ESTATÍSTICA
Aula 4- Medidas de Posição
Prof. Dra. Denise Candal
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Conteúdo Programático desta aula
Medidas de Posição:
Média Mediana Moda Quartis
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Concentração de Valores
Em uma distribuição, podemos identificar tendências com relação a maior concentração de valores.
Se esta concentração se localiza no inicio, meio ou fim, ou ainda se existe uma distribuição por igual.
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Medidas de Posição – AULA4
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
ElementosMedidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de AssimetriaMedidas de Curtose
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
ElementosMedidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de AssimetriaMedidas de Curtose
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Medidasde
Posição
Medidasde
Tendência Central
MédiaMediana
Moda
SeparatrizesMedianaQuartis
PercentisAs medidas de posição são estatísticas
que nos orientam quanto a posição em relação ao eixo horizontal.
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Medidas de Posição – AULA4
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
ElementosMedidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de AssimetriaMedidas de Curtose
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
ElementosMedidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de AssimetriaMedidas de Curtose
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Medidas de Posição – AULA4
Medidas de DispersãoMedidas
DeVariabilidade
Ou Dispersão
Amplitude TotalVariância
Desvio PadrãoCoeficiente de
Variação
As medidas de dispersão mostram o grau de afastamento dos valores observados em relação àquele valor representativo.
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Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
ElementosMedidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de AssimetriaMedidas de Curtose
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Medidas de Posição – AULA4
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
ElementosMedidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de AssimetriaMedidas de Curtose
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Medidas de Posição – AULA4
Assimetria
As medidas de assimetria possibilitam analisar uma distribuição de acordo com as relações entre suas medidas de moda, média e mediana, quando observadas graficamente.
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Medidas de Posição – AULA4
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
ElementosMedidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de AssimetriaMedidas de Curtose
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
ElementosMedidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de AssimetriaMedidas de Curtose
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Medida de CurtoseCurtose é o grau de achatamento de uma distribuição
com relação a uma distribuição padrão, dita normal.
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Medidas de Posição – AULA4
• Dados não agrupados
• Dados agrupados sem intervalos de classe
• Dados agrupados com intervalos de classe
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Medidas de Posição – AULA4
• Dados não agrupados
• Dados agrupados sem intervalos de classe
• Dados agrupados com intervalos de classe
A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros.
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Medidas de Posição – AULA4
• Dados não agrupados
• Dados agrupados sem intervalos de classe
• Dados agrupados com intervalos de classe
Distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos. Número de
Meninosfi
01234
2610124
∑=34
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Medidas de Posição – AULA4
• Dados não agrupados
• Dados agrupados sem intervalos de classe
• Dados agrupados com intervalos de classe
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE
A - 2007
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIA
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
49
11853
total 40
Dados fictícios.
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Medidas de Posição – AULA4
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
ElementosMedidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de AssimetriaMedidas de Curtose
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Medidas de Posição – AULA4
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
ElementosMedidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de AssimetriaMedidas de Curtose
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Medidas de Posição – AULA4
Medidasde
Posição
Medidasde
Tendência Central
MédiaMediana
Moda
SeparatrizesMedianaQuartis
Percentis
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Medidas de Posição – AULA4
Medidasde
Posição
Medidasde
Tendência Central
MédiaMediana
Moda
SeparatrizesMedianaQuartis
PercentisAs medidas de posição são estatísticas
que nos orientam quanto a posição em relação ao eixo horizontal.
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Medidas de Posição – AULA4
Medidasde
Posição
Medidasde
Tendência Central
MédiaMediana
Moda
SeparatrizesMedianaQuartis
Percentis
Medidas de tendência central são aquelas nas quais os dados observados tendem a se agrupar em torno dos valores centrais.
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Medidas de Posição – AULA4
Medidasde
Posição
Medidasde
Tendência Central
MédiaMediana
Moda
SeparatrizesMedianaQuartis
Percentis
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Medidas de Posição – AULA4
Média: Dados não AgrupadosMédia aritmética simples
n
xx i
Valores da variável
Número de valores
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Medidas de Posição – AULA4
Desvio em relação a Média
Desvio em relação a média (di): diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética .
xxd ii
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Medidas de Posição – AULA4
Exemplo 1: Vaca
A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros.
Determine a produção média da semana.Determine também o desvio em relação a média dos
valores dados.
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Medidas de Posição – AULA4
14
7
987
12181615131410
x
x
x
n
xx i
Exemplo 1: Vaca
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Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
14x
21412
41418
21416
11415
11413
01414
41410
77
66
55
44
33
22
11
xxd
xxd
xxd
xxd
xxd
xxd
xxd
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Medidas de Posição – AULA4
Média: Dados Agrupados• Frequências indicam a intensidade de
cada variável: funcionam como fatores de ponderação (média aritmética ponderada).
• Média Ponderada: é a média de um conjunto de dados cujas entradas têm pesos variáveis.
w
xwx
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Média: Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe
i
ii
f
fxx
Variável da i-ésima classe
Frequência absoluta da i-ésima classe
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Medidas de Posição – AULA4
Média: Dados Agrupados Com Intervalos de Classe
Dados organizados em distribuição de freqüência
i
ii
f
fxx
Ponto médio da i-ésima classe
Frequência absoluta da i-ésima classe
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Medidas de Posição – AULA4
Exemplo 2: FilhosConsidere a distribuição relativa a 34 famílias
de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Determine a média aritmética ponderada da distribuição.Número de
meninosf i
01234
2610124
∑=34
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Medidas de Posição – AULA4
Número de meninos xi
f i xi fi
01234
2610124
∑=34 ∑=
i
ii
f
fxx
Média ?
Exemplo 2: Filhos
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Número de meninos xi
f i xi fi
01234
2610124
06203616
∑=34 ∑=78
i
ii
f
fxx
Média
Exemplo 2: Filhos
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Número de meninos xi
f i xi fi
01234
2610124
06203616
∑=34 ∑=78
Média
Exemplo 2: Filhos
3,234
78
i
ii
f
fxx
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Medidas de Posição – AULA4
Exemplo 3: Alturas
Determine a média das alturas.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIA
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
49
11853
total 40
Dados fictícios.
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Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIAfi
PONTO MÉDIO xi xifi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
total 40 ∑=
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Medidas de Posição – AULA4
No Excel
43
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Medidas de Posição – AULA444
No Excel
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Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIAfi
PONTO MÉDIO xi xifi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
total 40 ∑=
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Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIAfi
PONTO MÉDIO xi xifi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
152156160164168172
total 40 ∑=
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Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIAfi
PONTO MÉDIO xi xifi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
152156160164168172
608140417601312840516
total ∑=40 ∑=6440
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIAfi
PONTO MÉDIO xi xifi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
152156160164168172
608140417601312840516
total ∑=40 ∑=6440
16140
6440
i
ii
f
fxx
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Medidasde
Posição
Medidasde
Tendência Central
MédiaMediana
Moda
SeparatrizesMedianaQuartis
Percentis
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Medidas de Posição – AULA4
Medidasde
Posição
Medidasde
Tendência Central
MédiaMediana
Moda
SeparatrizesMedianaQuartis
Percentis
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ModaO valor da variável que aparece em maior
frequência em uma série de valores.
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Medidas de Posição – AULA4
Moda: Dados não AgrupadosUm conjunto de dados pode ter:• Nenhuma moda (amodal) – nenhum valor
aparece mais vezes que outros.• Uma moda (unimodal) • Duas ou mais modas (multimodal) – dois ou mais
valores de concentração.
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Moda: Dados não AgrupadosO valor da variável de maior frequência
Exercício 1: VacaA produção leiteira diária de uma vaca, durante
uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros. Determine a moda.
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Moda: Dados Agrupados Sem Intervalo de Classe
O valor da variável de maior frequência
Exercicio 2:FilhosModa?
Número de meninos
f i
01234
2610124
∑=34
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Moda: Dados Agrupados Com Intervalo de Classe
• Classe modal: a classe que apresenta maior frequencia.
• Moda bruta: valor resultante do método mais simples para o cálculo da moda – toma-se o ponto médio da classe modal.
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Graficamente, a moda é o valor de x para o qual y é máximo.
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Número de meninos xi
f i xi fi
01234
2610124
06203616
∑=34
∑=78
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino.
Exemplo 2: Filhos
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Número de meninos xi
f i xi fi
01234
2610124
06203616
∑=34 ∑=78
Classe Modal
Moda= 3
Exemplo 2: Filhos
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIAfi
PONTO MÉDIO xi xifi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
152156160164168172
608140417601312840516
total ∑=40 ∑=6440Exercício 3: Alturas
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIAfi
PONTO MÉDIO xi xifi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
152156160164168172
608140417601312840516
total ∑=40 ∑=6440Moda= 160
Exemplo 3: Alturas
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Medidasde
Posição
Medidasde
Tendência Central
MédiaMediana
Moda
SeparatrizesMedianaQuartis
Percentis
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Medidasde
Posição
Medidasde
Tendência Central
MédiaMediana
Moda
SeparatrizesMedianaQuartis
Percentis
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Mediana• A mediana é um valor central de um rol,
ou seja, a mediana de um conjunto de valores ordenados (crescente ou decrescente) é a medida que divide este conjunto em duas partes iguais.
• Dado um conjunto ordenado de valores, mediana é o o valor situado de tal maneira que este valor separa o conjunto em dois subconjuntos com mesmo numero de elementos.
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Mediana – Dados não Agrupados• para n ímpar: o termo de ordem
• para n par: a media aritmética dos termos de ordem e
2
1n
2
1nn
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Exemplo 1: Vaca
A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros.
10 12 13 14 15 16 181 2 3 4 5 6 7
mediana
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Mediana – Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe
Valor da variável correspondente a frequência acumulada imediatamente superior à
metade da soma das frequências.
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Número de meninos xi
f i Fi
01234
2610124
∑=34
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Moda=?
Exemplo 2: Filhos
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Número de meninos xi
f i Fi
01234
2610124
28183034
∑=34
Frequencia acumulada imediatamente superior a
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Moda=?
2 if
Exemplo 2: Filhos
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Número de meninos xi
f i Fi
01234
2610124
28183034
∑=34
172
34
Frequencia acumulada imediatamente superior a
Moda=?
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino.
Exemplo 2: Filhos
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Número de meninos xi
f i Fi
01234
2610124
28183034
∑=34
172
34
Frequencia acumulada imediatamente superior a
Moda=?
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino.
Exemplo 2: Filhos
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Mediana – Dados Agrupados Com Intervalos de Classe
• determinar as frequências acumuladas
• calcular
• identificar a classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
• empregar a formula:
2 if
2 if
*
*
*
)(2
f
hantFf
lMd
i
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIAfi
FREQUENCIAACUMULADA
Fi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
total ∑=40identificar a classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
2 if
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIAfi
FREQUENCIAACUMULADA
Fi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
41324323740
total ∑=40
202
402
if
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIAfi
FREQUENCIAACUMULADA
Fi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
41324323740
total ∑=40
202
402
if
54,160
11
41320158
)(2
*
*
*
f
hantFf
lMd
i
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
A mediana, além de representar uma série de valores com relação a posição central, separa a série de valores em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores.
Medidasde
Posição
Medidasde
Tendência Central
MédiaMediana
Moda
SeparatrizesMedianaQuartis
Percentis
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
As separatrizes não são medidas de tendência central, mas têm a ver com a segunda característica da mediana. As separatrizes são medidas que se baseiam em sua posição na série.
Medidasde
Posição
Medidasde
Tendência Central
MédiaMediana
Moda
SeparatrizesMedianaQuartis
Percentis
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Fractis
• Números que dividem um conjunto ordenado de dados em partes iguais.
• A mediana é um fractil, pois divide um conjunto ordenado de dados em duas partes iguais.
• Os quartis, decis e percentis são outros tipos de fractis, que dividem o conjunto de dados respectivamente em quatro, dez e cem partes iguais.
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Quartis
Quartis são os valores de uma série de dados ordenados que a divide em quatro partes iguais.
0% 25% 50% 75% 100%
Q1 Q2=Md Q3
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Quartis
(Q1) Primeiro Quartil – valor cuja posição na série é tal que a quarta parte (25%) dos dados é menor do que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores que ele.
(Q2) Segundo Quartil – coincide com a mediana. (Q2=Md)
(Q3) Terceiro Quartil – valor cuja posição na série é tal que três quartas partes (75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior.
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá
pela substituição na formula da mediana de
por
onde k é o número de ordem do quartil.
*
*
*
)(2
f
hantFf
lMd
i
2 if
4 ifk
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá
pela substituição na formula da mediana de
por
onde k é o número de ordem do quartil.
2 if
4 ifk
*
*
*1
)(4
f
hantFf
lQ
i
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá
pela substituição na formula da mediana de
por
onde k é o número de ordem do quartil.
2 if
4 ifk
*
*
*2
)(4
2
f
hantFf
lQ
i
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá
pela substituição na formula da mediana de
por
onde k é o número de ordem do quartil.
2 if
4 ifk
*
*
*3
)(4
3
f
hantFf
lQ
i
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
*
*
*1
)(4
f
hantFf
lQ
i
*
*
*2
)(4
2
f
hantFf
lQ
i
*
*
*3
)(4
3
f
hantFf
lQ
i
Primeiro Quartil
Segundo Quartil
Terceiro Quartil
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Decil
Decis ( P1, P2,...P9) são os 9 valores que
separam uma série de dados em 10 partes
iguais.
Observação: P5=Md
Dados agrupados: o cálculo dos percentis se
dá pela substituição na formula da mediana
de por
onde k é o número de ordem do
percentil.
2 if
10 ifk
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
PercentilPercentis ( P1, P2,...P99) são os 99 valores
que separam uma série de dados em 100
partes iguais.
Observação: P50=Md P25=Q1 P75=Q3
Dados agrupados: o cálculo dos percentis se
dá pela substituição na formula da mediana
de por
onde k é o número de ordem do
percentil.
2 if
100 ifk
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
*
*
*
)(4
f
hantFfk
lQ
i
k
*
*
*
)(100
f
hantFfk
lP
i
k
*
*
*
)(2
f
hantFf
lMd
i
Mediana
Quartis
Percentis
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Exemplo 4: Dados não agrupados
Calcule os quartis da série: { 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
{ 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }Ordenando:{ 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }O valor que divide a série acima em duas
partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 = Q2.
Dois grupos de valores: {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 }
Para o calculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas dos dois grupos de valores.
Em { 2, 5, 6 } a mediana é = 5 , o quartil 1 Em {10, 13, 15 } a mediana é =13 , o
quartil 3
Exemplo 4: Dados não agrupados
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Calcule os quartis da série: { 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }
Exemplo 5: Dados não agrupados
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }A série ordenada.Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5Quartil 1 = mediana da série à esquerda de
Md : { 1, 1, 2, 3, 5, 5 }Q1 = (2+3)/2 = 2,5
Quartil 3 = a mediana da série à direita de Md :
{6, 7, 9, 9, 10, 13 }Q3 = (9+9)/2 = 9
Exemplo 5: Dados não agrupados
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Exemplo 6: Dados Agrupados
Determine os quartis.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIA
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
49
11853
total 40
Dados fictícios.
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIAfi
FREQUENCIAACUMULADA
Fi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
total ∑=40Classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
2 if
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIAfi
FREQUENCIAACUMULADA
Fi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
41324323740
total ∑=40
202
402
if
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIAfi
FREQUENCIAACUMULADA
Fi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
41324323740
total ∑=40
202
402
if
54,160
11
41320158
)(2
*
*
*
f
hantFf
lMd
i
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIAfi
FREQUENCIAACUMULADA
Fi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
41324323740
total ∑=40
104
404
if
67,152
9
41310154
)(4
1*
*
*
f
hantFf
lQ
i
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIAfi
FREQUENCIAACUMULADA
Fi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
41324323740
total ∑=40
304
40.34
3
if
165
8
42430162
)(4
3
3*
*
*
f
hantFf
lQ
i
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIAfi
FREQUENCIAACUMULADA
Fi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
41324323740
total ∑=4054,1602 MdQ 1653Q57,1521Q
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATURAS(cm)
FREQUÊNCIAfi
FREQUENCIAACUMULADA
Fi
154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170
4911853
41324323740
total ∑=400% 25% 50% 75% 100%
Q1152,57
Q2=Md160,54
Q3165
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Exercícios
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Exercício 1: Peso dos Bebês
Considere a tabela abaixo de nascidos vivos segundo peso ao nascer. Determine a média, a mediana e a moda da distribuição.
PESO FREQUÊNCIA
2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5
31631341141
Total
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
• Com intervalo de classe• Moda?• Classe Modal: aquela
que apresenta maior frequência.
• Ponto médio da classe modal.
PESO FREQUÊNCIA
2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5
31631341141
Total
Exercício 1: Peso dos Bebês
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
• Com intervalo de classe• Moda?• Classe Modal: aquela
que apresenta maior frequência.
• Ponto médio da classe modal.
PESO FREQUÊNCIA
2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5
31631341141
Total
Exercício 1: Peso dos Bebês
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
• Com intervalo de classe• Moda?• Classe Modal: aquela
que apresenta maior frequência.
• Ponto médio da classe modal.
PESO FREQUÊNCIA
2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5
31631341141
Total
Exercício 1: Peso dos Bebês
25,32
5,6
2
5,30,34
x
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
• Com intervalo de classe
• Média?• Ponto Médio?
PESO FREQUÊNCIA
2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5
31631341141
Total
Exercício 1: Peso dos Bebês
i
ii
f
fxx
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
• Com intervalo de classe
• Média?• Ponto Médio?
PESO fi xi xifi
2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5
31631341141
Total ∑=100
Exercício 1: Peso dos Bebês
i
ii
f
fxx
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
PESO fi xi xifi
2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5
31631341141
1,752,252,753,253,754,254,75
Total ∑=100
Exercício 1: Peso dos Bebês• Com intervalo de
classe• Média?• Ponto Médio?
i
ii
f
fxx
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
PESO fi xi xifi
2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5
31631341141
1,752,252,753,253,754,254,75
5,2536
85,2510,541,25
174,75
Total ∑=100
∑=300
i
ii
f
fxx
3100
300x
Exercício 1: Peso dos Bebês
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
• Mediana?• Classe mediana:
aquela correspondente
a frequência acumulada imediatamente superior a
PESO fi xi xifi
2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5
31631341141
1,752,252,753,253,754,254,75
5,2536
85,2510,541,25
174,75
Total ∑=100
∑=300
2 if
Exercício 1: Peso dos Bebês
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
• Mediana?• Classe mediana:
aquela correspondente
a frequência acumulada imediatamente superior a
PESO fi xi xifi
2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5
31631341141
1,752,252,753,253,754,254,75
5,2536
85,2510,541,25
174,75
Total ∑=100
∑=300
2 if
Exercício 1: Peso dos Bebês
502
100
2 if
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
• Mediana?• Classe mediana:
aquela correspondente
a frequência acumulada imediatamente superior a
PESO fi xi xifi
2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5
31631341141
1,752,252,753,253,754,254,75
5,2536
85,2510,541,25
174,75
Total ∑=100
∑=300
2 if
Exercício 1: Peso dos Bebês
502
100
2 if
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Classe mediana: classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
PESO fi xi xifi Fi
—׀ 1,52,0
—׀ 2,02,5
—׀ 2,53,0
—׀ 3,03,5
—׀ 3,54,0
—׀ 4,04,5
—׀ 4,55,0
31631341141
1,752,252,753,253,754,254,75
5,2536
85,2510,5
41,2517
4,75
31950849599
100
Total ∑=100
∑=300
502
100
2 if
Exercício 1: Peso dos Bebês
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
OBSERVAÇÃO: Se existir uma frequência acumulada exatamente igual a a mediana será o limite superior da classe
correspondente.
2 if
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Classe mediana: classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
PESO fi xi xifi Fi
—׀ 1,52,0
—׀ 2,02,5
—׀ 2,53,0
—׀ 3,03,5
—׀ 3,54,0
—׀ 4,04,5
—׀ 4,55,0
31631341141
1,752,252,753,253,754,254,75
5,2536
85,2510,5
41,2517
4,75
31950849599
100
Total ∑=100
∑=300
502
100
2 if
Exercício 1: Peso dos Bebês
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
PESO fi xi xifi Fi
—׀ 1,52,0
—׀ 2,02,5
—׀ 2,53,0
—׀ 3,03,5
—׀ 3,54,0
—׀ 4,04,5
—׀ 4,55,0
31631341141
1,752,252,753,253,754,254,75
5,2536
85,2510,5
41,2517
4,75
31950849599
100
Total ∑=100
∑=300
0,3
31
5,019505,2
)(2
*
*
*
f
hantFf
lMd
i
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Exercício 2Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1
e Q3), a mediana, média e a moda.
K CLASSES fi Fi
12345
17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47
61520105
total ∑=56
classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
2 if
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3), a mediana, média e a moda.
K CLASSES fi Fi
12345
17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47
61520105
621415156
total ∑=56
classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
2 if
282
56
2 if
Classe mediana
Exercício 2
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3), a mediana, média e a moda.
K CLASSES fi Fi
12345
17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47
61520105
621415156
total ∑=56
282
56
2 if
Classe mediana
5,30
20
10212827
)(2
*
*
*
f
hantFf
lMd
i
Exercício 2
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3), a mediana, média e a moda.
K CLASSES fi Fi
12345
17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47
61520105
621415156
total ∑=56
144
56
4 if
Classe Q1
33,22
15
1061417
)(4
1*
*
*
f
hantFf
lQ
i
Exercício 2
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3), a mediana, média e a moda.
K CLASSES fi Fi
12345
17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47
61520105
621415156
total ∑=56
424
56.3
4
3 if
Classe Q3
38
10
10414237
)(4
3*
*
*
f
hantFf
lQ
i
Exercício 2
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3), a mediana, média e a moda.
K CLASSES fi Fi xi xifi
12345
17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47
61520105
621415156
1222324252
72330640420260
total ∑=56 ∑=1722
75,3056
1722
i
ii
f
fxx
Média
Exercício 2
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3), a mediana, média e a moda.
K CLASSES fi Fi xi xifi
12345
17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47
61520105
621415156
1222324252
72330640420260
total ∑=56 ∑=1722
Moda
32Mo
Exercício 2
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a moda.
K salário
No prof.
fi
Fi xi xifi
12345
3 —׀ 15 —׀ 37 —׀ 59 —׀ 7 —׀ 9
11
2040603010
2060
120150160
246810
20160360240100
total ∑=160 ∑=880
5,5160
880
i
ii
f
fxx
Exercício 3: Salários Professores
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a moda.
K salário
No prof.
fi
Fi xi xifi
12345
3 —׀ 15 —׀ 37 —׀ 59 —׀ 7 —׀ 9
11
2040603010
2060
120150160
246810
20160360240100
total ∑=160 ∑=880
6Mo
Exercício 3: Salários Professores
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Mediana
K salário
No prof.
fi
Fi xi xifi
12345
3 —׀ 15 —׀ 37 —׀ 59 —׀ 7 —׀ 9
11
2040603010
2060
120150160
246810
20160360240100
total ∑=160 ∑=880
67,5
60
260805
)(2
*
*
*
f
hantFf
lMd
i
Exercício 3: Salários Professores
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Q1K salário
No prof.
fi
Fi xi xifi
12345
3 —׀ 15 —׀ 37 —׀ 59 —׀ 7 —׀ 9
11
2040603010
2060
120150160
246810
20160360240100
total ∑=160 ∑=880
4
40
220403
)(4
1*
*
*
f
hantFf
lQ
i
404
1604
if
Exercício 3: Salários Professores
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
Q3K salário
No prof.
fi
Fi xi xifi
12345
3 —׀ 15 —׀ 37 —׀ 59 —׀ 7 —׀ 9
11
2040603010
2060
120150160
246810
20160360240100
total ∑=160 ∑=880
7
60
2601205
)(4
3*
*
*
f
hantFf
lQ
i
1204
160.34
.3
if
Exercício 3: Salários Professores
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