Ep3 gai aluno

EP3 Geometria Anal´ ıtica I Professoras Lhaylla e Andr´ ea 1. Verifique se os pontos dados abaixo s˜ ao colineares: (a) A =(-1, 1),B = (3, -2) e C =(-5, 4); (b) A = (1, 2),B =(-1, 3) e C = (4, 5). 2. Encontre as equa¸c˜ oes param´ etricas, cartesianas e afim da reta que passa por P e Q dos itens a seguir. Classifique as retas como crescente, decrescente ou constante. Fa¸ca o esbo¸co da reta. (a) P = (1, 3) e Q = (2, -1); (b) P = (5, 4) e Q = (0, 3). 3. Dados o ponto A = (2, 3) e o vetor - → v = (1, -2). (a)Escrevaequa¸cõesparam´ etricas da reta r que passa por A e tem dire¸ cão - → v . (b) Encontre os dois pontos B e C de r deparâmetros t =1e t = 4, respectivamente. (c) Determine o ponto D pertencente a r cuja coordenada y ´ e 4. (d) Verifique se os pontos E = (4, -1) e F = (5, -4) pertencem a r. 4. Determine o ponto de interse¸cão da reta r 1 paralela ao vetor - → v = (1, 2) que passa pelo ponto A = (3, 4) com a reta r 2 que passa pelos pontos B = (2, 3) e C =(-2, 4). 5. Determine se as retas r 1 e r 2 s˜ ao paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no ´ ultimo caso, o ponto de interse¸cão: (a) r 1 :2x + y - 1=0 e r 2 : x = -1+ t y = -t ; t ∈ R; (b) r 1 : x =3+3t y =1+ 1 2 t ; t ∈ R e r 2 : x - 6y = 3; (c) r 1 : x = -t y =8+ 3 2 t ; t ∈ R e r 2 : x =4+4s y =2 - 6s ; s ∈ R. 6. Considerando as retas r : ax + by + c =0e s : a 0 x + b 0 y + c 0 = 0 dadas por suas equa¸c˜ oes cartesianas, prove que: (a) se a = λa 0 , b = λb 0 e c = λc 0 para algum λ ∈ R, as retas s˜ ao coincidentes; (b) se a = λa 0 , b = λb 0 e c 6= λc 0 para algum λ ∈ R, as retas s˜ ao paralelas (e n˜ ao coincidentes); (c) se n˜ ao existe λ ∈ R tal que a = λa 0 e b = λb 0 , as retas s˜ ao concorrentes. 7. Verifique se as retas r 1 :2x + y = 1, r 2 :6x +3y =2 e r 3 :4x +2y =2, s˜ ao paralelas ou coincidentes. 8. Discuta em fun¸c˜ ao de m e p a posi¸cão relativa das retas: r : mx + y = p, s :3x +3y =7. 2014.2 1

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EP3Geometria Analıtica I

Professoras Lhaylla e Andrea

1. Verifique se os pontos dados abaixo sao colineares:

(a) A = (−1, 1), B = (3,−2) e C = (−5, 4);

(b) A = (1, 2), B = (−1, 3) e C = (4, 5).

2. Encontre as equacoes parametricas, cartesianas e afim da reta que passa por P e Q dos itensa seguir. Classifique as retas como crescente, decrescente ou constante. Faca o esboco da reta.

(a) P = (1, 3) e Q = (2,−1);

(b) P = (5, 4) e Q = (0, 3).

3. Dados o ponto A = (2, 3) e o vetor −→v = (1,−2).

(a) Escreva equacoes parametricas da reta r que passa por A e tem direcao −→v .

(b) Encontre os dois pontos B e C de r de parametros t = 1 e t = 4, respectivamente.

(d) Verifique se os pontos E = (4,−1) e F = (5,−4) pertencem a r.

4. Determine o ponto de intersecao da reta r1 paralela ao vetor −→v = (1, 2) que passa pelo pontoA = (3, 4) com a reta r2 que passa pelos pontos B = (2, 3) e C = (−2, 4).

5. Determine se as retas r1 e r2 sao paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, noultimo caso, o ponto de intersecao:

(a) r1 : 2x+ y − 1 = 0 e r2 :

{x = −1 + ty = −t ; t ∈ R;

(b) r1 :

{x = 3 + 3ty = 1 + 1

; t ∈ R e r2 : x− 6y = 3;

{x = −ty = 8 + 3

; t ∈ R e r2 :

{x = 4 + 4sy = 2− 6s

; s ∈ R.

6. Considerando as retas r : ax + by + c = 0 e s : a′x + b′y + c′ = 0 dadas por suas equacoescartesianas, prove que:

(a) se a = λa′, b = λb′ e c = λc′ para algum λ ∈ R, as retas sao coincidentes;