Seção 2Versão 2009-1
Elaborado por
Matemática I
Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.Prof. Rodrigo Leone, D.Sc.
ColaboraçãoProf. Walter Paulette
Seção 22
ADM 01004 Matemática I
Prof. da DisciplinaLuiz Gonzaga Damasceno, M. Sc.
Seção 23
Conteúdo da Seção
Números– Propriedades– Desigualdades
Potenciação e Radiciação Polinômios
– Produtos Notáveis e Fatoração.– Conjuntos Numéricos
Seção 24
Conteúdo da Seção
Equações Polinomiais do 1º grau Inequações Valor Absoluto ou Módulo Inequações Modulares Equações Polinomiais do 2º grau Fatoração de Equações do 2º grau
Seção 25
NúmerosConjuntos Numéricos
Números Naturais
Números Inteiros
}...,5,4,3,2,1{}...,4,3,2,1,0{
* ==
NN
}...,4,3,2,1,1,2,3{...}...,3,2,1,0,1,2,3{...
* −−−=−−−=
ZZ
Seção 26
NúmerosConjuntos Numéricos
Números Fracionários
}0{
}|{
}|{
*
***
*
−=
∈∈=
∈∈=
ZqeZpqpQ
ZqeZpqpQ
Seção 27
NúmerosConjuntos Numéricos
Números Irracionais (I)
Números Reais é o conjunto união dos conjuntos racionais e irracionais
Números Complexos
3.141593 ,5 ,3 ,2 =π
IQR =
}1 e ,/{C −=∈+= iRbabia
Seção 28
NúmerosOperações no Conjunto dos
Reais Adição
Multiplicação
Subtração
Divisão (se b≠0)
ba + )]([ baouba −+−
baouba ⋅×b
aouba
ouba1
/ ×
Seção 29
NúmerosPropriedades
Propriedade Comutativa
Propriedade Associativa
abbaabba ×=×+=+
cbacbacbacba ××=××++=++ )()()()(
Seção 210
NúmerosPropriedades
Propriedade Distributiva
Elemento neutro
– na Adição:
– na Multiplicação:
)()()( cabacba ×+×=+×
aa =+ 0
aa =× 1
Seção 211
NúmerosPropriedades
Existência de Simétrico ou Oposto
Todo número real tem oposto
Existência de Inverso ou Recíproco
0)( =−+ aa
11
0se =×⇒≠a
a a
Seção 212
NúmerosDesigualdades
Expressões do tipo
são chamadas desigualdades.
baba
baba
≤≥><
Seção 213
NúmerosPropriedades das Desigualdades
Se a < b e b < c , então a < c.
Ex.: 2 < 7 e 7 < 15, então 2 < 15Ex.: – 7 < – 4 e – 4 < – 1, então – 7 < – 1
Se a > b e b > c , então a > c.
Ex.: 7 > 3 e 3 > 1, então 7 > 1Ex.: – 1 > – 3 e – 3 > – 7, então – 1 > – 7
Seção 214
NúmerosPropriedades das Desigualdades
Se a > b , então a + c > b + c.
Ex.: 3 > –2, então 3 + (–3) > –2 + (–3), logo 0 >–5Ex.: –3 > –5, então –3 + (–3) > –5 + (–3), logo –6 >–8
Se a < b , então a + c < b + c.
Ex.: –2 < 1, então –2 + (–3) < 1 + (–3), logo –5 < –2Ex.: –5 < –3, então –5 + 3 < –3 + 3, logo –2 < 0
Seção 215
Se a < b e c < d, então a + c < b + d.
Ex.: 3 < 7 e –5 < –2, então 3 + (–5) < 7 + (–2), logo –2 < 5Ex.: –7 < –3 e –5 < –2, então (–7) + (–5) < (–3) + (–2),
logo – 12 < – 5
Se a > b e c > d então a + c > b + d.
Ex.: 9 > 4 e –1 > –5, então 9 + (–1) > 4 + (–5), logo 8 > –1Ex.: – 9 > – 4 e –1 > –5, então (– 9) + (–1) > (– 4) + (–5),
logo – 10 > –9
Números Propriedades das Desigualdades
Seção 216
Se a < b e c é um número positivo, então ac < bc.
Ex.: – 4 < – 2, então – 4 x 2 < –2 x 2, logo – 8 < – 4 Ex.: – 4 < 3, então – 4 x 5 < 3 x 5, logo – 20 < 15
Se a > b e c é um número positivo, então ac > bc.
Ex.: – 2 > – 4, então – 2 x 3 > – 4 x 3, logo – 6 > – 12Ex.: 2 > – 4, então 2 x 3 > – 4 x 3, logo 6 > – 12
NúmerosPropriedades das Desigualdades
Seção 217
Se a < b e c é um número negativo, então ac > bc.
Ex.: –3 < 2, então –3 x (–2) > 2 x (–2), logo 6 > – 4Ex.: –3 < –2, então –3 x (–2) > –2 x (–2), logo 6 > 4
Se a > b e c é um número negativo, então ac < bc.
Ex.: 2 > – 6, então 2 x (–2) < – 6 x (–2), logo – 4 < 12Ex.: – 2 > – 6, então – 2 x (–2) < – 6 x (–2), logo 4 < 12
NúmerosPropriedades das Desigualdades
Seção 218
Se 0 < a < b e 0 < c < d, então ac < bd.
Ex.: 0 < 3 < 8 e 0 < 7 < 9, então 3 x 7 < 8 x 9, logo 21 < 72
Se a > b > 0 e c > d > 0 , então ac > bd.
Ex.: 8 > 3 > 0 e 8 > 7 > 0, então 8 x 8 > 3 x 7, logo 64 > 21
NúmerosPropriedades das Desigualdades
Seção 219
O Conjunto de todos os números reais é denotado por R1 e pode ser representado por uma reta horizontal, chamada eixo orientado.
-2 -1 0 1 2
NúmerosIntervalos Numéricos
Seção 220
Intervalo fechado de a a b, denotado por [a,b], é o conjunto de todos os números reais tais que a ≤ x ≤ b.
Intervalo aberto de a a b, denotado por (a,b) ou ]a,b[ , é o conjunto de todos os números reais tais que a < x < b.
a b
a b
NúmerosIntervalos Numéricos
Seção 221
Intervalo semi-aberto à esquerda de a a b, denotado por (a,b] ou ]a,b] , é o conjunto de todos os números reais tais que a < x ≤ b.
a b
a b
NúmerosIntervalos Numéricos
Intervalo semi-aberto à direita de a a b, denotado por [a,b) ou [a,b[, é o conjunto de todos os números reais tais que a ≤ x < b.
Seção 222
Intervalo infinito à esquerda de – ∞ a b, denotado por (– ∞, b] ou ] – ∞, b] , é o conjunto de todos os números reais tais que – ∞ < x ≤ b.
NúmerosIntervalos Numéricos
Intervalo infinito à direita de a a ∞, denotado por [a, ∞) ou [a, ∞[, é o conjunto de todos os números reais tais que a ≤ x < ∞.
– ∞ b
∞a
Seção 223
Potenciação
Elevar um número real X à potência n (pertencente a N* e n≥ 2) significa multiplicar X por ele mesmo n vezes:
Exemplos:
vezesn
n xxxxx ⋅⋅⋅⋅=
32222222
81333335
4
=××××=
=×××=
Seção 224
PotenciaçãoPropriedades
Seja x um número real diferente de zero, a e b inteiros, então:
Exemplo
53737
52323
2222
4444
==×
==×−−
+
baba xxx +=×
Seção 225
PotenciaçãoPropriedades
Seja x um número real diferente de zero, a e b inteiros, então:
Exemplo
baba xx ⋅=)(
25622
256)16()2(824
224
==
==×
Seção 226
PotenciaçãoPropriedades
Seja x,y.z um número real diferente de zero, a inteiro, então:
Exemplo
aaaa zyxzyx ⋅⋅=⋅⋅ )(
360025169543
360060)543(222
22
=⋅⋅=⋅⋅
==⋅⋅
Seção 227
PotenciaçãoPropriedades
Sejam x e y números reais, com y diferente de zero, então:
Exemplo
a
aa
y
xyx =
6427
1728
3
12e644
312
3
33
3
====
Seção 228
PotenciaçãoPropriedades
Seja x um número real diferente de zero, então:
Exemplos
abba
b
a
aa
xx
x
xx
x
−−
−
==
=
1
1
3223
2
3
44
5
15
5
5
3
13
−−
−
==
=
Seção 229
PotenciaçãoPropriedades
Por definição:
Exemplos
x x xe x x =≠=≠ 10 então 01então 0
11
1)3(
16
0
0
0
=
=−
=
Seção 230
Radiciação
Generalização da Potenciação (expoente racional) Seja x um número real positivo e n é um número inteiro
positivo, então:
Exemplo:
nn xx =1
331
22/1
44
555
=
==
Seção 231
Radiciação
Seja x um número real positivo, a e b são números inteiros (b>0), então:
Exemplo:
( )abb aba xxx ==
( )533 535 333 ==
Seção 232
Raiz Quadrada
A raiz quadrada de um número a, tal que , define-se como um único número não-negativo tal que x2 = a.
Atenção: embora (–3)2 = 9, pois denota unicamente a raiz quadrada positiva de 9, isto é, 3.
Exemplos:
,39 −≠ 9
0≥a
981;864;749;636
525;416;39;24
====
====
Seção 233
Potenciação e Radiciação Exercícios
Determine os valores das potências abaixo:
431 222 ) −− ⋅⋅a
32
31
31
532 ) ⋅⋅b
( )31 )
2
−−
d
42 ) −−c
4)2( ) −−e
−− 3
2 2
)xxf
Seção 234
Potenciação e Radiciação Exercícios
Determine os valores das potências abaixo:
33
33
33 j) 4
5
4
4
5
4
−
−××
22 i) 3
2
−
−
( ) ( )51
51 )
2 2 −
×−k
( ) 03 ) −g ( )10011 ) −h
( )5021 ) −h
Seção 235
Caso LCL Cartonagem S.A.
A LCL Cartonagem S.A. fabrica uma embalagem especial, utilizada na indústria eletrônica. Devido ao peso das peças que são acondicionadas nesta embalagem, o fundo é preparado com uma base metálica e as laterais e a tampa são feitas de papelão. A matéria-prima utilizada no fundo tem um custo de R$ 200,00 por m2, a das laterais e da tampa R$ 80,00 por m2. Sabendo-se que a embalagem deve ser um cubo de 50 cm de lado, calcule o custo da matéria-prima utilizada nessa embalagem.
Seção 236
Caso LCL Cartonagem S.A.
50cm
50cm
50cm
( )( )[ ]
( )150208050
5080
50480
50200
2
2
2
=++=×=
××=
×=
Total Custo,Tampa da Custo
,Lateraisdas Custo
,Fundo do Custo
Seção 237
Divisão entre Polinômios
Somente se efetua a divisão entre dois polinômios quando o grau do dividendo for maior ou igual ao grau do divisor.
Exemplo: Dividir
532 por 103310 223 +−++− xxxxx
Seção 238
Divisão entre Polinômios
204 :Resto65 :Quociente
−−+
xx
10 3 310 23 ++− xxx 532 2 +− xx
x5 6+ 251510 23 xxx −+−xx 2212 2 − 10+
30 1812 2 −+− xx20 4 −− x
Seção 2
Divisão entre Polinômios
Então a seguinte igualdade pode ser escrita:
ou
39
3 2
2 210 3 3 10 4 205 6
2 3 5 2 3 5x x x xx
x x x x− + + − −= + +
− + − +
204)532)(65(
10 3 310 2
23
−−+−+=
=++−
xxxx
xxx
Seção 2
Já que:
Divisão entre Polinômios
40
( ) ( )2
2 2
3 2 2
2
3 2
2
5 6 2 3 5 4 204 205 62 3 5 2 3 5
10 15 25 12 18 30 4 202 3 5
10 3 3 102 3 5
x x x xxxx x x x
x x x x x xx x
x x xx x
+ − + − −− −+ + =− + − +
− + + − + − −=− +
− + +=− +
Seção 241
Divisão entre Polinômios Exercício
Dividir 3 por 423 2 −+− xxx
25 :Resto73 :Quociente
++x
423 2 +− xx 3−xx3 7+ 93 2 xx +−
x7 4+21 7 +− x25
Seção 242
Produtos Notáveis
Vocês se lembram...222 b 2ab a b) (a ++=+
222 b 2ab a b) (a +−=−
22 b a b)b)(a (a −=−+
Seção 243
Produtos Notáveis
Vocês se lembram...
322323 b 3ab ba3 ab) b)(a (a b) (a +++=++=+
322323 b 3ab ba3 ab) b)(a (a b) (a −+−=−−=−
3322 b a)b ab b)(a (a −=++−
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