CálculoDiferencialeIntegral1ExamenDepartamental2

9deOctubrede2020DURACIÓN2HORAS

Nombre________________________________________________________________CU______________Alhacerelexamenteestáscomprometiendoanousarlibros,apuntes,calculadoraocualquierotrotipodeayudaexterna.JUSTIFICACLARAMENTETURESPUESTA.1.(2ptos)Determinalosvaloresdeaparalosquelafunciónf:ℝ → ℝdefinidaacontinuaciónseacontinua,luegodeterminasiparaalgúnvalordeaesdiferenciable.

𝑓 𝑥 = 1− 𝑥! 𝑠𝑖 𝑥 < 1(𝑥 + 𝑎)! − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

2.(1.5ptos)Dadalafunción𝑓 𝑥 = !!

!!!"#!(!)calcula2𝑓! 𝑥 − 3𝑥𝑓!! 𝑥 para

𝑥 = !!

.3.(1.5ptos)Obtener𝑔′(3)si 𝑔 ∘ 𝑓

!2 = 7, 𝑓! 2 = 5, 𝑓 2 = 3 y𝑔 3 = 4 .

4.(1.5ptos)Determinalaecuacióndelarectatangentealacurva𝑦 = sen(sen 𝑥 )enelpunto 𝑥,𝑦 = −𝜋, 0 . 5.a)(0.5ptos)EnunciaconprecisiónelteoremadelValorIntermedioodeBolzano.b)(1.5ptos)Sean𝑓y𝑔:[-1,1]⟶ ℝdosfuncionescontinuastalesqueparatoda𝑥 en[-1,1]setiene0 ≤ 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 . Demuestrequelasgráficasdelasfunciones𝑓 y𝑔seintersectanenalgúnpuntoconabscisaen[-1,1].6.(1.5ptos)Dada𝑓: ℝ⟶ ℝdiferenciableenelpunto𝑥!,calcula

lim!→!! !!!! !! !!!!

!.