Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estados 1
Sistemas e Sinais
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Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estado
Os estados de um sistema podem ser definidos como o
conjunto mínimo de sinais que descrevem o comportamento
dinâmico do sistema. Sendo assim, dado o valor dos estados
em um instante n0 (ou t0 ) e a entrada para n ≥ n0 (ou t ≥ t0 ),
pode-se determinar os valores de todos os estados para n ≥ n0
(ou t ≥ t0 ).
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Descrição de Sistemas LTI por Variáveis de Estado
A descrição por variáveis de estado para um sistema
LTI consiste em uma série de equações diferenciais ou de
diferenças de primeira ordem que descrevem como os
estados do sistema e a entrada se relacionam, e uma equação
que descreve a saída do sistema como função das variáveis
de estado e de entrada do sistema no instante atual.
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Para o sistema de tempo discreto representado pelo diagrama de
blocos abaixo, obter a representação por variáveis de estado.
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Admitindo como estados do sistema os sinais de saída de cada
elemento de deslocamento no tempo, q1[n] e q2[n].
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Representação do sistema na forma matricial de equações de estado.
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Exemplo 2.21: Para o sistema de tempo discreto representado
pelo diagrama de blocos abaixo, obter a representação por
variáveis de estado.
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Exercício 2.15: Encontre a descrição por variáveis de estado
correspondente ao diagrama de blocos apresentado a seguir.
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Para sistemas de tempo contínuo, a forma de representação por
variáveis de estado é análoga àquela de tempo discreto, e é
representada na forma
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Para o circuito elétrico apresentado a seguir obter a representação
por variáveis de estado. Após obter esta representação, obter
o diagrama de blocos equivalente.
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Para o circuito elétrico apresentado a seguir obter a representação
por variáveis de estado. Após obter esta representação, obter
o diagrama de blocos equivalente.
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Transformação de Estados
Suponha que um mesmo sistema possa ser descrito por um outro
conjunto de variáveis de estado tal que
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Exemplo 2.24: Um sistema LTI de tempo discreto é representado pelas
seguintes matrizes:
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Admitindo que este sistema vai ser representado por novos estados
determinar as matrizes .
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Exercício 2.21: Um sistema LTI de tempo contínuo é descrito pelas
seguintes matrizes:
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Admitindo que este sistema vai ser representado por novos estados
determinar as matrizes .
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Para os dois circuitos elétricos anteriores, determinar as matrizes
de transformação de similaridade – T, de forma que as novas
variáveis de estado sejam as cargas nos capacitores e os fluxos nos
indutores. Obter as novas realizações na forma de espaço de
estados.
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Exercícios:
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Hipóteses:
Relação Linear
Vazões Q1(t) e Q2(t)
Alturas das colunas de líquido H1(t) e H2(t)
R1 e R2 resistências ao fluxo
A1 e A2 áreas uniformes
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Equações fundamentais do processo:
1
211
R
(t)H(t)H(t)Q
2
22
R
(t)H(t)Q
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Equações dinâmicas do processo:
1
21i
11
R
(t)H-(t)H(t)Q
dt
(t)dHA
2
2
1
2122
R
(t)H
R
(t)H-(t)H
dt
(t)dHA
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Mostre que a equação diferencial homogênea de
ordem n: 1
1 1
1
0n n
n n
n n
d y d y dya a a y
dt dt dt
x
a.aaa
....
.....
.
.
x
nnn
121
1
0100
0010
Pode ser representada na forma de espaço de estados
por:
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Determine a representação na forma de espaço de
estados do seguinte sistema multivariável:
2212141322212
2111242312111
udubyayaycycy
udubycycyayay
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A partir dos diagramas de fluxo, obter as
representações por variáveis de estados.
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A partir dos diagramas de fluxo, obter as
representações por variáveis de estados.
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