� Prof. Rafael Mesquita
Aula 21 – Integração Numérica
2014.1 – 14/07/2014
Cálculo Numérico
Integração Numérica
� Problemas resolvidos pelo cálculo de integral definida
� Determinação de áreas
� Determinação de volumes
� ...
� Mas, mem sempre o cálculo de integrais pode ser feito analiticamente...� Buscamos uma solução numérica
� Duas situações possíveis:� Função a ser integrada é desconhecida
� Temos apenas uma tabela de pontos
� Função é conhecida, mas a determinação de sua integral não é trivial (ou é impossível)
Integração Numérica
� Fórmulas de Newton-Cotes
� Integra o polinômio interpolador que substitui a função �� Aproximação
� Intervalo de integração [�; �] é dividido em partes iguais
� �� = � + � , � = 1,2, … , �
� Podemos então construir a tabela (��; �(��))� A partir da tabela a função � é interpolada para calcular o
valor aproximado de � � � ���
�
Fórmulas de Newton-Cotes
� Ideia Geral� Integrar o polinômio interpolador da função �
�
�(�)
� = � �� ��… � = ��
� Intervalo [a;b] é dividido em
partes iguais
– �� = � + � , � = 1,…�
� �(�) interpola � em [a;b]
� Calculamos a area...
� � � ! ="
# � � ! = $ %
� = � & + ' ! $ %
Fórmulas de Newton-Cotes
� � � � �� = � � � ��()(*
= � [� � + +(�)]��()(*
�
�
� � � = ∑ -�� � �(��)
��. => polinômio lagrange
� -�� = ∏
0 1
20 1
$1.%132
Fórmulas de Newton-Cotes
� Assim,
� � � � ��()(*
= � [� � + +(�)]��()(*
� = � ∑ -�� � �(��)
��. + + � ��
()(*
� = � ∑ -�� � �(��)
��. �� + � + � ��
()(*
()(*
� = ∑ [� -�� � �� × �(��)] + � + � ��
()(*
()(*
��.
Fórmulas de Newton-Cotes
� = ∑ [� -�� � �� × �(��)] + � + � ��
()(*
()(*
��.
� Definindo que
� 5�� = � -�
� � ��()(*
, � = 0,1, … , � e
� 7 = � + � ��()(*
,
� temos o método de Newton-Cotes generalizado:
� � � � �� = ∑ 5���
�. � �� + 7()(*
Fórmulas de Newton-Cotes
� Para obter 5��
, faremos uma mudança de variável,
onde � = � + 8 e teremos novos limites de integração:
� Para � = � ⇒ 8 = 0
� � = �� ⇒ 8 = � , pois z =(0(*<
� Como
� 5�� = � -�
� � ��()(*
= � ∏ 0 1
20 1
$1.%132
��()(*
� = �(0(*(=0(*
(0(>(=0(>
…(0(=?>(=0(=?>
(0(=@>(=0(=@>
…(0()(=0()
��()(*
Fórmulas de Newton-Cotes
� 5�� = �
(0(*(=0(*
(0(>(=0(>
…(0(=?>(=0(=?>
(0(=@>(=0(=@>
…(0()(=0()
��()(*
� Como 8 =(0(*<
, temos que
�
(0(*(=0(*
=(0(*�<
=A
�
� De forma genérica, temos que
�
(0(B(=0(B
=(0((*C�<)
�0� <=
(0(*0�<
�0� <=
(0(*�0� <
−�<
�0� <=
A
�0�−
�
�0�=
A0�
�0�
Fórmulas de Newton-Cotes
� Assim, aplicando a mudança de variável onde � = � + 8 e �� = �8, teremos que
� 5�� = �
(0(*(=0(*
(0(>(=0(>
…(0(=?>(=0(=?>
(0(=@>(=0(=@>
…(0()(=0()
��()(*
� 5�� = �
A
�
A0�
�0�…
A0�C�
�0�C�
A0�0�
�0�0�…
A0�
�0��8
�
Fórmulas de Newton-Cotes
� De forma mais sintética, temos que:
� � -�� � ��
()(*
= 5�� =
0� )?=.<
�! �0� !�
G)(A)
A0��8
�
,
� Com H� = 8 8 − 1 8 − 2 … (8 − �)
Método dos trapézios
� Calcula a área sob uma curva como uma série de trapézios
� Substitui, em cada subintervalo [��; ��C�], a função �por uma reta
� Calcula-se a área de cada trapézio e, em seguida, soma-se cada área
Método dos trapézios
�
� = � �� ��… � = ��
Método dos trapézios
� Soma de cada subintervalo
� � � ! $ %
= � � ! + � � ! I J
J %
+⋯+ � � ! $ $?J
� Usando o método de Newton-Cotes no intervalo %; J temos que
� � � ! = ∑ 5�� � �� + 7�
�. = 5� � � + 5�
� � �� + 7 > %
� Como 5� = 5�
� =<
�, obtemos que
� � � � �� =<
�� � +
<
�� �� + 7�
(>(*
� � � � �� =<
�� �� +
<
�� �� + 7�
(L(>
� � � � �� =<
�� �� +
<
�� �M + 7M
(N(L
� …
� � � � �� =<
�� ��0� +
<
�� �� + 7�
()()?>
Método dos trapézios
� � � � �� = O (* CO ()
�+ ∑ � ��
�0��.� + 7
()(*
� 7 ⇒ PQQR�RSéUR�R�RVUQ�Wé8XRV
� Podemos reescrever o método dos trapézios como
� � � � �� ≅ (Z �⁄ + \ + �)(>(*
,onde
� E -> somatório das imagens nos pontos extremos
� P -> somatório das imagens nos pontos pares (sem extremos)
� I -> somatório das imagens nos pontos ímpares (sem extremos)
Método dos trapézios – Exemplo
� Exemplo: Calcule, aproximadamente, o valor da
integral � ] ! %,^
%,%usando o método dos trapézios,
considerando 7 pontos dentro do intervalo [0,0;0,6]
Método dos trapézios – Exemplo
� Poderíamos ainda...
Exercício
� Calcule, usando a regra do trapézio com 7 pontos,
� Resposta:
Exercício
Método de Simpson
� “O método de Simpson se propõe a dar uma melhor precisão uma vez que são usadas partes de parábolas para aproximar a curva a ser integrada.”
Método de Simpson
� “Neste caso n tem que ser par, pois são somados dois subintervalos por vez.”
Método de Simpson
Método de Simpson
Método de Simpson
� Outro caminho:
� Encontrar o polinômio e integrá-lo.
Método de Simpson
Método de Simpson
Exemplo 6.2
Exemplo 6.2 - Solução
Exercício
� Usando a regra de Simpson para 7 pontos, calcular:
� Solução
Exercício – Solução
Dúvidas?
Referências
� Santos, J.D.; Silva, Z. C. Métodos Numéricos, Ed. Universitária UFPE. 3ª ed. Recife-PE, 2010.
� Cuminato, J.A. Cálculo Numérico. Notas de Aula ICMC/USP. Disponível em: http://www.ceunes.ufes.br/downloads/2/riedsonb-Apostila%20-%20Cuminato.pdf