EP3Geometria Analıtica I

Professoras Lhaylla e Andrea

1. Verifique se os pontos dados abaixo sao colineares:

(a) A = (−1, 1), B = (3,−2) e C = (−5, 4);

(b) A = (1, 2), B = (−1, 3) e C = (4, 5).

2. Encontre as equacoes parametricas, cartesianas e afim da reta que passa por P e Q dos itensa seguir. Classifique as retas como crescente, decrescente ou constante. Faca o esboco da reta.

(a) P = (1, 3) e Q = (2,−1);

(b) P = (5, 4) e Q = (0, 3).

3. Dados o ponto A = (2, 3) e o vetor −→v = (1,−2).

(a) Escreva equacoes parametricas da reta r que passa por A e tem direcao −→v .

(b) Encontre os dois pontos B e C de r de parametros t = 1 e t = 4, respectivamente.

(c) Determine o ponto D pertencente a r cuja coordenada y e 4.

(d) Verifique se os pontos E = (4,−1) e F = (5,−4) pertencem a r.

4. Determine o ponto de intersecao da reta r1 paralela ao vetor −→v = (1, 2) que passa pelo pontoA = (3, 4) com a reta r2 que passa pelos pontos B = (2, 3) e C = (−2, 4).

5. Determine se as retas r1 e r2 sao paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, noultimo caso, o ponto de intersecao:

(a) r1 : 2x+ y − 1 = 0 e r2 :

{x = −1 + ty = −t ; t ∈ R;

(b) r1 :

{x = 3 + 3ty = 1 + 1

2t

; t ∈ R e r2 : x− 6y = 3;

(c) r1 :

{x = −ty = 8 + 3

2t

; t ∈ R e r2 :

{x = 4 + 4sy = 2− 6s

; s ∈ R.

6. Considerando as retas r : ax + by + c = 0 e s : a′x + b′y + c′ = 0 dadas por suas equacoescartesianas, prove que:

(a) se a = λa′, b = λb′ e c = λc′ para algum λ ∈ R, as retas sao coincidentes;

(b) se a = λa′, b = λb′ e c 6= λc′ para algum λ ∈ R, as retas sao paralelas (e nao coincidentes);

(c) se nao existe λ ∈ R tal que a = λa′ e b = λb′, as retas sao concorrentes.

7. Verifique se as retasr1 : 2x+ y = 1, r2 : 6x+ 3y = 2 e r3 : 4x+ 2y = 2 ,

sao paralelas ou coincidentes.

8. Discuta em funcao de m e p a posicao relativa das retas:

r : mx+ y = p,

s : 3x+ 3y = 7.

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9. Dada a equacao da reta r : 7x+ 3y = −√

2, faca o que se pede a seguir.

(a) Encontre a equacao de todas as retas paralelas a reta r.

(b) Encontre a equacao da reta paralela a r que passa pela origem.

(c) Encontre a equacao da reta paralela a r que passa por P = (9,−10).

10. Verifique se o vetor −→u = (1, 2) pode ser escrito como combinacao linear dos vetores −→v = (3,−2)e −→w = (−1, 4).

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