CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO
A IDÉIA PRIMITIVA DE CONJUNTO É UMA REUNIÃO OU COLEÇÃO DE ELEMENTOS.
- Conjunto de revistas
- Conjunto de alunos de uma escola
Formas de representação:
Tabular: ( forma de tabela):
A = { a, e, i, o, u }
B= { 0, 2, 4, 6 }
Diagrama de Venn
a
b
A
Representação por meio de propriedade:
A = { x / x tem a propriedade p}
A = { x / x é país da Europa}
Propriedade p
O conjunto A é formado por TODOS os países da Europa.
B = { x / x é número par }
B é formado por todos os números pares.
Conjunto vazio:
-Não possui elemento algum
-Representa-se por ou { }
A = { x / x IN e 0 . X = 8 } A =
Conjunto finito:
- É todo conjunto onde é possível contar todos os seus elementos A = { verde, azul, rosa} n(A) = 3
Conjunto infinito:
- É todo conjunto infinito onde não é possível estabelecer uma contagem dos elementos. B = { 1, 2, 3, 4....}
Conjunto unitário:
-É todo conjunto infinito que possui apenas 1 elemento. B = { 1}
RELAÇÃO DE PERTINENCIA E INCLUSÃO
Dado o conjunto A = { 1, a, 2, b, 3, c }
Dizemos que:
O elemento 1 pertence ao conjunto A: 1 A
4 A 4 não pertence ao conjunto A
Elemento e conjunto usamos os símbolos ou
contido está nãoou contido Está
contém nãoou Contém :inclusão
pertence nãoou : pertenceapertinênci
SUBCONJUNTO – É PARTE DE UM CONJUNTO
Sendo A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Podemos obter vários subconjuntos a partir de A
B = { 0, 2, 4, 6 } B está contido em A B A
ou A contém B A B
C = { 4, 5, 7 } C não está contido em A C A
Conjunto e conjunto utilizamos a relação de inclusão:
( está ou não está contido) ( contém ou não contém)
{ 2, 3, 4 } { 0, 3, 6, 8 }
A
B
A CONTÉM B A B
ou
B ESTÁ CONTIDO EM A B A
Em forma de diagrama
• Igualdade de conjuntos:• Dois conjuntos A e B são iguais ( A = B) se e
somente se A tem os mesmos elementos de B.
Conjunto Universo:
É todo conjunto considerado para estudar determinada situação:
Exemplo: Ao estudar uma determinada doença em uma população de ratos, o conjunto universo é o conjunto de todos os ratos.
Conjuntos Numéricos I) Números Naturais N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }
II) Números Inteiros Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }
Todo número natural é inteiro, isto é, N é um
subconjunto de Z
• III) Números Racionais
• - São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.
• Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }
-Números decimais exatos são racionais Pois 0,1 = 1/10
2,3 = 23/10 ...
- Números decimais periódicos são racionais.
0,1111... = 1/9 0,3232 ...= 32/99 2,3333 ...= 21/9 0,2111 ...= 19/90
-Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.
IV) Números Irracionais
- São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.
-São compostos por dízimas infinitas não periódicas. Ex:
V) Números Reais - É a reunião do conjunto dos números
irracionais com o dos racionais. Resumindo:
Vejamos primeiramente o conceito de par ordenado:• Dados dois números x e y numa certa ordem, chamamos de par ordenado
( x,y) ao par de números x e y , tais que x é o 1º elemento do par e y é o 2º elemento do par ordenado.
• Exemplo: ( 2, 3 ) x = 2 e y = 3 ( - 5 ; 3,2 ) x = -5 e y = 3,2
Produto cartesiano A x B é o produto deProduto cartesiano A x B é o produto de
A por B, formado por pares ordenados A por B, formado por pares ordenados onde onde
o 1º elemento pertence ao 1º conjunto e o 1º elemento pertence ao 1º conjunto e
o 2º elemento pertence ao 2º conjunto. o 2º elemento pertence ao 2º conjunto.
Sendo conhecidos os conjunto A e B: A = { 3, 4, 5 } e B = { 1, 2 }
Em diagrama:Em diagrama:
3
4
5
1
2
A B
A x B
AXB= { (3,1), (3,2), (4,1),(4,2),(5,1),(5,2) }
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
UNIÃO ( ADIÇÃO)
A B
A U B = TODOS ELEMENTOS DE A + TODOS ELEMENTOS DE B
1
2
3
4
2
A U B = { 1, 2, 3, 4} A
BSE A CONTÉM B ENTÃO A U B = A
A B
1
23
4
Exemplo 1: Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois conjuntos é : A U B = {0,1,2,3,4}
Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é: A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso podemos dizer que A U B = B.
INTERSECÇÃO
SÃO OS ELEMENTOS QUE APARECEM NOS DOIS CONJUNTOS AO MESMO TEMPO
a
b cd
e
A B = { C }
A
B A B = B
A B
Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados.
Exemplo 1: Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles teremos: A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5.
Exemplo 2: Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles teremos: B ∩ C = { } ou B ∩ C = , então B e C são conjuntos distintos.
Exemplo 3: Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos ficaria assim: E ∩ D = {3,4,5} ou E ∩ D = E, pode ser concluído também que E D.
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é representado por A – B.
Exemplo 1: A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é: A – B = {1,2}
Exemplo 2: A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é: A – B = {1,2,3,4,5}
Exemplo 3: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}a diferença dos conjuntos é: A – B =
DIFERENÇA A – B OU B – A
A – B ( TODOS ELEMENTOS QUE APARECEM EM A MAS NÃO ESTÃO EM B )
1
2
3
4
5
6
A B
A – B = { 1, 2}
B – A = { 5, 6 }
CONJUNTO COMPLEMENTAR
Complemento é aquilo que completa
BCA Lemos Complementar de A em
relação a B B – A
Toda parte azul é o complementar de A
A
B
ELEMENTOS QUE ESTÃO EM B MAS NÃO ESTÃO EM A
Exemplo 4:
Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é:
A – B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escrever em forma de complementar:
A – B = A B = {1,2,3,4}. Lemos: complementar de B em relação a ASão todos elementos que estão em A mas não estão em B
• Intervalos Reais • O conjunto dos números reais (IR) possui subconjuntos, denominados intervalos. Estes intervalos são determinados por meio de desigualdades.
• Sejam os números reais a e b, com a < b , temos os conjuntos:
OBSERVAÇÃO:
A bolinha vazia na reta real indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo.A bolinha cheia na reta real indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo.
• Existem, também, os intervalos infinitos. São eles:
• 5 - Menos infinito e fechado em n :
• 6 - Menos infinito e aberto em n :
• 7 - Mais infinito e fechado em n
• 8 - Mais infinito e aberto em n :
• Prof. Meire de Fátima
• Ensino Médio – 1º ano
• 2011
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