Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas
Variáveis aleatóriasCristian Villegas
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Introdução
Na prática é, muitas vezes, mais interessante associarmos um número a um eventoaleatório e calcularmos a probabilidade da ocorrência desse número do que aprobabilidade do evento. Introduziremos a seguir o conceito de variáveisaleatórias.
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Variável aleatória
Definição 1. Seja ε um experimento aleatório e Ω o espaço amostral associado comε. Uma função X que associa a cada um dos elementos de ω ∈ Ω, um número realX(ω), se denomina variável aleatória. Isto, pode ser representado da seguinte forma
X : Ω→ R
ω X(ω)
Exemplo 1. Se lança uma moeda duas vezes e se define a variável aleatória X comoo número de caras obtido nos dois lançamentos. Defina ε, Ω e os possíveis valores davariável aleatória X.
Observação 1. Uma variável aleatória pode ser classificada em
1. variável aleatória discreta ou
2. variável aleatória continua.
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Variável aleatória discreta
Definição 2. Uma variável aleatória é discreta quando os possíveis valores davariável aleatória assumem valores em um conjunto enumerável.
Exemplo 2. A seguir alguns exemplos,
• número de sementes que germinam.
• número de chamadas telefônicas numa central da TIM em 30 minutos.
• número de acidentes na rua XV de novembro.
• número de mulheres na ESALQ.
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Variável aleatória continua
Definição 3. Uma variável aleatória é continua quando os possíveis valores davariável aleatória não assumem valores em um conjunto enumerável.
Exemplo 3. A seguir alguns exemplos,
• rendimento de milho (kg/ha),
• diâmetro de uma árvore,
• ângulo entre o norte e a direção tomada por um pássaro no sentido horário,
• altura de plantas.
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Teorema 1. O caso mais simples de variável aleatória é a função indicadora quedefinimos a seguir. Seja A ⊂ Ω. Então, a função indicadora de A, IA é definida por
IA(ω) =
1 se ω ∈ A;
0 se ω ∈ Ac.
Exemplo 4. A seguir alguns exemplos,
• para uma variável aleatória discreta
I0,1,2,3(x) =
1 se x ∈ 0, 1, 2, 3;0 se x /∈ 0, 1, 2, 3.
• para uma variável aleatória continua
IR+(x) =
1 se x ∈ R+;
0 se x /∈ R+.
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Função de probabilidades
Definição 4. Uma função P (X = x) de uma variável aleatória discreta se denominafunção de probabilidades se satisfaz as seguintes duas condições
P (X = x) ≥ 0 x ∈ Rx e∑x∈Rx
P (X = x) = 1,
em que, Rx denota os possíveis valores da variável aleatória X. A distribuição deprobabilidades de X é o conjunto de pares ordenados (xi, P (X = xi)), em que xirepresenta os diferentes valores da variável aleatória X e P (X = xi) a probabilidadede ocorrência de xi.
Exemplo 5. Seja X uma variável aleatória com função de probabilidades
P (X = x) =1
6para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Determine se P (X = x) é uma função de probabilidades.
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Função densidade de probabilidades
Definição 5. Uma função f(x) de uma variável aleatória continua se denominafunção densidade de probabilidades se satisfaz as seguintes duas condições:
f(x) ≥ 0 x ∈ Rx∫x∈Rx
f(x) dx = 1,
em que, Rx denota os possíveis valores da variável aleatória X.
Exemplo 6. Se X é uma variável aleatória continua com função
f(x) = 1 parax ∈ [0, 1].
f(x) é uma função densidade de probabilidades?
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Tarefa
Exemplo 7. Seja X uma variável aleatória continua
f(x) =1
b− aparax ∈ [a, b].
f(x) é uma função densidade de probabilidades?
Exemplo 8. Seja X uma variável aleatória continua
f(x) = λe−λx parax ∈ (0,∞), λ > 0
f(x) é uma função densidade de probabilidades?
Exemplo 9. Seja X uma variável aleatória continua
f(x) =1
λe−
1λ x parax ∈ (0,∞), λ > 0
f(x) é uma função densidade de probabilidades?
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Função de distribuição acumulada
Definição 6. Dada a variável aleatória X, chamaremos de função de distribuiçãoacumulada a função F (x) definida por:
F : R→ [0, 1]
x F (x) = P (X ≤ x)
Para uma variável aleatória discreta
F (x) = P (X ≤ x) =∑xi≤x
P (X ≤ xi).
Exemplo 10. Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidadesdada por
P (X = x) =3!
(3− x)!x!
(1
2
)x(1
2
)3−x
I0,1,2,3(x)
Determine e faça o gráfico de F (x).
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Função de distribuição acumulada
Para uma variável aleatória continua
F (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞f(t) dt.
Exemplo 11. Seja X uma variável aleatória continua com função densidade deprobabilidades dada por
f(x) = e−x parax ∈ (0,∞).
Determine F (x).
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Relação entre f(x) e F (x) para uma variável aleatória continua
Seja f(x) uma função densidade de probabilidades, isto é, uma função nãonegativa que integra 1. Qual é a relação entre F (x) e f(x)?
F (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞f(t) d t. (1)
Note da equação (1) que com base no teorema teorema fundamental do cálculointegral
f(x) =dF (x)
d x.
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Observação 2. Para uma variável aleatória continua
P (X = x) = 0 x ∈ R
P (a < X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b)
=
∫ b
a
f(x) d x = F (b)− F (a).
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Esperança de uma variável aleatória
Definição 7. A esperança de uma variável aleatória discreta X, é definida por
E(X) =∑x∈Rx
xP (X = x).
Exemplo 12. Determine E(X) para a seguinte variável aleatória discreta
P (X = x) = px (1− p)1−x parax ∈ 0, 1.
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Esperança de uma variável aleatória
Definição 8. A esperança de uma variável aleatória continua X, é definida por
E(X) =
∫ +∞
−∞x f(x) d x.
Exemplo 13. Determine E(X) para a seguinte variável aleatória continua
f(x) =1
b− aparax ∈ [a, b],
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Tarefa
Exemplo 14. Determine E(IA(x)), em que
IA(x) =
1, se x ∈ A;
0, se x /∈ A.
Exemplo 15. Determine E(X) para a seguinte variável aleatória continua
f(x) =1
λe−x/λ parax ∈ (0,∞).
Exemplo 16. Determine E(X) para a seguinte variável aleatória continua
f(x) = λe−λx parax ∈ (0,∞).
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Propriedades da esperança
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, a, b ∈ R (constantes), então
1. E(a) = a.
2. E(aX ± bY ) = aE(X)± bE(Y ).
3. E(aX) = aE(X).
4. E(aX ± b) = aE(X)± b.
5. E[(X − a)2] = E(X2)− 2aE(X) + a2.
6. E(XY ) = E(X)E(Y ), se X e Y são variáveis aleatórias independentes.
Exemplo 17. Seja X uma variável aleatória discreta com
P (X = x) = px (1− p)1−x parax ∈ 0, 1.
Determine E(2X + 1).
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Variância para uma variável aleatória
Definição 9. Seja X uma variável aleatória e µ = E(X). A variância de X é definidapor
V (X) = E(X − µ)2
= E(X2 − 2Xµ+ µ2)
= E(X2)− 2µE(X) + µ2, usando propriedades de esperança
= E(X2)− 2µµ+ µ2, µ = E(X)
= E(X2)− µ2, µ = E(X)
= E(X2)− E(X)2.
Geralmente usamos a seguinte definição de variância
V (X) = E(X2)− E(X)2.
Note que V (X) = E(X − µ)2 ≥ 0.
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Variância para uma variável aleatória
Definição 10. A variância para uma variável aleatória discreta é dada por
V (X) =∑x∈Rx
x2 P (X = x)−[ ∑x∈Rx
xP (X = x)
]2.
Exemplo 18. Sejam X1 e X2 duas variáveis aleatórias. Com base na seguinte tabelacalcule V (X1) e V (X2) e faça alguns comentários.
x 1 2 3 4 5
P (X1 = x1) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
P (X2 = x2) 0.3 0.1 0.2 0.1 0.3
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Variância para uma variável aleatória
Definição 11. A variância para uma variável aleatória continua é dada por
V (X) =
∫x∈Rx
x2 f(x) d x−[∫
x∈Rxx f(x) d x
]2.
Exemplo 19. Determine V (X), com base em
f(x) = 1 parax ∈ [0, 1].
Tarefa
Exemplo 20. Determine V (X), com base em
f(x) =1
b− aparax ∈ [a, b].
Exemplo 21. Determine V (X), com base em
f(x) = λ e−λx parax ∈ (0,∞) λ > 0.
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Propriedades da variância
Sejam X e Y variáveis aleatórias, a e b constantes, então
1. V (aX + b)
2. V (a) = 0
3. V (aX) = a2V (X)
4. V (−X) = V (X)
5. V (X ± Y ) = V (X)± V (Y ), se X e Y são variáveis aleatórias independentes.
Tarefa
Exemplo 22. Seja X uma variável aleatória discreta com
P (X = x) = px (1− p)1−x parax ∈ 0, 1.
Determine V (2X + 1).http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2014/LCE0216/ 21
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