UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 1
ESPAOS VETORIAIS EUCLIDIANOS
Produto interno em espaos vetoriais
Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e
ngulos entre dois vetores. Esses conceitos permitiro uma melhor compreenso do que
seja uma base ortogonal e uma base ortonormal em um EV e, principalmente, nos daro
a noo de medida que nos leva a precisar conceitos como o de rea, volume,
distncia, etc.
Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano
ortogonal (eixos perpendiculare0 e um ponto P(x,y). Vamos calcular a distncia do
ponto P origem O (0,0)
Observando a figura e utilizando o teorema de Pitgoras, temos que d =
. Podemos tambm, interpretar este resultado dizendo que o comprimento
(que passaremos a chamar de norma) do vetor (x,y) :
Por outro lado, se tivssemos dois vetores u = (x1,y1) e v =(x2, y2), podemos
definir um produto de u por v assim:
= x1x2 + y1y2,
produto este chamado de produto escalar interno usual e que tem uma relao
importante com a norma de um vetor v = (x,y).
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 2
Se, ao invs de trabalharmos no R2, estivssemos trabalhando no R
3 (munidos de
um referencial cartesiano ortogonal), teramos encontrado uma expresso similar para o
produto escalar:
E a mesma relao com a norma de um vetor v = (x,y,z)
Voltando ao caso do plano, se tivssemos trabalhando com um referencial no
ortogonal (eixos no perpendiculares), e quisssemos calcular a distncia da origem at
um ponto P (cujas coordenadas em relao ao referencial fossem (x,y)), teramos,
usando o Teorema de Pitgoras:
Obseve que, se usssemos o produto escalar =
neste caso no valeria a relao = , mas ela passaria a valer se usssemos a
seguinte regra para o produto:
Portanto, novamente a noo de distncia poderia ser dada a partir de um
produto interno de vetores. Conclumos destes exemplos, que o processo usado para se
determinar medidas num espao pode variar e, em cada caso, precisamos ser bem
claros sobre qual produto interno estamos trabalhando.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 3
Definio: Seja V um EV real. Um produto sobre V uma funo f: VxV R que a cada par de vetores v1 e v2, associa um nmero real, denotado por , e que
satisfaz as seguintes propriedades:
P1 u.v = v.u
P2 u. (v + w) = u.v + u. w
P3 (u).v = (u.v) para todo real
P4 u.u 0 e u.u = 0 se, e somente se, u = 0.
Exemplo:
1) No espao vetorial V = R2, a funo que associa a cada par de vetores
u = (x1, y1) e v= (x2, y2) o nmero real u.v = 3x1x2 + 4y1y2 um produto interno.
2) O nmero u.v = 2x1x2 + y12y2
2 sendo u = (x1, y1) e v = (x2, y2) no define no R
2
um produto interno.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 4
Exerccios:
1) Em relao ao produto interno usual do R2, calcular u.v, sendo dados: a) u = (-3,4) e v = (5,-2) b) u = (6,-1) e v = (1/2, -4) c) u = (2,30 e v =(0,0)
2) Para os mesmos vetores do exerccio anterior, calcular u.v em relao ao produto interno: u.v = 3x1x2 + 4y1y2.
3) Consideremos o R3 munido do produto interno usual. Sendo v1 = (1,2,-3), v2 =(3,-1,-1) e v3 = (2,-2,0) do R
3, determinar o vetor u tal que u.v1 = 4, u.v2 = 6
e u.v3 = 2.
4) Seja V = {f: [0,1] R; f contnua} o EV munido do produto interno:
Determinar h1. h2 e h1.h1, tais que h1, h2 V e h1(t) = t e h2(t) = t2.
Espao Vetorial Euclidiano
Um EV real, de dimenso finita, no qual est definido um produto interno um
EV euclidiano.
Mdulo de um Vetor
Dado um vetor v de um EV euclidiano V, define-se mdulo, normal ou
comprimento de v o nmero real no-negativo, indicado por |v|, definido por:
|v| =
Se u = (x1,y1,z1) R3 , tem-se:
|u| = =
Distncia entre dois vetores
Chama-se de distncia entre dois vetores (ou pontos) u e v o nmero real
representado por d(u,v) e definido por:
d(u,v) = |u-v|
Sendo u = (x1,y1,z1) , v = (x2,y2,z2) R3 com produto interno usual, tem-se:
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 5
d(u,v) = |x1 x2, y1-y2, z1 z2|
d(u,v) =
Observaes:
1) Se |v| = 1 , isto , v.v = 1, o vetor v chamado vetor unitrio, diz-se que V
est Normalizado.
2) Todo vetor no nulo v V pode ser normalizado, fazendo:
Observemos que:
E, portanto,
unitrio.
Exemplo: Considerando V = R3 com o produto interno v1.v2 = 3x1x2 + 2y1y2 +
z1z2, sendo v1= (x1, y1,z1) e v2= (x2, y2,z2). Dado o vetor v = (-2,1,2) R3, em relao a esse produto interno, determine o vetor u, normalizando v:
Propriedades do Mdulo de um Vetor
Seja V um EV euclidiano, tem-se:
I. v 0, v V e v= 0, se, e somente se, v = 0.
II. v= v, v V, R
Demonstrao:
| v| = = = ||. = ||.|v|
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 6
III. u.vuv, u,v V
Se u ou v = 0 vale a igualdade:
|uv| = |u|.|v| = 0
Se nem u, nem v so nulos, para qualquer R vale a desigualdade:
(u + v).(u + v) 0
Pelo axioma P4, Efetuando o produto interno, vem:
u.u + u.( v) + (v.u) + 2(v.v) 0
ou,
|v|2 2 + 2(u.v) + |u|2 0
Obtivemos assim, um trinmio do 2 grau em (pois |v|2 0), que deve ser
positivo para qualquer valor de . Como o coeficiente de 2 sempre positivo, o
discriminante deve ser negativo ou nulo.
(2u.v)2 4|v|2 |u|2 0
4(u.v)2 - 4|v|
2 |u|
2 0
(u.v)2 |v|
2 |u|
2
Considerando a raiz quadrada positiva de ambos os membros dessa
desigualdade, vem:
u.vuv
Essa desigualdade conhecida com o nome de Desigualdade de Schwarz ou
Inequao de Cauchy-Schwarz.
IV. u+vu+v,u,v V
Demonstrao
|u+v| =
|u + v| =
|u+v|2 = |u|
2 +2(u.v) + |v|
2
Mas:
u.v u.vuv
logo,
|u+v|2 |u|2 +2|u||v| + |v|2
Ou:
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 7
|u+v|2 (|u| + |v|)2
Ou ainda,
u+vu+v
ngulos de dois Vetores
Seja V um EV munido com um produto interno. O ngulo entre dois vetores
u, v V tal que:
Exerccios:
1. Consideremos o R3 com o produto interno usual. Determinar a componente c do vetor v = (6, -3,c) tal que |v| = 7.
2. Seja o produto interno usual no R3 e no R4. Determinar o ngulo entre os seguintes pares de vetores:
a) u = (2,1,-5) e v = (5,0,2) b) u =(1,-1,2,3) e v = (2,0,1,-2)
5. Seja V um EV euclidiano e u, v V. Determinar o cosseno do ngulo entre os
vetores u e v, sabendo que |u| = 3, |v| = 7 e |u +v| = 4 .
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 8
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 9
Vetores ortogonais
Seja v um EV euclidiano. Diz-se que dois vetores u e v de V so ortogonais, e se
representa por u v, se, e somente se, u.v = 0.
Exemplo: Seja V = R3 um EV euclidiano em relao ao produto interno (x1, y1).(x2, y2)
= x1x2 +2y1y2. Em relao a este produto interno, os vetores u = (-3,2) e v = (4,3) so
ortogonais, pois:
u.v = -3.(4) +2.(2).(3) = 0
Observaes:
1) O vetor 0 V ortogonal a qualquer v V. 0.v = 0
2) Se u v, ento u v para todo R. 3) Se u1 v e u2 v, ento (u1 + u2) v.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Seja V um EV euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetores {v1, v2, ...,vn} V
ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, so ortogonais, isto , vi. vj = 0 para ij.
Exemplo:
No R3, o conjunto {(1,2,-3), (3,0,1), (1,-5,-3)} ortogonal em relao ao produto
interno usual, pois:
(1,2,-3). (3,0,1) = 0
(1,2,-3) .(1,-5,-3) = 0
(3,0,1) . (1,-5,-3) = 0
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 10
Teorema:
Um conjunto ortogonal de vetores no-nulos A = {v1, v2,...,vn} Linearmente
Independente (LI).
De fato:
Considerando a igualdade:
a1v1 + a2v2 + ...+ avn = 0
Multiplicando o produto interno de ambos os lados da igualdade, temos:
(a1v1 + a2v2 + ...+ avn) vi = 0vi
Ou,
a1(v1.vi) + ...ai(vi.vi) + ...+ a(vn.vi)= 0
Como A ortogonal, vj . vi = 0 para j i e vi.vi 0, pois vi 0. Ento ai(vi.vi) = 0 implica ai = o para i = 1, 2,3...n. Logo, A = {v1, v2,...,vn} LI.
Base Ortogonal
Uma base {v1, v2,...,vn} de V ortogonal se os seus vetores so dois a dois
ortogonais.
Assim, se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores no-nulos e dois a dois
ortogonais, constitui uma base ortogonal.
Poe exemplo, o conjunto do exemplo {(1,2,-3), (3,0,1), (1,-5,-3)} uma base ortogonal
do R3.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 11
Base Ortonormal
Uma base B = {v1, v2,...,vn} de um EV euclidiano V ortonormal se B
ortogonal e todos seus vetores so unitrios, isto :
Exemplo:
Em relao ao produto interno usual, o conjunto:
1) B = {(1,0), (0,1)} uma base ortonormal do R2 ( a base cannica).
2) B= {( , } tambm uma base ortonormal do R2.
3) B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} uma base ortonormal do R3 ( a base cannica).
4) B = {u1, u2, u3} sendo u1 = ( , ; u2 = ( , , u3= (0, ,
tambm uma base ortonormal do R3.
Como vimos, o processo que transforma V em chama-se normalizao de v.
Assim, uma base ortonormal sempre pode ser obtida de uma base ortogonal,
normalizando cada vetor.
Exemplo:
A base B = {v1, v2,v3}sendo v1 = (1,1,1), v2 = (-2,1,1) e v3 (0,-1,1) ortogonal em
relao ao produto interno usual. Normalizando cada vetor, obtemos:
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 12
Processo de Ortogonalizao de Gram-Schmidt
Para entendermos o processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt necessrio, termos
uma noo de projeo ortogonal.
Projees ortogonais de vetores
Em muitas aplicaes importante decompor um vetor u na soma de dois
componentes, um paralelo a um vetor no-nulo especificado a e o outro perpendicular a
a. Se u e a so posicionados com seus pontos iniciais coincidindo com um ponto Q,
podemos decompor o vetor u, da seguinte forma: Baixamos uma perpendicular da ponto
de u para a reta ao longo de a e construmos o vetor w1 de ao p desta perpendicular.
Em seguida tomamos a diferena
w2 = u w1
Conforme indicado na figura, o vetor w1 paralelo ao vetor a e w2 perpendicular ao
vetor a e
w1 + w2 = w1 + (u w1) = u
O vetor w1, chamdo projeo ortogonal de u sobre a, ou ento componente vetorial
de u ao longo do vetor a, denotado por proja u.
O vetor w2 chamado componente vetorial de u ortogonal ao vetor a. Como
w2 = u w1 , este vetor pode ser escrito com a notao:
w2 = u proja u.
Teorema: Se u e a so vetores em R2 ou R
3 e se a 0, ento:
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 13
Demonstrao:
Sejam w1 = proja u e w2 = u proja u. Como w1 paralelo a a, deve ser um mltiplo
escalar de a, e portanto pode ser escrito na forma w1 = ka. Assim:
u = w1+ w2 = ka + w2
Tomando o produto escalar de a, com ambos os lados da equao anterior, temos:
u .a = ( ka + w2).a = k + w2.a
Mas w2.a = 0, pois w2 perpendicular a a; portanto d:
Como proja u = w1 = ka, obtemos:
Seja W um subespao de dimenso finita de um espao com produto interno V.
a) Se {v1, v2,...,vr} uma base ortonormal de W e u um vetor qualquer de V,
ento:
projw u =
b) Se {v1, v2,...,vr} uma base ortogonal de W e u um vetor qualquer de V, ento:
projw u =
Encontrando uma base ortogonal
Teorema: Cada espao vetorial no-nulo de dimenso finita possui uma base
ortonormal.
Prova: Seja V um espao vetorial no-nulo de dimenso finita com produto interno e
suponha que {u1, u2,...,un} uma base de V. suficiente mostrar que V tem uma base
ortogonal, pois os vetores da base ortogonal podem ser normalizados para produzir uma
base ortonormal de V. A seguinte sequencia de passos ir produzir uma base ortogonal
{v1,v2,...,vn} de V.
Passo 1: Seja v1 = u1.
Passo2: Conforme ilustrado, ns podemos obter um vetor v2 que ortogonal a v1
tomando a componente de u2 que ortogonal ao espao W1 gerado por v1:
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 14
v2 = u2 projw1u2 = u2 -
Passo 3: Para construir um vetor v3 que ortogonal a ambos v1 e v2, calculamos a
componte de u3 que ortogonal ao espao W2 gerado por v1 e v2.
v3 = u3 projw2 u3 = u3 -
Passo 4: Para determinarmos um vetor v4 que ortogonal a v1, v2 e v3, calculamos a
componente de u4 que ortogonal ao espao W3 gerado por v1, v2, e v3.
v4 = u4 projw3 u4 = u4 - -
Continuando desta maneira, ns iremos obter, depois de n passos, um conjunto
ortogonal de vetores {v1, v2,...,vn}. Como V trem dimenso n e conjuntos ortogonais so
LI, o conjunto {v1, v2,...,vn} uma base ortogonal de V.
A construo passo a passo acima para converter uma base arbitrria numa base
ortogonal chamada processo de Gram-Schmidt.
Exemplo:
Considere o espao vetorial R3 com o produto interno euclidiano. Aplique o processo de
Gram-Schmidt para transformar os vetores de base u1 = (1,1,1), u2 = (0,1,1), u3 =
(0,0,1) em uma base ortogonal {v1, v2,v3}; depois normalize os vetores da base
ortogonal para obter uma base ortonormal {q1, q2, q3}.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS
lgebra Linear - Produto Interno - Prof. Adriana Biscaro Pgina 15
Exerccios:
1. Suponha que R3 tem o produto interno euclidiano. Use o processo de Gram-
Schmidt para transformar a base {u1, u2,u3} em uma base ortonormal.
a) u1 = (1,1,1) u2 = (-1,1,0) e u3 = (1,2,1)
2. Seja V = R3 e o produto interno (x1, y1, z1).(x2, y2,z2) = 2x1x2 + 3y1y2 + z1z2.
Determinar um vetor unitrio simultaneamente ortogonal aos vetores u = (1,2,1)
e v = (1,1,1).
3. Construir, a partir do vetor v1 = (1,-2,1), uma base ortogonal do R3 relativamente
ao produto interno usual e obter, a partir dela, uma base ortonormal.
4. O conjunto B = {(1,-1), (2,b)} uma base ortogonal do R2 em relao ao
produto interno: (x1, y1).(x2, y2) = 2x1x2 + y1y2. Calcular o valor de b e
determinar , a partir de B, uma base ortonormal.
5. Em relao ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal do
seguinte subespao vetorial do R3: S = {(x,y,z) R3/ x + y- z = 0}
6. Mostre que se f = f(x) e g = g(x) duas funes contnuas em C[a,b] e defina
= um produto interno em C[a,b].
Top Related