MATEMÁTICA III 1 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
DEFINIÇÃO .......................................................................................... 2
EQUAÇÃO REDUZIDA ........................................................................ 2
EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA ....................................... 3
RECONHECIMENTO ........................................................................... 3
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA.......... 12
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA ............. 17
PROBLEMAS DE TANGENCIA ......................................................... 20
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS ............. 23
RESPOSTAS ..................................................................................... 28
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 30
No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3.
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
DEFINIÇÃO
Circunferência é um conjunto de pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo chamado CENTRO. A distância do centro a qualquer ponto da circunferência é denominada RAIO. Uma circunferência está bem determinada quando são conhecidos seu centro e raio.
Consideremos a circunferência de centro no ponto C(a, b) e raio r como na figura abaixo:
Um ponto P(x, y) pertence a se, e somente se, a distância PC é igual ao raio r.
PCP D r
EQUAÇÃO REDUZIDA
Chama-se equação da circunferência aquela que é satisfeita por todo ponto P(x, y) pertencente à curva. Como foi destacado acima, P se
verificar a condição PCD r , assim,
temos que:
PCP D r
Como 2 2
PCD x a y b , desta
forma, podemos escrever que:
2 2
x a y b r
ou
2 2 2x a y b r
Ex.1: Escrever a equação da circunferência de centro no ponto (5, 3) e raio 7. Resolução:
Substituindo a, b e r na expressão
2 2 2x a y b r , temos que a equação
procurada é 2 2
5 3 49x y .
Ex.2: Qual a equação da circunferência de centro na origem e raio 4? Resolução: A partir do enunciado, temos a = 0, b = 0 e r = 4 e, substituindo na expressão dada, encontramos
2 2 16x y .
__________________________
Em sentido contrário, quando encontramos uma equação na forma
2 2 2x a y b r com 2 0r já
podemos afirmar que descreve uma circunferência de centro em C(a, b) e raio r.
MATEMÁTICA III 3 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
Ex.1: Identificar o centro e o raio da circunferência de equação
2 2
2 4 25x y .
Resolução: Comparando a equação dada com aquela apresentada acima, temos que a = 2, b = -4 e r = 5, logo o centro é o ponto C(2, -4) e raio 5. Ex.2: Qual o centro e o raio da circunferência que é apresentada pela
equação 22 4 13x y ?
Resolução: Podemos reescrever a equação
por 2 2
0 4 13x y , assim, o
centro é o ponto C(0, 4) e o raio é 13 .
EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA
O desenvolvimento da equação reduzida, nos leva à equação geral da circunferência, acompanhe:
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 0
2 2 0k
x a y b r
x ax a y by b r
x y ax by a b r
2 2 2 2 0x y ax by k
Ex.: Escrever a equação geral da circunferência de centro no ponto C(1, -3) e raio 4. Resolução:
22 2 2 2 21 3 4 6k a b r
2 2
2 2
2 2
2 2 0
2 1 2 3 6 0
2 6 6 0
x y ax by k
x y x y
x y x y
RECONHECIMENTO
É essencial saber reconhecer quando uma equação do 2º grau, dada em termos de x e y, representa uma circunferência. Vamos partir da equação
2 2 0Ax By Cxy Dx Ey F que, a
partir de agora, trataremos por E1. Dividindo todos os termos de E1 por A, obtemos a equação abaixo que denominaremos E2:
2 2 0B C D E F
x y xy x yA A A A A
Vamos agora comparar E2, termo a termo, com a equação geral apresentada na página anterior:
2 2
2 2
2 2 0
0
x y ax by k
B C D E Fx y xy x y
A A A A A
Podemos concluir que:
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
1. 1 0B
A BA
2. 0 0C
CA
3. 22
D Da a
A A
4. 22
E Eb b
A A
5. 2 2 2F Fk a b r
A A
2 2
2
2 22
2 2
2 22
2
2 2
4 4
4
4
F D Er
A A A
D E Fr
A A A
D E AFr
A
como r é um número real positivo,
então 2 0r , então: 2 2
2
40
4
D E AF
A
E, resumindo, são três as condições para que E1 represente uma circunferência:
I. 0A B
II. 0C
III. 2 2
2
40
4
D E AF
A
Satisfeitas estas três condições,
temos que a equação 2 2 0Ax By Cxy Dx Ey F
representa uma circunferência de centro
,2 2
D EC
A A
e raio 2 2 4
2
D E AF
A
.
OBSERVAÇÔES
a. Se uma das três condições citadas acima não for satisfeita, a equação representa um lugar
geométrico diferente de uma circunferência ou até mesmo um conjunto vazio.
b. Quando a equação da
circunferência apresenta coeficientes unitários para x2 e y2, (A = B = 1), o centro e o raio da circunferência podem ser encontrados a partir de:
2
Da ,
2
Eb e
2 2r a b k
c. Se os coeficientes de x2 e y2 não forem unitários, podemos dividir todos os coeficientes da equação da circunferência por A, assim obteremos uma equação onde tais coeficientes serão iguais a 1.
d. Outro processo rápido de
encontrar o centro e o raio de uma circunferência, consiste em escrever a equação na forma
reduzida 2 2 2x a y b r
e, por uma comparação simples, extraímos as informações que caracterizam centro e raio.
Ex.1: Dentre as equações a seguir, destaque aquelas que representam e aquelas que não representam uma circunferência e justifique aquelas que não representam:
A 2 23 5 7 1 0x y x y
B 2 2 4 6 9 0x y xy x y
C 2 23 3 4 6 15 0x y x y
D 2 2 2 2 2 0x y x y
E 2 22 2 4 6 3 0x y x y
MATEMÁTICA III 5 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
Resolução: A não representa uma circunferência pois os coeficientes de x2 e y2 são diferentes.
B não representa uma circunferência pois o coeficiente de xy é diferente de zero. C não representa uma
circunferência pois 2 2 4D E AF
224 6 4 3 15 128 0
D não representa uma
circunferência pois 2 2 4D E AF
2 2
2 2 4 1 2 0 . Desta forma,
o raio seria nulo. E representa uma circunferência
pois 2 0A B , 0C pelo fato de não
aparecer o termo xy e, por fim,
2 22 2 4 4 6 4 2 3D E AF
16 36 24 76 0 .
Ex.2: Achar o centro e o raio da circunferência de equação
2 2 6 4 13 0x y x y .
Resolução: Este problema pode ser resolvido por métodos diferentes. Vamos destacar dois destes métodos: Método 1 Uma das formas de encontrar as coordenadas do centro e o raio consiste em completar os quadrados e escrever a equação na forma reduzida extraindo, daí, as informações pedidas, acompanhe na próxima página:
2 2 6 4 13 0x y x y 1
2 26 4 13x x y y 2
2 26 4 13x x y y
3
2 26 9 4 4 13 9 4x x y y 4
2 26 9 4 4 25x x y y 5
3 23 2 5x y 6
Na linha 2 isolamos o termo independente.
Na linha 3 criamos os espaços que usaremos para de completar os quadrados.
Na linha 4 foram completados os quadrados dividindo os coeficientes de x e y por 2 e elevando o resultado ao quadrado. Estes valores foram somados em ambos os membros da equação.
Na linha 5 destacamos, entre parênteses os dois trinômios quadrados perfeitos obtidos.
Por fim, na linha 6 fatoramos os dois trinômios com o objetivo de obter uma forma reduzida da equação da circunferência.
Daí, podemos afirmar que a circunferência dada tem centro no ponto C(3, -2) e raio 5. Método 2 Vamos comparar a equação dada com uma equação geral de circunferência com coeficientes de x2 e y2 iguais a 1, acompanhe;
2 2 6 4 13 0x y x y
2 2 2 2 0x y ax by k
Comparando termo a termo as duas equações, temos que:
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
2 2 2
2 2 2
22 2
2
2
2 6 3
2 4 2
13
13
13 3 2
13 9 4
25
5
a a
b b
k
k a b r
a b r
r
r
r
r
Daí, mais uma vez, concluímos que a circunferência dada tem centro no ponto C(3, -2) e raio 5. OBSERVAÇÃO: Por mais que esta segunda resolução pareça mais fácil e mais rápida, devemos considerar que este método demanda decorar uma fórmula. De qualquer forma, ficam as duas opções. Ex.3: Obter centro e raio da circunferência descrita por
2 24 4 4 12 6 0x y x y .
Resolução: Vamos resolver tal como fizemos no primeiro método do exemplo anterior porém vamos, antes, dividir toda a equação por 4 a fim de tornar os coeficientes de x2 e y2 iguais a 1.
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
4 4 4 12 6 0
33 0
2
33
2
33
2
1 9 3 1 93
4 4 2 4 4
1 93 1
4 4
1 31
2 2
x y x y
x y x y
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
x y
Assim, podemos afirmar que a
circunferência tem centro em 1 3
,2 2
C
e
raio 1. OBSERVAÇÃO: assim como no exemplo anterior, este também pode ser resolvido de duas maneiras distintas tomando o cuidado, entretanto, para o fato de os coeficientes de x2 e y2 serem diferentes de 1. Neste caso, ainda é recomendável simplificar a equação.
MATEMÁTICA III 7 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
01) Determinar a equação da circunferência de centro e raio indicados em cada item:
a) 0, 0 3C e r
b) 2, 0 4C e r
c) 1, 2 5C e r
d) 2, 4 1C e r
e) 0, 3 2C e r
f) 1 3
, 42 2
C e r
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
02) Qual a equação da circunferência que passa pelo ponto P(5, 5) e tem centro no ponto C(1, 2)? 03) Determinar o centro e o raio de cada uma das circunferências apresentadas a seguir:
a) 2 2 6 4 12 0x y x y
b) 2 2 8 7 0x y x
c) 2 2 8 6 0x y y x
MATEMÁTICA III 9 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
d) 2 22 2 8 6 0x y x y
e) 2 23 3 6 12 14 0x y x y
04) Achar a equação da reta que passa pelo centro da circunferência
2 2
3 2 8x y e é perpendicular à
reta : 16 0r x y .
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
05) Determinar o centro e o raio da circunferência de equação
2 24 4 12 12 7 0x y x y .
06) Dada a circunferência de equação
2 2 0x y mx ny p , determine a
relação entre m, n e p a fim de que a circunferência tangencie os eixos.
07) Um quadrado tem vértices consecutivos nos pontos A(5, 0) e B(-1, 0). Escreva a equação da circunferência circunscrita a este quadrado.
MATEMÁTICA III 11 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
08) Qual a equação da circunferência que passa pelos pontos A(2, 4), B(11, 7) e D(7, 9).
09) O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro em C(0, 3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada b. 10) Qual o comprimento do lado do triângulo eqüilátero inscrito na
circunferência 2 2 2 10 10 0x y x y
?
______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 90 – Exercícios R1 a R5 Pág.95 – Exercícios 11 a 17 ______________________
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
Dados um ponto P(x0, y0) e uma
circunferência 2 2 2: x a y b r ,
vamos determinar a posição relativa
entre P e . Vamos calcular a distância de P até C e comparar com o raio e, assim, temos três casos:
1º caso: P é exterior a .
Isso ocorre se, e somente se:
𝐷𝑃𝐶 > 𝑟
Isto é
(𝑥0 − 𝑎)2 + (𝑦0 − 𝑏)2 > 𝑟2
Ou, anda melhor:
(𝑥0 − 𝑎)2 + (𝑦0 − 𝑏)2 − 𝑟2 > 0
2º caso: P pertence a .
Isso ocorre se, e somente se:
𝐷𝑃𝐶 = 𝑟
(𝑥0 − 𝑎)2 + (𝑦0 − 𝑏)2 = 𝑟2
(𝑥0 − 𝑎)2 + (𝑦0 − 𝑏)2 − 𝑟2 = 0
3º caso: P pertence a .
Isso ocorre se, e somente se:
𝐷𝑃𝐶 < 𝑟
(𝑥0 − 𝑎)2 + (𝑦0 − 𝑏)2 < 𝑟2
(𝑥0 − 𝑎)2 + (𝑦0 − 𝑏)2 − 𝑟2 < 0
MATEMÁTICA III 13 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
Podemos resumir esta teoria com a seguinte ideia: dada a circunferência
2 2: 2 2 0x y ax by k onde 2 2 2k a b r , seja f(x, y) o polinômio do
primeiro membro, isto é:
2 2 2 2 2, 2 2f x y x y ax by a b r
Quando é dado P(x0, y0), cuja
posição em relação a queremos determinar, substituímos (x0, y0) em f, ou seja, calculamos
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0, 2 2f x y x y ax by a b r
então, conforme acabamos de estudar,
0 0, 0f x y P é exterior a
.
0 0, 0f x y P pertence a .
0 0, 0f x y P é interior a .
Ex.1: Qual a posição do ponto P(2, 3) em relação à circunferência
2 2: 4 0x y x ?
Resolução: Temos
2 2, 4P x y x y x
então,
2 22, 3 2 3 4 2 4 9 8 5P
Como 2,3 0P , P é exterior a .
____________________ Ex.2: Qual a posição do ponto P(0, 0) em relação à circunferência
2 2: 3 2 0x y x y ?
Resolução: Sendo
2 2, 3 2P x y x y x y , vamos
fazer 0,0P .
2 20,0 0 0 3 0 2 0 0P
Como 0,0 0P , P pertence a .
___________________ Ex.3: Qual a posição do ponto P(0, 1) em relação à circunferência
2 2: 2 2 5 11 0x y x y ?
Resolução: A partir de
2 2, 2 2 5 11P x y x y x y , vamos
fazer 0,1P .
2 20,1 2 0 2 1 5 0 1 11
0 2 0 1 11 8
P
Como 0,1 8P , P é interior a .
OBSERVAÇÃO: Note que substituir P(x0, y0) na função f(x, y) é muito mais simples do que calcular a distância PC e comparar com o raio uma vez que obter C e r é uma operação trabalhosa principalmente se a equação da circunferência apresentar coeficientes fracionários ou irracionais.
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
11) Determinar a posição do ponto P em relação à circunferência l em cada item abaixo:
a) P(2, 1) e 2 2: 2 2 9 0x y
b) P(-4, -5) e 2 2: 2 2 2 0x y x y
c) P(0, 0) e 2 2: 3 1 0x y x y
12) Determinar P de modo que o ponto A(7, 9) seja exterior à circunferência
2 2 2 2 0x y x y p . (A resolução desta
questão pode ser encontrada na seção RESPOSTAS) 13) Interprete graficamente a solução de cada uma das inequações do 2º grau a seguir:
a) 2 2 9x y
MATEMÁTICA III 15 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
b) 2 2 4x y
c) 2 2 2 2 7 0x y x y
d) 2 2 2 2 1 0x y x y
14) Resolver o sistema 2 2
2 2
9
4
x y
x y
(A resolução desta questão pode ser encontrada na secção RESPOSTAS)
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
15) Resolva o sistema de inequações 2 2 9
3
x y
x y
. (A resolução desta questão pode ser
encontrada na seção RESPOSTAS)
16) Resolver os seguintes sistemas de inequações do segundo grau:
a) 2 2
2 2
9
1
x y
x y
b)
2 2
2 2
4
1 4
x y
x y
MATEMÁTICA III 17 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
c) 2 2
2 2
25
12 20 0
x y
x y x
d) 2 2 1
1
x y
x y
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA
Seja uma circunferência de centro no ponto C(a, b) e raio r. Existem, no plano, retas que cortam a circunferência em dois pontos, retas que tocam a circunferência em um único
ponto e retas que não interceptam em ponto algum. Estas retas são chamadas, respectivamente, de SECANTES, TANGENTES e EXTERNAS À CIRCUNFERÊNCIA. Observe a figura:
e
e é exterior à circunferência
t T
t é tangente à circunferência
1 2,s S S
s é secante à circunferência Considerando a circunferência
2 2: 2 2 0x y ax by k e a reta
dada por : 0r Ax By C , a solução
do sistema a seguir determina a posição
da reta r em relação à circunferência .
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
2 2: 2 2 0:
0
x y ax by kS
Ax By C
Se S tem duas soluções distintas, r é
secante à .
Se S tem solução única, r é
tangente à .
Se S não admite soluções reais,
então r é exterior à circunferência .
Ex.: Qual a posição relativa entre a
circunferência 2 2
3 4 25x y e a
reta 3 0x y ?
Resolução: Devemos resolver o sistema
2 2
3 4 25
3 0
x y
x y
.
Resolvendo-o, encontramos como solução os pares ordenados (0, 0) e (3, 9). Como o sistema admite duas soluções distintas, concluímos que a reta é secante à circunferência. OBSERVAÇÃO
Existe um método alternativo de
determinar a posição relativa entre uma circunferência e uma reta. Este método consiste em encontrar a distância entre o centro da circunferência e a reta e, em seguida comparar esta distância com o raio, assim:
secC sd r s é ante a
tanC td r t é gente a
C ed r e é exterior a
Utilize a figura da segunda coluna da página anterior para interpretar estas informações.
Na apostila anterior, aprendemos
a calcular a distância entre ponto e reta.
17) Calcular a distância do centro da
circunferência 2 2 5 7 1 0x y x y e
a reta 4 3 0x y .
MATEMÁTICA III 19 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
18) Qual a posição relativa entre a reta : 4 3 0r x y e a circunferência 2 2 5 7 1 0x y x y ?
19) Qual a posição do eixo das abscissas em relação à circunferência
2 2 5 4 4 0x y x y .
20) Determinar os pontos P e Q onde a
circunferência 2 2 4 6 0x y x y
encontra a reta 3x + 2y + 12 = 0. 21) Quais as equações das retas paralelas ao eixo das abscissas tangentes à circunferência
2 2
1 2 9x y ?
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
22) Qual o comprimento da corda que a reta 7x – 24y – 4 = 0 determina na
circunferência 2 2 2 6 15 0x y x y ?
23) Escrever a equação da circunferência de centro no ponto (5, 4) e tangente à reta 3x – 3y + 14 = 0.
PROBLEMAS DE TANGENCIA
Vamos ver, por meio de exemplos,
dois problemas clássicos de tangencia entre reta e circunferência.
1º problema: Determinar duas retas com inclinação dada e tangentes à uma circunferência.
Ex.: Determinar as retas tangentes à
circunferência 2 2 4 2 4 0x y x y
que formam um ângulo de 45º com o eixo Ox. Resolução Em princípio, vamos determinar o centro e o raio da circunferência:
2 2 2 2
4 22 1
2 2
2 1 4 3
a e b
r a b k
Como as tangentes formam 45 com o eixo horizontal, podemos afirmar que possuem m = 1.
Além disso, distam 3 unidades do centro C(2, 1). Temos então, que as retas tangentes possuem equação
:t y x n ou : 0t x y n . Daí,
MATEMÁTICA III 21 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
2 2
3
1 2 1 13
1 1
1 3 2
1 3 2
1 3 2
CtD
n
n
n
n
Assim, as retas tangentes são:
1
2
: 1 3 2 0
: 1 3 2 0
t x y
t x y
_________________ 2º problema: Determinar as equações das duas retas que passam por um ponto dado tangentes à uma circunferência.
Ex.: Determinar as equações das retas tangentes à circunferência
2 2
1 2 4x y traçadas a partir do
ponto P(-5, -6). Resolução: Como a equação da circunferência foi apresentada na forma reduzida, podemos afirmar, sem maiores dificuldades, que seu centro é o ponto C(-1, 2) e o raio é 2. Observe a ilustração:
Antes de tudo, devemos nos certificar que o problema tem solução, e isso acontece somente se P não for interior à circunferência. A ilustração acima nos mostra isso mas a solução gráfica não é suficiente, vamos, então, calcular a distância PC:
2 2
5 1 6 2 ... 4 5 2PCD
logo P é externo e o problema tem duas soluções que são as retas t da ilustração. De t, podemos dizer que:
6... 5 6 0
5
ym mx y m
x
Mas também sabemos que t dista 2 unidades de C(-1, 2), assim:
22
1 2 5 62
1
m m
m
22 1 4 8m m
2
2 2
2 2
2
2
4 8 2 1
16 64 64 4 4
12 64 60 0
3 16 15 0
16 19
3
m m
m m m
m m
m m
m
logo, as equações procuradas serão
encontradas substituindo 16 19
3m
em 5 6 0mx y m e, assim,
1
2
16 19 16 195 6 0
3 3
16 19 16 195 6 0
3 3
t x y
t x y
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
24) Obter as equações das tangentes à
circunferência 22 3 36x y que
sejam paralelas à reta 3 1 0x y .
25) Determine as equações das retas
tangentes à circunferência 2 2 1x y
que passam pelo ponto 2, 0P .
MATEMÁTICA III 23 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
A posição relativa entre duas
circunferências será determinada comparando a distância entre seus centros com a soma ou subtração do comprimento de seus raios.
Veja os 6 casos: 1º caso:
1 2d r r
pois
1 2
1 1 1 2 2 2 1 2
r r
d C P PP P C r r
Circunferências exteriores
2º caso:
1 2d r r
pois
1 2
1 1 2 2 1 2
r r
d C P P C r r
Circunferências tangentes
exteriormente
3º caso:
1 2d r r
pois
1 2
1 2
r r
d C P PC
Circunferências tangentes
interiormente
4º caso:
1 2 1 2r r d r r
pois
1 2
1
1 1 2 2 1 2 1 2
0
1 1 1 2 1 2
0
r r
r
d C P P C PP r r
d C P PC r r
Circunferências secantes
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
5º caso:
1 20 d r r
pois
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
0r r
d C P C P PP r r
Circunferência de menor raio
é interior à outra
6º caso:
0d
Circunferências concêntrias
Ex.: Qual a posição relativa entre as
circunferências 2 2
1 : 49x y e 2 2
2 : 6 8 11 0x y x y ?
Resolução: Temos:
1 centro 1 0,0C e raio 1 7r
2 centro 2 3,4C e raio 2 6r
1 2
2 20 3 0 4 5C Cd
Comparando a soma dos raios:
1 2 5C C e 1 2 13r r e daí concluímos
que 1 e 2 não podem ser exteriores
nem tangente exteriormente. Comparando a diferença dos
raios: 1 2 5C C e 1 2 1r r e,
consequentemente 1 e 2 não podem
ser concêntricas, uma interior a outra nem tangentes interiormente.
Por exclusão, 1 e 2 são
secantes. Você deve ter atenção pois este é o caso que exige mais cuidados pois são necessárias duas comparações:
1 2 1 2C C r r e 1 2 1 2C C r r . Nos demais
casos, ao comparar 1 2C C com 1 2r r ou
com 1 2r r , já podemos tirar conclusões.
MATEMÁTICA III 25 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
26) Qual a posição relativa entre 1 e 2
em cada caso a seguir?
a) 2 2
1 : 36x y e 2 2
2 : 6 8 21 0x y x y
b) 2 2
1 : 2 2 4 0x y x e 2 2
2 : 2 3 0x y x
CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c) 2 2
1 : 8 0x y e 2 2
2 : 6 6 17 0x y x y
d) 2 2
1 : 8 6 0x y x y e 2 2
2 : 2 0x y x
MATEMÁTICA III 27 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
e) 2 2
1 : 49x y e 2 2
2 : 6 8 21 0x y x y
27) Obter a intersecção entre as
circunferências 2 2
1 : 100x y e 2 2
2 : 12 12 68 0x y x y .
CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
RESPOSTAS 01) a) 2 2 9x y
b) 2 22 16x y
c) 2 2
1 2 25x y
d) 2 2
2 4 1x y
e) 22 3 4x y
f)
2 21 3
12 2
x y
02) 2 2
1 2 25x y
03) a) 3, 2 5C e r
b) 4, 0 3C e r
c) 3, 4 5C e r
d)3 5
2,2 2
C e r
e) 3
1, 23
C e r
04) x + y – 5 = 0
05) 3 3 5
,2 2 2
C e r
06) 20 4m n e m p
07) 2 2
2 3 18x y
08) 2 2 14 8 40 0x y x y
09) 7 ou -1
10) 4 3
11) a) exterior b) exterior c) interior
12) Resolução
Fazendo
2 2, 2 2f x y x y x y p ,
devemos ter 7, 9 0f , assim,
2 27, 9 7 9 2 7 2 9
7, 9 98
98 0
f p
f p
p
Portanto 98p .
Por outro lado, uma condição
para a existência da circunferência é que
2 2 4 0D E AF , e, assim, 4 4 4 0 2p p
Fazendo a intersecção entre as duas condições, temos a solução. Portanto:
2 98p
13) a)
b)
c)
d)
MATEMÁTICA III 29 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
14) Resolução: Note que as duas inequações que formam o sistema são as mesmas dos itens a) e b) da questão anterior e a solução é a intersecção dos dois conjuntos, assim, a solução está apresentada abaixo:
Em outras palavras, a solução é uma coroa circular com uma unidade de largura.
15) A solução da primeira inequação, nós já conhecemos:
Vamos agora destacar a solução da segunda inequação:
Agora, fazendo a intersecção entre as duas soluções, encontramos o conjunto de pontos procurado, portando, a solução do sistema de inequações é
16) a)
b)
c)
d)
17) 1
10
18) r é secante à circunferência.
19) O eixo Ox é secante à circunferência.
20) P(-4, 0) e Q(0, -6)
21) y = 5 ou y = -1
22) 8
23) 2 2
5 4 16x y
24) 3 3 6 10 0x y
25) 2 0x y e 2 0x y
CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
26) a) secantes b) concêntricas c) exteriores d) secantes e) Tangentes interiormente
27) (1, 2) e (3, 4)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE, Luiz Roberto;
Matemática, Volume dois. São Paulo,
Atica, 2005.
IEZZI, Gelson e outros;
Fundamentos da Matemática Elementar,
Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição,
1977.
Links para os vídeos sugeridos: Pág. 06 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacao-geral-da-circunferencia/ Pág. 13 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/posicao-relativa-entre-ponto-e-circunferencia/
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