identificação, a simulação, a previsão, a otimização e o controlo, e a utilização

de ferramentas avançadas de computação.

Programa resumido (inglês): This project is part of a development process of the relevant

skills essential for professional careers, including transversal abilities of critical thinking,

writing, communication and teamwork.

The projects to be developed must integrate and apply scientific skills developed

throughout the educational curriculum to other areas of knowledge, involving, in particular,

the modeling, the identification, the simulation, the prediction, the optimization and control,

and the use of advanced computing tools.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Todas as unidades obrigatórias dos dois

primeiros anos.



34

Nome da UC:

Simulação e Processos Estocásticos

Nome da UC (inglês): Simulation and Stochastic Processes

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido: I. Simulação e Método de Monte Carlo

Aspetos estatísticos da simulação. Simulação de dados (distribuições discretas e contínuas):

métodos gerais, transformações e misturas; utilização crítica de geradores disponíveis

correntes. Integração de Monte Carlo e estimação de valores esperados. Técnicas de

redução de variância. Método de Monte Carlo em inferência estatística. Métodos de

reamostragem.

II. Introdução aos Processos Estocásticos e sua Simulação

Classes de processos estocásticos. Introdução à análise estatística de sinais e séries

temporais: caracterização, estacionariedade, autocorrelação. Processos AR e MA.

Estimação e simulação. Modelação/simulação: cadeias de Markov, processo de Poisson,

passeio aleatório; processos de nascimento e morte, filas de espera.

Programa resumido (inglês): I. Simulation and the Monte Carlo Method

Statistical aspects of simulation. Simulation of data (discrete and continuous distributions):

general methods, transformations and mixtures; critical use of available current generators.

Monte Carlo integration and estimation of expected values. Variance reduction techniques.

Monte Carlo method in statistical inference. Resampling methods.

II. Introduction to Stochastic Processes and their Simulation

Classes of stochastic processes. Introduction to statistical analysis of signals and time

series: characterization, stationarity, autocorrelation. The AR and MA processes. Estimation

and simulation. Modeling/simulation: Markov chains, Poisson process, random walk, birth

and death processes, queuing.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Probabilidades e Estatística, Análise Real I e

Análise Real II.



35

Nome da UC:

Teoria dos Números e Aplicações

Nome da UC (inglês): Number Theory and Applications

ECTS: 6

Nível (1,2,3…): 3




Programa resumido: Inteiros de Gauss. Resolução de congruências polinomiais com uma

incógnita. Teorema Chinês dos Restos. Raízes primitivas. Congruências do segundo grau.

Reciprocidade quadrática.

Algumas aplicações: algoritmos de primalidade e algoritmos de fatorização; o sistema

criptográfico RSA; o problema do logaritmo discreto, o protocolo de Diffie-Hellman e a

cifra de ElGamal; provas com conhecimento nulo (zero-knowledge proofs); geradores de

números pseudo-aleatórios.

Programa resumido (inglês): Gaussian integers. Solving polynomial congruences with an

unknown. Chinese Remainder Theorem. Primitive roots. Second degree congruences.

Quadratic reciprocity.

Some applications: algorithms for primality and factorization algorithms, the RSA

cryptosystem, the discrete logarithm problem, the Diffie-Hellman protocol and ElGamal

cipher, zero knowledge proofs; pseudo-random number generators.

Precedências:

Unidades aconselhadas para a frequência: Tópicos de Matemática Elementar.

Catálogo de Unidades Curriculares da FCUP Ficha de … · Graphs and properties of real functions...

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