derivada

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ – UESC

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Ilhéus – BA. Telefone para contato: (73) 36895458;

TURMA – Licenciatura em Matemática. EAD/UAB DISCIPLINA – CÁLCULO I

DATA ___/___/___

PROFa.: MARGARETE FARIAS

GABARITO DA 3ª PROCESSUAL

1) Responda as questões abaixo:

a) Defina a derivada f´(a). Discuta duas maneiras de interpretar esse número.

Resp: A derivada de uma função f , quando x = a, em um número a, denotada por f’(a), é:

h

)a(f)ha(flim)a`(fh

-

0→ ou

ax

)a(f)x(flim)a`(fh

-

0→

se o limite existir.

A segunda interpretação é apresentada como a derivada f `(a) é a taxa instantânea de variação y =

f(x) em relação a x quando x = a

b) Defina a segunda derivada de f. Se f(t) for a função posição de uma partícula, como você pode

interpretar a segunda derivada?

Resp: Se f for uma função diferenciável, então sua derivada f ´ pode ter sua própria derivada, denotada

por (f ´)´ = f ” . esta nova função é chamada de derivada segunda, ou derivada de ordem dois de f. Usando

a notação de Leibniz, escrevemos a derivada segunda, ou segunda derivada de y = f(x) como:

2

2

dx

yd

dx

dy

dx

d

Se f(t) for a função posição de uma partícula, em geral, podemos interpretar uma segunda derivada

como uma taxa de variação de uma taxa de variação. O exemplo mais familiar é a aceleração. Ou seja, a

função aceleração é a derivada da função velocidade.

c) O que significa ser diferenciável em a?

Resp: Uma função f é derivável ou diferenciável em a se f ´(a) existir. É derivável ou diferenciável em

um intervalo aberto (a, b) ou (a, ), ou (- , a) ou ainda (- , ) se for diferenciável em cada número do

intervalo.

d) Qual a relação entre diferenciabilidade e continuidade de uma função?

Resp: Se f for diferenciável em a, então f é contínua em a

2) Responda as perguntas abaixo:

a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = 9 – 2x2 no ponto (2, 1).





Solução: x4)x('f'y , logo a inclinação da reta tangente no ponto (2, 1) é f ’(2) = -4.2 = -8

Resp: -8

b) Encontre a equação da reta tangente.

Solução: Como a inclinação da reta tangente é -8 temos que a equação da reta dada pela fórmula

17x8y2x81y)xx)(x(' fyy 00

Resp: 17x8y

3) Veja as questões abaixo e faça o que se pede:

a) O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta é dado por

2t4

1t21s , onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade média nos seguintes

períodos: [1, 3] e [1, 2]

Solução: A velocidade média =h

)a(f)ha(f

tempo

todeslocamen que é igual a inclinação da reta

secante, ou seja h

)a(f)ha(fmPQ , onde PQm é o coeficiente angular da reta secante dado

dois pontos P e Q.

Para o período [1, 3]

Se h = 3-1 = 2 temos que a + h = 1 + 2 = 3. Assim 2

)1(f)3(fmPQ

Temos que f(3) = 4

37

4

9613.

4

13.21s 2 e f(1) =

4

13

4

131.

4

11.21 2

Logo 32

6

2

4

24

2

4

13

4

37

mPQ

Resp: 3m/s

Para o período [1, 2]

Se h = 2-1 = 1 temos que a + h = 1 + 1 = 2. Assim 1

)1(f)2(fmPQ

Temos que f(2) = 61412.4

12.21s 2 e f(1) =

4

13

4

131.

4

11.21 2





Logo 75,21

4

11

1

4

136

mPQ

Resp: 2,75m/s

b) Encontre a velocidade instantânea quando t = 1

Solução: A velocidade instantânea é dada por v(a)=h

)a(f)ha(flim

0h, isso significa que a

velocidade no instante t = a é igual a inclinação da reta tangente em um ponto P dado. Assim;

v(a)=

s/m5,22

5

2

5lim

h

4

h

2

5h

limh

4

hh

2

1h2

lim

h

4

121

4

hh

2

1

4

1h221

limh

4

121)hh21(

4

1h221

lim

h

1.4

11.21)h1(

4

1)h1(21

limh

)1(f)h1(flim

h

)a(f)ha(flim

0h0h

2

0h

2

0h

2

0h

22

0h0h0h

Resp: s/m5,2

4) Mostre que cada função é contínua em seu domínio. Diga qual é o domínio:

a) h(x)= senxxe

Resp: A função h(x) é o produto entre duas funções f(x) = x e g(x) = senxe . A função f(x) = x é

uma função contínua em para todo x em seu domínio e a função composta g(x) = senxe é também

contínua para todo x, logo a função h(x) é contínua.

D(h) = |R.

b) g(x)= 2x

9x

2

2

c) Resp: A função g(x)= 2x

9x

2

2

é contínua para todo x obedecendo as seguinte condições:

Para f(x) = 9x2 , temos que é contínua quando 3ou x 3x09x2

3x09x2





Para 2x02x 2

Logo g(x)= 2x

9x

2

2

é contínua para 3ou x 3x e 2x . Assim;

D(g) = 2 xe 3ou x 3x/Rx

5) Calcule y´

a) 5,186)x(f

Solução: 0)x('f

Resp: 0

b) 1x5)x(f

Solução: 5)x('f

Resp: 5

c) 6x4x)x(f 3

Solução: 4x3)x('f 2

Resp: 4x3 2

d) 8t4

1)x(f 4

Solução: 33 tt44

1)x('f

Resp: 3t

x

y

+ +

-





e) 3 4x

1xy

Solução: f(x) = 3421

3 4xx

x

1x

3 7

3721

x3

4

x2

1)x('fx

3

4x

2

1)x('f

f) x

3x4xy

2

Solução:

xx2

3

x

2x

2

3)x('f

x2

3

x

2x

2

3)x('f

x2

3x2x

2

3)x('fx3x4x

x

3

x

x4

x

x

x

3x4xy

21

21

321

21

232121212123

212121

22

Resp: xx2

3

x

2x

2

3

21

21

6) Encontre uma equação para a reta tangente e para a reta normal à curva ,e2xy x4 no ponto

(0,2).

Solução: x3 e2x4'y . Assim o valor de y’ dado o ponto (0,2) é y’(0) = 2e204 03 .

A equação da reta tangente é 2x2y)0x(22y

Como a reta normal é perpendicular a reta tangente seu coeficiente angular é o oposto do inverso do

coeficiente angular da reta tangente. Logo se y’(0) = 2 então o coeficiente da reta normal é 2

1.

Assim temos que a equação da reta normal no ponto (0,2) é c)0x(2

12y .

Resp: reta tangente: 2x2y ; reta normal: 2x2y

7) Ache os pontos sobre a curva 1x12x3x2y 23 , onde a tangente é horizontal.

Solução: se a tangente é horizontal, logo a sua inclinação é zero, logo 0'y 012x6x6 2 .

Logo; 2 x'e 1'x 21 . Assim os pontos sobre a curva onde a tangente é horizontal são:

1(P61123211121312)1(y23 ,-6)

)21,2(P21124121612122322)2(y23





8) Seja f (x) = 1 xse 2x2x

1 xse x2

2, f é derivável em 1?

Solução:

Analisando a continuidade: 12212x2xlim e 1x2lim 2

1x1x

.Como os limite

existe e f está definida no ponto x = 1, onde f(1) = 1, a função f (x) é contínua.

Analisando a diferenciabilidade:

02)1.(2)x('f2x2)x('f e 1)1('f 1)x('f . Como )x('f)x('f a

função não é derivável.

Resp: A função é contínua , mas não é derivável no ponto x = 1

9) Usando a regra do quociente e do produto, derive as funções:

a) x2ex)x(f

Solução: x2xexx2eexe.x2)x('f x2xx2x

Resp: x2xex

x

y

(-2,21)

(1,6)





b) V(x) = x2x3x2 43

Solução: 6x12x4x8x12x62x43x2x2x.x6)x('V 336363342

6x4x14 36

Resp: 6x4x14 36

c) y=1t2t3

t

2

2

Solução: 1t2t3

t1t2

1t2t3

t2t2

1t2t3

t2t6t2t4t6

1t2t3

2t6t1t2t3t2'y

22

2

22

2323

22

22

Resp: 1t2t3

t1t2

2

d) y=t2

t2

Solução: 222

21

t2

t4

t2

tt24

t2

t2

1.t2t22

'y

Resp: 2

t2

t4

10) Encontre f ´ e f ”

a) x4ex)x(f

Solução:

)x12x8x(ex4x12xx4ex4x12.exx4e)x("f

xx4eexex4)x('f

234x3243x32x43x

43xx4x3

Resp: )x12x8x(e)x("f e xx4e)x('f 234x43x

b) 2x

senxy

344

2

x

senx2xcosx

x

)senx2xcosx(x

x

.xsenx2xcos.x'y





Resp:

6

2

6

2

6

2

x

x3xsenxxcos

x

x3xcos2xsenxxcos

x

x3xcos2senx.xxcos.1"y

Resp: 3x

senx2xcosx'y e

6

2

x

x3xsenxxcos"y

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