João Victor Tenório – Engenharia Civil
Conjuntos
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2
Definição
Noção intuitiva: São coleções de elementos da mesmaespécie.
- O conjunto de todos os estudantes da UFAL.
- O conjunto de todos os brasileiros.
- O conjunto de todos os números naturais.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letramaiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Seus componentes são formados por elementos que sãodenotados por letras minúsculas do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Representações: formas
Compreensão
A = conjunto de alunos da UFAL
Implícita Hgh
B
Explícita C
Diagrama de Euler-Venn
Z
2;/ xxxB
semanadadiaéddN /
uoieaC ;;;;
Conjuntos especiais
Conjunto Vazio: o conjunto que não possui elementos Seja X um conjunto qualquer, o conjunto vazio Ø é definido por:
H
Conjunto Unitário: é um conjunto formado por um únicoelemento Ex: M = {7}
xxXx /
Conjuntos especiais
Conjunto finito: Se for vazio ou tiver um número finito de elementos.
O conjunto das cidades de Portugal
O conjunto vazio.
O conjunto do número de habitantes de Delmiro Gouveia
Conjunto infinito: Se o conjunto tiver uma quantidade incontávelde elementos.
O conjunto N dos números naturais.
O conjunto dos números primos.
O conjunto Z dos números inteiros.
Conjuntos especiais
Conjunto Universo: é o conjunto de todos os elementos,representado pela letra U
Também é admitido como restrito a uma região de interesse.
Ex.: - Conjunto Universo das letras
- Conjunto Universo dos Conjuntos
J
O MW
Notações básicas
( também representado por / )
Relação de pertinência
Relaciona elementos e conjuntos, informando se um elemento fazparte ou não de tal conjunto
x pertence ao conjunto A Simbologia:
(lê-se: “x pertence a A”)
x NÃO pertence ao conjunto A Simbologia:
(lê-se: “x NÃO pertence a A”)
Exemplos F
g
Ax
Ax
23;10;5;45
2;1;0;2;16
Relação de inclusão 1
Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto dooutro
A está contido em B
Simbologia:
A NÃO está contido em B. Simbologia:
Exemplos
F
g
BA
BA
23;10;5;423;5
1;20;2,1011;0
AB
A
BA
A
Relação de inclusão 2
Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto ousuperconjunto do outro:
B contém A
Simbologia:
B NÃO contém A Simbologia:
Exemplos
F
g
AB
AB
10;5;410;4;23;5
3;11;18;1015;3;11;0
AB
A
BA
A
Conjuntos: operações
BxAxxBA ;U
9
7 6
8
BA
1 2
3 4
5
•Interseção: A B (lê-se: “A interseção a B”) é o conjunto formado porelementos pertencentes a A e a B. BxAxxBA ;U
A
1 2
3 4
5 7
9
6
8
B
2
4
7
•União: A B (lê-se: “A união B”) é o conjunto formado por elementospertencentes a A ou a B.
Conjuntos: operações
DIFERENÇA: A - B (lê-se: “A menos B”) é o conjunto formado porelementos pertencentes a A, mas NÃO a B.
A
B
A-B
Conjunto complementar
Definição: Seja B um conjunto qualquer (portanto subconjunto douniverso U), o complementar de B em relação ao conjunto universo, ésimbolizado por:
ouB
BxxB ;UO que é equivalente a: BB U
U-B
B
U B
cB
Dicas !!!
• Elemento neutro para a união: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para aunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
• Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø comqualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
• Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutropara a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
Exemplos
(PUC) Um levantamento socioeconômico entre oshabitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17%têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casaprópria e automóvel. Qual o percentual dos que não têmcasa própria nem automóvel?
R= 69%
Exemplos
Vamos Praticar!
1. Julgue as proposições como verdadeira ou falsa:
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Os Conjuntos Numéricos
Conjunto dos números naturais
Estes números foram criados pela necessidade prática de contaras coisas da natureza.
A representação matemática deste conjunto é dada da seguinteforma:
(Conjuntos dos números naturais não-nulos)
Subconjunto:
Conjunto dos números inteiros
A subtração de 1 - 4 era impossível.
A ideia do número negativo, apareceu na Índia, associada a problemascomerciais que envolviam dívidas.
O número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.
A representação matemática dos números inteiros é dada da seguinte forma:
Conjunto dos números inteiros
Subconjuntos:
(Conjunto dos números inteiros não-nulos)
(Conjunto dos números inteiros não-negativos)
(Conjunto dos números inteiros positivos não-nulos)
Conjunto dos números inteiros (continuação)
Subconjuntos:
(Conjuntos dos números inteiros não-positivos)
(Conjuntos dos números inteiros negativos
não-nulos)
Vamos praticar!
1. Classifique como verdadeiro ou falso:
a) A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural.
b) A diferença entre dois números naturais quaisquer é um número natural.
c) O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural.
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Vamos praticar!
2. Classifique como verdadeiro ou falso:
Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Como dividir 3 ovelhas para 2 herdeiros?
Conjunto dos números racionais
• Para resolver problemas de divisões de números inteiros (3/2), foram criados
os números fracionários que unidos aos inteiros (Z), formam os números
racionais (Q).
A representação matemática deste conjunto é:
Q = Z {números fracionários}
Assim,
Q= }0b e Zb Z,a com,b
ax/x{
}b , a com,b
ax/x{ *ZZQ
Será que existe uma forma mais
compacta para Q?
Conjunto dos números racionais
- Todo número que pode ser escrito na forma de fração entre dois inteiros éum número racional. Na forma decimal podem ser representados por:
- Decimal Exata
Ex.: 3/4 = 0,75 25/8 = 3,125 -2/5 = -0,4
- Decimal Periódica
Ex.: 17/6 = 2,8333... 23/99 = 0,232323...
Onde, 17/6 e 23/99 são as geratrizes das dízimas periódicas,
que tem, respectivamente, períodos 3 e 23.
26/44
Conjunto dos números racionais
- Obtendo a fração irredutível equivalente a dízima periódica:
a) 0,222...
Demonstração!
Conjunto dos números racionais
Vamos Praticar!
- Obtendo a fração irredutível equivalente a dízima periódica:
a) 0,444... b) 0,3535... C) 0,155... D) 0,251251...
Conjunto dos números irracionais
Representam os números decimais infinitos e não-periódicos.
π = 3,1415926535...
31/2 = 1,7320508...
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Formado a partir da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.
A representação matemática deste conjunto é:
r} ou x {x/x IQIrQR
Intervalos reais
Notações intuitivas:
É numa reta real onde todos os infinitos números reais sãorepresentados de maneira crescente.
30/44
0 1 2 3-3 -2 -1
2,7
1,8
1,52 5
-2,7
-1,8
-1,5- 2- 5
-
O
Do menos infinito ao mais infinito
Intervalos reais
Um intervalo é um pedaço da reta real representado por:
Bolinha aberta
A extremidade está incluída A extremidade está excluída
(ou seja, dentro) do intervalo. (ou seja, fora) do intervalo.
• O intervalo vai do -4 até o 4
• O intervalo inclui o -4 mas não inclui o 4
Bolinha fechada Bolinha aberta
-4 4
Intervalos reais
4/ xxS
5/ xxS
4 x
5 x
-5 2 x
-6 3 x
25/ xxS
36/ xxS
INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA
Intervalos reais
3ou 44/ xxxS
-4 4x
3
3444/ xxxS
)3,4()4,4[ S
Intervalos reais
INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA
x-4 4 3
BA
B
A
INTERVALOS REAIS
)4,4[BA
44/ xxS
UNIÃO DE INTERVALOS
x-4 2
x-2 4
x-2 4-4 2
INTERSECÇÃO DE INTERVALOS
BA
B
A
)2,2[ BA
22/ xxS
INTERVALOS REAIS
x-4 2
x-2 4
x-2 2
DIFERENÇA DE INTERVALOS
BA
B
A
)2,4[ BA
24/ xxS
Intervalos reais
x-4 2
x-2 4
x-2-4 x-2
Vamos Praticar!1. Dados A = [0,3] e B = [1,5[, calcule:
Intervalos reais
Obrigada pela atenção!
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