Função Modular -...

Danielly Guabiraba- Engenharia Civil

Função Modular

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1

NA AULA DE HOJE...

Módulo de um número real;

Equações modulares;

Inequações modulares;

Função Modular.

Módulo de um número real

O módulo ou valor absoluto de um número real r, é representado por |r| e definido da seguinte maneira:

r se r ≥ 0 -r se r < 0

|r|=

Então:

• Se r é positivo ou zero, | r | é igual ao próprio r.

• Se r é negativo, | r | é igual a -r.


O módulo de um número real é sempre positivo ou

nulo, nunca é negativo.

Geometricamente, o módulo de um número indica, na

reta real, a distância desse número ao zero. Assim:

0

a unidades a unidades

PROPRIEDADES

1º) Para todo , temos que |r|=|-r|.

Exemplos:

a) |7| = |-7| = 7 b) |-4|=|4| = 4 c) |1/2|=|-1/2| = 1/2

CUIDADO!! |-r|≠ r

2º) Para todo , temos |r²|=|r|²= r²

Exemplos:

a) Para r = 6 r² = 36, |r²| = |36| e |r|² = |6|² = 6² = 36

b) Para r=-5 r² = 25, |r²| = |25| e |r|² = |-5|² = 5² = 25


r

r

3º) Para todo r e x pertencentes a R, |r . x|=|r|.|x|

Exemplo:

a) r=2 e x=3 -> |2 . 3| = |2| . |3|

|6| = 2 . 3 -> 6 = 6

4º) Para todo r e x pertencentes a R, |r + x| ≤ |r|+|x|

Exemplo:

a) r=-3 e x=4 -> |(-3) + 4| ? |(-3)| + |4| |1| ? 3 + 4 1 < 7


5º) Para todo r e x pertencentes a R, ||r| - |x|| ≤ |r - x|

Exemplo:

a) r = -1 e x = 2

||-1| - |2|| ? |-1 – 2|

|1 - 2| ? |3|

|-1| ? |3|

1 < 3


Equações modulares

Toda a equação que contiver a incógnita em um

módulo num dos membros será chamada equação

modular.

Para resolvê-las é útil lembrar das propriedades dos

módulos.

Exemplos:

a) | x - 5 | = 3

b) | 3x - 5 | = | x + 3 |

Resposta : x=8 ou x=2

Resposta : x=1/2 ou x=4

Inequações modulares

Chamamos de inequações modulares as inequações nos

quais aparecem módulos de expressões que contém a

incógnita.

Exemplos:

a) | x - 3 | < 7

b) 2 < |x - 1| < 4

Resposta : -4 < x < 10

Resposta : -3 < x < -1 ou 3 < x < 5

Função Modular

Chamamos de função modular a função f, de R em R, tal

que f apresenta o módulo na sua lei de formação. A

função modular mais elementar é dada por f(x)=|x|, que

pode ser reescrita por:

Observe, então, que a função modular é uma função

definida por duas sentenças.

0 se ,

0 se ,)(

xx

xxxf

Função Modular

Exemplo 1:

3||

1)(

xxf

Resolução:

}3ou 3|{ :Resposta

3ou 3 3|| 03|| :Então

.03|| se IR em possível é só 3||

1 que Sabemos

xxIRxD

xxxx

xx

DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO

Vamos determinar o domínio de algumas funções

utilizando inequações modulares:

Gráficos

GRÁFICO

x

y=f(x)

-1

1

-2

2

0

0

1

1

2

2

Gráfico da função f(x)=|x|:

Gráficos

EXERCÍCIOS

Construa o gráfico de

|2|)( xxf

Resolução:

Ou seja,

02- xse 2,x-

0 2- xse 2,-x

|2|)( xxf

2 xse 2,x-

2 x se 2,-x

|2|)( xxf

Gráficos

EXERCÍCIOS

Resolução (continuação):

Assim, a função é a reta y=-x+2 , antes do ponto x=2, e a

reta y=x-2, após esse ponto.

Gráficos

Comparando os dois gráficos vistos:

Deslocamento horizontal para a direita em a unidades.

Gráficos

EXERCÍCIOS


|3|)( xxf

Gráficos

Comparando os gráficos das funções:

|3|)( xxf ||)( xxf

Deslocamento horizontal para a esquerda em a unidades.

Gráficos

EXERCÍCIOS


1||)( xxf

Gráficos


||)( xxf

Deslocamento vertical para cima em a unidades.

1||)( xxf

Gráficos

EXERCÍCIOS


2||)( xxf

Gráficos


||)( xxf

Deslocamento vertical para baixo em a unidades.

2||)( xxf

Gráficos

De modo geral podemos perceber que:

• O gráfico de uma função g(x) = |x| + k é semelhante ao de

f(x) = |x|, porém transladado para cima (quando k > 0) ou

para baixo (quando k < 0). O número de unidades do

deslocamento é o valor absoluto de k.

• O gráfico de uma função h(x) = |x - m| é semelhante ao de

f(x) = |x|, porém transladado para a direita (quando m > 0)

ou para a esquerda (quando m < 0). O número de unidades

do deslocamento é o valor absoluto de m.

Obrigado pela atenção!

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