UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ – UESC
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UAB
Universidade Estadual de Santa Cruz - UAB Rodovia Ilhéus/Itabuna KM 16, CEP: 45662-000
Ilhéus – BA. Telefone para contato: (73) 36895458;
TURMA – Licenciatura em Matemática. EAD/UAB DISCIPLINA – CÁLCULO I
DATA ___/___/___
PROFa.: MARGARETE FARIAS
GABARITO DA 3ª PROCESSUAL
1) Responda as questões abaixo:
a) Defina a derivada f´(a). Discuta duas maneiras de interpretar esse número.
Resp: A derivada de uma função f , quando x = a, em um número a, denotada por f’(a), é:
h
)a(f)ha(flim)a`(fh
-
0→ ou
ax
)a(f)x(flim)a`(fh
-
0→
se o limite existir.
A segunda interpretação é apresentada como a derivada f `(a) é a taxa instantânea de variação y =
f(x) em relação a x quando x = a
b) Defina a segunda derivada de f. Se f(t) for a função posição de uma partícula, como você pode
interpretar a segunda derivada?
Resp: Se f for uma função diferenciável, então sua derivada f ´ pode ter sua própria derivada, denotada
por (f ´)´ = f ” . esta nova função é chamada de derivada segunda, ou derivada de ordem dois de f. Usando
a notação de Leibniz, escrevemos a derivada segunda, ou segunda derivada de y = f(x) como:
2
2
dx
yd
dx
dy
dx
d
Se f(t) for a função posição de uma partícula, em geral, podemos interpretar uma segunda derivada
como uma taxa de variação de uma taxa de variação. O exemplo mais familiar é a aceleração. Ou seja, a
função aceleração é a derivada da função velocidade.
c) O que significa ser diferenciável em a?
Resp: Uma função f é derivável ou diferenciável em a se f ´(a) existir. É derivável ou diferenciável em
um intervalo aberto (a, b) ou (a, ), ou (- , a) ou ainda (- , ) se for diferenciável em cada número do
intervalo.
d) Qual a relação entre diferenciabilidade e continuidade de uma função?
Resp: Se f for diferenciável em a, então f é contínua em a
2) Responda as perguntas abaixo:
a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = 9 – 2x2 no ponto (2, 1).
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Solução: x4)x('f'y , logo a inclinação da reta tangente no ponto (2, 1) é f ’(2) = -4.2 = -8
Resp: -8
b) Encontre a equação da reta tangente.
Solução: Como a inclinação da reta tangente é -8 temos que a equação da reta dada pela fórmula
17x8y2x81y)xx)(x(' fyy 00
Resp: 17x8y
3) Veja as questões abaixo e faça o que se pede:
a) O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta é dado por
2t4
1t21s , onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade média nos seguintes
períodos: [1, 3] e [1, 2]
Solução: A velocidade média =h
)a(f)ha(f
tempo
todeslocamen que é igual a inclinação da reta
secante, ou seja h
)a(f)ha(fmPQ , onde PQm é o coeficiente angular da reta secante dado
dois pontos P e Q.
Para o período [1, 3]
Se h = 3-1 = 2 temos que a + h = 1 + 2 = 3. Assim 2
)1(f)3(fmPQ
Temos que f(3) = 4
37
4
9613.
4
13.21s 2 e f(1) =
4
13
4
131.
4
11.21 2
Logo 32
6
2
4
24
2
4
13
4
37
mPQ
Resp: 3m/s
Para o período [1, 2]
Se h = 2-1 = 1 temos que a + h = 1 + 1 = 2. Assim 1
)1(f)2(fmPQ
Temos que f(2) = 61412.4
12.21s 2 e f(1) =
4
13
4
131.
4
11.21 2
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Logo 75,21
4
11
1
4
136
mPQ
Resp: 2,75m/s
b) Encontre a velocidade instantânea quando t = 1
Solução: A velocidade instantânea é dada por v(a)=h
)a(f)ha(flim
0h, isso significa que a
velocidade no instante t = a é igual a inclinação da reta tangente em um ponto P dado. Assim;
v(a)=
s/m5,22
5
2
5lim
h
4
h
2
5h
limh
4
hh
2
1h2
lim
h
4
121
4
hh
2
1
4
1h221
limh
4
121)hh21(
4
1h221
lim
h
1.4
11.21)h1(
4
1)h1(21
limh
)1(f)h1(flim
h
)a(f)ha(flim
0h0h
2
0h
2
0h
2
0h
22
0h0h0h
Resp: s/m5,2
4) Mostre que cada função é contínua em seu domínio. Diga qual é o domínio:
a) h(x)= senxxe
Resp: A função h(x) é o produto entre duas funções f(x) = x e g(x) = senxe . A função f(x) = x é
uma função contínua em para todo x em seu domínio e a função composta g(x) = senxe é também
contínua para todo x, logo a função h(x) é contínua.
D(h) = |R.
b) g(x)= 2x
9x
2
2
c) Resp: A função g(x)= 2x
9x
2
2
é contínua para todo x obedecendo as seguinte condições:
Para f(x) = 9x2 , temos que é contínua quando 3ou x 3x09x2
3x09x2
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Para 2x02x 2
Logo g(x)= 2x
9x
2
2
é contínua para 3ou x 3x e 2x . Assim;
D(g) = 2 xe 3ou x 3x/Rx
5) Calcule y´
a) 5,186)x(f
Solução: 0)x('f
Resp: 0
b) 1x5)x(f
Solução: 5)x('f
Resp: 5
c) 6x4x)x(f 3
Solução: 4x3)x('f 2
Resp: 4x3 2
d) 8t4
1)x(f 4
Solução: 33 tt44
1)x('f
Resp: 3t
x
y
+ +
-
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e) 3 4x
1xy
Solução: f(x) = 3421
3 4xx
x
1x
3 7
3721
x3
4
x2
1)x('fx
3
4x
2
1)x('f
f) x
3x4xy
2
Solução:
xx2
3
x
2x
2
3)x('f
x2
3
x
2x
2
3)x('f
x2
3x2x
2
3)x('fx3x4x
x
3
x
x4
x
x
x
3x4xy
21
21
321
21
232121212123
212121
22
Resp: xx2
3
x
2x
2
3
21
21
6) Encontre uma equação para a reta tangente e para a reta normal à curva ,e2xy x4 no ponto
(0,2).
Solução: x3 e2x4'y . Assim o valor de y’ dado o ponto (0,2) é y’(0) = 2e204 03 .
A equação da reta tangente é 2x2y)0x(22y
Como a reta normal é perpendicular a reta tangente seu coeficiente angular é o oposto do inverso do
coeficiente angular da reta tangente. Logo se y’(0) = 2 então o coeficiente da reta normal é 2
1.
Assim temos que a equação da reta normal no ponto (0,2) é c)0x(2
12y .
Resp: reta tangente: 2x2y ; reta normal: 2x2y
7) Ache os pontos sobre a curva 1x12x3x2y 23 , onde a tangente é horizontal.
Solução: se a tangente é horizontal, logo a sua inclinação é zero, logo 0'y 012x6x6 2 .
Logo; 2 x'e 1'x 21 . Assim os pontos sobre a curva onde a tangente é horizontal são:
1(P61123211121312)1(y23 ,-6)
)21,2(P21124121612122322)2(y23
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8) Seja f (x) = 1 xse 2x2x
1 xse x2
2, f é derivável em 1?
Solução:
Analisando a continuidade: 12212x2xlim e 1x2lim 2
1x1x
.Como os limite
existe e f está definida no ponto x = 1, onde f(1) = 1, a função f (x) é contínua.
Analisando a diferenciabilidade:
02)1.(2)x('f2x2)x('f e 1)1('f 1)x('f . Como )x('f)x('f a
função não é derivável.
Resp: A função é contínua , mas não é derivável no ponto x = 1
9) Usando a regra do quociente e do produto, derive as funções:
a) x2ex)x(f
Solução: x2xexx2eexe.x2)x('f x2xx2x
Resp: x2xex
x
y
(-2,21)
(1,6)
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b) V(x) = x2x3x2 43
Solução: 6x12x4x8x12x62x43x2x2x.x6)x('V 336363342
6x4x14 36
Resp: 6x4x14 36
c) y=1t2t3
t
2
2
Solução: 1t2t3
t1t2
1t2t3
t2t2
1t2t3
t2t6t2t4t6
1t2t3
2t6t1t2t3t2'y
22
2
22
2323
22
22
Resp: 1t2t3
t1t2
2
d) y=t2
t2
Solução: 222
21
t2
t4
t2
tt24
t2
t2
1.t2t22
'y
Resp: 2
t2
t4
10) Encontre f ´ e f ”
a) x4ex)x(f
Solução:
)x12x8x(ex4x12xx4ex4x12.exx4e)x("f
xx4eexex4)x('f
234x3243x32x43x
43xx4x3
Resp: )x12x8x(e)x("f e xx4e)x('f 234x43x
b) 2x
senxy
344
2
x
senx2xcosx
x
)senx2xcosx(x
x
.xsenx2xcos.x'y
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Resp:
6
2
6
2
6
2
x
x3xsenxxcos
x
x3xcos2xsenxxcos
x
x3xcos2senx.xxcos.1"y
Resp: 3x
senx2xcosx'y e
6
2
x
x3xsenxxcos"y
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