VIGAS CONTÍNUAS
�EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANI SMO
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
�EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS
Para EI constante por trechos
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
Equação dos três momentos
Conceitos preliminares
1) Deslocamento ampliado (não tem significado físico)
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Adota-se para o problema uma constante arbitrária EcIc
Equação dos três momentos
δ = EC·IC· δ�
Deslocamento DeslocamentoAmpliado Verdadeiro
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Obs → Só para ficar mais cômodo as contas....
Equação dos três momentos
2) Vão reduzido, ou comprimento fictício ou
índice de flexibilidade ( Lk´ )(não tem significado físico – puramente
matemático)matemático)
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Lk´=
Ec·IcEIK
·Lk
Equação dos três momentos
Onde:Lk → Comprimento verdadeiro de uma barra qualquer k
EIk → Produto de rigidez de uma qualquer k
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
EIk → Produto de rigidez de uma qualquer k
EcIc → Produto de rigidez arbitrário adotado
Equação dos três momentos
3) Fatores de carga
É uma entidade puramente matemática (uma relação entre os fatores de forma)
Relacionada com o carregamento sobre a barra.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Equação dos três momentosEquação dos três momentos
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Equação dos três momentos
A equação dos três momentos é uma especialização da aplicação do processo dos
esforços em vigas contínuas, adotando-se como esforços em vigas contínuas, adotando-se como incógnitas os momentos sobre os apoios
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Equação dos três momentos
Equação dos três momentos
Para EI constante por trechos
Roteiro de cálculo
a) Determine o Grau de hiperestaticidade da viga → GH
b) Numeração das barras e nós
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Equação dos três momentos
• O nó começa a numerar à partir do zero
• A barra começa a numerar à partir do um
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Equação dos três momentos
c) Equação dos 3M para EI constante por trechos (aplicar n vezes, onde n=GH)
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
L’i M i-1 + 2(L’
i+L’i+1)M i + L’
i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L
’i+1)
Equação dos três momentos
Para um estrutura GH=1
L’ M + 2(L’ +L’ )M + L’ M = - (DL’ + E L’ )
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
L’i M i-1 + 2(L’
i+L’i+1)M i + L’
i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L
’i+1)
L’1M 1-1+2(L’
1+L’1+1)M 1+L’
1+1M 1+1= - (D1L’1+E1+1L
’1+1)
Aplica-se a equação 3M uma vez → i = 1
L’1M 0+2(L’
1+L’2)M 1+L’
2M 2= - (D1L’1+E2L
’2)
Equação dos três momentos
Para um estrutura GH=2
L’i M i-1 + 2(L’
i+L’i+1)M i + L’
i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L
’i+1)
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
L i M i-1 + 2(L i+L i+1)M i + L i+1M i+1 = - (DiL i + Ei+1L i+1)
L’1M 1-1+2(L’
1+L’1+1)M 1+L’
1+1M 1+1= - (D1L’1+E1+1L
’1+1)
Aplica-se a equação 3M DUAS vezes → i = 1
L’1M 0+2(L’
1+L’2)M 1+L’
2M 2= - (D1L’1+E2L
’2)
Equação dos três momentos
→ i = 2
L’i M i-1 + 2(L’
i+L’i+1)M i + L’
i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L
’i+1)
L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ )
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
L’2M 2-1+2(L’
2+L’2+1)M 2+L’
2+1M 2+1= - (D2L’2+E2+1L
’2+1)
L’2M 1+2(L’
2+L’3)M 2+L’
3M 3= - (D2L’2+E3L
’3)
Equação dos três momentos
Para um estrutura GH=3
L’i M i-1 + 2(L’
i+L’i+1)M i + L’
i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L
’i+1)
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
L i M i-1 + 2(L i+L i+1)M i + L i+1M i+1 = - (DiL i + Ei+1L i+1)
L’1M 1-1+2(L’
1+L’1+1)M 1+L’
1+1M 1+1= - (D1L’1+E1+1L
’1+1)
Aplica-se a equação 3M TRÊS vezes → i = 1
L’1M 0+2(L’
1+L’2)M 1+L’
2M 2= - (D1L’1+E2L
’2)
Equação dos três momentos
→ i = 2
L’i M i-1 + 2(L’
i+L’i+1)M i + L’
i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L
’i+1)
L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ )
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
L’2M 2-1+2(L’
2+L’2+1)M 2+L’
2+1M 2+1= - (D2L’2+E2+1L
’2+1)
L’2M 1+2(L’
2+L’3)M 2+L’
3M 3= - (D2L’2+E3L
’3)
Equação dos três momentos
→ i = 3
L’i M i-1 + 2(L’
i+L’i+1)M i + L’
i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L
’i+1)
L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ )
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
L’3M 3-1+2(L’
3+L’3+1)M 3+L’
3+1M 3+1= - (D3L’3+E3+1L
’3+1)
L’3M 2+2(L’
3+L’4)M 3+L’
4M 4= - (D3L’3+E4L
’4)
Equação dos três momentosGeneralizando:
L’1M 0+2(L’
1+L’2)M 1+L’
2M 2= - (D1L’1+E2L
’2) → i = 1
L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ ) → i = 2
L’i M i-1 + 2(L’
i+L’i+1)M i + L’
i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L
’i+1)
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
L’2M 1+2(L’
2+L’3)M 2+L’
3M 3= - (D2L’2+E3L
’3) → i = 2
L’3M 2+2(L’
3+L’4)M 3+L’
4M 4= - (D3L’3+E4L
’4) → i = 3
L’4M 3+2(L’
4+L’5)M 4+L’
5M 5= - (D4L’4+E5L
’5) → i = 4
Equação dos três momentos
d) Defina os momentos fletores
•Mo → Momento no nó zero;
•M1 → Momento no nó um;
•M2 → Momento no nó dois;•M2 → Momento no nó dois;
•M3 → Momento no nó três;
•M4 → Momento no nó quatro;
Assim por diante...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Equação dos três momentos
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Equação dos três momentos
e) Vão Reduzido => Adotar E cIc
Lk´=
Ec·Ic·Lk
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Lk´= c c
EIK·Lk
Equação dos três momentos
f) Fatores de carga → Tabelado
g) Solução da equação dos 3M
h) Traçado dos diagramas M, V e Nh) Traçado dos diagramas M, V e N
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Equação dos três momentos
Casos especiais1) BalançoO momento no balanço é conhecido, pois
ele é isostático.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
ele é isostático.
Portanto, tira-se o balanço e coloca-se suas reações no nó a que ele pertence.
Equação dos três momentos
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Equação dos três momentos
Convenção usual de sinais para momento fletor:
�Quando a tração for nas fibras de baixo o �Quando a tração for nas fibras de baixo o momento é positivo
�Quando a tração for nas fibras de cima o momento é negativo
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Equação dos três momentos
2) Apoio de extremidade engastadoPara efeito de cálculo o engastamento deve
ser substituído por um tramo adicional bi-apoiado.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
bi-apoiado.No equacionamento o comprimento desse
tramo fictício deve tender a zero.Desse modo, a viga real e a viga de cálculo
terão a mesma elástica e, portanto, os mesmos esforços.
Equação dos três momentos
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Equação dos três momentos
Mesma elástica
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Equação dos três momentos
3) Momento concentrado aplicado sobre um apoio intermediário
Para efeito de cálculo, deve-se escorregar
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Para efeito de cálculo, deve-se escorregar M* para o tramo da direita ou para o tramo da esquerda.
Equação dos três momentos
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Equação dos três momentosEquação dos três momentos
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
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