ILUSTRAÇÕESFigura 1 - Modelo Baldista Slide 1..................................................................................36Figura 2 - Modelo Baldista slide 2...................................................................................36Figura 3 - Transformação: Tratamento e conversão......................................................48Figura 4 - Exemplo do tratamento por pontos................................................................68
i
QUADROSQuadro 1- Principais registros em Duval........................................................................49Quadro 2- Quadro de congruência / não – congruência.................................................53Quadro 3- Quadro de Duval convergência semântica( Figura 4 de Duval (2003, p.19). 58Quadro 4- Quadro de Duval (1998b, p. 240) apud Moretti (2003, p. 152)......................59Quadro 5-Quadro da relação de modificação entre as representações.........................60Quadro 6- Quadro de Congruência / não-congruência (Igliori & Godoy)........................61Quadro 7 - Quadro de diagnose de fragmentação.......................................................108Quadro 8-Quadro de definição de Anton......................................................................125Quadro 9- Quadro da fragmentação na definição........................................................127Quadro 10 Quadro da sumarização de definição por página.......................................129
ii
TABELASTabela 1- Tabela do cronograma das atividades............................................................29Tabela 2-Tabela exemplificativa.....................................................................................62Tabela 3- Diagnose da distribuição das definições no ensino de gráficos de funções.129Tabela 4- Tabela da primeira questão (item a).............................................................167Tabela 5-Tabela da primeira questão (item b)..............................................................168Tabela 6-Tabela da primeira questão (item c)..............................................................169Tabela 7-Tabela da primeira questão (item d)..............................................................169Tabela 8Tabela da primeira questão (item e)...............................................................170Tabela 9-Tabela da primeira questão (Item e)..............................................................171Tabela 10-Tabela da primeira questão (Item f).............................................................172Tabela 11-Tabela da primeira questão (item g)............................................................173Tabela 12-Tabela da primeira questão (Item h)............................................................173Tabela 13-Tabela da segunda questão (Item 1)...........................................................174Tabela 14-Tabela da segunda questão (item 2)...........................................................175Tabela 15-Tabela da segunda questão (item 3)...........................................................175Tabela 16-Tabela da segunda questão (item 4)...........................................................176Tabela 17-Tabela da segunda questão (item 5)...........................................................177Tabela 18-Tabela da segunda questão (item 6)...........................................................177Tabela 19-Tabela da segunda questão (item 7)...........................................................179Tabela 20-Tabela da segunda questão (item 8)...........................................................180Tabela 21-Tabela da terceira questão (expressão 23).................................................181Tabela 22- Tabela incluindo intuitivamente certo.........................................................184Tabela 23- Tabela da primeira questão dos dados comparativos (Item a)...................189Tabela 24-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item b)....................190Tabela 25-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item c)....................190Tabela 26-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item d)....................191Tabela 27-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item e)....................191Tabela 28-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item f).....................192Tabela 29-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (Item g)....................193Tabela 30-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item h)....................194Tabela 31-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item I).....................194Tabela 32-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (item 1)...................196Tabela 33-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (item 2)...................196Tabela 34-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (item 3)...................197Tabela 35-Tabela comparativa da segunda questão (item 4).......................................197Tabela 36-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 5)...................198Tabela 37-Tabela explicativa de extremo local.............................................................199Tabela 38-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 6)...................199Tabela 39-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 7)...................200Tabela 40-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 8)...................201Tabela 41-Tabela da terceira questão dos doados comparativos (Primeiro item)........202
iii
EXPRESSÕESExpressão 1 - Exemplo de Função polinomial fracionária................................................1Expressão 2 – Um exemplo genérico de TL no 2 ..........................................................4Expressão 3- Exemplo de uma transformação linear.......................................................4Expressão 4- Transformação do R2 no R2........................................................................6Expressão 5....................................................................................................................21Expressão 6....................................................................................................................21Expressão 7....................................................................................................................21Expressão 8....................................................................................................................45Expressão 9....................................................................................................................66Expressão 10..................................................................................................................75Expressão 11..................................................................................................................75Expressão 12..................................................................................................................75Expressão 13..................................................................................................................76Expressão 14..................................................................................................................76Expressão 15..................................................................................................................76Expressão 16..................................................................................................................79Expressão 17..................................................................................................................79Expressão 18..................................................................................................................79Expressão 19................................................................................................................102Expressão 20................................................................................................................157Expressão 21................................................................................................................157Expressão 22................................................................................................................157Expressão 23................................................................................................................181Expressão 24................................................................................................................181Expressão 25................................................................................................................181
iv
Gráfico 1- Coeficiente angular. Fonte: Thomas & Wesley (2002).....................................2Gráfico 2- Coeficiente angular..........................................................................................2Gráfico 3- Exemplo hipotético...........................................................................................3Gráfico 4- O produto em uma transformação linear.........................................................5Gráfico 5-Gráfico da transformação 4...............................................................................7Gráfico 6-Observação da área........................................................................................21Gráfico 7-Cilíndrica: r = 1.0 + 0.25 sen (3u)....................................................................22Gráfico 8- gráfico da parábola ponto a ponto.................................................................24Gráfico 9- Gráfico I da importância da derivada.............................................................24Gráfico 10-Importância da Derivada...............................................................................25Gráfico 11-Primeiro gráfico da segunda questão...........................................................32Gráfico 12-Exemplo de representação...........................................................................46Gráfico 13-Estudo de intervalos......................................................................................55Gráfico 14- Função cúbica..............................................................................................59Gráfico 15-Gráfico de exemplo de representação (II).....................................................62Gráfico 16-Gráfico exemplo de Vygotsky.......................................................................70Gráfico 17 - Figura da tangente a uma circunferência....................................................78Gráfico 18- Definindo Derivada através da secante. Fonte:..........................................78Gráfico 19-Gráfico explicativo de família de curva.........................................................84Gráfico 20- Família da curva 3( )f x x c . Fonte: Thomas & Wesley (2002, p.321)........85Gráfico 21 -Giraldo & Carvalo.........................................................................................88Gráfico 22- Gráfico I exemplificativo do estudo do experimento...................................103Gráfico 23- Gráfico da função f(x) = 1/|x|......................................................................105Gráfico 24 - Gráfico da função f(x)=1/x, x≠0, ilustrando a simetria..............................123Gráfico 25- Gráfico da função f(x)=x3............................................................................124Gráfico 26- Representativo da constante. C = Crescimento; D = Decrescimento........125Gráfico 27 - Mesmo gráfico de simetria apresentado por Anton (2000, p. 123)...........126Gráfico 28- Fragmentação em relação ao número da página......................................128Gráfico 29-Gráfico da sumarização..............................................................................130Gráfico 30 -Gráfico I do Experimento...........................................................................141Gráfico 31- Explicativo da linguagem figural.................................................................147Gráfico 32- Pertinente à primeira questão....................................................................149Gráfico 33- Pertinente à segunda questão...................................................................153Gráfico 34- Relativo a primeira questão.......................................................................167Gráfico 35- Relativo à segunda questão.......................................................................174Gráfico 36-Incompreensão de Extremos......................................................................182Gráfico 37- A questão da passagem por zero..............................................................183Gráfico 38-Gráfico do pré-teste incluindo as intuitivamente certas...............................184Gráfico 39-Gráfico de erros e acertos do pré-teste......................................................185Gráfico 40 - relativo à segunda questão dos testes......................................................196Gráfico 41-Explicativo da convexidade.........................................................................201Gráfico 42- Gráfico dos erros e acertos do pós-teste...................................................203Gráfico 43-Gráfico dos resultados parciais...................................................................204
v
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.................................................................................................................11. Origem do Problema...............................................................................................................................................1
1.1. Tema e Problema da Pesquisa.............................................................................................................................161.1.2. A importância do gráfico de função................................................................................................................201.1.3. Importância da Derivada na construção do gráfico de uma função................................................................23
1.2. Objetivos................................................................................................................................................................261.2.1. Objetivo Geral.................................................................................................................................................261.2.2. Objetivos Específicos......................................................................................................................................26
1.3. Um trabalho abandonado....................................................................................................................................271.3.1. Histórico..........................................................................................................................................................271.3.2. Desprezando os Dados Coletados...................................................................................................................29
CAPÍTULO 2 – Fundamentação Teórica..................................................................................................................342. Fundamentação Teórica..........................................................................................................................................34
2.1. Teorias e trabalhos: uma visão geral..................................................................................................................342.2. Algumas teorias semióticas..................................................................................................................................42
2.2.1. Teoria dos Registros de Representações semiótica.........................................................................................432.2.2. Do Recorte......................................................................................................................................................47
2.3. Convergência desta Pesquisa com Duval............................................................................................................502.3.1. A presença de Vigotsky nesta pesquisa..........................................................................................................692.3.2. Função Polinomial..........................................................................................................................................742.3.3. Conceito de Derivada de função polinomial fracionária................................................................................77
CAPÍTULO 3 – Revisão da Literatura......................................................................................................................803. Revisão da Literatura..............................................................................................................................................80
3.1. Estudo inicial: A Questão da Reta Tangente.....................................................................................................983.1.1. A guisa de Conclusão....................................................................................................................................113
3.2 Outras Observações Sobre as Obras Abordadas..............................................................................................1143.2.1. Sumarização..................................................................................................................................................1163.2.2. Courant (1995, 1ª Edição, 4ª Reimpressão– 609 páginas)............................................................................1183.2.2. Moise (1970, 2ª Edição), Lang (1965, 1ª Edição).........................................................................................1203.2.3. Anton (2000, 1ª Edição)................................................................................................................................1223.2.4. Thomas & Wesley (2002, 1ª Edição)............................................................................................................1253.3.5. Quadros de Sumarização...............................................................................................................................126
CAPÍTULO 4 – Estudo de Uma Metodologia de Intervenção..............................................................................1324.1.2. Introdução aos princípios da abordagem......................................................................................................1374.1.3. Procedimentos metodológicos......................................................................................................................1394.1.4. Breve explicação do Experimento................................................................................................................140
4.2. Desenvolvimento da Pesquisa............................................................................................................................1444.2.1. Pré e Pós-Teste: Questões Comentários/ Justificativas.................................................................................144
Capítulo 5 – Experimento, coleta e análise de dados..............................................................................................1485.1. Do Experimento, da Análise e Coleta dos Dados.............................................................................................148
5.1.1. Primeira questão do Pré e do Pós-teste.........................................................................................................1485.1.2. Método da Coleta de Dados..........................................................................................................................1585.1.3. Sobre os questionários e a Entrevista............................................................................................................158
Capítulo 6 – Análise e discussão...............................................................................................................................1646.1. Análise e discussão dos Dados............................................................................................................................1646.2. Análise e discussão dos dados coletados no pré-teste......................................................................................165
6.2.1. Primeira questão do pré-teste........................................................................................................................1676.2.2. Segunda Questão do pré-teste......................................................................................................................1746.2.3. Terceira questão do pré-teste (primeira função)...........................................................................................180
6.3 Totalização do número de erros e acertos do pré-teste....................................................................................183
vi
6.4 Dados finais do pré-teste.....................................................................................................................................1846.5 Conclusão discursiva do pré-teste (A fazer)......................................................................................................186Capítulo 7 - Análise do pós-teste e avaliação comparativa com os dados do Pré-teste.......................................1877.1 Análise do pós-teste e avaliação comparativa com os dados do Pré-teste......................................................187
7.1.1 Análise e comparação da primeira questão do pré-teste com a primeira questão do pós-teste.....................1887.1.2 Análise e comparação da segunda questão do pré-teste com a segunda questão do pós-teste......................1957.1.3 Análise e comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste (gráfico 1)......2017.1.4 Análise e comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste (gráfico 2 – Em andamento)..............................................................................................................................................................2047.1.5 Análise e comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste (gráfico 3 – Em andamento)..............................................................................................................................................................204
CAPÍTULO 8– Referência Bibliografia......................................................................................................................205
vii
Introdução
1. Origem do ProblemaDesde o início das atividades profissionais no campo do ensino como
professor da Universidade Federal Rural de Pernambuco, UFRPE, em fins dos anos
70 e início dos anos 80, tivemos como uma das inquietações o fato dos nossos
alunos de Cálculo Diferencial, ao se depararem com funções polinomiais fracionárias
ou racionais, como, por exemplo, 3
3( ) , x 2
8
xf xx
Expressão 1 - Exemplo de Função polinomial fracionária
geralmente conseguirem encontrar algebricamente os elementos necessários à
construção do gráfico da função e, no entanto, habitualmente, não conseguirem
fornecer um rascunho, de modo que este tivesse concordância com os elementos
encontrados. Uma outra problemática se encontrava no fato dos alunos confundirem
a função com a sua derivada. Esta dificuldade parecia ser rompida quando
mostrávamos os gráficos das duas funções: O da função inicial e o gráfico de sua
derivada.
Nos gráficos abaixo, Thomas & Wesley (2002) tomam como exemplo o ponto
B. O ponto B’ no segundo gráfico é a ordenada do coeficiente angular do gráfico da
função no ponto B.
1
Gráfico 1- Coeficiente angular. Fonte: Thomas & Wesley (2002)
O fato aqui é que se tomado um ponto qualquer, exceto os extremos, o
primeiro gráfico tem, no segundo gráfico, a ordenada do seu coeficiente angular que
vem a ser o ângulo que a reta tangente faz com o eixo dos x no sentido anti-horário.
Pelo triângulo abaixo, se a base é o eixo ÖX
, θ é o coeficiente angular dado pelo
quociente cosSen
= oposto
Cateto adjacenteCateto
.
Gráfico 2- Coeficiente angular
Toda esta problemática parecia surgir de uma dificuldade conceitual ou,
como vem dizer Chibeni (2005, p. 12): “[...] a dificuldade epistemológica daquela
classe de proposições... ligada a obstáculos no estabelecimento de certas relações”.
Tomemos como exemplo o gráfico de uma função f com as seguintes
características: Cresce em (-∞; a) U (a; 0); Decresce em [0; b) U (b;+ ∞); É
2
Côncava em (-∞; a) U (b; +∞); É Convexa em (a; b); Possui ponto de máximo em
x = 0; Possui assíntota vertical em x = a e x = b; Possui assíntota horizontal em
y = k. Vejamos este hipotético gráfico:
Gráfico 3- Exemplo hipotético
Com a abordagem tradicional, que trata primeiro da formalidade
matemática através da simbologia desta ciência, o estudante, com freqüência,
encontra estes dados usando os cálculos pertinentes mas não os consegue
concatenar. O gráfico desenhado pelo estudante, de modo geral, não representam
os dados dos cálculos efetuados. E, não é raro ouvirmos: “Professor só deixei em
branco o gráfico”.
Esta parece ser uma questão conceitual na interpretação dos elementos
do gráfico e que já vem sendo discutida por vários pesquisadores. Dugdale (1993),
por exemplo, partilha dessa preocupação. Ao tratar da perspectiva de gráficos de
funções no pensamento de estudantes, Dugdale (Ibidem) fala dos esforços para
melhorar a leitura e compreensão dos gráficos melhorando os conceitos dos
estudantes a partir da interpretação do significado global do gráfico, que aqui
chamamos de gráfico completo quando possuir todos os elementos pertinentes a um
gráfico com a característica do gráfico 3 acima e que definimos mais claramente à
página 7.
Numa outra vertente observamos, em nossas aulas, que quando
invertíamos a forma de apresentação do tópico, indo da linguagem figural (ou
geométrica) para a linguagem simbólica (ou formal) da matemática, pelo menos
havia maior interesse nos alunos. Não temos dados sistematizados que nos
3
permitam comprovar a sugestão da existência de uma aprendizagem mais efetiva, o
buscamos nessa pesquisa. Como exemplo da importância desta inversão, podemos
tratar aqui do tópico matemático transformação linear onde o uso de gráficos,
imagens, figuras, etc., nos sugere impactar, positivamente, na aprendizagem do
aluno.
A transformação linear pode ser apresentada com o uso inicial das
linguagens figural, simbólica e natural. Passemos a considerar a forma tradicional de
apresentação como, por exemplo, em Boldrini et all (1978). Observemos que a
abordagem de Boldrini et all inicia com a linguagem simbólica para depois
apresentar a linguagem figural.
É importante salientar duas coisas: a maioria dos livros de álgebra linear
ou trazem a linguagem figural muito depois do tratamento simbólico ou não trazem.
Boldrini et all (1978), Stheinbruch & Winterle (1990) e Callioli et all (1982) são
considerados os livros de álgebra linear mais simples. Lembramos essas duas
questões pois que, quanto mais “pesado” o livro de Álgebra Linear, menos se
apresenta a linguagem figural de forma que ela se diferencie da linguagem
simbólica. Do ponto de vista matemático, não há muita diferença entre as duas na
forma como a álgebra linear é apresentada.
Mesmo nos exemplos, a ênfase inicial é na linguagem simbólica que trás
um elevado nível de complexidade. Tomemos, pois, um exemplo de uma
transformação no plano em Boldrini et all (1978, p.150). Os autores dizem que irão
apresentar uma visão geométrica das Transformações Lineares (TL) e dão o
seguinte tratamento:2 2
: , .
Tv v
Expressão 2 – Um exemplo genérico de TL no 2
E exemplificam:
2 2 : ,
2 , T(x,y)=2(x,y)Tv v ou
Expressão 3- Exemplo de uma transformação linear
4
Esta transformação linear apresentada por Boldrini et all diz que: dado um
vetor, a função T leva o vetor ao seu dobro na mesma direção e sentido. A imagem
para este fato nos diz muito mais do que a algebrização acima.
Gráfico 4- O produto em uma transformação linear
Este é o um dos exemplos mais elementares de uma TL. O caso do uso
de rotações, translações, expansões defendidas por Moretti (2003) para o ensino
fundamental e sobre o qual falaremos na fundamentação, torna-se mais complexo
conforme veremos ao tratarmos da citação de Igliori e Godoy (2005) na página 10 e
mais aprofundadamente na Fundamentação Teórica, página 34. Mesmo com
funções simples, as operações são complicadas para o estudante e, muitas vezes,
para pessoas que lidam com matemática mas que não estão trabalhando com este
ente matemático no momento1.
Vejamos a complexidade da álgebra que está por trás do simples esboço
de ( ) | |f x x , quando usamos da reflexão. Tomando-se o ramo onde x > 0, para
rotacionar (ou reflexionar) em torno do eixo ÖY
, a álgebra vai “cobrar” uma
complexa abordagem simbólica. Vamos provar que a função em questão é simétrica
em relação ao eixo ÖY através da álgebra linear que é quem, de fato, no campo da
matemática, é responsável por rotação, translação, simetria, etc.
1 Isso não quer, em nenhuma hipótese, levantar que Moretti esteja equivocado. O fato é que estamos tratando de objetos matemáticos distintos. O próprio Moretti, conforme teremos oportunidade de discutir, alerta para esta questão (vide item 1.2- Objetivo da Pesquisa).
5
Definimos a transformação linear da seguinte forma: Seja V e W espaços
vetoriais2. T é uma transformação linear do espaço vetorial V no espaço vetorial W,
escrevemos T:V W se s seguintes condições forem satisfeitas:
I – T (u + v) = T(u) + T(v)
II – T (αu) =αT(u), com u, v ε V e T(u, T(v) ε W .
Precisamos observar que sendo T uma função, como no caso abordado
aqui, todo v de V possui um vetor imagem w de W (este é único) que é indicado
como w = T(v). No nosso exemplo se (x;y) é um ponto no ramo direito da função
(x > 0), então (-x;y) é um ponto no ramo esquerdo da função (x < 0).
Vejamos a complexidade de se iniciar este estudo através da simbologia
matemática conforme vimos discutindo e continuaremos a discutir neste trabalho.
Tomemos então um certo x’ de modo que3:
x’ = r cos (α +β) = r cos α cos β - r sen α cos β. Daí tomamos x’ = x cos β - y sen β
uma vez que x = r cos α e y = r sen α. De modo análogo tomemos um certo
y’ = sen (α +β) = r (sen α cos β + cos α sen β) = y cos α + x cos β. Podemos então
estabelecer que 0 ( , ) ( cos , cos )x y x y sen y x sen . Dado que o ramos da
direita (x > 0) forma uma ângulo de 90º com o ramos da esquerda (x < 0), temos
cosα = senβ = 0.
A matriz dos elementos de 0 ( , ) ( cos , cos )x y x y sen y x sen nos
vai permitir escrever:
0 11 0
x y xy x y
Expressão 4- Transformação do R2 no R2
Toda esta “discussão” poderia ser feita com o estudante mostrando,
inicialmente, as seguintes figuras:
2 O leitor pode ver que operações são necessárias para se ter um espaço vetorial em qualquer livro de álgebra linear. Por exemplo Steinbruch e Winterle (1990, p. 1).3 É isso mesmo, leitor, toma-se um “letra” qualquer.
6
Gráfico 5-Gráfico da transformação 4
Trabalhamos com um gráfico de um polinômio de ordem 1 que, como
veremos mais detalhadamente no tópico Funções Polinomiais (Capitulo 4), é
determinado pelo maior expoente de x na função polinomial. Podemos imaginar a
complexidade que seria tal tratamento com um polinômio de grau 3, por exemplo.
Assim, observamos a importância da abordagem na linguagem figural.
1.2 – Objetivo da Pesquisa.
O objetivo desta pesquisa é sugerir a abordagem para o traçado de gráficos
das funções polinomiais de até terceiro grau, a partir da análise de gráficos
completos onde, como já frisamos, gráfico global ou completo são aqueles que
contenham todos os elementos possíveis. Assim nosso gráfico completo contém:
Domínio; Raízes; Pontos críticos; Máximo e Mínimos relativos; Região de
crescimento e Região de decrescimento; Pontos de inflexão; Região de
concavidade; Assíntotas verticais, Horizontais ou Oblíquas.
Deste modo, o que de fato estamos trabalhando é funções polinomiais
fracionárias racionais ou, simplesmente, funções racionais. Isso porque uma função
completa nos moldes propostos neste trabalho, possui os elementos acima
colocados. Por exemplo, há descontinuidade na função abordada. Anton (2000) vem
dizer: “Diferente dos polinômios cujos gráficos são curvas contínuas...os gráficos das
funções racionais têm descontinuidade nos pontos onde o denominador é zero”.
A problemática, construção de gráficos de funções polinomiais fracionárias
racionais de até terceiro grau pode, então, sofrer um tratamento que possibilite ao
estudante, em um primeiro momento, visualizar os elementos e discutir suas
7
peculiaridades sem o aporte formal matemático para os determinar. Reis (2001,
p.199), consultando alguns matemáticos mais “rigorosos” como, por exemplo Elon
Lages Lima, vem dizer:
[...] uma forma de rigor que foi recusado por todos os depoentes: o ensino de Cálculo fundamentado no conceito weirstrassino de limites e continuidade, com épsilons e deltas. (...) Quanto ao Cálculo, todos são unânimes em afirmar que este deve ser um curso menos formal, baseado fortemente em aplicações e em situações-problema, fazendo o pêndulo entre intuição e rigor pender mais para o lado da intuição sem que, com isso, deixe de existir algum tipo de rigor, de preferência não-formal (isto é, sem épsilons e deltas, por exemplo ).
Estamos, assim, abraçando a linha de pensamento que, conforme
veremos durante este trabalho e mais profundamente na Fundamentação Teórica,
Capítulo 2, página 34, defende a imagem como importante meio de aprendizagem
de modo geral e de modo particular a aprendizagem em matemática.
Do exposto levanta-se assim a questão: a compreensão do esboço de
gráfico de funções é melhor construída4 pelo estudante tomando-se contato com os
seus elementos constitutivos através de uma abordagem mais intuitiva em um
primeiro momento, ou através de uma metodologia na qual os conceitos dos
elementos interligados, conceitualmente, aparecem por partes?
A resposta a esta questão necessita levar em conta que a ênfase de um
trabalho propondo uma nova metodologia não pode ser vista como apenas mudar
desta para aquela forma metodológica. Uma proposição neste nível somente poderá
ser validada se houver mudança no que há de profundamente complexo no ser
humano: transformação de cultura, de atitude.
Ao longo do trabalho, a primeira construção da pergunta acima
transpareceu responder positivamente à questão formulada. Dito de outra forma: o
trabalho sugere que o estudante constrói melhor seu conhecimento, inclusive dentro
do formalismo matemático se for, inicialmente, apresentado ao gráfico completo (ou
global) onde possa contar com o auxilio visual.
Duval (2004, p.59) argumenta (Vide tabela 4 de Duval), que passar da
linguagem natural (ou materna) para a linguagem figural é uma tarefa que conduz a 4 Para construir as figuras gráficas usamos o software Estudo de Funções. Alguns destes gráficos foram, na medida da necessidade de maior clareza gráfica de impressão, importados para o CorelDraw com o auxilio do Professor Vladimir Veras (Mestre).
8
um maior número de acertos dos alunos do que a passagem da linguagem figural
para a linguagem simbólica. Duval (1988, p. 241) vem dizer:
O custo muito desigual da passagem entre escritura simbólica e representação gráfica aparece aqui de modo claro. Para passar da linguagem simbólica para a linguagem gráfica não há necessidade de mais do que uma aplicação ponto-a-ponto. Os valores recebidos pela variável X são dados sem a preocupação com suas propriedades...mas para ir da linguagem figural para a escrita algébrica...é necessário identificar cada um dos seus valores e compreender o todo. Em outras palavras, a passagem da linguagem figural para a linguagem algébrica aumenta de uma interpretação global. (Duval, 1988, pp. 235-253) (Tradução livre).
Em outras palavras na passagem da representação gráfica para a
escritura algébrica, de acordo com Duval, se o registro figural é registro de saída a
compreensão do estudante torna-se mais difícil do que se este registro for o de
chegada5. Como em nossa proposta o registro figural é o registro de saída (ou
inicial), fica a sugestão de que estamos em desacordo com Duval. Na realidade esta
é uma sugestão enganosa uma vez existir diferença fundamental entre o objeto do
qual Duval trata e o objeto do qual tratamos, sugerido então que esta situação
depende do objeto tratado. Veremos, na próxima página, que Igliori & Godoy (2005)
acreditam haver uma “contradição” entre o trabalho deles e a idéia de Duval.
Trabalhos de Duval (1988, 2003), Moretti (2003) e Bittar (2003) entre
outros, concebem as peculiaridades nos tratamentos quando se está mergulhado
nos conteúdos do ensino de matemática. Estes trabalhos mostram que níveis
distintos de conteúdo matemático cobram diferentes níveis de abordagens quando
da aplicação da Teoria dos Registros de Representações Semiótica. Assim, Duval
(1988b, p. 237) vem dizer: “Face a uma representação gráfica três abordagens bem
diferentes são possíveis: elas não levam em conta os mesmos dados visuais do
gráfico e elas não são guiadas pelo mesmo tipo de questão”.
Quando se faz uso da Derivada de uma função na construção de um
gráfico, por exemplo, esta necessidade transparece de modo inequívoco. Moretti
(2003), ao esboçar está discussão, alerta tanto para a diferença de se trabalhar com
5 Representação, registro, sistema semiótico, representação semiótica, etc., são elementos da teoria das Representações Semiótica de Raymond Duval. A apresentação da teoria deixa margens a diversas interpretações, às vezes conflitantes. Por isso, em nossa Fundamentação Teórica apresentamos uma discussão que tenta dirimir as dúvidas.
9
funções polinomiais de grau maior do que dois, quanto para as necessidades de se
observar outras formas de tratamento da conversão quando se trata de derivada.
O termo Conversão de que trata Moretti (2003) e sobre o qual apoiamos
mais fortemente este trabalho, é aquele trazido por Duval (2003, 2004) e que, como
veremos mais profundamente, quer denotar, conforme Duval (2003 , 2004) as
alterações nas representações de objetos matemáticos quando mudamos de
Sistema Semiótico6 (Vide Fundamentação Teórica).
Conforme Moretti (2003, p.150), “A representação no plano cartesiano de
funções do tipo y ax b é uma atividade de conversão”. E o é pois existe aí uma
mudança de Sistema Semiótico. Esta mudança de sistema na apresentação de um
mesmo objeto matemático é o que, conforme Duval (2003, 2004), produz o
conhecimento matemático de modo mais eficaz. A partir desta linha de pensamento
apoiamos nosso trabalho observando o fato de Igliori e Godoy (2005) mostrarem que
quando o estudante é submetido, inicialmente, à visão de um objeto matemático na
forma de gráfico, tabela, imagem, etc., que são linguagens, a conversão para outra
linguagem qualquer tem um índice de acerto muito maior do que o inverso. Igliori e
Godoy (2005, p.14) vêm dizer:
Esse fato conflita com o que é mencionado por Duval, de que uma conversão que tem para registro de saída o figural causa maior dificuldade aos estudantes do que aquela em que esse registro é o registro de chegada. Atribuiu-se a este resultado o fato de tratar-se do registro específico da derivada...
Não percebemos conflito com Duval nesta questão, uma vês que quanto
mais complexo é o objeto matemático mais necessitamos de representações para o
entendermos conforme vimos com Duval (1988b) citado acima e veremos através de
Moretti (2003) no item Convergência de Duval com esta pesquisa. O fato é que
esboçar o gráfico de uma função é representar a função em uma outra linguagem: a
figural. De modo mais simples, podemos dizer que esta ação é desenhar o gráfico
de acordo com as particularidades que eles exigem. A própria citação de Igliori e
Godoy (Ibidem) esclarece este ponto. Deste modo, o “conflito” já é desvendado
pelos autores.6 Sistemas Semióticos: Linguagem figural (gráficos, tabelas, quadros, etc.), simbólica (símbolos matemáticos como y = ax +b), natural (linguagem materna)
10
Como dissemos acima, Moretti (2003) também enxerga esta questão.
Desta forma o tratamento dado por Duval em sua teoria necessita ser pensado no
bojo de outras necessidades. Um exemplo disso trazemos na Revisão da Literatura,
Capítulo 3, com o trabalho de Cáceres & Arceo (2002) quando estes pesquisadores
trabalham com equações diferenciais ordinárias – EDO. Estas equações têm como
particularidade o fato de que, quando de primeira ordem, quase sempre, a solução é
uma família de curvas de uma função genérica (ou uma família de funções).
A problemática que viemos investigar nos sugeria uma espécie de
paradigma: O estudante calculava todos os dados necessários à construção do
gráfico de uma função e, no entanto, tinha grandes dificuldades de traçar o gráfico
pertinente. Caso o fato não fosse tão amplo (acontece com a grande maioria dos
estudantes) poderíamos pensar ser um mero equívoco na compreensão da junção
dos intervalos e sua diferenciação com pontos. No entanto, a realidade nos mostra
haver o problema do estudante não se ter apoderado, de modo claro, dos conceitos
matemáticos (No caso particular dos resultados da derivada). O estudante, como
dissemos, faz os cálculos e não consegue esboçar o gráfico. No entanto faz os
cálculos sem, de fato, ter a exata noção do que representa o resultado obtido.
Desta forma, faz os cálculos, encontra os elementos mas não esboça o
gráfico. O que pode ser entendido como, também, não conseguir voltar dos
elementos encontrados à origem. Dito de outro modo na linguagem “duvaliana”:
passa do registro de entrada para o registro de saída mas não faz o caminho
inverso. Duval (2004, p. 60) vem dizer:
Com efeito quando a conversão se efetua no sentido escritura algébrica de uma equação gráfico, não parece surgir nenhuma dificuldade específica. Porem tudo muda quando é necessário fazer a conversão inversa, inclusive depois do ensino das funções lineares (Duval, 1988c, p.244-246).
Diante das dificuldades do objeto de estudo, esboço de gráfico de funções
quanto ao que Duval (2003, 2004) vem chamar de Tratamento por Conversão e
Tratamento por Transformação7, fica evidenciada a necessidade de obtermos dos
estudantes componentes do nosso universo de pesquisa, que foram submetidos a
7 Vide Fundamentação Teórica. Capítulo 2.
11
uma metodologia aqui tratada como tradicional, que conceitos, definições e
entendimentos gerais eles têm do gráfico de uma função. Isso aprova a necessidade
de buscarmos uma cuidadosa avaliação de como os conceitos foram abordados.
Neste sentido, estudos preliminares foram realizados detectando os
conceitos que os estudantes detinham quanto aos elementos componentes de um
gráfico de função bem como da forma de os determinar. E, neste caso, pudemos
observar, por exemplo, qual a necessidade, por parte do estudante, de entender a
derivada e o que ela significava em relação aos elementos que dela necessitava
para serem conhecidos. No entanto somente foram elementos de análise o pré e o
pós-teste, os estudos preliminares acima citados, não foram objeto de análise neste
trabalho.
Alguns pontos focalizados na pesquisa dizem respeito:
Como se pode construir o conhecimento matemático de forma que a
complicação de sua linguagem própria não se transforme em um obstáculo de
tamanho grau de complexidade como vimos com ao tratarmos da Transformação
Linear?
Uma abordagem metodológica onde o estudante trave conhecimento
com os gráficos de funções completas, em um primeiro momento, deixando-se para
outro momento a necessária formalização dos elementos constitutivos, produz uma
melhoria da aprendizagem em matemática?
Como os estudantes foram iniciados na construção de gráficos de
função quando submetidos à metodologia tradicional e que conceitos agregaram à
sua cognição com esta metodologia?
Nossa discussão inicial levanta que há uma “impedância” cognitiva nos
estudantes constituindo o paradigma referido. Esta constituição de “impedância” na
formação dos conceitos matemáticos nos sugere ter como alicerce principal a
metodologia utilizada, não só no caso específico aqui estudado, mas no caso da
matemática de modo mais geral.
São muitas as tentativas da Didática da Matemática, todas louváveis, na
direção de apresentar uma nova forma de abordar a matemática. O leitor há de
perguntar: por que mais uma? Nossa resposta é de que, em primeiro lugar, a
bibliografia aponta muitos trabalhos dirigidos às dificuldades da matemática no
12
ensino fundamental e médio e pouco se tem feito nesta direção abordando-se o
ensino superior, pelo menos em nível de Brasil, o que concebe importância a este
trabalho; em segundo lugar, nos parece que se está olhando mais para o fazer do
que para o como e o por que fazer.
Um exemplo desta última questão é a inserção dos computadores na
escola. Se esta inserção não vem acompanhada das mudanças de atitudes
educacionais requeridas como o entendimento de que o computador é tão somente
uma ferramenta que, pelo menos, até o momento, só faz o que o programador ou o
usuário manda e se este o faz de modo claro, veremos sua inutilidade. Ainda mais
que se faz necessário outras mudanças de conceitos dos agentes do ensino
incluindo aí o institucional.
Para este trabalho buscamos usar como método, aquele definido por
Lakatos e Marconi (1982:39-40) in Richardson (1999, p. 21) como: “o caminho pelo
qual se chega a determinado resultado...” (Hegenberg, 1976: II-115). As arrumações
das idéias perseguiram uma técnica que, em consonância com a definição do
método escolhido, pudesse comprovar ou não nossa hipótese. Assim buscamos,
inicialmente, um tratamento comparativo entre as duas metodologias envolvendo
dois professores. No entanto, acabamos decidindo por fazer um trabalho que
pudesse fluir a partir do pesquisador, sem confrontação em virtude de falhas
incontornáveis. O que será elemento de relato neste trabalho no item, Um Trabalho
Abandonado, ainda neste capítulo.
Ancorado na revisão da literatura, na bibliografia, em nossa experiência
de 26 anos como docente universitário, em nossas aplicações (projeto de sondagem
/ piloto e projeto de sustentação da tese) e visitação à metodologia contida em
alguns livros textos de Cálculo como Courant (1965, 1ª Edição 4ª Reimpressão 4),
Moise (1970, 2ª Edição), Lang (1965, 1ª Edição), Piskunov (1969, 1ª Edição), Ávila
(1978, 1ª Edição), Simmons (1985, 2ª edição), Anton (2000, 1ª Edição), Thomas &
Wesley (2002, 1ª Edição) e Ayres (2ª Edição, 9ª Reimpressão), trazemos a hipótese
de que a alteração metodológica proposta comporta uma melhor compreensão na
construção do gráfico de uma função do que a metodologia tradicional que
acompanha os livros didáticos mais antigos (1965 – 198_).
13
Na análise pontual destes livros, tomamos o termo fragmentado com
referência: ao número de gráficos de funções do mundo real ou do mundo artificial
conforme vem dizer Moise (1975, p. 203) para diferenciar, y = f(x) de, por exemplo, 3 2) 3 , f(x) = xfx x x e , etc., usados, especificamente, para o entendimento do esboço
de uma curva; o número de páginas separando tópicos que deveriam está o mais
próximo possível entre si; a abordagem de tópicos dentro de outros tópicos; ao
número de gráficos completos que sejam compostos dos elementos constitutivos da
representação geométrica da função trabalhada; a falta de um tópico específico
tratando de um assunto de tamanha importância na matemática e na vida real.
O segundo item acima, o número de páginas separando tópicos que
deveriam está o mais próximo possível entre si, é aquele que tomamos como maior
peso na composição da fragmentação já que nossa proposta tem com fundamento
principal o gráfico completo ou global. Assim, falar da necessidade do gráfico global
é ir na direção oposta da fragmentação que vimos compor como sendo:
a) ao número de páginas separando tópicos que deveriam está o mais
próximo possível;
b) ao número de gráficos de funções (globais ou completas) do mundo real
ou do mundo artificial usados, especificamente, para o entendimento do
esboço de uma curva;
c) a abordagem de tópicos dentro de outros tópicos ao número de gráficos
completos que sejam compostos dos elementos constitutivos da
representação geométrica da função trabalhada;
d) a falta de um tópico específico tratando de um assunto de tamanha
importância na matemática e na vida real.
Com este sentido, faz-se a representação gráfica e busca-se chamar a
atenção para o comportamento de cada intervalo da função com setas, achuramento
e outros destaques mobilizando, sempre, vários registros. Conforme Duval (2003, p.
14): “A originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao
menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de
trocar a todo o momento de registro de representação”.
14
Esta proposta de Duval (Ibidem) é tratada por vários pesquisadores. Na
realidade, por todos os pesquisadores de trabalhos recentes aos quais tivemos
acesso. Giraldo & Carvalho (2002) vêm dizer: “a consciência das limitações de cada
uma das representações e do fato que elas representam um único conceito geral
são, com certeza, condições fundamentais para a compreensão das funções”. Sem
perda de concordância, podemos entender que compreender funções é
compreender, também, seus gráficos. Deste modo, a inserção da formalização
matemática virá em um segundo momento.
Neste trabalho nos dirigimos a um objeto matemático estabelecendo
como recorte o esboço de gráfico de funções. A percepção para um novo recorte foi
sentida ao observamos que assim teríamos a possibilidade de um estudo mais
significativo por nos proporcionar um mergulho mais efetivo na discussão. Esta
percepção nos fez desconstruir o recorte inicial produzindo um outro que nos levou
ao enfrentamento com o tópico esboço de gráfico de funções polinomiais
fracionárias racionais de até terceiro grau.
Acreditamos que as alterações metodológicas em outros conteúdos
cobram outros estudos. Por exemplo, Anton (2001), em seu novo livro texto de
Álgebra Linear com Aplicações, busca fazer foco em vetores no plano e depois no
espaço, mas de forma a inter-relacionar a abordagem matemática com a vida
prática. Do mesmo modo Halliday et all (1997) traz uma nova abordagem na física
em seu livro texto Fundamentos da Física Estendida. Ao tratar do movimento a duas
e três dimensões, Halliday et all (Ibidem) faz o que os físicos chamam de
“provocação”, antecedendo cada capítulo com perguntas do tipo: como se pode
calcular a colocação de uma rede em um circo para a proteção de um homem bala?
Observamos que as “provocações” fazem parte de uma estratégia de Halliday, uma
vez contempladas por toda a obra.
Dentro da linha de pesquisa Didática de Conteúdo Específico, estamos
abordando um problema histórico que envolve a possibilidade cognitiva do
estudante. A ação da não aquisição do conhecimento, uma incognição, se
estabelece, de forma paradoxal conforme já colocado. Desta forma formulamos a
questão: o efeito cognitivo no estudante encontra maior resistência no trato da
matemática quando se enfoca esta ciência pautando-se no método constituído por
15
definição exercícios exemplos, ou buscando-se mergulhar na idéia da
problematização construção do problema e solução conceituação? Para tentar
responder a esta indagação, constituímos uma reformulação que nos pudesse dar,
pelo menos, indícios a respeito da problemática. Em nosso trabalho esta é a questão
de fundo, o problema da pesquisa.
A fim de uma breve análise que pudesse justificar determinados aspectos
da pesquisa buscamos, de posse de um número consideravelmente representativo
de livros texto de cálculo, definir alguns deles. Chegamos a conclusão, conforme
explicaremos em momento mais apropriado, que quatro destes livros atendiam às
nossas necessidades. Os autores dos livros textos estudados foram todos voltados
para o ensino superior de graduação em matemática e áreas afins – Cálculo
Diferencial e Integral. São eles: Courant (1965), Lang (1965), Piskunov (1969),
Moise (1970), Ayres (1975), Ávila (1978), Simmons (1985), Leithold (1987), Anton
(2000), e Thomas & Wesley (2002). Buscarmos verificar a forma de abordagem no
tópico esboço de gráfico de uma função, os quatro autores que tomamos para
representar todos os demais, foram escolhidos de modo a não trazerem prejuízo a
uma análise mais geral.
1.1. Tema e Problema da Pesquisa O ensino de Matemática, como de outras ciências tem sido marcado, nas
últimas décadas, pelo que se passou a chamar de “fracasso escolar”. De modo
particular, quando do estudo de construção de gráfico de função, vimos discutir a
apresentação formal matemática e o particionamento de assuntos que não deveriam
estar separados entre si uma vez que isso vem dificultar o entendimento conforme
vimos discutindo.
Neste trabalho, focamos o esboço de gráfico de função com o auxílio do
estudo de derivada de até segunda ordem. O esboço de gráfico é, tradicionalmente,
tratado por meio de uma linguagem formal, privilegiando-se as definições e
teoremas em detrimento de outros tipos de linguagens, como a figural, que podem
contribuir para um aprendizado mais eficaz conforme nos diz Duval (2003, 2004).
Assim nosso tema de pesquisa vem a ser uma proposta metodológica
para a construção de gráfico de funções polinomiais de até terceiro grau. O que vem
16
trazer como objeto da pesquisa o esboço de gráficos das funções acima
mencionadas.
Do exposto desejamos trazendo à academia uma proposta metodológica
onde conceitos, definições e teoremas sejam apresentados através de outras formas
de linguagem como a natural (ou materna) e a figural (ou geométrica), que estão em
um menor nível de dificuldade por exigirem mobilização de representações quer
afeitas ao dia-a-dia do estudante (contexto), quer estabelecida de forma geométrica
(auxílio visual).
Conforme Duval (2004, p. 162), “é essencial, do ponto de vista cognitivo e
didático, não confundir a possibilidade de tratamento figural com a legitimidade da
justificação matemática...”. Isso quer dizer que a justificação matemática não deve
ser vista com irrelevante e que o tratamento figural não a substitui mesmo porque
existem entes matemáticos que não nos permite lançar mão da linguagem figural.
Alguns estudos enveredam pela contextualização como auxilio na
aprendizagem de matemática. Estes estudos também não devem ser
desconsiderados. No entanto se faz necessário não confundir a contextualização
com a banalização da matemática. Ou seja: Não há como transformar a matemática
em uma ciência mais fácil. É importante olhar para a contextualização conforme diz
Silva et all (2006): “[...] como uma forma de reconhecer a matemática no meio em
que vivem as pessoas”.
A contextualização não é objeto de nosso trabalho. No entanto olhamos
para a mesma tendo em vista a idéia posta de que o estudante necessita saber o
que obteve com determinado cálculo, onde este cálculo se encontra e o que esta
fazendo com ele. Dito de outra forma, o estudante precisa entender, por exemplo, a
relação da derivada encontrada com a vazão de um córrego ou com o choque entre
dois objetos ou, mais precisamente, com os elementos que compõem o gráfico de
uma função.
Gitirana (2004, artigo no prelo) vem alertar para a forma de se ensinar
matemática contrariando a construção histórica dos conceitos. Silva et all (2006,
p.10) vem dizer: “A contextualização é considerada necessária para a articulação da
matemática, sendo também um meio para a afirmação da idéia de
interdisciplinaridade (um foco para a relação entre as disciplinas)”.
17
O estudo de Gitirana (2004), no qual se baseia Silva et all (2006), traz
dois exemplos referidos por Gitirana (Ibidem) para, de acordo com Silva et all (2006,
p. 10) “os contextos provenientes da sociedade e da própria matemática”, quando a
autora aponta as dificuldades de se trabalhar com os números naturais no trato
comparativo do estabelecimento de dimensões antes do surgimento dos números
reais. O que se traduz em uma inversão histórica que produz dificuldades na
compreensão.
Temos a compreensão de que uma simples abordagem histórica não
resolve o problema original e específico da complexidade da matemática. Há a
necessidade de um historicismo, no sentido doutrinário, que leve em conta a
presença das representações semióticas na possibilidade de como se deu este
tratamento na matemática. Dentro desta reflexão temos de Duval (2003, p.13):
[...] comumente, em análise do que consiste a compreensão em matemática e na procura da razão dos bloqueios de compreensão que muitos alunos experimentam, evocam-se os conceitos matemáticos e suas complexidades epistemológicas, os quais podem ser explicados pela historia e suas descobertas.
Mesmo assim, para Duval (2003, p.13), evocar estes conceitos é
insuficiente. É necessário levar-se em conta duas características:
1. A importância primordial das representações semióticas;
2. A grande variedade de representações semióticas utilizadas em
matemática.
Neste estudo buscamos elementos para uma proposta que possa
minimizar, ou mesmo desconstruir, obstruções ao entendimento do esboço do
gráfico de função através da inserção metodológica que, a rigor, vem sendo, ainda
que incipientemente, apontada pelos autores mais atuais de livros-texto de
matemática.
Abordar a questão do tópico esboço de gráfico propondo uma
metodologia de ensino, torna-se relevante pela própria relevância de gráficos de
função. Sua importância dar-se quer para a facilitação do que a função significa em
termos de imagem para quem “faz” matemática, quer para quem a utiliza como
ferramenta, por exemplo, para entender um gráfico de flutuação de taxas de juros.
18
Duval (2003, p. 1) vem dizer que a importância da matemática se dá, também, por
“contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades (do estudante –nota
nossa) de raciocínio, de análise e de visualização”.
Outros autores como, por exemplo, Thomas & Wesley (2002) também
vem demonstrar a importância do estudo dos gráficos. Ao se dirigir ao estudante
(Como aprender Cálculo), Thomas & Wesley (2002, s / p) vem dizer: “Faça o maior
número de exercícios gráficos que puder, mesmo que eles não tenham sido
passados. Os gráficos ajudam por apresentar uma relação visual de conceitos e
relações”.
A linguagem Simbólica, ao contrário, exige níveis de elaboração cognitiva
com as quais o estudante, além de não estar acostumado, guarda a peculiaridade
da abstração que torna a ciência complexa em si mesma. Essa é uma das variáveis
que influenciam nas dificuldades do aprendizado do cálculo e que pode ser
contornado se constituirmos uma abordagem na qual o estudante possa usar,
sempre que possível, outras linguagens às quais esteja mais afeito.
Foi neste aspecto que focalizamos a metodológica de livros textos de
Cálculo Diferencial e Integral observando o período compreendido entre 196_ a
2003, buscando identificar a existência de mudança na metodologia, nas obras
abordadas, a fim de obtermos subsídios iniciais ao nosso estudo.
As obras compreendidas entre 196_ e 1968, aqui observadas, têm o
caminho discutido por Câmara (1995), quando trata da matemática no ensino
fundamental e médio. Neste sentido Câmara (1995, p. 11) vem dizer, “[...] o papel
do professor será de ‘encher esse balde’ com os conhecimentos. Para tanto, cabe
ao professor ‘transmitir’ da melhor forma possível esse conhecimento (em geral
partindo de definições)...”.
Na critica de Câmara (1995) cabe reconhecer que o “em geral partindo de
definições” pode ser acrescido de postulados, demonstrações, simbologia da
matemática pura, etc. Assim, buscamos, com nossa proposta metodológica, permitir
que o estudante venha a colocar em ação suas próprias representações sobre o
objeto de estudo: esboço de gráficos de funções polinomiais.
Não poderíamos pretender, em um trabalho deste, estabelecer uma
espécie de “ontologia”8 matemática. Deste modo, a fim de melhor abordar o 8 ONTOLOGIA: ciência que estuda os seres em geral;teoria ou ciência do ser; metafísica
19
problema, fizemos um recorte no conteúdo do Cálculo Diferencial e Integral,
elegendo o tópico Gráfico de Função. Desta forma, pensamos discutir novas idéias
sobre a abordagem deste tópico em contraposição aos livros-texto tradicionais de
matemática.
Veremos que as obras mais atuais aqui tratadas apontam na direção do
trabalho pretendido, ainda que de forma tímida e desfocada de uma atividade
matemática que, de acordo com Duval (2004), é o eixo principal na aprendizagem: A
abordagem dos registros de representações semiótica.
1.1.2. A importância do gráfico de função Do exposto vermos que a importância do esboço de gráfico não está
restrita à matemática em si, ela ultrapassa essa questão conferindo importância para
o cidadão comum, aqui entendido como aquele não ligado profissionalmente à
matemática. Assim é que buscamos abordar o problema geral da dificuldade do
estudante quanto ao esboço do gráfico de uma função focando o trabalho no âmbito
das Ciências Humanas de modo geral e da Educação de modo particular. Desta
forma, buscamos sustentação nos teóricos e / ou pesquisadores a serem mais bem
apresentados em momento oportuno.
No sentido relacionado com as dificuldades dos estudantes no trato com a
matemática, vimos Duval (2003) novamente, investir na importância da visualização.
Duval (2003, p. 11) vem dizer:
[...] O objetivo do ensino da matemática...nem é formar futuros matemáticos, nem dar aos alunos instrumentos que só lhes serão úteis muito mais tarde, e sim contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades de raciocínio, de análise e de visualização.
Aqui, em virtude de nosso foco específico estar relacionado com o que
afirma Duval (2003) sem, no entanto, ser exatamente o principal foco de Duval,
ensino básico, recolocaríamos a citação tomando alguns exemplos apresentando ao
estudante expressões como: 2 2 e y=-x 4y x x
Expressão 5Das duas primeiras expressões, podemos querer saber qual a área compreendida
entre elas. Facilmente, pelo uso da integral definida,
20
( ) F(x) | = F(b) - F(a) , b a, b
ba
a
f x dx
Expressão 6Onde a e b são os valores de x nas interseções de
2 2 e y=-x 4y x x . Podemos
determinar que a área mede 83
unidades. A questão que se põe é: O que significa,
de fato, esta área? Como ela está colocada. Nos parece bastante plausível aceitar
que em se apresentando o gráfico em questão,
Gráfico 6-Observação da área
temos uma melhor compreensão da questão uma vês termos a representação visual
que nos vai permitir observar um objeto “concreto” originado de uma expressão. Dito
de outra forma, temos duas representações em dois sistemas semióticos diferentes
(linguagem figural e linguagem simbólica) como propõe Duval.
r = 1.0+0.25 sen (3u) (onde u é uma função composta9 ).
Expressão 7
No que se refere à sétima expressão, r = 1.0+0.25 sen (3u), o estudante pode saber
que é uma superfície cilíndrica através da definição. O que nos proporcionaria uma
discussão análoga à que faremos quando discutirmos o trato da parábola (Vide
9 U é algo como f(x) composto com g(x) o que nós dá f(g(x))
21
1.1.3 – Importância da Derivada na construção do gráfico de uma função e Capítulo
2, Fundamentação Teórica).
Mas o que de fato se lhe parece? Que analogia com o mundo real ele
pode fazer? Possivelmente nenhuma. No entanto, a apresentação da figura abaixo
traz uma noção bastante real de algo do mundo real. Neste caso, o estudante deve
ver sentido na expressão que lhe dá forma. Muito embora tenhamos consciência que
a representação matemática no mundo real não seja simples, às vezes sendo
mesmo impossível, justifica-se tal atividade dentro do alcance desta pesquisa. E,
mais uma vês, acabamos por trabalhar com dois sistemas de representação.
Sistema simbólico e Sistema figural.
Gráfico 7-Cilíndrica: r = 1.0 + 0.25 sen (3u)
Essa plausividade nos leva a considerar que se fosse dado ao estudante
a oportunidade de conhecer os elementos necessários ao esboço do gráfico de uma
função através de outras representações que não simplesmente a linguagem
simbólica, antes de proceder aos cálculos, os conceitos, definições, etc., as
conexões entre os elementos seriam mais facilmente entendidas e a compreensão
do objeto trabalhado seria mais eficaz.
Não pretendemos levantar a discussão sobre ser mais fácil o estudante
fazer os cálculos e construir o gráfico ou construir o gráfico e fazer os cálculos. Se
por um lado, não existe uma resposta única para esta pergunta uma vez que isso
pode depender do tipo de gráfico de função com a qual se está trabalhando (é
impossível se construir o gráfico de determinadas funções sem se estabelecer os
cálculos), por outro lado a questão da pesquisa não é focar o mais simples, mas sim
a aquisição dos conceitos, a compreensão de como esboçar o gráfico de uma
22
função tratando-se, inicialmente, da aquisição destes conceitos, definições,
postulados, etc., através de representações nas linguagens figural e materna.
Esta é uma questão que ao longo deste trabalho nos surpreendeu. Antes
de nossa proposta de pesquisa, tínhamos a sugestão de que a defesa de uma
abordagem alternativa onde, de inicio, fosse minimizada a exploração da linguagem
simbólica matemática por parte dos pesquisadores em educação, seria de fácil
“trânsito”. Por outro lado algo nos sugeria que não encontraríamos grandes
pesquisadores da matemática pura compartilhando desta idéia. E esta foi a
surpresa. Veremos que Matemáticos de reconhecido “afastamento” com a educação
matemática como o Professor Elon Lages Lima, se alinham a esta proposta.
1.1.3. Importância da Derivada na construção do gráfico de uma funçãoDado que discutiremos a construção de gráfico de funções polinomiais
fracionárias racionais de até terceiro grau de grau menor ou igual a três, mas que
fazemos foco no gráfico global ou completo, vimos apontar a necessidade do uso de
derivada neste processo de construção. Tomemos, inicialmente, os gráficos de
funções do primeiro grau. Este tipo de gráfico não traz problemas da associação um
ponto um par de números como discutido por Duval (2004). Se considerarmos uma
função polinomial do segundo grau, precisamos usar de estratégias a fim de
“convencer” o estudante de que, por exemplo, entre dois determinados pares de
pontos temos uma curva e não uma reta.
Isso pode ser feito de duas formas, pelo menos, usando-se de “definição”
de parábola ou construindo o mesmo gráfico com cada vez mais pontos como
mostramos abaixo.
23
Gráfico 8- gráfico da parábola ponto a ponto.
Podemos verificar que esta é uma explicação plausível. No entanto se
torna muito difícil ou impossível com o aumento do grau da função trabalhada.
Tomemos aqui dois exemplos simples. Um constando objeto que não é alvo deste
trabalho f(x) = senx e outro que está em nossa perspectiva de trabalho 2
3 22 3( )
3 5 8x xf x
x x x
. O primeiro gráfico é de simples construção mas usar a mesma
associação, um ponto um par de números, alem de trazer sacrifícios, não dá ao
estudante a visão que nos possibilita, dentro de uma mesma elaboração, o gráfico
de uma parábola.
Gráfico 9- Gráfico I da importância da derivada.
24
Já o segundo gráfico torna sua construção através de pontos discretos,
algo insano quando se tem uma ferramenta com a derivada. Observemos o gráfico a
fim de se ter uma idéia.
Gráfico 10-Importância da Derivada
Os profissionais de matemática nem mesmo entram no mérito da
importância da derivada na construção de gráficos. Primeiro porque não se discute
mais a importância dos gráficos de função no mundo de hoje, segundo porque,
como já levantamos, é insanidade tentar construir gráficos de funções sem o uso
das derivadas. Pensemos em um gráfico que contenha todos os elementos
possíveis para o nosso caso, como os aqui referidos sem que esta seja uma
seqüência obrigatória pra se calcular os elementos pertinentes ao gráfico de uma
função. Mas uma seqüência de Cálculo para servir como guia ao estudante na
construção do gráfico. Tomemos a proposta de trazida por Leithold (1987, p. 187) e
revista, com maior ênfase, pelo mesmo autor, em Leithold (1994, p. 256). O autor
aponta em sua revisão de 1994 a seqüência10:
Domínio da função;
Raízes da função; 10 Descrição matemática dos elementos no anexo II.
25
O cálculo de f’ e f’’;
Pontos críticos da função;
Máximo e Mínimos relativos da função;
Região de crescimento e Região de decrescimento da função;
Pontos de inflexão da função;
Região de concavidade da função;
Inclinação da reta tangente nos pontos de Inflexão da função;
Assíntotas verticais, Horizontais ou Oblíquas da função.
Ora nos parece fora de qualquer propósito, desprezar a derivada para tal
esboço. Os gráficos de funções, ainda que do segundo grau, somente pode ser
trabalhado usando, no contexto da informação, explicações através de definição,
como dissemos. A definição pode ser aceita pelo estudante. No entanto, ela não
constrói conhecimento alem de ser questionável. Ora, se a menor distância entre
dois pontos no plano é uma reta, porque temos, no caso, uma curva?
Portanto, usando-se a definição de parábola jamais teremos a garantia de
que entre o ponto P e P’ o traçado é curvo já que entre P e P’ existem infinitos outros
pontos. Este é um questionamento do estudante que, muitas vezes deixa o
professor embaraçado com declaram meus alunos de especialização em
matemática.
1.2. Objetivos
1.2.1. Objetivo GeralInvestigar uma proposta metodológica para o esboço do gráfico de função
onde o tratamento geométrico dado ao esboço do gráfico de uma função, anteceda
o formalismo matemático.
1.2.2. Objetivos Específicos Comparar, a abordagem de gráfico de função, em alguns livros textos
de Cálculo Diferencial de 196_ a 198_ com alguns os livros textos de
Cálculo Diferencial editados de 2000 a 2003, quanto à fragmentação;
Analisar dificuldades do estudante na distinção conceitual dos
elementos que compõe o gráfico de uma função e o motivo desta
dificuldade quando do ato de esboçar o gráfico;
26
Investigar o aprendizado do esboço de gráfico de função quando o
estudante é submetido à metodologia tradicional deste estudo face ao
aprendizado quando a metodologia é a que propomos neste trabalho.
A questão básica que “indexa” nossos objetivos específicos ao objetivo
geral, pode ser exemplificada tomando-se como ponto de partida o segundo objetivo
com a seguinte questão: o que leva o estudante a afirmar que uma dada função é
derivável no seu domínio máximo de definição, ao tempo em que declara haver um
ponto de descontinuidade nesta função?
O primeiro objetivo específico nos exigiu uma análise, ainda que pontual
de como o assunto, gráfico de função, é tradicionalmente tratado em alguns livros-
texto de matemática já apresentados á página 13. Isso nos levou a fazer foco em
dois conjuntos de livros-texto que terão as denominações de atuais e antigos,
justificada no item Breve enfoque a respeito do Livro-Texto de Cálculo Diferencial e
Integral, página 102, subitem 4.4.
1.3. Um trabalho abandonado
1.3.1. HistóricoDados coletados para pesquisa não devem ser desprezados [informação
pessoal11] a não ser que estejam claramente comprometidos. Este foi o caso da
primeira proposta deste trabalho tratando do gráfico de função usando a derivada. A
informação foi obtida muito depois do evento. Tentávamos confrontar o aprendizado
do esboço de gráfico de funções quando usada a metodologia tradicional diante da
metodologia aqui proposta. Mas não atinamos para guardar os dados coletados.
Trabalhamos com quarenta estudantes separados, aleatoriamente, em
duas turmas a saber: Turma A (20 alunos) e Tuma B (20 alunos). Os alunos
cursavam Especialização em Matemática e Graduação em Licenciatura em
Matemática na UFRPE. O método comparativo envolvia dois professores: o
pesquisador e um outro professor, com remuneração específica.11 Professora Dra. Verônica Gitirana, Professora Dra. Francimar Martins.
27
A metodologia constava de duas etapas, sendo uma presencial e outra à
distância. Para a primeira, teríamos quatro momentos em quatro sábados das 8:00
às 12 horas, 8 horas presenciais que é, em média, pelo menos na UFRPE, o tempo
dedicado, tradicionalmente, ao assunto esboço de gráfico de função.
Este trabalho a distância não tem relação direta com o Ensino da
Distância. Apenas tivemos um grupo onde os alunos entravam em contato com os
professores, numa hora determinada, para tirar dúvidas. Este procedimento não se
mostrou eficaz por dois motivos: Primeiro porque os alunos não foram incentivados a
este contato, segundo porque um dos professores jamais respondeu alguma
questão. Na realidade mensagens voltaram pela caixa se encontrar cheia. De certa
forma, para nosso estudo comparativo, seria mais conveniente que os alunos da
Turma A não tirasse duvida com o professor da Tuma B uma vês que o nível de
abordagem das questões eram absolutamente distintos.
No primeiro momento os estudantes fariam um pré - teste e, em seguida,
as turmas seriam separadas. A turma A seguiria com um professor para uma sala de
aula comum onde trabalhariam os seguintes tópicos: Domínio e imagem da função;
ponto crítico, região de crescimento e região de decrescimento, concavidade e ponto
de inflexão, Máximos e Mínimos locais, raízes da função, assíntotas, esboço do
gráfico.
Estes tópicos foram designados pelo pesquisador para serem aplicados
na forma tradicional usando, para isso, o livro do Leithold (1994). A escolha de
Leithold se deu em virtude de uma questão efetiva: é o livro texto mais usado na
UFRPE desde meados da década de 80 no curso de Licenciatura em matemática e
Cursos afins. Então não estamos nem mesmo tratando com livros mais complexo ao
entendimento do esboço de curva.
Enquanto esse professor estava em sala comum trabalhando
tradicionalmente, o pesquisador trabalhava com a turma B em outra sala comum
mas dispondo de uma dataShow que projetava, no quadro, o gráfico de uma função
completa.
Assim perfazíamos 8 horas de aula para cada turma. Vide tabela 1
abaixo.
28
Tabela 1- Tabela do cronograma das atividadesTabela 1 - Calendário de Atividades
aula data turma horário professor.
pré-teste 20/08/2005 a e b 8-12 pesquisador-
professor
Metodologia
Tradicional
27/08 a 8-12 professor
Metodologia
Proposta
27/08 b 8-12 pesquisador
Metodologia
Tradicional
03/09 a 8-12 professor
Metodologia
Proposta
03/09 b 8-12 pesquisador
Espaço de tempo para os estudantes estudarem antes do Pós-teste.
pós-teste I 17/09 a e b 8-12 pesquisador
professor
1.3.2. Desprezando os Dados Coletados.Ao final deste trabalho, a análise dos dados mostrou que a evolução dos
estudantes submetidos ao tratamento tradicional, turma A, foi desprezível, 0,2%.
Enquanto a turma B evoluiu 86%!
Mesmo que estes dados “corroborassem” com nossa hipótese, a de que
no estudo de gráficos de funções, o estudante submetido à visualização do gráfico
antecedendo o formalismo matemático, adquiria mais solidamente os conceitos e
definições do que estudantes submetidos a este ensino na forma tradicional, na qual
a abordagem é feita de forma fragmentada, a discrepância sugeria que algo não
havia se mantido corretamente. E não poderíamos correr o risco de apresentar tais
dados. Procuramos verificar como havia sido conduzido o trabalho do professor na
turma A.
Foram encontrados vários equívocos e omissões que comprometiam,
irreversivelmente, a já difícil metodologia comparativa e a proposta do pesquisador.
Encontramos definições comuns, mas “deformadas” como: “Reta tangente é uma
29
reta que toca em um único ponto da curva”. Esse não é um equívoco que possa
comprometer um colega em início de carreira mesmo porque, a definição de reta
tangente, não é trivial. Algo colocado, inclusive por Descartes conforme veremos à
página 91.
Perceba-se que uma leitura apressada, por exemplo, em Moise (1970),
pode levar a esse tipo de equívoco. Moise (1970, p.43): ”DEFINIÇÃO: Uma tangente
a um círculo é uma reta (no mesmo plano) que intercepta o círculo em um e
somente um ponto. Este ponto é chamado ponto de contato”.
Nada impede que o aluno tenha a compreensão do seguinte gráfico;
Onde a linha que sai de (0,0) e passa pelo corta o primeiro quadrante
seria uma contradição de Moise já que esta reta torça apenas um ponto da curva
mas não é tangente. O equivoco do aluno estaria apenas no ponto em que as retas
são seguimentos infinitos, ao contrario dose segmentos de reta. Logo esta reta não
poderia sair de (0,0). E isso faria com que a mesma tocasse outro ponto da curva.
Então atentemos para o fato de que Moise (1970) está definindo a
tangente a um círculo e, portanto, abordando um caso particular. Em seguida, Moise
(1970) vem dá uma informação clara desta particularidade e dizer que a definição
não se aplica em outras curvas. A fim de evitar mal entendidos, Moise (1970)
poderia usar sua explicação como definição. Ou seja: Moise (1970, p.43) “Uma reta
é tangente ao círculo se e somente se a reta é perpendicular ao raio traçado pelo
ponto de contato”. Autores atuais como, por exemplo, Thomas & Wesley (2002,
p.130), dão esse tratamento na definição de reta tangente ao círculo.
Outra distorção do que fora discutido estava na definição de Ponto de
Inflexão. “Ponto de inflexão é aquele, e somente aquele, no qual a derivada primeira
30
se anula”. Nesse caso Moise (1970) também dá uma definição que pode levar a
equívocos uma vez que se está passando da análise da função f para a análise da
sua derivada, f’. Pode levar a equivoco uma vês que o estudante tem certa
dificuldade de entender que os elementos de f são encontrados em f’. Na página 2,
gráfico 1, Pudemos ver que o ponto B no gráfico da função tinha como
correspondente o ponto B’ no gráfico da derivada desta função. O que ocorria era
que no gráfico da função o ponto B era um ponto de inflexão, enquanto no gráfico de
f’ é um extremo local.
Dito de outra forma: se um ponto P representa um elemento em f, este
ponto, exceto por coincidência ou em funções apropriadamente escolhidas, não
representará o mesmo elemento em f’. Cobrindo essa questão, Moise (1970, p.209)
vem dizer: ”Um ponto de inflexão de uma função f é um ponto onde f’ tem um Max LI
ou Min LI12”.
Finalmente o colega não falou das assíntotas nem deu pistas de sua
existência como o fazem Moise (1970) e Courant (1965) ainda que Leithold (1987)
ao contrario destes dois últimos autores fale, especificamente, de assíntotas nas
páginas 86, 94 e 254 na direção do esboço de curva.
A maioria dos autores deixa de contemplar, na definição de Ponto de
Inflexão, a condição de f’’ torna-se infinita deixando essa condição de mudança no
comportamento da função para ser tratada no estudo de assíntotas ou dede
descontinuidade da função. De fato essa é uma questão a ser tratada com cuidado.
demonstrar que a definição a seguir é verdadeira: O ponto (P, f(P)) será um Ponto
de Inflexão do gráfico de uma função f, se existir no gráfico uma reta tangente e um
intervalo aberto I contendo P, tal que se x ε I, então:
i) f’’(P) = 0 ou lim ( )x P
f x
i) f’’(x) < 0 se x < P e f’’(x) > 0 se x > P ou
ii) f’’(x)>0 se x < P e f’’(x) < 0 se x > P.
Alguns autores não enfatizam a existência do ponto de inflexão quando o
valor da função tende para o infinito. Entretanto é importante verificar que existem
funções nas quais a curva muda de sentido quando f’’ torna-se infinita como
12 Máximo Local Inferior e Mínimo Local Inferior.
31
mostraremos à página 106. Tanto Larson (2003, p.207) quanto Ayres (1975, p.42) e
fazem esta consideração.
O primeiro gráfico da segunda questão dos testes mostra:
Gráfico 11-Primeiro gráfico da segunda questão
Perceba-se que x = -2 e x = 2 são pontos de inflexão de f. Alguns autores
como Thomas & Wesley (2002, p.255), definem: “Um ponto onde o gráfico de uma
função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é Ponto de
Inflexão”. Em seguida Thomas & Wesley (2002) dão o tratamento usando a derivada
segunda.
Temos a questão da continuidade de uma função em um ponto. Este
elemento foi tratado de forma a deixar dúvidas sobre o fato de que toda função
derivável em um ponto P do domínio de f é continua em P e, no entanto, a recíproca
não é verdadeira. De modo particular este item tem uma peculiaridade, algo a ser
melhor tratado no desenvolvimento do trabalho, que é a questão das assíntotas.
Dizer que uma assíntota pode ser ponto de descontinuidade é verdadeiro. Mas que
assíntota é ponto de descontinuidade é, matematicamente, falso. Alguns autores e
alguns professores, costumam iniciar continuidade, conforme o professor Olavo
32
Otávio Nunes costumava fazer em suas aulas, dizendo que uma função é continua
se sua curva puder ser traçada sem a necessidade de retirar o lápis do papel.
Finalmente, outras ocorrências deste porte apontaram para a
necessidade de se desprezar os dados colhidos e se envidar os esforços em um
novo trabalho.
33
CAPÍTULO 2 – Fundamentação Teórica
2. Fundamentação TeóricaNeste capítulo falaremos das teorias que dão sustentação à pesquisa a
partir das idéias relacionadas com nosso objeto. Tal discussão desenvolve-se em
três frentes principais iniciadas pelo item 2.1 que vem tratar as teorias, as definições
e os conceitos envolvidos. Em seguida, trazemos o item 2.2, onde apresentamos
algumas teorias semióticas, um estudo nela baseado e, finalmente, trazemos o item
2.3 onde discutimos a presença de Vygotsky na pesquisa.
Para este capítulo tomamos a liberdade de cometermos algumas
repetições a fim de “recituar“ o leitor na problemática. Tivemos, também, o propósito
de não o engessar. Isso é: não nos obrigamos a responder uma questão formulada
em um parágrafo, no parágrafo seguinte. As questões são colocadas assim como
nos grandes romances como Cem Anos de Solidão de Gabriel Garcia Marques, Os
Miseráveis de Victor Hugo, A Filha do Silêncio de Morris West, Os Sertões de
Euclides da Cunha, etc., em que muitas vezes um ambiente sai de cena e retorna
em momento oportuno.
2.1. Teorias e trabalhos: uma visão geralA preocupação que permeia o mundo acadêmico no que se refere ao
ensino aprendizagem das ciências de modo geral, e da matemática de modo
particular, tem provocado várias discussões proporcionando um leque de opções
para diversos tipos de abordagens. Ao longo deste trabalho já particularizamos a
questão na Matemática ao enfocarmos as alterações que vem ocorrendo nos livros
textos de Cálculo desde Courant (1965) até Thomas & Wesley (2002). Estas
preocupações permeiam o ensino como um todo não estando, portanto, restritas ao
Cálculo Diferencial, ao Cálculo Integral, enfim, à matemática de nível superior.
Passoni e Campos (2003, p.49) vêm dizer: “Em 1976, Gerard Vergnould e Catherine
Duran mostraram que problemas aditivos eram fontes de dificuldades até mesmo
para os alunos no fim do primário”.
Citemos aqui preocupações teóricas mais amplas, algumas se
constituindo em teorias de aprendizagem, aportadas no século XX. Estas
preocupações trazem como representantes Vigotsky que, com sua corrente sócio-
34
interacionista onde o conhecimento é construído e a aprendizagem deve dar-se
dentro do contexto social, apresenta a linguagem como elemento que cumpre papel
fundamental no desenvolvimento cognitivo do sujeito; Skinner com sua posição
Behaviorista apontando a aprendizagem como sendo produzida pelo binômio
estímulo-resposta e, assim, defendendo que o sujeito toma ciência do objeto em
virtude dos reflexos gerados através de estímulos ambientais; Piaget que, através de
sua Epistemologia Genética, investigou como o conhecimento era desenvolvido na
criança, e que possui como conclusão mais geral a de que a aprendizagem está
sobretudo ligada aos diferentes níveis de desenvolvimento, etc.
Estes teóricos vêem apresentando suas idéias de cognição e, assim,
consubstanciando uma enorme gama de pesquisadores em seu debruçar sobre
ensino, ensino-aprendizagem, compreensão, saber, etc., através de teses, artigos e
outras publicações, de sorte que, o que e o como ensinar já não são os mesmos de
séculos mais remotos. Existe uma espécie de convulsão, de revolução na educação
como exigência do próprio homem, da própria sociedade na busca de identificar
como se constitui o saber.
Nossa discussão põe que os efeitos destes estudos refletem-se em
mudanças não só no ensino básico como também no ensino superior. Do ponto de
vista da matemática onde se fixa nosso foco de pesquisa, vimos que a abordagem
se vem modificando como nas demais ciências. Às vezes com mudanças
significativas, desde Courant (1965) até Thomas & Wesley (2002) como em Leithold
(1987) e Piskunov (1969), por exemplo.
Os autores dos livros-texto de Cálculo aqui mencionados deram
contribuições significativas para o que está ocorrendo uma vez serem responsáveis
pela formação de muitos matemáticos que hoje percebem a necessidade de
alteração em suas propostas metodológicas. Deste modo, são parte integrante da
mudança que vem ocorrendo, mesmo que suas idéias nos venham sugerir que as
mudanças por eles propostas sejam fruto de seu próprio juízo, sem âncora em
nenhum teórico pelo menos de forma explícita.
Como vimos, dentre as principais mudanças em “confronto” entre os
autores de livros texto de cálculo, está a linha de pensamento cuja conceituação é a
de que a aprendizagem matemática se dá pelo número de exercício que se faz
35
dentro do modelo baldista. Silva (2001) nos diz que esta idéia foi cunhada por Nilson
José Machado. Por outro lado a bibliografia nos mostra que o termo fui usado por
Câmara (2002). O fato é que se tratar de uma idéia onde temos: Definição
exemplos exercícios, contrapondo-se ao modelo científico: Problema construção Definição: O modelo baldista. Câmara (2007), em palestra na UFRPE, nos
apresenta os seguintes slides na explicação do modelo baldista:
O MODELO
BALDISTA
CONHECIMENTOMensagemPROFESSOR ALUNO
emissor receptor
concepções concepções
Figura 1 - Modelo Baldista Slide 1
LIMITES E POSSIBILIDADESDO MODELO BALDISTA
DEFINIÇÃO EXEMPLOS EXERCÍCIOS
ERRO DEVE SER EVITADO FALTA DE CONHECIMENTO
FÁCIL PREPARAÇÃO
GRANDE NÚMERO DE SUJEITOS ATINGIDOS
DEMANDA GRANDE MOTIVAÇÃO
SEMELHANÇA DE CONCEPÇÕES EMISSOR x RECEPTOR
Figura 2 - Modelo Baldista slide 2
O principio no qual o número de questões resolvidas são responsáveis
pela aquisição do conhecimento matemático se presta e até mesmo se conecta com
o modelo baldista. A linha de pensamento que defende este modelo como
fundamental para o aprendizado de matemática no entanto, tem, até mesmo entre
os representantes das obras aqui chamadas antigas como, por exemplo, Frank
Ayres (1975), oposições.
36
Na realidade não é difícil verificar que se aprende matemática através dos
dois modelos. O que se deve discutir é qual o modelo mais efetivo e que torna a
aprendizagem em matemática menos sacrificante. Nossos comentários aqui,
tornam-se pertinentes uma vez que, de certa forma, estamos tratando de um
“modelo de aprendizagem” em um tópico matemático. Assim sendo não é nossa
preocupação aprofundarmo-nos na questão e, no entanto, não queremos fugir dela.
Neste sentido constatamos que, por exemplo, Courant (1965) apresenta
nas primeiras 42 páginas 105 questões sem contabilizarmos os subitens enquanto
Leithold (1994), em suas primeiras 42 páginas nos apresenta 385 questões sem
contabilizarmos os subitens. A partir do capitulo 2, contabilizando 79 páginas
Courant apresenta 16 questões sem contabilizarmos os subitens, enquanto Leithold
nas mesmas condições apresenta 526 questões sem contabilizarmos subitens. Não
nos preocupamos em contabilizar os subitens pois são exercícios repetitivos.
Isso vem significar que se de um lado Courant (Ibidem) trabalha numa
perspectiva baldista, de outro não comunga com o aspecto do aprende-se
matemática exercitando-se o máximo possível. De modo análogo Leithold (1994),
Anton(2000) e Thomas & Wesley (2004), entre outros, têm uma vertente baldista ao
defender o aprende-se matemática exercitando-se o máximo possível. Como
dissemos, deste modo, o modelo com o qual se aprende matemática depende do
aprendente. É ele quem se adapta melhor a este ou aquele modelo.
Atualmente, especialistas em Educação Matemática como Dante e
Figueiredo, por exemplo, discutem que a aprendizagem em matemática não é
apenas uma questão de “suor” mas também, e principalmente, uma questão de
fundo epistemológico, psicológico e sócio-cultural. Moysés (1997, p. 9), ao discutir a
educação e as exigências da atualidade, vem dizer: “dos muitos olhares que a
questão permite, um deles passa, necessariamente pelo campo da questão
específica do ensino e da aprendizagem”. Esta discussão não é específica dos
estudiosos da Educação Matemática propriamente dita. De acordo com Moysés
(ibidem) “muitas são as áreas do conhecimento chamadas a dar sua contribuição
nesse sentido. A psicologia da educação é uma delas”.
É tradicional, como vimos no decorrer deste trabalho, tanto a
fragmentação na apresentação / ensino do objeto quanto o aspecto metodológico
37
onde se apresenta o ente matemático na forma algébrica, por exemplo uma função,
e tenta-se fazer com que o estudante a compreenda usando-se apenas uma de suas
representações, a forma geométrica, “grafadas” em um sistema de coordenadas.
Essa forma, ou modelo de apresentação do objeto matemático não é suficiente ao
aprendizado. Para sustentar esta assertiva, nos apoiamos na teoria dos Registros de
Representações semiótica de Raymond Duval. Uma sustentação que nos faz passar
por Vigotsky uma vez a discussão passar por elemento contido em algumas de suas
idéias, por exemplo, em Pensamento e Linguagem, Vigotsky (1991).
A teoria dos Registros de Representações Semiótica é uma teoria de
elevado grau de densidade, no sentido de complexidade, formulada com enorme
abrangência de contextos em diversas ciências mas particularizando, de modo
efetivo, a matemática. Alinhados com esta observação Maranhão & Igliori (2003,
p.57) vêm dizer: “uma de nossas preocupações ao escrever este capítulo foi o de
torná-lo acessível a pessoas não-iniciadas na complexa teoria (destaque nosso)
elaborada por Duval”.
Uma das dificuldades da teoria esta no fato de Duval parecer usar,
indistintamente, os termos Registro, Representação Semiótica, Sistema de
Representação e Representação. Dado que a constituição, como veremos mais
claramente, de um Sistema Semiótico se dá a partir de representações (ou seja: o
Sistema Semiótico é um conjunto, não vazio, de Representações), buscaremos à
guisa de esclarecimento, mostrar a complexidade referida, ao tempo em que
daremos nossa interpretação a partir da leitura da obra principal de Duval, Semiosis
y Pensamiento Humano sem pretendermos o determinismo absoluto do pensamento
de Duval.
Desta forma trazemos à tona as denominações usadas por Duval e um
esquema que pode ser uma solução para a problemática. Como dissemos acima,
estas denominações confundem-se em vários momentos, tanto de sua teoria
quantos de trabalhos de outros pesquisadores que utilizam suas idéias.
Os artigos, teses, dissertações, etc., que pudemos ler e que tinham como
fundamentação ou discussão a teoria em questão, não entraram no mérito do que
parece ser uma algaravia. Consultas a pesquisadores de reconhecido domínio sobre
38
Duval como Silvia Alcântara Machado e Mériclies T. Moretti revelam que, de fato, há
uma certa confusão nas designação dos termos usados por Duval.
Moretti, mais especificamente, (Anexo V), nos diz em e-mail: “, concordo
com a tua análise. Não vale a pena entrar nesta discussão, a não ser que seja o teu
tema de pesquisa. Isto dá pano pra muita manga”. A discussão a que Moretti se
refere foi nossa indagação na mensagem. No entanto concordamos com nossa
orientadora quanto a necessidade de tentarmos, pelo menos an passan, buscar
discutir o assunto. Nossa idéia então foi a de tentar uma breve discussão que
pudesse esclarecer Duval e não tentar mostrar que a teoria contém falha. A
problemática é, de fato, tão grande que Duval (1997), em seminário na USP, escreve
um texto tentando-a esclarecer. Do nosso ponto de vista não é feliz.
Quando Duval alerta para o fato de não se dever confundir um objeto com
sua representação, de pronto estabelece o que são objetos matemáticos e o que
são representações. Duval (2004, p.14) diz que são objetos matemáticos:”[...] os
números, as funções, as retas...” e que estes têm como representações...”[...] as
escrituras decimais ou fracionárias, os símbolos, os gráficos, os traçados das
figuras...”. Reforçando nossa idéia Duval (Ibidem) ainda vem dizer que o enunciado
em linguagem natural é uma representação semiótica. Mas diz também que gráficos,
figuras geométricas e formulas algébricas são, também, representações semióticas.
Penteado (2005, p.7) vem dizer "Duval tenta responder sua questão inicial
propondo que, pelo fato de haver várias representações para um mesmo objeto, a
sua apreensão efetiva é alcançada a partir do momento em que o estudante
consegue passar e transitar de uma representação a outra". Na realidade Duval
(2003, p. 14) diz: “A originalidade da atividade matemática está na mobilização
simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na
possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação”. Ainda mais
claramente para Duval (2002, p. 15) “[...] a compreensão em matemática supõe a
coordenação de ao menos dois registros de representações semiótica”.
Vê-se então que Penteado (2005) chama de representação o que Duval
chama de registro de representação. Ao discutir o ensino de vetores tomando como
base a teoria de Duval, Bittar (2003, p. 72) vem diz: "As várias representações
semióticas presentes no ensino de álgebra linear levaram Pavlopoulou (1994) e Dias
39
(1998) a estudar as dificuldades dos estudantes em trabalhar com essas diferentes
representações (registros)....". Assim a representação pode ser chamada de registro.
Duval parece nos sugerir que recíproca não é verdadeira.
A realidade é que percebemos uma espécie de hierarquia na teoria pois
qualquer um destes elementos também é tratado como registro. Em nenhum
momento pudemos ver Duval chamar, por exemplo, gráfico de sistema semiótico.
Mesmo com o fato de que faremos nossa sustentação em um recorte da teoria,
tentamos esclarecer o que Duval nos sugere dizer ao anunciar certas designações.
O entendimento a respeito destas denominações vem especificado no esquema
abaixo e explicado a seguir:
Esquema 1- Possíveis denominações de Duval
O esquema acima significa que, quando Duval toma a palavra
REGISTRO, está se referindo a quaisquer dos elementos “hierarquicamente”
abaixo de Registro de Representação Semiótica. Por esse motivo, às vezes vemos
Duval chamar um ente matemático “A” de Registro e outras vezes de
Representação, registro de representação, representação semiótica ou de sistema
semiótico. Quando Duval toma o termo Registro de Representação (ou Sistema
Semiótico ou Representação Semiótica) está se referindo às linguagens de modo
geral, ou a uma linguagem em particular ou mesmo a um dos elementos que
compõe uma dada linguagem. Identicamente, quando fala de linguagens, está
falando de gráficos, figuras, tabelas, símbolos matemáticos, etc. Ocorre que Duval
também chama gráfico, figuras, tabelas e símbolos matemáticos de Representação.
40
Desta forma, podemos tomar o esquema acima como um esquema
“hierarquizado” onde Registro pode ser quaisquer dos elementos da teoria. De modo
análogo o termo Representações Semióticas é entendido como qualquer elemento
abaixo de Registro, enquanto representações são os elementos que formam a
linguagem. Assim, quando queremos nos referir a uma representação na linguagem
simbólica, podemos dizer: a representação y = f (x), que compõe a linguagem
simbólica. Não dizemos que a linguagem simbólica é uma representação uma vez
ser a linguagem um conjunto de representações. Do mesmo modo, o conjunto dos
reais não é um numero, mas um conjunto de números.
Fazendo uma analogia com os conjuntos matemáticos, respeitadas as
deformações ou discrepâncias, teríamos: dados os conjuntos A e B com A {2, 4, 6, 8,
10} e B = {2, 4, 6}, A B. Consideremos A como uma linguagem e B como
representações desta linguagem. Tomar um elemento em A não significa,
necessariamente, termos uma representação em B. Mas tomar um elemento em B
significa, necessariamente, termos uma representação em A.
Este entendimento, no geral, é importante já que a questão fundamental
em Duval (2004) diz respeito ao fato de que não devemos confundir o objeto com
sua representação nem a representação pode ser confundida com um sistema
semiótico. Em outras ciências, como a Química e a Biologia, mesmo que não
tenhamos o objeto, as suas representações, de certo modo, nos parece permitir este
olhar. No caso da matemática, o entendimento desta distinção, observados os
escritos de Duval, se dá a partir da constatação de que os objetos são abstratos e,
assim, não podemos ter deles um conhecimento real. Por isso é importante ter em
mente que somente temos acesso ao objeto matemático através de suas
representações que, como corolário, vem significar não termos como conhecer o
objeto matemático na sua plenitude.
Objetos matemáticos, como já pode depreender o leitor, tem várias
representações. Um exemplo desta assertiva vem com Vergnaud (1985) quando
trata dos números e de suas representações. Vergnaud (Ibidem) vem mostrar que
um mesmo número comporta diferentes representações. Tomemos um número
qualquer, por exemplo, o número 9. Este número pode ser representado na
linguagem materna, numero nove, na escrita arábica, 9, na escrita romana IX. Tanto
41
Vergnaud quando Duval mostram, por essa linha, que um mesmo sujeito matemático
possui um conceito que aceita várias representações. Neste caso vemos que há a
representação do mesmo número (ou objeto) mas com características diferentes.
Esta distinção entre as representações têm suas características próprias e isso se
torna importante uma vez que são as características das Representações que Duval
(2004) quer que sejam observadas na aprendizagem.
2.2. Algumas teorias semióticas Lexicalmente, Semiótica é do Grego Semeiotiké1 e significa arte dos
sinais. Em sua obra, Eco (1976) vem trazer três definições para Semiótica. A
definição de Saussure (1916), a definição de Peirce (1931) e a sua definição. Eco
vem dizer que toma, para a sua Teoria Semiótica Geral, o termo Semiótico como
equivalente à semiologia, levando em conta a carta constitutiva da International
Association for Semiotic Estudies – Association Internationale de Sémiotique, 1969.
Saussure (Ibidem) vem dizer sobre a semiologia, de acordo com Eco (1976, p. 9)
que:
Ela poderia fazer parte da psicologia social, e, em conseqüência, da psicologia geral...Ela poderia nos dizer em que consistem os signos, quais as leis que os regem. Por não existir ainda, não podemos dizer o que será; todavia tem o direito de existir e seu posto está determinado de começo.
De acordo com Eco (Ibidem), a definição de Peirce (1931), é mais
compreensível.
Por semiose entendo uma ação, uma influência que seja ou coenvolva uma cooperação de três sujeitos, como por exemplo, um signo, o seu objeto e o seu interprete, tal influência tri-relativa não sendo jamais passível de resolução em uma ação entre duplas 5.484. Eco (1973, p.10)
Peirce (1931) deu tratamento geral aos signos apontando para a
semiótica. Através de suas formulações, a semiótica reveste-se de uma expansão
aplicativa dando origem ao semiologismos poético, musical, teórico, etc. Denota-se,
assim, a existência de vários processos semióticos. Contudo temos uma única
semiótica abordada de ângulos diferentes, uma vez que a origem da discussão se
dá em virtude da compreensão de traduções, da lingüística. Santaella (1983, p 13)
1 Conforme o dicionário on-line Priberam.
42
vem dizer: “a semiótica é a ciência que tem por objeto de investigação todas as
linguagens possíveis, ou seja, que tem por objeto o exame dos modos de
constituição de todo e qualquer fenômeno”. Santaella (2002) faz uma discussão dos
vários “processos” semióticos. A semiótica no Design, na comunicação, na
publicidade, em marcas de produtos, etc., mostrando que a semiótica tem várias
vertentes não sendo correto, portanto, considerar a semiótica apenas do ponto de
vista de Ciência teórica, pura e inaplicável.
Eco (1976), Saussure (1916), Peircer (1931), entre outros, discutem o que
é semiótica em uma proposta mais geral do que a de Duval (1993) que vem tratar de
como usar as representações semióticas na aprendizagem de modo geral e na
matemática de modo particular. Enquanto Duval (Ibidem) formula uma teoria dos
Registros de Representações Semiótica, na compreensão desta teoria ser uma
necessidade para se conhecer um objeto através de uma rede cognitiva de
informações traduzidas em gestos, línguas, formas, etc., Eco (Ibidem), por exemplo,
traz um Tratado Geral de Semiótica com o objetivo, Eco (1973, p.1), de “explorar as
possibilidades teóricas e as funções sociais de um estudo unificado de todo e
qualquer fenômeno de significação e / ou comunicação”.
Peicer (2005, p. 45:227), em uma nova abordagem, vem dizer: “em
sentido geral, a lógica é, como acredito ter mostrado, apenas um outro nome para
semiótica, a quase-necessario, ou formal, doutrina dos signos”. De fato, a discussão
de Peicer (2005, p. 9-43) se dá na direção da lógica com as mesmas idéias com que
trabalhou semiótica em 1931. O que liga Duval à semiótica enquanto ciência geral e
generalizadora, no dizer de Eco, é o fato de que a semiótica, enquanto ciência em
formação, como diz Saussure, abrange todos os aspectos semióticos. Definir que
teoria semiótica Duval tomou como direção base para sua formulação, não é tarefa
comportada neste trabalho. No entanto Duval parece sugerir está mais apoiado em
Peicer do que em Saussure ou Eco.
2.2.1. Teoria dos Registros de Representações semiótica.A Teoria dos registros de representações semióticas apresentada por
Duval, tem como foco o aprendizado das ciências de modo geral e de modo
particular da matemática. Como pudemos ver em nosso esquema, muitos são os
elementos dos quais Duval trata: Representação, Sistemas Semióticos, Linguagens,
43
Registros, etc. Nossa tentativa com o esquema foi, de um lado contornar um
problema e de outro colocar para nós mesmos uma direção a fim de deixar claro ao
leitor nosso entendimento sobre estes termos.
Há uma preocupação, cerne da teoria, que Duval (2004) procura
evidenciar deste o início de seus escritos: não existe possibilidade de entendimento
dos fenômenos do conhecimento sem o auxílio das representações. A noção de
representação vem sendo colocada, de acordo com Duval, desde 1924. Duval
(1993) discute a importância das representações na aprendizagem com foco em
tipos de linguagem e número de representações. Através do tempo, de acordo com
Duval (2004) a noção de representação vem sofrendo mudanças. Já foi
apresentada, conforme Duval, por Piaget, como representação mental, como
crença, como evolução dos objetos ausentes. E sofreu outras mudanças como
representação interna ou computacional, etc.
O que Duval faz é designar como representações semióticas a forma
como o termo aparece por volta de 1985. Neste caso, a representação semiótica
passa a ser um sistema para a aprendizagem. Duval (2004, p. 27) vem dizer: “a
noção de representação semiótica pressupõe, pois, a consideração de sistemas
semióticos diferentes e uma operação cognitiva de conversão das representações
de um sistema semiótico a outro”. Ao fazer esta citação Duval vem apoiar nossa
idéia. Quer dizer: Os sistemas semióticos são formados por representações. Uma
outra consideração é que a conversão é uma “operação”, um trânsito que produz
alteração cognitiva.
Duval (2003, p. 15) apresenta vários tipos de representação semiótica.
Dentre todos, tomamos como elemento de apoio à nossa pesquisa a transformação
que é composta pelos tratamentos e conversões assim definidas, Duval (2003,
p.16):
Os tratamentos são transformações das representações dentro de um mesmo
registro: por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo
sistema de escrita ou de representação dos números; resolver uma equação
ou um sistema de equações; completar uma figura segundo critérios de
conexidade e simetria.
44
As conversões são transformações de representações que consistem em
mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados; por exemplo,
passar da escrita algébrica de uma equação para a sua representação
gráfica.
O sistema de tratamento aparece com freqüência quando o professor
altera apenas os números de uma relação para tentar uma “nova” explicação ao
estudante que levantou suas dúvidas. Por exemplo, o professor explica a resolução
da derivada de 4( ) 2f sen . Diante do não entendimento do estudante, o professor
traz a explicação para 2 2( ) 4f sen sen . Esta explicação para aquisição do
conhecimento, que Duval chama de transformação por tratamento, implica no fato
do professor ficar no mesmo sistema de representação. No entanto, como vimos,
Duval (2003, 2004) discute que a aprendizagem mais efetiva em matemática se dá
quando há mudança de sistemas de representação para explicar um mesmo objeto
e a mudança destes sistemas cobra, pelo menos, duas diferentes representações
do mesmo objeto matemático.
Quando se fica no mesmo sistema de representação, pode-se alterar a
característica e a forma, mas não se mexe na conceituação que, do ponto de vista
de Duval, é o que ocorre no exemplo acima. Assim, para Duval, as representações 4( ) 2f sen ,
2 2( ) 4f sen sen não são diferentes já que a diferenciação cobra
principalmente a propriedade conceitual. Se este estado de coisas acontece
enquanto os tratamentos são explorados, o estudante acaba não reconhecendo o
mesmo objeto representado de outra forma. Por exemplo, através da linguagem
figural.
O alto nível de complexidade da teoria pode ser observado nesta simples
passagem. Se tomarmos o gráfico abaixo apenas com uma representação, ficamos
com um conhecimento incompleto. Por exemplo, qual o valor máximo da função? O
gráfico por si só não nos diz muita coisa - e o mesmo ocorre com a representação
simbólica da função. O quê, de fato, significa a expressão 8 (oito) abaixo?2
3( ) xf xx x
Expressão 8
45
Gráfico 12-Exemplo de representação
Poderíamos aqui usar outra representação como, por exemplo, 2( , ( ))x f x para dizermos que a função não tem valor finito. E, neste caso,
estaríamos usando três registros dentro da proposta de Duval (1993) e
coenvolvidos, como quer Peirce (1931), conforme Eco (1973, p. 10). Mesmo assim é
possível que, para pessoas não versadas em matemática, ainda tenhamos de usar a
linguagem materna a fim de proporcionarmos uma melhor compreensão do exposto
e, de acordo com Duval, precisaríamos obter os elementos cognitivos para cada
representação tomada, pelo menos, em dupla, a fim de formarmos o conhecimento
do objeto.
O que Duval (1993) busca mostrar é que, tendo um objeto várias formas
de representação, o efeito cognitivo da aprendizagem se dá quando o estudante
consegue passar de uma representação a outra e entender o retorno à
representação inicial como uma espécie de “função biunívoca”, tendo sempre a
construção cognitiva da elaboração de cada elemento. Deste modo nos sugere que
a representação do objeto justapondo-se ao respaldo da cognição, é o que lhe dá
significância a qual é compreendida através de representações. Dito de outro modo,
para este teórico, o conjunto de representações de um mesmo objeto em sistemas
semióticos distintos, nos possibilita, a efetiva aprendizagem do conceito do objeto.
46
Correndo o risco de repetição, lembramos que Duval nos diz que a
coordenação, na aplicação de dois ou mais registros, tem sua maior importância
quando da compreensão de como isso ocorre. O que, de fato, não é um
entendimento simples.
2.2.2. Do Recorte Nosso interesse está no recorte composto em dois tipos de
representação semiótica: Transformação por Tratamento e Transformação por
Conversão conforme colocado à página 35 item 2.2.1, onde citamos as suas
características de acordo com Duval. Relembramos ao leito que quando tratamos da
Transformação por Tratamento, estamos tratando com representações pertencentes
a uma mesma representação semiótica. Seja a linguagem natural, a linguagem
simbólica ou a linguagem figural. Quando tratamos da Transformação por
Conversão, estamos tratando com pelo menos duas representações obtidas de
sistemas semióticos distintos.
Nem Duval nem Vygotsky focam suas teorias abordando o ensino
superior. No caso de Duval, o trabalho com matemática superior é algo muito
complexo. Isso poderia levar o leitor a indagar da pertinência de Vygotsky e Duval
como teóricos neste trabalho. No entanto pomos que nosso estudo, com foco no
ensino superior, não tem conflito com os estudos destes teóricos uma vez as teorias
aqui postas não estarem restritas ao estudo da matemática elementar. Duval, de
modo mais específico, nos aponta caminhos de validade de sua teoria no ensino
superior quando chama a atenção para o fato de que, ao avançarmos nesta direção,
cada vez teremos de trabalhar com um maior número de representações o que torna
mais complexo o entendimento em matemática.
Compreendendo que alguns conceitos e abordagens teóricas são o lastro
de um trabalho deste nível, procuramos aprofundar nossa concepção nestes
conceitos e abordagens teóricas, observados nossos limites de tempo, de
intencionalidade e de compreensão. Esta observação nos levou, então, a buscar na
teoria o ponto mais apropriado à nossa hipótese. Deste modo recaímos, como
declaramos, em uma das principais idéias de Duval: transformação. Para
escolhermos e mergulharmos neste recorte, buscamos conceitos que
coenvolvessem nossos pressupostos e a nossa compreensão trazidos para esta
47
pesquisa a partir de elementos encontrados quando da abordagem a vários tipos de
trabalhos como artigos, teses e outras publicações.
A idéia de transformação proposta por Duval (2003, 2004), vem dizer
respeito à preocupação da aprendizagem de modo geral e, de modo particular, na
questão da aprendizagem em matemática. Duval (Ibidem), como vimos, fala de dois
tipos de transformação. Estas transformações podem assim serem esquematizadas:
Figura 3 - Transformação: Tratamento e conversão
Cada transformação, seja por tratamento ou por conversão, se dá a partir
de, pelo menos, dois registros de representações quando se passa de um destes
registros a outro explicando, de acordo com Duval (2003, p.22), “as propriedades ou
os aspectos diferentes de um mesmo objeto” e significando que a transformação é
um resultado. De acordo com Duval, como já dissemos, existe um número muito
grande de registros de representação que vão dá origem à transformação. Deste
mundo imenso de registro, Duval (2003, 2004) diz existir quatro tipos muito
diferentes. São os registros multifuncionais, os registros monofuncionais, a
representação discursiva e a representação não discursiva conforme tabela abaixo.
Observemos que a tabela é de dupla entrada: A entrada dos Registros
multi e monofuncionais e a entrada das Representações (discursiva e não-
discursiva). De acordo com a tabela, tanto o Registro multifuncional quanto o
monofuncional admitem representação discursiva ou não-discursiva.
48
Representação Discursiva Representação Não-Discursiva
Registros multifuncionais: os
tratamentos não são
algoritizáveis
Língua natural
Associações verbais
(conceituais)
Argumentações a
partir de
observações,
crenças...;
Dedução válida a
partir de definição ou
de teorema
Figuras geométricas planas
ou em perspectivas
(configurações em
dimensões 0, 1, 2, 3D).
Apreensão
operatória e não
somente
perspectiva;
Construção com
instrumentos.
Registros Monofuncionais:
Os tratamentos são
principalmente algoritmos
Sistemas de escritas:
Numéricas (binárias,
decimal,
fracionária...);
Algébricas;
Simbólicas (línguas
formais). Cálculo.
Gráficos cartesianos.
Mudança de sistema
de coordenadas;
Interpolação,
extrapolação.
Quadro 1- Principais registros em DuvalTabela 2 – Duval – Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático (Fazer Matemático, Atividade Matemática) (Tradução nossa)
É importante entender que o fato de se ter um registro monofuncional ou
plurifuncional não nos garante que o mesmo produz transformação por tratamento
ou por conversão que nos vai trazer o problema da correspondência semântica.
Teremos de enfrentar um outro problema, como veremos no próximo tópico, ao
sairmos de simples adição já que iremos necessitar do recurso do limite cujo
conceito é muito importante na matemática mas é, também, muito complexo.
Ao invés de tentarmos quaisquer outras exemplificações das idéias de
Duval, levantaremos sua concepção a respeito das funções cognitivas no ser
humano e a importância das representações e do comportamento. Duval (2004)
considera que o homem desenvolve em sua vida duas concepções chamadas de
funções cognitivas. Uma de caráter orgânico que são os sentidos (tato, audição e
visão) e outra adquirida, a linguagem (escrita, falada, gesticulada, etc.), que tem
como finalidade a exposição de idéias. Duval (2004, p.32) vem dizer: "em psicologia,
49
para estudar a aquisição de conhecimento e os funcionamentos que permitem seu
tratamento ou sua aprendizagem, a noção de representação é tão essencial como a
de comportamento".
2.3. Convergência desta Pesquisa com DuvalDe modo mais amplo um registro é constituído por signos (traços, ícones,
símbolos, etc.). O registro, bem como a representação2, no bojo, por exemplo, da
discussão das transformações (de tratamento ou de conversão) de que trata Duval,
se refere a elementos decisivos na distinção da análise do funcionamento da
compreensão. Dito de outro modo, os fenômenos relativos ao conhecimento só
podem ser entendidos a partir da noção de representação. Duval (2004, p. 30) vem
dizer:
Falemos então de registros de representação semiótica. Estes registros constituem a margem de liberdade com que conta um sujeito para objetivar a si mesmo uma idéia ainda confusa, um sentimento latente, para explorar as informações ou, simplesmente, para comunicá-las a um interlocutor.
Queremos observar aqui que Duval se está referindo a um certo tipo de
registro: Os registros de Representação Semiótica. Fazemos esta observação para
que o leitor continue focado no fato de que Duval usa a palavra registro em
substituição a registro de representação semiótica e a todos as demais
“nomenclaturas” de sua teoria. Por outro lado, como veremos a seguir, a linha
divisória entre representação à luz de Duval e representação à luz de diversas
ciências são elementos muito distintos. Duval (2004, p.25) vem dizer: “...esta noção
de representação se tem apresentado em três ocasiões distintas, cada uma com
uma determinação totalmente diferente do fenômeno designado”.
As ocasiões a que Duval se refere, são por ele colocadas
cronologicamente como:
1. entre 1924 e 1926 quando o termo foi apresentado como representação
mental por Piaget (fenômeno psicológico – nota nossa);
2 Vimos que toda representação pode ser chamada de registro. A recíproca não é verdadeira.
50
2. entre 1955 e 1960 como representação interna ou computacional
possivelmente por Broadbent e mais precisamente em 1958 (através da
teoria da informação – notas nossa);
3. por volta de 1985 como representação semiótica sinalizando os trabalhos
sobre aquisição dos conhecimentos matemáticos e sobre os grandes
problemas internos da aprendizagem (Teórica semiótica – nota nossa).
De acordo com Duval (2004, p. 27) “a especificidade das representações
semiótica consiste em que são relativas a um sistema particular de signos: a
linguagem, a escrita algébrica e os gráficos cartesianos...”. Ora, a noção de
representação semiótica, conforme Duval (Ibidem), precisa dispor de sistemas
semióticos distintos agregados a uma operação cognitiva de conversão que
possibilite a passagem de uma representação de um sistema semiótico para outra
representação em outro sistema semiótico. Assim, se tivermos uma representação
‘a’ pertencente a um sistema semiótico e uma representação ‘b’ pertencente a outro
sistema semiótico, a operação deve ser tal que o estudante possa passar ir de ‘a’
para ‘b’ e vice-versa.
Essa proposição geral nos vai permitir valorizar a importância de se tratar
os objetos, ou fenômenos matemáticos, em suas mais diversas formas e
compreendermos a ligação entre eles, como o faz Moretti (2003), quanto buscar
determinar as relações (ou identidade) entre os elementos o que, em síntese, é
entender as implicações que cada elemento do gráfico da função impõe ao outro
nesta relação. Traremos, como exemplo, os elementos crescimento, decrescimento,
concavidade e extremo local, fazendo uma análise da relação entre eles e tentando
estabelecer a existência ou não de uma conversão congruente.
Antes, contudo, precisamos esclarecer que, para uma análise da
atividade de conversão, as referências que possuímos e que nos irão permitir a
constituir focando elementos do gráfico da função, estão colocadas em, pelo menos
quatro momentos por Duval sem, contudo, haver uma inserção abrangendo o ensino
superior no trato da derivada. Temos pois:
1. Por Duval (2003) na abordagem de conjuntos quando determina três fatores
para a atividade de conversão - vide página 49;
51
2. Em Duval apud Moretti (2003, p.152) quando estabelece que o procedimento
por interpretação global das propriedades figurais deve ser tal que contemple:
a visualização das variáveis, os valores do comportamento e a unidade
simbólica correspondente;
3. Em Duval (2004) quando trata da conversão entre escrita algébrica e das
relações gráfico-cartesianas – vide página 59;
4. Em Duval (2004) quando discute a não congruência das formas de base que
implica predicados com dois lugares, com dois enunciados em linguagem
natural conforme passamos a discutir.
A especificidade do tratamento que precisamos para discutir a relação
entre os elementos que constituem o gráfico da função polinomial com foco na
derivada precisa, então, se ater ao principio maior da atividade de conversão ditado
por Duval (2003, p. 19 – 2004, p. 50) que é a “comparação da representação dos
registros de partida com a representação terminal no registro de chegada”. Dito de
outra forma, os elementos trazidos por Duval em várias tabelas já apresentadas,
precisam de novas nominações (como o faz Duval) que dependem do objeto tratado.
A exigência é a comparação entre os registros de partida e de chegada que
precisam obedecer as normas colocadas por Duval para este fim. Também é preciso
chamar a atenção para o fato de que a conversão somente se dá se o registro de
entrada saída for menos complexo do que o registro de entrada.
Tomemos, pois, os quadros 2 e 3 abaixo em termos do uso da linguagem
simbólica e figural, respectivamente.
Comportamento
Relação Variáveis visuais
Unidade simbólic
a
Congruência / não congruência
Cresce e é f’ >0 Sim Sinal (+) Sim (Um só sinal: duas coisas)*
Côncava f’’>0 Sim Sinal (-) Sim (Um só sinal dizendo duas coisas)*
Decresce e é f’ <0
Convexa f’’ <0
Cresce e é f’>0 Sim Sinal (+) Não (uso de dois sinais na representação
52
de saída)**Sinal (-)
Convexa f’’ <0
Decresce e é f’<0 sim Sinal (-)
Sinal (+)
Não (uso de dois sinais na representação
de saída)**Côncava f’’>0
Maximo Local f’>0, f’=0,f’<0
Sim Sinal +,
“0”, -
Sim
Mínimo Local f’<0,f’=0,f’>0 sim Sinal +,
“0”, -
Sim
Quadro 2- Quadro de congruência / não – congruência
*A complexidade no registro de saída é menor do que a do registro de entrada; **A complexidade no registro de saída e igual à do registro de entrada. Neste quadro vemos as relações entre alguns elementos. Observe-se que quanto aos extremos locais a coluna relação está verificando o comportamento da função em termos de crescimento e de decrescimento com estes extremos.
Para Duval (2004) o fato de um estudante vir a resolver uma questão
matemática sob a óptica de um sistema semiótico como: álgebra; aritmética;
geometria ou trigonometria (semiosi)3, não garante a apreensão do objeto, do
conceito (noesis)4. Faz-se necessária a intervenção de, pelo menos, dois registros
semióticos. Através destes registros, podemos ficar na perspectiva da transformação
por tratamento ou de transformação por conversão. Na página 52, apresentamos o
quadro 5 que constitui comportamento a relação, na linguagem natural e simbólica.
O quadro 2 acima veio se inserir no seguinte contexto: se tomarmos que
uma função num dado intervalo I do seu domínio cresce e, neste intervalo, a função
é côncava, qual a relação entre este crescimento e esta condição de concavidade?
Do mesmo modo, se a função é descontínua em um certo ponto P do gráfico, que
relação esta condição de descontinuidade guarda com o domínio da função? Vimos
que Moise (1970) disse bastar saber onde uma função é crescente e onde ela é
decrescente para sabermos seu ponto de extremo local. No entanto, como
mostramos, isso só é verdade se a função for derivável tanto no ponto de extremo
local, onde precisa ser igual a zero, quanto em suas vizinhanças já que podemos ter
uma derivada nula sem que isso venha a ser extremo local.
3 Segundo Duval: A apreensão ou a produção de uma representação semiótica4 Segundo Duval: Os atos cognitivos.
53
A questão então é: qual a implicação deste fato, do ponto de vista de
Duval, quando o estudante for observar o comportamento da função como um todo?
A resposta a esta questão é simples, mas entender o mecanismo já não é tão
evidente como vimos nos quadro 2 acima e reforçaremos no quadro 3 e 4 - páginas
58 e 59.
Conforme justificaremos na página 55, a função tem ponto de
descontinuidade em P e assim não é derivável neste ponto o que impossibilita haver
tangente em P. Este conhecimento não é propriamente a aquisição do conceito
(noesis) uma vez que para a aquisição do conceito se faz necessário saber que, se
existe este ponto de descontinuidade, então necessitamos discutir, pelo menos, a
seguinte questão: o ponto P inviabiliza a existência de extremos locais no intervalo
(a; b) = I? Se não inviabiliza, então, obrigatoriamente, existe pelo menos dois
subintervalos de I, por exemplo, I’ e I’’, onde a função é derivável e onde cresce e
decresce.
Dito de outro modo, o conceito, neste caso, necessita de maior amplitude
como é o fato de se reconhecer o que ocorre em torno de P. De acordo com Duval
(2004), este tipo de questão torna-se mais difícil de ser entendida por envolver mais
representações.
Por que I’ e I’’? Para responder a esta pergunta precisaríamos de outras
representações. Por exemplo, tome-se o gráfico 8 referente a este ponto teórico;
54
Gráfico 13-Estudo de intervalos
Vejamos a representação entre os pontos do intervalo (a;b)=I. Se P é um
ponto de descontinuidade, então em P, f’ ≠ 0. A função, então, não é derivável em P
pois: Se a função é contínua no ponto ‘a’, então, as seguintes condições são
satisfeitas:
( ) ( ) existe(iii) lim f(x) = f(a)
(ii) lim ( ) exite;x a
x a
i f a
f x
E para que ela seja derivável em ‘a’, então as condições acima são
satisfeitas com o acréscimo de que (iii) = (ii). Ou seja: se (iii) = L, então (ii) = L. Desta
forma, não mais podemos considerar, sem restrições, o domínio (a;b), uma vez que
a função é descontínua em P(a;b). Por isso, agora vamos considerar os intervalos
I, I’ e I’’, onde a função é contínua exceto, possivelmente, no extremo superior de I e
de I’, X0 e X1, respectivamente. Um quadro de convergência semântica para as
funções polinomiais será apresentado logo após a discussão que se segue.
Estas representações estão na forma geométrica e são transformações
de conversão. Duval (1988), tratando especificamente do esboço de curva, classifica
esta atividade em três tipos de procedimentos: “1 – O procedimento por pontos; 2 –
O procedimento de extensão de um traçado efetuado; 3 – O procedimento de
interpretação global das propriedades figurais”. Estamos tratando nosso gráfico 1 de
acordo com o terceiro procedimento sobre o qual Duval (ibidem) vem dizer: “neste
tipo de tratamento não estamos em presença da associação um ponto um par de
números, mas na associação variável visual da representação unidade
significativa da escrita algébrica”
Para Duval (2004, p.17), “[...] a conversão entre gráfico e equação supõe
que se consiga levar em conta, de um lado, as variáveis visuais próprias dos
55
gráficos (inclinação, interseção com os eixos, etc.) e, de outro, os valores escalares
das equações (coeficientes positivos ou negativos, mais, menos ou igual, 1, etc.)...”.
Isso nos permite, por analogia simples, dar um tratamento ao gráfico de função a ser
considerada em relação ao comportamento dos seus elementos, levando em conta
os sinais que cada um possui. Então existe, como na discussão de Duval, por trás
das condições do comportamento de gráfico, as relações intrínsecas a cada
elemento.
Não podemos tomar as palavras de Duval (2004, p. 14), quais sejam,
“passar de uma equação a um gráfico cartesiano”, como algo sem similaridade, uma
vez que estaríamos restringindo a teoria, não só a matemática, mas a um tipo de
objeto particular: equação-gráfico. Duval (2004, p.14) vem dizer: “desta perspectiva
é essencial não confundir jamais os objetos matemáticos, quer dizer, os números, as
funções, as retas, etc., com suas representações, quer dizer, as escritas decimais ou
fracionárias, os símbolos, os gráficos, os traçados das figuras...”. Ou seja, Duval não
só alerta para o fato de não confundirmos os objetos com suas representações,
como abre um leque de “elementos” a serem trabalhados. Uma leitura mais geral diz
que não devemos nos restringir a particularizações. Desta forma, nosso tratamento
pode ser levado a efeito com referência ao gráfico de uma função e, assim,
podemos, inclusive, trabalhar com elementos do mesmo gráfico em diversas
representações, já que cada elemento é uma representação. O conjunto de
representações (aí incluindo suas particularidades), pode ser tomado como um
sistema de representação e, portanto, temos a possibilidade de verificar a existência
de uma transformação por conversão.
Estas observações nos permitem estudar a passagem de um elemento do
gráfico a outro. Assim, temos as representações (x0;x1), (x1;x2), (x2;x3) e (x3;x4)
relacionadas entre si de acordo com suas peculiaridades definidas pelas
propriedades que lhe são intrínsecas já que os pontos no plano podem sofrer uma
análise do ponto de vista da congruência ou não congruência, conforme o faz Duval
(2003, p.19). Tomando-se cada uma destas representações como intervalo que são,
a podemos estudar internamente (isso é, o intervalo em si mesmo) e externamente
(isto é, os intervalos entre si) pois cada intervalo pode conter uma serie de
elementos da composição do gráfico.
56
Caso usássemos apenas a apresentação algébrica e uma “plotagem” de
pontos nesta análise, estaríamos no que Duval chama de transformação por
tratamento. Sairíamos da função y = f(x) para sua representação gráfica. No entanto,
estamos dando um tratamento ao gráfico usando o procedimento de interpretação
global das propriedades figurais, conforme recomenda Duval, aplicando a linguagem
natural ou a linguagem formal que nos permitem sair da transformação por
tratamento para a transformação de conversão.
Neste momento específico, no entanto, a abordagem proposta não é a
que fizemos, ou imaginamos, aqui. A proposta é iniciarmos com a transformação por
tratamento. Não pensamos agir de modo diferente uma vez estarmos propondo
tratamento metodológico invertendo a condição metodológica tradicional. Nesta
direção, não faz sentido começarmos por um tratamento já reconhecidamente
complexo para o estudante, conforme nos diz Duval (2003, 2004). Lembremos que a
proposta é a apresentação do gráfico completo (ou global, como diz Dugdale), como
sendo o contato inicial entre o estudante e o esboço do gráfico da função.
Em virtude da complexidade do tratamento por conversão é que
propomos deixar esta abordagem para um segundo momento e, assim, darmos o
tratamento que Duval (Ibidem) alerta ser o mais utilizado por, simplesmente,
corresponder a um procedimento de justificação. Com essa consciência
estabelecida, partimos da transformação de tratamento para alcançarmos a
transformação por conversão, que é mais difícil uma vez, segundo Duval, enfrentar
os fenômenos da congruência ou não-congruência.
Qualquer atividade de conversão passa por dois fenômenos. De acordo
com Duval (2003, p.19), “[...] o da variação de congruência e não-congruência e o
da heterogeneidade dos dois sentidos decorrentes”. Para se fazer uma análise da
atividade de conversão, é preciso ter em mente que esta atividade nos requisita
compreender comparativamente a representação no registro de partida com a
representação terminal no registro de chegada. Para que exista a conversão, esta
situação deve atender a três pontos: (I) correspondência semântica das unidades do
significado; (II) a unicidade semântica terminal e (III) a conservação de ordem das
unidades.
57
No caso do exemplo “João ganhou 2 bolas e Pedro ganhou 3 bolas.
Quantas bolas foram dadas a João e Pedro? 2 + 3 = 5”, há correspondência
semântica, pois que ganhou 2 bolas( ), ganha 3 bola ( ). Ganha 2 + ganha 3
= ganha 5. Isso em virtude da questão atender aos pontos colocados acima.
Observemos que no elemento de entrada temos de enfrentar o problema aditivo,
enquanto no elemento de saída temos apenas um numero, e um sinal, dispensável,
+ 5.
Tomemos a Figura 4 de Duval (2003, p.19) e o quadro de Duval (1998b,
p. 240) apud Moretti (2003, p. 152) para, à luz destes elementos, constituirmos uma
figura, a fim de termos uma idéia, no esboço do gráfico de uma função, do modo
descrito por Duval como associação variável visual da representação unidade
significativa da escrita algébrica. Pela figura de Duval vamos ter um quadro que
instrui a ordenação das três unidades referidas.
Correspondência semântica das Unidades de significado
A unidade semântica Terminal
Conservação da Ordem das
Unidades
O conjunto dos pontos cuja
ordenada é superior a abscissa y >
x
Sim Sim Sim
O conjunto dos pontos que tem uma
abscissa positiva
X > 0
Não. “maior que
zero” é uma
perífrase
(um só
significado para
várias palavras)
Sim Sim
O conjunto dos pontos cuja abcissa
e cuja ordenada têm o mesmo sinal
x.y > 0
O produto da abscissa com a
ordenada é maior que zero
Não Não Não.
Globalização
descritiva (dois
casos)
Quadro 3- Quadro de Duval convergência semântica( Figura 4 de Duval (2003, p.19)
Pelo quadro de Duval (Ibidem) apud Moretti (Ibidem) para a função
y ax b .
Variáveis visuais Valores Unidades simbólicas
58
correspondentes
Sentido da inclinação ascendente
descendente
Coeficiente >0 ausência do símbolo
(-)
Coeficiente < 0 presença do símbolo
(-)
Ângulo com os eixos Posição simétrica
Ângulo menor
(45º)
Ângulo Maior
(45º)
Coef. Var. = 1 Não tem coeficiente
escrito
Coef. Var. < 1
Coef. Var. > 1
Posição sobre os eixos Corta acima
Corta abaixo
Corta na origem
Acrescenta-se uma constante sinal +
Subtrai-se uma constante sinal –
Não tem correção aditiva
Quadro 4- Quadro de Duval (1998b, p. 240) apud Moretti (2003, p. 152)
Moretti mostra com esse quadro a observância ao terceiro procedimento
discutido por Duval: o procedimento da interpretação global das propriedades
figurais quando estamos diante de uma associação variável visual da representação unidade significativa da escrita algébrica.
Tomemos as funções do tipo 3 2 ( ) = ax - - cx + df x bx e sua
hipotética representação geométrica considerando a, b, c e d não nulos. Observe-se
que o termo independente b é responsável pela interseção com o eixo OY e o
coeficiente angular de cada tangente varia com o ponto considerado.
Gráfico 14- Função cúbica
59
E tomemos o quadro abaixo como exemplo da relação das modificações
entre a representação da função na forma algébrica e sua modificação na figura.
Elementos visuais do
gráfico
Condições descritivas Valor representativo do elemento
correspondente
Sentido do gráfico Crescente Coeficiente > 0. Presença do
símbolo f’
Decrescente Coeficiente < 0. Presença do
símbolo f’
Extremo local Curva para de crescer ou de
decrescer
Coeficiente = 0. Presença do
símbolo f’
Concavidade Tangentes sobre a curva
(côncava)
Coeficiente >0. Presença do
símbolo f’ ou f’’
Tangente sob a curva (convexa) Coeficiente < 0. Presença do
símbolo f’ ou f’’
Ponto de inflexão Concavidade muda de sentido Coeficiente = 0 no ponto. Presença
do símbolo f’’
Quadro 5-Quadro da relação de modificação entre as representações
O quadro acima nos vem mostrar pelo menos três coisas que precisam de
muita atenção. A primeira é que podemos perceber várias relações entre a função
na sua forma algébrica e na sua forma descritiva, o registro da linguagem natural. A
segunda é que no caso deste tipo de função ou de funções mais complexas com as
quais estamos trabalhando (frações polinomiais), o grau de dificuldade para este
entendimento é muito grande. A terceira é que todos os elementos possuem as três
condições definidas por Duval para uma Conversão Congruente semelhantemente
ao procedido por Duval (1998b, p. 240) apud Moretti (2003, p.151) com o uso da
função y ax b .
Moretti (2003, p. 152) vem dizer: “para o caso de outras funções, mesmo
as polinomiais, essa correspondência entre os coeficientes, a não ser pelo
coeficiente independente no caso das polinomiais, não é tão evidente assim”. E
Moretti (ibidem), continuando esta discussão, chega ao ponto que justifica a
60
derivada no caso de nosso exemplo. De acordo com Moretti (Ibidem): “sem o uso da
noção de limite e derivada, não há uma resposta para a questão, pelo simples fato
de que, em geral, é preciso conhecer de antemão a forma da curva para depois,
então, poder esboçá-la segundo o modo 3” que é associação variável visual da
representação unidade significativa da escrita algébrica.
Podemos reforçar a compreensão deste fenômeno de Congruência na
conversão do registro simbólico para a o registro da língua natural a partir da
montagem do quadro de Igliori & Godoy (2005, p. 3-4).
Exemplo 2: Fenômeno de Congruência na conversão de registro simbólico (RS) para o registro da língua natural (RCH)
(RS) ( )dy adx
Derivada de y em relação a x no ponto a )RCH)
Exemplo 3: Fenômeno de não-congruência na conversão do registro simbólico (RS) para o registro da linguagem natural (RCH).
– (RS) '( )f a Coeficiente angular da reta tangente á curva de função f no ponto de abscissa a
(RCH)
- (RS) limx p
( ) ( )f x f px p
Derivada da função f no ponto p (RCH)
Quadro 6- Quadro de Congruência / não-congruência (Igliori & Godoy)RS - Registro de Saída. RCH - Registro de chegada
De todo o exposto, reconhecemos que o trabalho não é simples. Há
implicações nele pela própria agregação de valores complicadores. Igliori & Godoy
(2005, p. 4) vêm dizer:
Na matemática, os fenômenos de não-congruência são mais comuns que os de congruência. A aprendizagem requer uma coordenação dos distintos registros de representação que um domínio de conhecimento mobiliza e, é imprescindível que se realizem conversões nos dois sentidos, havendo congruência ou não.
Exatamente pelo reconhecimento destas dificuldades é que propomos
iniciar o estudo de gráfico de função pelo gráfico global sem nos atermos, no
primeiro momento, às formalizações imprescindíveis ao esboço dos gráficos das
61
funções polinomiais mais complexas do que, por exemplo ax b e 2ax bx c , e
fazendo foco na transformação por tratamento no inicio da abordagem.
Tomemos uma função parabólica. Para Duval (Ibidem), a função deve ser
estudada através de, pelo menos, duas representações. Se estas pertencem a uma
mesma representação semiótica, estamos na transformação por tratamento, se uma
das representações pertence a uma representação semiótica e outra pertence a
outra representação semiótica, estamos no tratamento por conversão. Então
tomemos três registros, ou três representações, a fim de ver como podemos discutir:
a função aritmética em si mesma, seu gráfico e uma das tabelas correspondentes.
Temos, então: f(x) = x2, O gráfico
Gráfico 15-Gráfico de exemplo de representação (II)
e uma das tabela de valores correspondentes.
Tabela 2-Tabela exemplificativaX Y
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Podemos ainda acrescentar a tabela de variação entre os valores x e f(x).
62
Estamos aqui usando o que Duval (2003) vem chamar de Transformação
por Tratamento. O exemplo acima, na condição de tratamento de transformação,
presta-se à tentativa de “ensinar” o que é uma parábola, do mesmo modo que
usássemos f(x)=3x2; f(x)=4x2+3x ou apenas trocássemos de sinais. Ao trocamos a
função em si pela tabela estamos em um mesmo sistema de representação e, para
Duval, estas representações não são diferentes.
Duas questões se põem: o que cada uma destas representações,
isoladamente, representam? E em seu conjunto? Isoladamente a representação,
como expressão, pode nos dizer que temos uma parábola. Mas não nos diz o que é
uma parábola, pois a definição de parábola, ou de outro ente matemático qualquer,
não garante a sua compreensão. No máximo se vai entender como “um trajeto
curvo”. Do mesmo modo, o gráfico vai aparecer para o estudante como uma figura,
uma imagem, etc. Mas qual o seu significado do ponto de vista da representação
semiótica? Deste ponto de vista, o gráfico não tem significante, exceto se tratado
através da observação das unidades semânticas. Quanto à tabela pode significar
muitas coisas em matemática, muitos tipos de relações, até mesmo uma parábola.
Relembramos então que Duval (2003, 2004) nos diz para não confundir o objeto
com sua representação. Vimos reforçar que a função aqui posta é o objeto enquanto
a expressão, o gráfico e a tabela são representações deste objeto. Assim as
representações semióticas (ou registro de representação ou sistema semiótico ou,
ainda, apenas registro) possuem dois aspectos importantes que são o seu
representante que é uma de suas representações como, no caso, o gráfico, a tabela
ou a expressão, e o representado que é o objeto, no caso a função enquanto objeto
abstrato. Duval diz existir vários tipos de representações para um mesmo
representado, isso pode nos levar a pensar que o representado muda com a
representação. Na realidade o representado não se altera pois que é o objeto. O que
muda é a sua visualização.
2.3.1. Uma aproximação com Moretti (2003). A discussão inicial feita por este autor, demonstra um caminho também
percorrido por nós que discutimos o tratamento tradicional dado ao esboço de
gráfico de função. Nesta tradicionalidade, trabalha-se a representação da função
63
algebricamente e, depois, geometricamente, sem a preocupação com a passagem
de uma representação a outra. Moretti (2003, p. 150) vem dizer: “este modo de
proceder, esboçar individualmente cada curva, impossibilita que se perceba que
modificações na equação são responsáveis por modificações no gráfico e vice-
versa”.
A citação de Moretti (ibidem) pode transparecer que estamos em rota de
colisão. Na realidade, isso não está ocorrendo. O problema é que Moretti (Ibidem),
como veremos em citação posterior, se utiliza, neste trabalho, ao mesmo tempo, de
três procedimentos apontados por Duval (1988b) para a construção do gráfico de
uma função.
Os procedimentos apontados por Duval (1988b, p.237) são:
o procedimento por pontos onde, por referencia à dois eixos
graduados, um par de números permite identificar um ponto (e,
inversamente, um ponto se traduz por um par de números);
um procedimento da extensão de um traçado efetuado....Cada vez
mais essa abordagem de extensão se torna puramente mental: ela
não abre espaço para traçados complementares e explicativos
como uma mudança local da graduação dos eixos para aumentar
uma parte do traçado. Mas dentro desta abordagem, como na
precedente, a gente se prende aos dados do traçado e não
levamos em conta as variáveis visuais pertinentes à representação
gráfica. De forma que o tratamento continua orientado em direção
à busca de variáveis particulares, sem que a gente tenha que
parar sobre a forma de escritura algébrica.
o procedimento da interpretação global das propriedades figurais O
conjunto traçado / eixo forma uma imagem que representa um
“objeto” descrito por uma expressão algébrica. Toda modificação
desta imagem...encadeia uma modificação na escritura da
expressão algébrica correspondente e determina uma variável
visual pertinente para a interpretação do gráfico. Com essa
abordagem nos não estamos mais na presença da associação “um
ponto -> um par de números”, mas da associação “variável visual
64
da representação->unidade significativa da escrita algébrica”. Já
que se trata de partir a representação gráfica para achar, por
exemplo, a equação correspondente, ou para utilizar o conceito de
inclinação ou de direção, esta abordagem de interpretação global
se torna necessária...E a prática sistemática da abordagem por
pontos não pode favorecer a abordagem de interpretação global.
Neste caso o traçado da figura em relação aos eixos coordenados
produz uma imagem descrita na forma algébrica. Isso vai permitir
saber-se que modificação no gráfico produz determinada
modificação na forma algébrica.
Moretti (2003, p.149) toma de Duval estes procedimentos na “intenção de
transpor parte de suas idéias (de Duval – nota nossa) sobre o esboço de curva no
caso das retas para outras curvas”. Esta idéia é por nós incorporada. Apenas, em
um primeiro momento, tomamos os elementos que compõem o gráfico da função a
fim de discuti-los com o estudante “distante” do formalismo matemático como vimos
discutindo. Esta estratégia tem a intenção de “desobstruir” o espírito do estudante da
idéia de uma matemática inacessível. Buscamos que o estudante crie uma preciosa
“intimidade” com os elementos matemáticos sem, de inicio, se depararem com
epsilon, delta, se x pertence a R, existe um único , limite de f quando x tende para,
etc.
Moretti (Ibidem) defende o uso de translação, rotação, etc., na construção
de um gráfico como elemento facilitador da compreensão dos estudantes. Além de a
idéia principal ser diferente da nossa, uma vez considerarmos este auxílio em um
terceiro momento, aquele no qual vamos formalizar a construção do gráfico, não é
somente um caminho facilitador para o estudante. Os rebatimentos, translações,
rotações em torno dos eixos ou de uma reta devidamente escolhida, bem como a
análise de funções pares e funções ímpares, são estratégias que, se não bem
exploradas, podem trazer mais problemas do que soluções como exemplificado nas
páginas 3 e 4.
Aqui podemos pensar na inoportunidade (de acordo com nossa proposta)
de apresentarmos o esboço do gráfico de uma função lançando mão destas
“facilitações”. Existe uma série de problemas com este tipo de “ajuda” se colocado
65
em momento inicial da apresentação do esboço do gráfico da função com o auxílio
da derivada. Tomemos, por exemplo, a função parabólica, ainda que seja uma das
funções que melhor se presta a esta idéia. Para facilitar a discussão, tomemos 2( )f x x . Apresentando-se a “facilitação” de compor a curva apenas traçando, por
exemplo, o ramo direito da mesma (x > 0), deixamos de observar o que acontece no
outro ramos (x < 0) e as implicações pertinentes, já que cada ramo tem suas
particularidades. Vejamos:
1. a função cresce o que nos diz que f’ > 0. No ramo contrário ( x < 0), a função
decresce o que nos diz que f’<0;
2. a reta tangente no primeiro ramo é positiva, o que nos diz que f’ > 0 e é
negativa no segundo caso o que nos diz que f’ < 0.
3. Para f’’ > 0 a função é côncava e x > 0. Ocorre que para x < 0 a função
também é côncava e f’’ continua maior que zero.
Destes itens ainda podemos extrair que a função tem um extremo local e,
então, usando-se a rotação, translação ou rebatimento encurtaríamos um caminho
abrindo mão de informações. A fundamentação teórica apresentada nos mostra
muito mais dados a serem subtraídos de uma discussão no tratamento da
construção de um gráfico de uma função se usarmos deste expediente. Por outro
lado o que está por trás destas transformações (rotação, translação, rebatimento,
reflexão, etc.) são conceitos da álgebra linear. Por exemplo, neste caso o que se
está fazendo, e que é muito complexo para o estudante no estágio inicial do cálculo,
é pegar a expressão abaixo, do mesmo modo como fizemos com a expressão III no
capitulo I.
2 2:( , ) ( , )Tx y x y
Expressão 9
(dizemos pegar T no 2 de modo que o ponto (x,y) mande no ponto (x,-y)). Temos
pois, uma transformação linear.
Ora, a derivada é uma transformação linear e nós queremos nos afastar
desta discussão por ser prematura no estagio em que o estudante se encontra. Além
66
do que nosso objetivo prático é usar um gráfico global e, a partir dele, observar os
elementos e os gráficos similares do ponto de vista destes elementos. Assim, não
estamos tratando da melhor forma de construir um gráfico de uma função dentro do
mesmo padrão que se vem adotando, mas sim de uma estratégia de ensino que
toma um gráfico geral contemplando o maior número de gráficos possíveis e que
possa ser derivado permitindo compreender as relações existentes entre os
elementos.
Um outro aspecto focado por Moretti diz respeito ao discutido por Duval
(1993): a problemática de se construir gráfico de funções apenas plotando pontos no
sistema cartesiano. Este tipo de procedimento no qual o estudante atribui valores em
uma variável para obter o(s) valor (es) da outra é uma mera substituição. Moretti
(2003) levanta a questão de substituição alertando para o fato de que este tipo de
procedimento acontece, muitas vezes, sem que o estudante se dê conta da família
de curvas abordadas ou de outras curvas semelhantes que não da mesma família.
Objetivando seu trabalho, Moretti (2003, p. 151) vem dizer:
Neste capítulo, o objetivo de estudo é o esboço de curvas, que Duval (1988b) classifica como uma atividade com três tipos distintos quando aos seus procedimentos: 1) O procedimento por pontos; 2) O procedimento de extensão de um traçado efetuado; 3) O procedimento de interpretação global das propriedades figurais.
Em nosso trabalho optamos pelo terceiro procedimento apontado por
Duval (2003b) que é, também, a opção de Moretti (2003). Para seguir a idéia de
Duval (1988b) necessitamos de um tratamento que esteja na associação variável
visual da representação unidade significativa da escrita algébrica e não na
associação de um ponto um par de números.
O procedimento por pontos pode produzir várias incompreensões. Por
exemplo, imaginemos que estamos trabalhando com uma parábola, por exemplo,
f(x) = x2 com estudantes que ainda não dispõem da derivada como ferramenta à
construção do gráfico. Neste caso o procedimento dá margens a questionamentos
do tipo: Professor, se temos os valores da tabela em pontos ordenados, A = (-4;16),
B = (-3;9), C = (-2,4), D = (0;0), E = (2;4), F = (3;9) e G = (4;16) por quê do ponto A
ao ponto B ou de um ponto a outro qualquer não termos uma reta e sim uma curva?
67
Observe-se que os pontos acima são proveniente da substituição de x na
função f(x) = x2 e, neste caso, o questionamento do estudante se faz em virtude do
tratamento ser através de pontos discretos com vemos nas figuras abaixo (Já
apresentadas em outra circunstância na página 28, gráfico 24).
Figura 4 - Exemplo do tratamento por pontos
Observa-se que quanto mais pontos usarmos mais próximo da
visualização de uma parábola estamos. No entanto não é possível, com este
método, afirmar que os pontos discretos, ligados entre si, formam uma parábola já
que entre dois números reais existem infinitos números. Necessitamos de
ferramentas que, por exemplo, de modo geral, no Brasil, o estudante do ensino
médio ainda não tem. Mesmo no caso da reta há o problema da compreensão do
estudante como viremos a discutir ao tratarmos da reta tangente.
Não desconhecemos aqui a importância de, nesta etapa, o estudante do
ensino médio ter, em tal procedimento, o ganho de começar a observar a formação
da curva, mas esta formação exige uma infinidade de pontos. Uma saída para
minimizar a dificuldade, neste caso, é trabalhar o conhecimento da curva
característica. No entanto este procedimento não mais dá conta quando o trabalho é
entre famílias das curvas.
Em virtude das complicações advindas do procedimento em questão,
Duval (2003, 2004) indica o uso do procedimento 3. Por isso, Moretti (2003, p. 151)
vem dizer: “contrariamente ao procedimento 1, no modo 3, o conjunto traçado / eixo
forma uma imagem que representa um objeto descrito por uma expressão
algébrica”.
68
2.3.1. A presença de Vigotsky nesta pesquisaBaquero (1998), ao discutir as idéias de Vygotsky em relação à psicologia
da aprendizagem, alinha este teórico às idéias de Duval e mostra o distanciamento
de Vygotsky das idéias de Piaget, Dilthey, em seu historicismo, e mesmo das
formulações de Pierre Janet de onde Vygotsky começou a retirar muitas de suas
idéias. A aproximação de pensamentos de Vygotsky e Duval no campo cognitivo fica
mais clara em uma das asserções, quando Baquero (1998, p. 36), citando Wertsch
(1988), vem dizer: “[...] o domínio adquirido sobre novos sistemas de representação,
ou sobre formas avançadas dos sistemas já adquiridos, implica reorganização
psicológica...que incidiram nos processo em desenvolvimento”.
Vimos que Duval (2003, 2004) traz como elemento de representação
tanto a linguagem natural, quanto às associações verbais, a argumentação, em
síntese, a linguagem. Também vimos que, para Duval, a importância maior na
representação semiótica está, fundamentalmente, na explicação das propriedades
do objeto, nos aspectos diferentes do mesmo objeto. Duval (2003, p. 24) também
vem dizer: “os mecanismos de compreensão não ressaltam somente justificações
feitas pelos estudantes – eles dependem de um funcionamento cognitivo que se
deve poder descrever”. Mas a descrição de um mecanismo de compreensão poder
ser pensado entre os objetos do mundo numa forma mais geral conforme discussão
de Eco (1976), Saussure (1916), Peircer (1931).
O ponto de vista mais específico de Duval é entendido como do sujeito
para outro sujeito ou do sujeito para ele mesmo. Assim, podemos tomar de Vygotsky
(1930b: 78) conforme Baquero (1998, p. 39), que “todo signo se tomado sua origem
real, é um meio de comunicação e poderíamos dizer, mais amplamente, um meio de
conexão de certas funções psíquicas de caráter social”. Finalmente, existe a
discussão de Vygotsky, de acordo com Baquero (1993), a respeito do domínio das
instâncias de mediação: a mediação semiótica em si mesmo. Ela é revelada quando
Baquero (1993, p.38) vem dizer: “deve-se notar que a linguagem, como exemplo das
instâncias semióticas mais versáteis e desenvolvidas, reúne a potencialidade de
poder ser dirigido e utilizado com funções e características diversas”.
Neste trabalho, seguiu-se uma idéia equivalente ao experimento levado a
efeito por Vygotsky quanto à memória, conforme relata Moysés (2004). Foram
69
apresentados gráficos de funções (símbolos como diz Vygotsky) e estabelecida uma
lista de elementos (intervalos e pontos) do comportamento da função, a fim de que o
estudante pudesse relacionar estes elementos com sua descrição geométrica. A
primeira variante, no dizer de Vygotsky de acordo com Moysés (Ibidem), tem sempre
um elemento geométrico ligado às representações (setas, símbolos algébricos,
achuramento, etc.) matemático. Assim, por exemplo, se tem um ramo crescente e
um ramo decrescente do gráfico da função e dois pontos destacando:
1 2 1 2 , f(x ) ( )x x f x e 1 2 1 2 , f(x ) ( )x x f x
Gráfico 16-Gráfico exemplo de Vygotsky
Na segunda variante, o estudante precisava descobrir a relação de [x1, x2]
com [f(x1),f(x2)]. Como, convencionalmente, define-se que, dado (a,b), sendo ba,
tomando-se b > a, o estudante deveria descobrir qual o comportamento da função
no intervalo aqui tomado como [x1, x2]. Perceba-se a semelhança deste trabalho de
Vigotsky com o que vimos trabalhando até o momento quando dizemos que o
estudante necessita reconhecer a relação entre os elementos e não apenas os
elementos. O que é, também, a idéia de Duval (2004).
Uma questão a ser levantada é saber se o pensamento de Vygotsky
relativo à teoria sócio-histórica tem alguma influência no campo de estudo da
matemática. De acordo com Moysés (2004), para Vygotsky a aprendizagem de
conceitos seria muito mais efetiva se fossem originárias das práticas sociais.
Gitirana (2006, palestra) aponta que muitos dos conceitos matemáticos nascem da
necessidade do homem em vários sentidos, incluindo a contagem, as trocas, os
débitos e créditos, etc. Neste sentido, a presença de Vygotsky no trabalho está
evidenciada.
70
Moysés (Ibidem), em sua abordagem sobre Vygotsky com a educação
Matemática, trata do assunto de modo específico. Preparando-se para uma
abordagem mais direta, Moysés (2004, p.59) vem dizer:
A última década viu se acirrarem as críticas contra a forma como a escola vem trabalhando os conteúdos escolares. A matemática não é exceção. Ao contrário, talvez seja um dos campos onde melhor se observa o fenômeno do “encasulamento” ou “encapsulamento” da escola.
O embricamento das idéias de Vygotsky com a Matemática no campo da
Educação Matemática, fez surgir a etnomatemática ou, como vem dizer Moysés
(2004, p.63): “ao deslocar seu eixo diretor para os aspectos socioculturais, a
educação matemática acabou criando uma nova área de pesquisa: a
etnomatemática”.
D’Ambrosio apud Moysés (2004, p.63) afirma: “[...] é um programa que
visa explicar os processo de geração, organização e transmissão de conhecimento
em diversos sistemas culturais e as formas interativas que agem nos e entre os três
processo”. Moisés (Ibidem) sugere que, assim, D’Ambrosio (1990) reconhece no
pensamento de Vygotsky a força na criação de uma nova forma de “ver” a
matemática. D’Ambrosio (1998, Introdução de aula) vem dizer mais precisamente:
Etnomatemática é uma proposta política, embebida de ética, focalizada na recuperação da dignidade cultural do ser humano. Já é tempo de parar de fazer dos trajes tradicionais dos povos marginalizados fantasias, dos mitos e religiões desses povos folclore, da medicina desses povos crime. E da sua matemática curiosidades.
De acordo com Luria (1976), Vygotsky inclui em seus trabalhos discussão
sobre atividades cognitivas básicas do individuo, afirmando que o componente
histórico-social, ou socio-histórico é o produto final da relação do indivíduo com a
história na sociedade comunitária da qual faz parte. Assim, a determinação dos
fatores congênitos na formação e estruturação das habilidades cognitivas dos
indivíduos, para Vygotsky, resultam, de acordo com Schütz (2004, Artigo 2):
[...] das atividades praticadas de acordo com os hábitos sociais da cultura em que o indivíduo se desenvolve. Conseqüentemente, a história da sociedade na qual a criança se desenvolve e a história
71
pessoal desta criança são fatores cruciais que vão determinar sua forma de pensar. Neste processo de desenvolvimento cognitivo, a linguagem tem papel crucial na determinação de como a criança vai aprender a pensar, uma vez que formas avançadas de pensamento são transmitidas à criança através de palavras. (Murrau Thomas & Wesley, 1993)
Ao se referir às deficiências pedagógicas e curriculares como sendo parte
indissociável do processo formativo dos docentes, Severino (2004) apud Rego
(2004, p.12) vem dizer: “a falta de mediações e de recursos culturais dificulta muito a
apropriação, por parte deles, desses elementos que dêem conta da íntima
vinculação da educação com seus fundamentos teóricos”.
Ainda de acordo com Rego (2004, p.31): “Vygotsky e seus seguidores se
dedicavam principalmente à construção de estudos piloto que pudessem atestar a
idéia de que o pensamento adulto é culturalmente mediado, sendo que a linguagem
é o meio principal desta mediação”. Corroborando com essa visão, vemos que
Vygotsky, em seus escritos, não estava simplesmente preocupado com a linguagem
verbal. São obras de Vygotsky: os princípios da educação social de crianças surdas-
mudas (1925), o consciente como problema da psicologia do comportamento (1925),
o instrumento e o símbolo no desenvolvimento das crianças (1930).
A percepção visual, aqui tratada enquanto linguagem, tem-se mostrado
de grande importância na compreensão de teoremas, definições e conceituação
matemática conforme se pode ver na introdução observando-se o contexto de uma
metodologia contemporânea. Desta forma o desenvolvimento das aptidões no ser
humano parece fortalecido ao se utilizar símbolos que possam refletir objetos de
aprendizagem, no caso do Gráfico de funções, não abordados inicialmente com
formalizações, mas por notações advindas dos primórdios desta ciência e, portanto,
vinculadas a relação sócio-histórica atual. E aqui enfatizamos a questão sócio-
histórica da historia da matemática.
Não sugerimos negar a importância da construção formal da matemática,
mas sim de se ter uma postura atual na qual essa construção seja antecedida de
informações por meio de elementos visuais, se possível, do dia-a-dia do estudante.
Assim, propomos, em um primeiro momento, evitar-se simbologias como as contidas
na definição formal de limite onde se tem: seja f uma função definida para todo
número em um intervalo aberto contendo ‘a’, exceto possivelmente em ‘a’. O limite
72
de f(x) quando x tende a “a” será ‘L’, escreve-se
lim ( ) = Lf xx a , se a afirmação de
que, dado ε > 0 qualquer, existe um δ > 0, tal que se 0 < |x-a| < δ então |f(x) – L| < ε
for verdadeira.
Nesse caso propõe-se que, primeiro o estudante tenha o gráfico de uma
função onde possa verificar visualmente essa questão, verificar suas
particularidades, discutir sobre elementos visíveis e, se possível observáveis para,
então, se fazer tal transcrição. Esta etapa é muito importante pois vai trazer algo que
a maioria dos estudantes têm dificuldade, bastante justificáveis, de não entender: A
definição de limite prova se o limite calculado está correto em sua resposta e, no
entanto, não se presta ao cálculo do limite. Sua importância é questionada pelo
estudante mesmo porque, em geral, no cálculo mais simples, encontra-se o erro na
regras operacionais.
De acordo com Moysés (2004), Vygotsky, fazendo uma aproximação com
Karl Max que “concebeu o instrumento mediatizando a atividade laboral do homem”.
Moysés (2004, p.23), concebeu a noção de que o signo não apenas vem “dialogar”
com o pensamento, ele vem trabalhar a socialização humana em um processo de
mudanças na qual a presença do homem no meio o modifica, ao tempo em que por
ele é modificado. Por essa via, Vygotsky, de acordo com Moysés (2004, p.23), vem
considerar como signo:
[...] a linguagem, os vários sistemas de contagem, as técnicas mnemônicas, os sistemas simbólicos algébricos, os esquemas, diagramas, mapas, desenhos...Sua idéia básica é a de que, ao usá-lo o homem modifica suas próprias funções psíquicas superiores (Vygotsky, 1981a, p.137).
De forma análoga, pesquisadores da PUC-RIO, na Apresentação de
Projeto, vêm dizer: “a imagem é, portanto, concebida como forma de narrativa que
atravessa múltiplos aspectos da vida do homem contemporâneo, constituindo-se
como um dos grandes desafios para os estudos no âmbito das ciências humanas”.
73
CAPÍTULO 4 – Funções Polinomiais
2.3.2. Função PolinomialNeste trabalho, focamos a função polinomial fracionária de até terceiro
grau, com coeficientes e termos independentes pertencentes aos reais. Para
determinarmos este tipo de função, tomemos, inicialmente, a função racional
polinomial inteira mais elementar, que conhecemos como função linear cuja notação
mais comum é: ( )f x ax b , onde a e b são números reais conforme definido acima.
Ao dizermos que esta é uma notação, queremos dizer que existem várias outras
notações para esta função. O que determina a função em questão como função
polinomial é o fato dela poder ser expressa por um polinômio. E, no caso específico,
possuir as seguintes características:
Tem uma variável independente, x, e esta variável possui um expoente 1
Se o expoente da variável x é Zero, temos a função polinomial constante;
Possui um coeficiente angular, a; (Dado que nossa abordagem focaliza o calculo
diferencial, a declividade se confunde com o coeficiente angular da função polinomial uma
vez abordada na mesma escala de valores).
Possui um termo independente,b.
Portanto as funções polinomiais inteiras ou polinômios aqui tratados são
do tipo:
2
3 2
) ( ) , b , ii) f(x) = ax + b, (a,b) , a 0
iii) f(x) = ax bx + c, (a,b,c) , a 0
iv) f(x) = ax +bx +cx + d, (a,b,c,d) , a 0
i f x b
Isso porque o trabalho foca apenas polinômios de grau máximo igual a
três e que são classificados, quanto ao seu grau, de acordo com o maior
expoente de x. Assim, a função (i) é uma constante e o grau de seu polinômio é 0
(Zero); a função (II) é uma função linear e seu grau é 1; a função (iii) é uma
parábola e seu grau é 2; a função (iv) é uma cúbica é seu grau é 3. No caso
particular da função f(x) = 0, pode-se dizer que o polinômio não possui grau
definido. Alguns matemáticos preferem dizer que o grau é infinito ou tende para
infinito. Estas duas últimas considerações, além de não trazem problemas de
“incompatibilidade” matemática, estão acima de sua discussão neste trabalho.
74
Em termos gerais podemos dizer que, como não teremos tempo de
discutir toda a teoria dos polinômios neste trabalho, estamos tomando que o leitor já
tenha o mínimo conhecimento a respeito do assunto para saber, por exemplo, que
uma função polinomial, digamos, 3 2( ) 4x 5 4f x x x , pode ser escrita como
soma e / ou adição e / ou subtração de polinômios. Assim, podemos escrever o
polinômio f(x) = h(x) + g(x) com h(x) = 34x e g (x) = 25 4x x . O grau do polinômio
é o grau de h(x) conforme já definido. Por outro lado se tomarmos h(x) = 22x , g(x) =
2x e z(x) =25 4x x , então dado f(x) = h(x)g(x) + z(x), observaremos que o grau
do polinômio é o grau do produto h(x)g(x).
O fato de podemos multiplicar, somar e subtrair polinômios nos permite,
então, obter uma generalização para os polinômios. Assim dizemos que funções
polinomiais inteiras são funções do tipo:
+0 1 ( ) ... , n 0 / n Zn
nf x xa a a x
Expressão 10
Alguns autores dizem da necessidade de 00a
. Esta é uma
discussão que não faremos aqui. Apenas tomamos que no caso de
0 1 2 .... 0na a a a , o polinômio será tido como polinômio nulo. A
forma de obtermos as funções racionais fracionárias, é dividindo o polinômio f(x)
acima por outro polinômio de mesmas características conforme mostramos abaixo.
Assim, dado
0 1( ) ...b m
mg x xb b x ,
Expressão 11nas condições de f(x) na expressão acima (10), g(x) 0 , temos que
0 1
0 1
...( )( )( ) ...
nnn
n
a a x a xf xh xg x b b x b x
Expressão 12
Uma discussão mais avançada seria trabalhar, o fazer a divisão de ( )( )f xg x a
fim de achar o seu resultado que pode ou não conter um resto. Para o leitor mais
75
curioso e mais afeito à matemática, vamos trazer esta discussão da seguinte forma:
Seja o polinômio 1
1 1 0( ) ...n nn n nf x a x a x a x a
com 0na e n 0 .
Expressão 13Aqui queremos lembrar que f(x) = b é um polinômio mas que
f(x) = 02x -2x+1 não tem grau 2 e sim grau 1 uma vez que o grau é conhecido depois
das operações. Como 02x =0 então o polinômio é f(x) = -2x +1. Retornando à nossa
discussão, dizemos que um polinômio ( )nf x divide (ou é dividido, a depender de
quem tem o maior grau) por outro polinômio m( ), g 0mg x . A condição para esta
divisão, já tomado o grau de f maior do que o grau de g, é que exista um polinômio
( )kq x tal que
( ) ( ) ( )m k ng x q x f x Expressão 14
se, e somente se, n +k = m.
A divisão entre dois polinômios (como nos reais) nem sempre é exata.
Podemos ter como resultado um quociente e um resto. Quando isso ocorre obtemos
algo como:
( ) ( ) ( ) ( )m k ng x q x f x r x , Expressão 15
Neste caso o grau de r(x) varia de 0 a n-1. O teoremas que garante a
existência do quociente
( )( )f xg x pode ser assim declarado:
Teoremas I – sejam n e fmg polinômios de graus m e n respectivamente.
Então podemos mostrar que mg pode ser expresso como mg = k nq f r com kq e r
sendo polinômios e o grau de r menor que n.
A demonstração deste teorema é simples e pode ser encontrada em
qualquer livro de cálculo que traga a Teoria dos Números e Frações Parciais. O
76
leitor tem apenas de se preocupar com as notações que são diferentes em alguns
autores. Moise (1970, p. 437) por exemplo, traz a mesma notação que usamos aqui.
Atentemos agora para o fato de que, neste trabalho, o n da expressão 10,
página 84, é, no máximo 3. Evidentemente se m = n, nosso h(x) = b, b .
2.3.3. Conceito de Derivada de função polinomial fracionária.
Tomemos ( )( ) , g(x) 0( )f xh xg x
, onde f e g são polinômios. O interesse
principal se encontra no esboço do gráfico da função polinomial fracionária. Evidente
que as funções polinomiais fracionárias racionais de até terceiro grau podem ou não
ser divisíveis. Porem estamos interessados nas funções polinomiais fracionárias
racionais de até terceiro grau impróprias (as não divisíveis) das quais queremos
saber qual seria a derivada. Seja a derivada desejada. Anotemos como h’(x).
A discussão sobre a Derivada, historicamente, está colocada como
preocupações de Newton e Leibnitz, muito embora Fermat (1601 – 1665) tenha
conseguido desenvolver uma forma de encontrar os maiores e os menores valores
locais de uma curva (os atuais extremos locais) e Richard Courant (1988 – 1972)
tenha observado que: “ o cálculo foi fruto de uma luta intelectual dramática que
durou 2500 anos”14.
A história da matemática credita a Newton e Leibnitz os principais
conceitos sobre derivadas por volta do século XVIII. A idéia mais simples para o
entendimento da derivada é da reta tangente a uma circunferência. Moise (1970, p.
43) diz que: “ Uma reta tangente a um círculo é uma reta (no mesmo plano) que
intercepta o circulo em um e apenas um ponto”. Tomemos a figura abaixo, a reta
que passa por P e toca os dois eixos, é o que denominamos tangente à
circunferência. E o ângulo que esta reta forma, no sentido contrario aos ponteiros do
relógio a partir da interseção da reta com o eixo horizontal, é o declive desta da
tangente que vem a ser a derivada de um função convenientemente escolhida para
o caso e que passa por P. O entendimento da derivada, no entanto, não é sempre
tão simples.
14 http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/histderivada.htm
77
Gráfico 17 - Figura da tangente a uma circunferência
Seja então o gráfico abaixo.
Gráfico 18- Definindo Derivada através da secante. Fonte: Thomas & Wesley (2002, p.132)
A questão da derivada está ligada à reta tangente na seguinte
perspectiva. Observamos que a reta PQ
é uma secante à curva vermelha. Suponha
que desejamos determinar a derivada da função (curva em vermelho) no ponto P
(significa P fixo). A idéia, então, é deslocar o ponto Q em direção ao ponto P por
sobre a curva em vermelho. Notemos que, neste sentido a distância entre a secante
¨PQ
diminui implicando em h também diminuir. Tomemos, então o ângulo que PQ
faz com (x0;f(x0)) e (x0+h;f(x0)) como
78
Ora se Q tende para P, h tende para zero e, portanto, 0x h tende para x0. Isso significa que dada a
0 0( ) ( )sec f x h f xh
Expressão 16.
Aplicando-se o 0limh na expressão 16 acima, temos:
0 0
0
( ) ( )( ) limh
f x h f xtag
h
=derivada de f(x).
Expressão 17
O que dissemos aqui foi que o declive da reta tangente em um dado
ponto, é a derivada da função neste ponto. Isso nos leva a formula de derivada de
polinômio simples:
0 0
0
( ) ( )'( ) limh
f x h f xf x
h
Expressão 18
A partir desta fórmula, temos as derivadas de todos os polinômios. Assim:
1) 0' ycy
2) ayaxy '
3) '.'. ucyucy
4) ''' vuyvuy
5) )'.()'.('. uvvuyvuy
6) y = vu
y ' =
2
'.'.v
vuuv
com v 0 .
79
CAPÍTULO 3 – Revisão da Literatura
3. Revisão da Literatura
Para este tópico tratamos de pesquisar material em teses, dissertações,
artigos e livros que nos pudessem situar quanto ao que se tem feito na direção de
nossa pesquisa. Evidentemente que, enquanto tese, que pretende trazer algo inédito
à academia, as contribuições têm similaridade apenas para o aspecto geral. O
vínculo dos trabalhos aqui apresentados com a nossa pesquisa vai desde trabalhos
efetuados com base na representação semiótica, às contribuições que envolvem
propostas de “alternâncias” metodológicas na apresentação de “entes” matemáticos
através do computador.
O fato da Teoria dos Registros de Representações Semiótica de
Raymond Duval ainda não ser uma teoria de fundamentação como as teorias de
Vygotsky, Piaget, SKinne ou mesmo Brousseau, nos leva a uma revisão de literatura
que, apesar de possuir como ponto fundamental o objeto desta pesquisa, focar
trabalhos que, também, se fundamentassem em nosso teórico base: Raymond
Duval. Neste sentido, buscamos não fazer distinção entre os trabalhos no ensino
médio e aqueles tratando do ensino superior, muito embora Duval (2003) fale de
diferenças de bloqueio entre o nível fundamental e médio (nomenclatura equivalente
do sistema de ensino francês no brasileiro) e o nível superior.
Este teórico vem dizer que, para responder as questões de nossa
necessidade de compreensão das dificuldades que estudantes têm na
aprendizagem de matemática - qual a natureza desta dificuldade e onde se
encontram – há a necessidade de uma abordagem cognitiva. O alerta de Duval
(2003, p.11), focando o ensino fundamental e médio é assim posto: “[...] o objetivo
do ensino de matemática, em formação inicial não é formar matemáticos ...”.
Ao tratar das crescentes dificuldades, bloqueios ou necessidades nos
diferentes níveis de ensino, Duval (2004) aponta que, quanto maior a necessidade
de mobilização de registros, maior o nível de bloqueio ou de fracasso dos
estudantes. Como a matemática é, por natureza, ascendentemente complexa,
tomamos o cuidado de, neste item, tratarmos dos trabalhos originados do ensino
médio dentro de uma perspectiva que não dessem margens a conflitos.
80
Não vemos aí uma “área nebulosa”. Há a clareza, a partir de estudos
mais gerais como de Eco (1976), Saussure (1916) e Peirce (1931), de que a
semiótica em si é genérica, generalizadora. Duval (1994) mostra que as dificuldades
da álgebra elementar com base nas representações semiótica frente à álgebra
superior, apesar de guardar diferentes níveis de bloqueios, não invalida a teoria seja
focando este ou aquele nível de conteúdo matemático. Assim se para um estudante
‘A’, iniciante em matemática, existe um determinado nível ‘K’ de dificuldades na
compreensão da resolução de 2x = 4 e para um estudante ‘B’ do ensino superior se
tem um certo nível ‘N’ de dificuldades na compressão da solução da 4
2
2
1x x dx , Duval (Ibidem) nos diz da necessidade de ‘B’ mobilizar mais
representações, configurando um crescente nível de dificuldade. Neste caso,
devemos acreditar que o nível de dificuldade ‘K’ é maior do que o de ‘N’, o que já
vimos ser assegurado por Duval (2003, 2004).
Tall, Monaghan e Sun apud Giraldo (1993) & Carvalho (2002),
pesquisando em duas escolas inglesas, verificaram que os estudantes submetidos
ao estudo de derivadas de funções de modo tradicional, foram capazes de dar
explicações teóricas satisfatórias, mas nenhum conseguiu dar um exemplo de
função. Enquanto os estudantes submetidos ao estudo de derivada usando o
software Derive, não deram explicações teóricas satisfatórias no entanto, alguns
deram exemplos. Dado ao trabalho ser conduzido tradicionalmente, apenas
inserindo-se em uma turma um software, isso nos leva tanto à discussão de Duval
quanto à discussão de Meier et all (2005) ao formular que o software, por si só, não
melhora as condições de aprendizagem.
Muito embora não estejamos voltados, especificamente, para a instrução
gráfica via computador, o fato de havermos usado software indica que o defendemos
como elemento colaborativo na aprendizagem do esboço de curva de função. São
vários os pesquisadores que defendem o uso do computador nesta direção como o
faz: Meier et all (2005) que, ao tratar dos softwares gráficos no ensino e
aprendizagem de Matemática discute vários aspectos, inclusive o das formas
geométricas; Gitirana (1996) que investigou a percepção e interação de estudantes
81
em relação a funções dentro de uma perspectiva gráfica com o uso dos softwares
Function Probe e DynaGraph (em dois modelos).
Gitirana (1996), usando estes softwares onde o Function Probe (FP)
permitia transformar um gráfico em outro no plano cartesiano por meio de alterações
nos gráficos e as versões do DynaGraph (DG) que permite aos estudantes
observarem o que acontece com o valor da função f(x) no ponto X Df quando x
varia, levanta que muito embora o DG tenha desencadeado uma iniciativa de
percepção do estudante livre de limitações prévias, os estudantes nem sempre
identificam as propriedades das funções enquanto o FP ajudava na "exploração das
propriedades das funções” conectadas ao conhecimento escolar.
Ao discutir a aquisição de conceitos matemáticos como: formas
geométricas, medidas, matrizes e transformações geométricas, através do uso de
softwares gráficos (Imagine e Shapari), Meier et all (2005, p.1) vem dizer: "Podemos
criar atividades nesses softwares que potencializam a utilização desses conceitos,
de maneira lúdica e interessante, sem necessitar a memorização de fórmulas e
regras”. Enquanto Lamounier et all (S / A) vem descrever a importância de um
sistema computacional. De acordo com Lamounier et all (S / A, p. 4), no seu item
Detalhes de Desenvolvimento:
Este modelo teve como objetivo eliminar a organização linear e unidimensional dos conteúdos curriculares formados pelos modelos tradicionais de ensino, e criar um sistema multidimensional e interdisciplinar para a organização e distribuição dos conceitos científicos.
Por outro lado pesquisadores como Tall (1991), vem discutir o fato das
abordagens no ensino superior fazerem foco, quando do ensino do cálculo, no
produto do pensamento matemático, deixando-se o processo do pensamento, que é
outro objeto, matemático em um segundo plano ou mesmo não se preocupando com
ele e, desta forma Tall (Ibidem) vem convergir com a linha de pensamento que
busca uma apropriação dos objetos matemáticos através de processos que
consigam evidenciar, em primeiro lugar, as características do objeto em si mesmo
que são, respectivamente, a concepção operacional e a concepção estrutural no
dizer de Sfard (1989,1991).
82
Perceba-se que a semelhança do pensamento dos pesquisadores citados
com o que apresentamos, dá-se na medida em que se busca alternativa que venha
a alterar a metodologia tradicional ou, pelo menos, se estuda a inserção de
elementos (no caso, a tecnologia), em função da aprendizagem de matemática.
Ainda que os trabalhos sejam melhor classificados como uma análise dos softwares
no ensino de matemática, fica evidenciada a tentativa de contribuir com a
metodologia do ensino de matemática.
A síntese é que todos estão dirigindo seus esforços intelectuais a fim de
fornecerem pistas que favoreçam a investida do estudante na matemática sem o
tradicional trauma, e com uma melhor apropriação metodológica. Por outro lado, até
onde pudemos observar, como já exposto, temos dificuldades de encontrar trabalhos
na área de educação no ensino superior envolvendo matemática de modo geral e de
modo particular esboço de gráfico de funções. Esta é uma dificuldade uma vez que,
conforme Baquero (1998, p. 42):
Para a criança pequena, pensar significa lembrar; no entanto para o adolescente, lembrar significa pensar. Sua memória esta tão ‘logicizada’ que lembrar se reduz a estabelecer e achar reações lógicas; reconhecer é descobrir aquele elemento que a tarefa exige que seja achado.
A bibliografia existente nos tem mostrado o grande esforço dos
pesquisadores em artigos, livros, etc., no sentido de encontrar metodologias que
venham a alterar a forma como se vem ensinando as ciências de modo geral, e a
matemática de modo particular, a partir do entendimento de que a abordagem atual
não mais vem dando conta de um aprendizado eficaz. As mudanças no mundo se
deram em vários sentidos e estas mudanças incidem sobre diversas atividades,
acabando por provocar a necessidade de alterações nas relações humanas de
modo geral e, particularmente, na relação de ensino-aprendizagem.
No âmbito da Educação este esforço, pelo menos a nível de Brasil,
centra-se no ensino fundamental e médio, existindo pouco investimento intelectual
direcionado para o ensino superior quando se trata de matemática.
No caso particular do ensino superior, esse investimento se dá através da
proposta de se inserir o computador, com softwares e calculadoras específicas como
83
ferramenta de auxilio na aprendizagem. De fato, em nosso trabalho também
constatamos a importância do computador, com softwares, para o estudo de
matemática. No entanto, não nos detemos neste aspecto da aprendizagem. Usamos
a ferramenta em questão como suporte, e não com foco do trabalho. Assim,
computador e softwares entram na pesquisa como instrumento de agilização, da
aceleração na apresentação do elemento estudado. Neste caso, estamos cientes de
que mexemos no “tempo do professor” e no “tempo do estudante”.
No caso particular de gráficos de funções, os softwares auxiliam de
diversas formas. Por exemplo: enquanto nosso desenho do gráfico na lousa, à mão
livre fica, geralmente, tão fora da realidade que pode levar o estudante a uma
concepção errônea, o desenho do gráfico através dos softwares traz uma
aproximação quase que denotando a realidade matemática. O software nos permite
mostrar aos estudantes, em poucos segundos, várias alterações do gráfico
alterando-se elementos da expressão. O que demanda bastante tempo se
trabalharmos a mão livre.
Tomemos por exemplo a função 3 2( ) 4f x x x x . Usando o software
Estudo de Funções mencionado no item 1.3.1, página 20, em poucos segundos
mostramos o que acontece com o gráfico ao alteramos a constante. Trocamos 4 por
0 (Zero), depois por – 4,obtemos, rapidamente uma mostra da família deste
polinômio:
Gráfico 19-Gráfico explicativo de família de curva
84
Seguindo este mesmo procedimento trazemos o gráfico:
Gráfico 20- Família da curva 3( )f x x c . Fonte: Thomas & Wesley (2002, p.321)
Podemos observar diversas alterações sobre: raiz, concavidade, ponto de
inflexão, região de crescimento e região de decrescimento. Ainda poderíamos fazer
várias alterações de modo rápido e eficaz. Os softwares gráficos trazem uma grande
colaboração no estudo do gráfico e, assim, na aprendizagem, conforme a bibliografia
tratada. No entanto, não podemos esquecer o que Duval (2004) nos diz da falta de
aquisição de conhecimento por parte do estudante se nos contentamos apenas com
este sistema “acelerador” das informações. Isso significa que o uso do computador
como aqui colocado, do ponto de vista de Duval (Ibidem), não produz noesis.
E precisamos ficar alerta para o fato de erros de informação que os
programas trazem. Em breve chamaremos a atenção para este fato. Veremos, a
partir deste momento, que uma contribuição deste trabalho é constituir-se em um
85
material centrado em uma pesquisa em educação com foco no ensino superior. Para
isto acrescentamos a este parte inicial de nossa revisão de literatura, autores de
trabalhos que, de uma forma ou de outra convergem para nosso propósito de
pesquisa. Para nosso objeto.
Alguns resumos dos trabalhos pesquisados estão alinhados com a idéia
acadêmica de um resumo: fornecer uma explanação fiel, clara e sucinta do trabalho.
Enquanto outros resumos nos parecem fugir desta idéia. Deste modo trazemos,
quando consideramos pertinente, o resumo do trabalho do autor seguido de uma
discussão sobre o trabalho fazendo um recorte a fim de abordar elementos da
pesquisa que estejam o mais próximo possível do nosso objeto.
Cáceres & Arceo. Resumo: “Este documento apresenta um esboço da
problemática do ensino-aprendizagem das equações diferenciais de
primeira ordem. Este relato ilustra as dificuldades que se podem
apresentar quando se busca a coordenação dos registros de
representação gráfico, numérico e algébrico em uma situação tradicional
de ensino ( Hernandesz, 1999)...aqui se vê a ênfase como se radica a
interpretação geométrica das equações diferenciais e as famílias de
soluções..."
Os autores trabalham com o software derive buscando mostrar a
importância dos gráficos das equações no ensino das Equações Diferenciais
Ordinárias - EDO. De fato, o estudo de equações diferenciais (ordinárias ou não)
parece exigir a representação figural. Os autores vêm dizer que se deixando de lado
a interpretação geométrica, a conceitualização torna-se parcial neste tópico
matemático. Do mesmo modo que observamos as dificuldades dos estudantes no
esboço de curva, os autores deste trabalho observam que os estudantes não
conseguem resolver problemas que envolvem, simultaneamente, registros de
representações distintos.
A proposta principal para o ensino das equações diferenciais é, então, a
da visualização. A visualização geométrica da família das curvas, conforme já
discutimos, (Vide gráfico 5 e 7, página 17-18), se revela de grande importância no
86
aprendizado do estudante. De acordo com Hitt y Sandoval (2001) apud Cáceres &
Arceo (2002, p.189) “[...] a visualização matemática está relacionada com uma visão
global, integradora, holística, que articule livre de contradições de diferentes
representações”. Duval também chama a atenção para esta questão quando diz da
dificuldade e, ao mesmo tempo da necessidade, do estudante compreender o objeto
a partir de representações distintas. Do mesmo modo que Duval (Ibidem) Moretti
(2003) percebe as dificuldades no trato com uma matemática mais avançada.
E nos parece claro que os pesquisadores Cárcere & Arceo também têm
esta percepção ao formularem que o software Derive não dá conta de um trabalho
envolvendo as famílias de gráficos em EDO que, como vimos à página 7, quando é
de primeira ordem quase sempre sua solução representa a família de uma curva.
Para os autores o Cabri-Géomètre proporciona melhores condições de ensino de
EDO uma vez poder-se, com este software, representar-se e articular-se,
dinamicamente, diferentes registros de representações (diríamos registros ou
representações).
Em virtude das complicações advindas do procedimento em questão,
Duval (2003, 2004) indica o uso do procedimento 3. Por isso, Moretti (2003, p. 151)
vem dizer: “contrariamente ao procedimento 1, no modo 3, o conjunto traçado / eixo
forma uma imagem que representa um objeto descrito por uma expressão
algébrica”.
Giraldo & Carvalho (2002).
Resumo: “Apresentamos e analisamos algumas atividades para ensino de
funções com recursos computacionais, direcionadas a estudantes de graduação e
professores de ensino médio. Procuramos estimular a conexão entre as três
representações fundamentais de funções (analítica, gráfica e numérica) a partir da
análise crítica de resultados muitas vezes inesperados fornecidos pela máquina”.
Este é um dos estudos bastante elucidativos de, pelo menos, dois pontos
que nos interessam de modo direto. Os autores mostram complicações ao se usar,
na construção de um gráfico, o software Maple. No caso observaram um problema
87
de janela, e o que deveria ser a raiz quadrada de x ao quadrado mais um ( 2 1x ),
foi grafada como módulo de x (|X|).
O estudante experienciador sabia, aritmeticamente, que a função era
derivável em ZERO. No entanto, pelo gráfico, a derivada não existia. Posto o
conflito, os pesquisadores propuseram um ZOOM na tela. A partir desta atividade, o
estudante pode perceber que se tratava, graficamente, de uma curva parabólica e
que havia tangente em ZERO, o que significa a função ser derivável em ZERO e,
portanto, continua neste ponto.
Neste trabalho os autores acabam por circundar as idéias de Duval
quando “indexam”, para a compreensão, representações em Sistemas Semióticos
diferentes. Tratando do mesmo objeto matemático Giraldo & Carvalho (2002, p. 115)
nos traz:
1( ) , 11
f x xx
e o gráfico respectivo
Gráfico 21 -Giraldo & Carvalo
Os autores, após sua investigação, acabam discutindo a necessidade de
uma reversão para o impasse de o software mostrar o gráfico diferentemente do que
ele realmente é. Como eles pensam esta reversão?
De acordo com os autores, a reversão pode ser propiciada com o auxílio
de duas representações. Estas representações devem ser computacionais e não-
88
computacionais. A solução para o problema foi contornado pelos pesquisadores
como o ajuste da janela de saída (output).
A importância maior desta pesquisa em relação a nossa está no fato de
que o estudante, denominado pelos autores de Francisco, acabou mobilizando
representações algébrica, computacional (deu um zoom) e geométrica e, portanto,
trabalharam com representações. Por fim, fez aquilo que Duval cobra para o
entendimento: descreveu sua atividade cognitiva. Reproduzamos, na integra, a
discussão de Francisco de acordo com Giraldo & Carvalho (2002, p. 07)
Agora tá aí, uma boa questão. [...] Isso aqui tende a ser uma reta, mas não é uma reta? [...] Aí, agora, me pegou! Eu sei que é derivável! Deixa eu ver. [...] Aí, eu vou ter que derivar ela para pensar se é uma reta ou não.[calcula a derivada]Olha! Essa função é derivável, mas vai ter uma inclinação diferente para cada ponto. Não é como a função módulo que não é derivável no ponto (0; 0), mas tem a mesma derivada do lado x positivo e mesma derivada do lado x negativo para todos os pontos. Essa função não, ela vai se aproximar no ∞+ e no -∞ da função |x|. Vai se aproximar, mas para cada ponto vai ter uma derivada diferente.
Dall'anese (2000).
Este é um dos trabalhos no qual optamos por não trazer o resumo
conforme colocamos na apresentação deste capitulo. Aqui podemos observar mais
uma preocupação com o ensino de Conceitos no Cálculo Diferencial. Dall'anese
inclui a integral, o que amplia a discussão, uma vez que nos detemos, por enfoque
particular, no esboço de gráfico de função usando a derivada. A discussão se dá
sobre a existência de dificuldades na aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral
e a proposta é apresentar uma seqüência didática no intuito de diminuir esta
dificuldade. Então são apresentados alguns motivos para a dificuldade da
aprendizagem matemática e conseqüências da forma de condução das aulas.
1 - A questão das aulas expositivas onde se apresentam os elementos
constitutivos do cálculo como definições, propriedades;
2 - A mecânica dos exemplos através de listas de exercícios;
3 - O alto índice de reprovação decorrente destas mecânicas;
89
4 - O alto índice de evasão escolar.
Estes são alguns dos problemas que vêm levando pesquisadores da área
de Educação e da Didática da Matemática a tentarem diagnosticar a problemática e
propor novas metodologias de ensino para esta ciência como um todo, e para o
cálculo de modo particular. A discussão de Dall'anese (2000) perpassa pela, já
comum, investigação do uso do computador. Como já pudemos ver, esta ferramenta
tem grande valor de suporte na busca de novas formas de se apresentar esta
ciência. No entanto, também vimos que o computador é tão somente uma
ferramenta. Não se vai resolver o problema apenas com a inserção do computador
na escola. O problema do ensino é uma função de várias variáveis como melhoria
das condições da escola (em termos de materiais didáticos, estruturais, etc.),
melhoria nas condições salariais dos professores, melhoria nas condições
socioculturais dos estudantes de modo particular e da sociedade de modo geral, etc.
Ainda assim, não garantimos uma mudança vultuosa se não mudarmos a visão
educacional dos agentes envolvidos. Isso vai demandar mudança de atitude cultural
através de mudança psico-metodológica.
Para essa asserção podemos nos basear, por exemplo, em Valente
(2006) quando vem dizer: "portanto, a melhoria do aspecto físico da escola e do
salário do professor deve ser acompanhada de uma mudança pedagógica". Evidente
que a mudança pedagógica não é criada pelo computador. Como já dissemos de
uma máxima da computação: O computador só faz o que o programador 'mandar' e
isso tem de ser de forma inequívoca.
A idéia principal do autor foi a de “convencer” o estudante de que ele
ainda não tinha os pré-requisitos necessários para trabalhar com a derivada. E esta
é uma questão que discutimos ao tratarmos da reta tangente a uma curva em um
ponto. Desta forma sua investigação que se deu com estudantes que não haviam
travado conhecimento com os elementos necessários ao trabalho com taxa de
variação, enquanto os estudantes de nossa pesquisa já haviam passado por esse
processo, apresenta como uma das diferenças o foto “convencer” em ralação à
nossa proposta metodológica que é o por que?.
90
Não há nenhuma incompatibilidade entre as pesquisas, uma vez não
afirmarmos que os estudantes, por terem visto o conteúdo, tenha-se, no dizer de
Duval (2003, 2004), passado ao processo de semiosis. Nossa preocupação pode
assim ser reelaborada: se os estudantes já passaram pelos cálculos, travaram
conhecimento com duas representações do mesmo “ente” matemático, o limite e a
derivada, como não entendem o que é reta tangente? Na discussão que fizemos,
pudemos apontar alguns motivos para essa dificuldade. Motivos estes que vinham
desde o ensino médio onde os professores, por uma dificuldade epistemológica,
acabavam por fornecer informações que, mais tarde, se deparariam com outras
absolutamente distintas provocando um “entrave cognitivo” nos estudantes. Um
exemplo disso é a compreensão de divisão.
Para o estudante no ensino fundamental, de modo geral, divisão é
sinônimo de diminuição. Uma questão do tipo: tenho uma maçã e divido em quatro
partes... antes mesmo do final da pergunta o estudante entende que aí houve uma
diminuição. No caso do cálculo, é muito difícil o estudante compreender que
diminuindo o denominador há um aumento no número. Corriqueiramente, não se
chama a atenção para o fato da diferença entre o valor do limite da função e o valor
da função. O dilema do estudante põe-se, então, na questão: Dada a função
1( ) , x = 0 (0) 0f x fx
.
O estudante vê o limite abaixo e o conflito cognitivo naturalmente se
instala.
lim 10x x
.
Dizemos naturalmente, uma vez que este é um conceito de alto nível de
complexidade. Relatamos a preocupação de Descartes com o declive da reta
tangente que foi alvo de discussão por todo um século. A compreensão sobre a reta
tangente não é mais complexa do que o reconhecimento do limite acima, ainda mais
quando estamos colocando em um lado a dificuldade de um Descartes e do outro de
um estudante de capacidade média. É, de fato, difícil compreender que o limite
esteja tão próximo do infinito quanto desejarmos e ao mesmo tempo saber que este
desejo não inclui o infinito.
91
William (2004).
Resumo: “Esta pesquisa examina como as atividades e as avaliações
desenvolvidas pelo professor de Cálculo, no contexto das exigências do curso do
estudante, influenciam a aprendizagem. É uma pesquisa do tipo estudo de caso, na
qual estudantes da Universidade Estadual de Campinas cursando a disciplina
Cálculo de Várias Variáveis participaram em uma série de conversas sobre
conceitos e exercícios referentes ao teorema dos multiplicadores de Lagrange... nas
interações do estudante com a Matemática, e tendo como referencial teórico a
sociologia de Max Weber, a psicologia de Abraham Maslow e a teoria da ação, são
construídas dois “tipos ideais” de aprendizagem: a aprendizagem pessoal...e a
aprendizagem afastada que é mais distante e utilitária”.
Neste trabalho, Willian (2004) vem constituir sua sustentação teórica na
psicologia de Maslow e na sociologia de Weber. A idéia, então, volta-se para o
conceito de afetividade e cognitividade enfatizando-se que o ideal de aprendizagem
leva em conta estes conceitos. Para Willian (2004, p.141), "o tipo ideal de
aprendizagem é um construto conceitual que 'idealiza' um número limitado de
aspectos de aprendizagem". Neste caso, e por isso, o pesquisador afirma que esta
abordagem vai trabalhar a identificação das características necessárias à interação
do estudante com a matemática. A pesquisa toma como elemento de análise o que
podemos chamar de “análise do discurso” entre dois estudantes de nomes fictícios,
Lucas e Rodrigo. É na análise do que foi conversado por este dois estudantes dentro
de uma temática matemática por eles escolhida, que o pesquisador encontra o foco
de sua abordagem em dois tipos, que ele chama de "ideais de aprendizagem:
aprendizagem pessoal e aprendizagem afastada". Willian (2004, p. 141 - 146),
defende seu propósito dizendo:
Entendo que uma frase em si ou um recorte isolado de uma conversa não define uma característica do tipo ideal. É a multiplicidade de falas, cada uma contextualmente significativa, que vão dialogar entre si para esclarecer as tendências nas razões e motivações para os estudos do aluno que medeiam sua relação com a Matemática.
Certamente que o trabalho de Willian (2004) está colocado em uma
vertente distante do nosso trabalho. No entanto, em primeiro lugar, é interessante
92
perceber que a sua preocupação, dando-se com a interlocução e com a interação
entre os alunos, não produz ambigüidade com nossa proposta. Na realidade, temos
um olhar subjacente nestes aspectos pois que, em maior ou menor medida, também
tratamos dos aspectos psicológicos a partir das idéias de Vigotsky. Em segundo
lugar o afastamento do trabalho está no objeto e não nas idéias que lhe dão forma.
Dito de outra forma, o objeto de Willian é o como se dá a compreensão em
matemática do ponto de vista psicológico e sociológico. Enquanto nosso trabalho
está voltado para o como se pode compreender aspecto da matemática a partir da
construção e de como esta construção deve ser constituída cognitivamente.
É interessante o que vem dizer Julio, um dos alunos da pesquisa:
Em relação às aulas, tive me ausentando delas, algumas aulas, por causa das outras provas e das outras matérias, mas estou tendo dificuldades em me concentrar nas aulas ou mesmo para entender a matéria durante a aula. Às vezes não vou à aula para estudar em casa mesmo. Não sei se é um desânimo da época de provas ou se estou preferindo estudar em casa.(p.1).
Observamos que o aluno não busca a causa para seu desânimo em outra
coisa, a não ser em seu próprio estado de espírito. Não há um questionamento do
desânimo “fora” do aluno. Ele assume o estado a partir de seus próprios sentimentos
não percebendo nenhuma das questões levantadas por Dall'anese (2000).
Balyta (1999) –
Resumo: “Esta tese apresenta os efeitos do uso da tecnologia no
desenvolvimento do entendimento do conceito de função através das
representações gráficas das funções. Examina os efeitos dinâmicos de incluir a
representação na aproximação conceitual da aprendizagem aproximada da função.
O experimento pedagógico desenvolvido nesta tese foi implementado em classe do
6º Grau (alunos 11 - 12 anos de idade). As conclusões foram tiradas relativamente
aos efeitos de usar representação dinâmica na compreensão conceitual de funções
por meio de representações gráficas. Os resultados do projeto de investigação
mostraram que o uso apropriado da tecnologia detecta que a ação teve um efeito
93
positivo no entender conceitual do estudante sobre as relações funcionais entre
variáveis independentes e dependentes como também sobre a noção geral de
função matemática”.
Estudando este trabalho, encontramos interessantes conceitos e
definições como o de funções e variáveis. Chamou-nos a atenção de modo
particular a elaboração de Balyta (1999) sobre o conceito de função, uma vez que
este conceito é estabelecido a partir da representação gráfica da função
contrariando várias definições de função que são comumente obtidas a partir do
anúncio em linguagem materna como, por exemplo, vemos em Moise (1970, p. 64):
“a grosso modo uma função é uma lei de correspondência pela qual cada elemento
de um conjunto corresponde a um e apenas um elemento de outro conjunto”. O
trabalho tem início na discussão de como a análise da didática, de acordo com
Balyta (1999, p. 17 -21), vem estabelecendo que o ensino-aprendizagem relativo ao
conceito de função reduz de modo significativo os "obstáculos cognitivos e as
microconcepções associadas com as concepções gráficas logo encontradas por
nossos estudantes”.
Uma das questões apontadas por Balyta, exemplo de microconcepção, é
a conservação, por parte do estudante, da consideração do gráfico da função como
uma pintura ou um mapa ainda que o gráfico tenha sido composto por pontos
discretos. O pesquisador diz que esta incompreensão tem ligação direta com os
obstáculos cognitivos do estudante devido à inabilidade para reconhecer as relações
entre as variáveis. Discutimos esta questão ao levantarmos a idéia da representação
da função de três formas, algébrica, geométrica e gráfica, e quando colocamos a
compreensível incompreensão do aluno sobre o fato. Uma incompreensão advinda
da forma como o ente matemático lhe é apresentando pela própria distorção
epistemológica do professor sobre o assunto.
Pudemos verificar que o motivo principal de Balyta nesta pesquisa foi o de
explorar efeitos tecnológicos usados para o desenvolvimento conceitual da
representação gráfica de funções. De acordo com Balyta (2000, p. 92) “a análise
global revelou que a representação dinâmica efetivamente permite desenvolver
conceitos que os alunos compreendem”. Assim, eles percebem existir relação entre,
por exemplo, a distância e o tempo em problemas de movimento. A compreensão
94
desta relação vem implicar, conforme Balyta (2000, P. 92) na condição de que os
estudantes também podem “[...] desenvolver o entendimento entre variáveis
dependentes e independentes”.
Do exposto, verificamos que temos dois focos distintos e que não se
conflitam. Enquanto Balyta envereda pela discussão sobre os efeitos tecnológicos
na aprendizagem, positivando-os, nós caminhamos na direção de propor não uma
nova ferramenta tecnológica, mas uma nova metodologia no intuito de uma mais
eficaz compreensão do aluno quanto à construção do gráfico de uma função.
Verificamos, então, que os dois trabalhos, de modo subjacente, possuem uma
“intercessão” que está na busca de uma forma de trabalho que sirva de opção ao
tradicionalismo existente. Balyta não chama a atenção para o fato da tecnologia por
si só não ter nenhuma influência na aprendizagem, no entanto nos parece ponto
pacífico que esta perspectiva está pré-concebida no seio acadêmico.
Romberg et all (1993).
Estes pesquisadores vêm observar a existência de significativo progresso
na integração escola-pesquisa no que se refere à matemática, graças ao
envolvimento dos alunos que cooperam em diversos tipos de atividades como
análise de conteúdo, currículo, e na avaliação do domínio matemático. Neste
trabalho, os autores enveredam na tentativa de uma cultura da comunidade escolar
que a aproxime do estudo de funções e seus gráficos uma vez que, de acordo com
Romberg et all (1993, p. 2), “Existem consensos gerais de que as funções estão
entre as noções mais poderosas e úteis de toda a matemática”.
Vemos no trabalho o esforço na direção de se estabelecer uma
agregação geral entre pesquisadores e alunos em termos do estudo de funções e
gráficos. Este esforço sustenta-se, ou decorre em sua importância, na virtude de que
a aproximação comum quanto ao estudo de função nas escolas Norte Americanas
acompanharam a evolução histórica das idéias, neste aspecto da matemática,
produzindo efeitos consideravelmente positivos. Romberg et all (1993) chama a
atenção para a dificuldade no conceito de função lembrando que, já no século 17, na
Mesopotâmia, eram construídas tabelas relacionado valores entre duas variáveis. A
95
grande questão desencadeada a partir da necessidade de se compreender o que de
fato se poderia formalizar a partir destas tabelas, foi estabelecer o conceito de
função que perpassa pelo conceito de variáveis conforme vem dizer Romberg et all
(1993, p. 1-3): “o conceito de variável como problema de representação de relação
entre duas variáveis está subjacente a este domínio”.
A compreensão destes conceitos, aqui aprofundamos para os elementos
que constituem um gráfico geral de uma função polinomial fracionária de terceiro
grau, é parte integrante de nosso trabalho, uma vez que sem a conceitualização, a
definição e a compreensão de como cada elemento vai, conceitualmente,
apresentar-se no gráfico, fica inviável para o aluno a compreensão não só do todo
mas, também, das partes constituintes da representação geométrica da função. De
acordo com Romberg (1992) a função como ente matemático é um claro reflexo da
necessidade de se criar objetos frente a fatos sociais.
Junho (2003).
RESUMO: Este trabalho teve como objetivo, fazer um mapeamento das
dissertações produzidas no Programa de Estudos Pós-graduados em Educação
Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, na década de
noventa, que versavam sobre o Ensino Superior. Após análise de cada uma das dez
obras, foi possível categorizá-las principalmente quanto aos temas abordados e
metodologias utilizadas. Os resultados obtidos permitiram concluir que a maioria das
pesquisas abordou o ensino e aprendizagem de disciplinas de matemática “pura”, e
elegeu como estratégia de pesquisa, a elaboração e aplicação de uma seqüência
didática, baseada na metodologia da Engenharia Didática.
Diferentemente dos demais trabalhos, o trabalho de Junho (2003) não
será aqui examinado. A sua função é a de que o mesmo nos apóie na afirmativa
referente à pequena quantidade de trabalhos, na área de Educação, envolvendo a
matemática do ensino superior sem a abordagem pura. Vemos em Junior (Ibidem)
que, mesmo na Educação, os trabalhos vêm sendo feitos abordando-se a
matemática pura. Quando se trata de uma abordagem mais voltada para a
Educação propriamente dita como Etnomatemática, Ensino de Matemática,
96
Aprendizagem de Matemática, os trabalhos, em sua maioria absoluta são focados
no ensino fundamental ou médio.
Junior (Ibidem) traz nesta pesquisa uma análise completa das seguintes
pesquisas: CAVALCA, Antônio de Pádua Vilela (1977); OLIVEIRA, Nanci (1997);
BARBOSA, Lisbete Madsen (1999); MUNHOZ, Marcos (1999); CELESTINO, Marcos
Roberto (2000); CURI, (Edda 2000); DALL’ANESE, Cláudio (2000); DI PINTO,
Marco Antonio (2000); FIGUEIREDO, Auriluci de Carvalho (2000) e SARAIVA,
Ronaldo Penna (2000).
Esta revisão focou, não exatamente trabalhos propondo inversão
metodológica de modo claro. De modo subjacente podemos ter esta compreensão
uma vez que, por exemplo, a inserção de computador no ensino de cálculo
certamente mexe não só no conteúdo mas também, na forma de apresentação.
Essa reformulação vai impactar na forma de apresentação do elemento, e
esperamos que impacte também na aquisição do conhecimento.
Finalmente nos damos por satisfeitos por encontramos uma vasta gama
de cientistas debruçados sobre a questão da mudança de abordagem no ensino de
modo geral e na matemática de modo particular. Cabe aqui uma citação final:
[...] um fato que deve causar espanto em nós, ou mais precisamente causar espanto em nós se acaso nós não estivéssemos muito acostumado com ele. Como pode acontecer que há pessoas que não entendem matemática? Se esta ciência invoca somente as regras da lógica, que são aceitas pelas ‘mentes bem formadas’ [well-formed minds ] ... como pode isto acontecer, que há muitas pessoas que são inteiramente inacessíveis a ela? (Poincaré, in Sfard, 1991, p. 1) apud Oliveira
97
3.1. Estudo inicial: A Questão da Reta Tangente.No item Origem do Problema, em que tratamos das dificuldades dos
alunos na montagem de um gráfico de função ainda que tivessem à sua disposição
os pontos e intervalos do comportamento da mesma, nos levou a um trabalho na
direção de tentarmos encontrar motivos para o que considerávamos paradoxal:
determinar os elementos na forma algébrica e confundi-los na montagem gráfica.
Assim, por reconhecer a necessidade de um projeto piloto que pudesse
apontar o que nos era sugerido, buscamos trabalhar um problema aproximado: a
compreensão dos alunos sobre reta tangente a um gráfico em um ponto. Este
recorte era importante por vários motivos a serem objeto de tratamento ao longo
deste trabalho. Neste recorte a finalidade realmente foi a de iniciarmos uma análise
que nos pudesse trazer algumas respostas para a dificuldade dos alunos no
entendimento do que é reta tangente ao gráfico de uma curva em um ponto e, então,
podermos avaliar a existência de condições necessárias ao tratamento de uma
questão mais ampla envolvendo o esboço do gráfico de uma função.
Uma de nossas preocupações no trabalho com reta tangente era o tempo
Institucional. Dado que o estudo da reta tangente é feito no ensino superior na
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I (ou equivalente) e que, usando-se a
metodologia tradicional é ministrado em menos de duas horas de aula,
precisávamos tomar os devidos cuidados uma vez que a metodologia a adotarmos
levaria, pelo menos, seis horas / aula. Neste caso, poderíamos não cumprir o
programa estabelecido e, assim, os alunos com os quais iríamos trabalhar, poderiam
entrar no Cálculo Diferencial e Integral II com um conteúdo comprometido.
Desta forma, ao optarmos pelas turmas de Cálculo Diferencial e Integral I
do curso de LIcenciatura em Química da UFRPE, buscamos nos acercar da garantia
dos alunos matricularem-se na disciplina de Calculo Diferencial e Integral II do
mesmo curso. Desta forma, na nova disciplina, cobriríamos possível defasagem.
Em assim sendo, buscamos trabalhar o caso da reta tangente a uma
curva em um ponto que não tomaria muito tempo em relação a sua complexidade.
Conceituação discutida durante uma parte do século XVII, demonstrando sua
98
importância e não trivialidade. Neste caso perguntávamos se o aluno demonstraria
trazer de seus níveis antecedentes à Universidade definições equivocadas.
Determinar o que seria uma reta tangente não foi uma questão trivial na
Matemática, como dissemos. De fato, uma gama de cientistas, matemáticos e
físicos, se debruçaram sobre o assunto que foi dominante no início do século XVII.
Thomas & Wesley (2002) nos dá conta que a reta tangente possui várias conotações
como na física óptica onde, dada uma lente curva, a tangente vem representar o
ângulo de incidência. Já na física clássica, na mecânica, indica a direção do
movimento de um corpo em todo ponto percorrido. Na geometria é o ângulo
produzido por duas curvas que se interceptam em um dado ponto. Thomas &
Wesley (2002, p. 131) vem dizer:
René Descartes chegou a dizer que o problema de achar a tangente a uma curva era ‘o problema mais útil e mais geral não somente que eu conheço, mas também que eu desejo saber’.
Em determinado momento de nossa vida acadêmica, década de 80,
fizemos, conjuntamente com outros colegas que partilhavam esta inquietação, um
estudo na direção de entendermos as dificuldades dos alunos. Buscamos
proporcionar o real entendimento do que vem a ser uma reta tangente a um gráfico
de uma função em um ponto desta função.
Foi proposto um trabalho envolvendo quatro professores da disciplina
Cálculo Diferencial e Integral I e que consistia no seguinte: teríamos uma mesma
abordagem no tratamento do estudo da reta tangente; todos os envolvidos
apresentavam as mesmas questões, em número de três, de forma gráfica sem o uso
da formalização matemática tratando os elementos na linguagem materna (tratava-
se de um trabalho inicialmente envolvendo a imagem como linguagem);
aplicaríamos três exemplos e três exercícios em comum nas turmas, a fim de
verificarmos se o aluno conseguia estabelecer corretamente a reta tangente, tanto
gráfica quanto conceitualmente.
O estabelecimento de três gráficos partiu da compreensão de que, assim,
estaríamos cobrindo todas as possibilidades no caso específico. Não tivemos um
trabalho institucionalizado, mas uma atividade extra-oficial comportando a idéia de
um projeto embrionário que pudesse contribuir na compreensão do fenômeno para,
99
então, podermos enveredar por um trabalho mais significativo. Assim, tratamos de
um trabalho sem a intencionalidade de aproveitar os dados para um outro momento.
Observe-se que se estava no início da década de 80, quando as
abordagens tradicionais na construção dos gráficos eram mais fragmentadas nos
livros texto de cálculo do que nos dias atuais (2007). A descontinuidade do trabalho
fez com que se perdesse o momento e os dados. Restam apenas os dados na
memória deste pesquisador, algo que Richardson (1999) considera importante. De
acordo com Richardson (1999, p. 18): “outro aspecto do método científico é a
confiança na capacidade de observação dos cientistas. Isso implica confiança na
percepção do pesquisador, em sua sensibilidade e memória”.
Os gráficos propostos eram do tipo:
Gráfico I: do estudo inicial da reta tangente
Dado que a preocupação não era a formalidade matemática, mas sim
uma idéia da reta tangente de modo intuitivo, perguntava-se ao aluno se a reta em
vermelho era tangente. O que se levantava na época, era a informação dos alunos
de que: “reta tangente é uma reta que corta um só ponto de uma curva”. Desta
forma, o aluno já colocava que esta reta não era tangente, pois tocava em dois
pontos da curva. Apresentava-se, então, o Gráfico 19 (gráfico II do trabalho).
100
Gráfico II: do estudo inicial da reta tangente
Perguntava-se: então, a linha vermelha é uma reta tangente? O aluno,
geralmente, tinha a noção de que a “tangente não cortava a curva”. Assim, a
resposta comum era: Não. Porque, nesse caso, a reta toca em apenas um ponto
mais corta a curva. Apresentava-se o gráfico abaixo.
Gráfico III - do estudo inicial da reta tangente (escala não exata)
Nesse caso, o aluno começava a perceber que suas respostas não eram
condizentes com sua noção de reta tangente. Em um gráfico a reta toca um é
somente um ponto da curva mas não era tangente, no outro tocava dois pontos da
curva e era tangente. O que contrariava a definição por ele apreendida.
Observando-se os gráficos I, II e III pode-se perceber a complexidade da
definição da reta tangente mas a simplicidade de seu entendimento geométrico. Os
gráficos revelam que, para se ter uma definição de tangência para uma curva
genérica, deve-se ter atenção com o comportamento da secante. Fazia-se
101
necessário, então, a partir do reconhecimento geométrico, observamos a definição
formal do que era reta tangente a uma curva em um ponto.
A abordagem que propúnhamos a respeito da reta tangente, a qual,
fundamentalmente, era o uso dos gráficos para depois matematizarmos a questão,
tem uma semelhança, no objetivo fundamental, com o que Pais (2000) discute. Pais
(Ibidem) vem falar da necessidade de substituição da formalização pela atuação
com material no ensino fundamental e médio sem que se venha a esquecer as
abstrações conceituais. O autor, portanto, esta abordando o fato de que a
matemática não pode desprezar a formalização. Pais (2006, p. 1) vêm dizer:
A justificativa da escolha deste tema (o uso de material didático no ensino fundamental e médio – nota nossa) decorre da expectativa de utilização de materiais didáticos por parte de professores que atuam no ensino fundamental na esperança de que as dificuldades de ensino possam ser amenizadas pelo suporte da materialidade.
Em sua síntese interrogativa, que podemos colocar como abstrair ou não
abstrair as condições abstratas pertinentes à matemática em prol de uma
sistematização do uso de material didático, Pais (2006, p.2) levanta que: “quanto ao
estudo de Geometria, há duas concepções: uma vem defender que os conceitos
geométricos são puramente platônicos e racionais, outra defende o conhecimento
geométrico pelo reducionismo da sensação”.
Tratamos, então, de enfatizar, como durante todo o trabalho, que a
proposta é de alternância de metodologia, sem perda das generalizações formais da
matemática. A apresentação de gráficos globais, seu estudo perante definições e
conceituações na linguagem materna não dispensam a abordagem da formalidade
matemática. Observando, então, nosso trabalho através, por exemplo, do gráfico da
função,
f(x) = 3 6 1x x
Expressão 19
102
Gráfico 22- Gráfico I exemplificativo do estudo do experimento
vemos que foram desenhadas várias retas tangentes em vários dos seus pontos.
Derivando-se a função, encontra-se os pontos de Máximo e de Mínimo
respectivamente em x= 2 e x = - 2 . A complexidade matemática do entendimento
da definição de reta tangente a um curva em um dado ponto é tamanha que leva
Thomas & Wesley(2002, p. 130-132) a exibir oito gráficos.
4.4 Fundamentação do estudo dos livros textos.
Os livros-texto de matemática usados no Ensino Superior vêm trazendo
transformações na apresentação dos seus conteúdos de modo geral e de modo
particular no interesse desta pesquisa: Gráfico de funções. Não tratamos, neste
trabalho, destas transformações como sendo evolução dos livros textos. Preferimos
utilizar o termo alteração metodológica, a fim de evitarmos discussões sobre o que,
de fato, significa “evolução” dos livros textos, e em virtude de esse não ser o objeto
da pesquisa, mas sim uma variável de suporte orientadora.
Traremos uma sumarização do conteúdo Gráfico de funções nas obras
abordadas. Contudo não estaremos constituindo uma análise completa destes livros
em virtude de não ser do interesse desta pesquisa. Estas obras foram usadas a fim
de mostrarmos a existência de uma fragmentação de conteúdo um conteúdo
específico.
O que significa, para nós, fragmentação? Câmara (1995, p. 13), ao tratar
da “concepção escadinha”, de uma linha behaviorista, como atuação no ensino-
aprendizagem vem dizer:
103
Os limites de uma aprendizagem baseada nessa concepção nos parece evidente. Em primeiro lugar, a fragmentação da aprendizagem em pequenas etapas intermediárias muitas vezes impede que o aluno se aproprie do significado do que ele está fazendo.
Quando Câmara (1995) faz referência ao termo fragmentação, o faz no
sentido da aprendizagem, fragmentação da aprendizagem. Nossa abordagem do
termo vai na mesma direção. A fragmentação metodológica ou fragmentação
pedagógica provoca a fragmentação da aprendizagem. O fato é que, conforme
discute Câmara (Ibidem) o problema da fragmentação da aprendizagem de modo
geral (nos estamos particularizando) é encontrado em uma “multitude de sub-
objetivos” e, assim, caso o aluno consiga, por exemplo, explorar uma situação sem
atingir o objetivo principal, isso não lhe dá a garantia da aquisição de conhecimento.
Este é o caso que vimos levantando quando perguntamos como pode o
aluno encontrar os intervalos, pontos, etc., necessários à construção do gráfico de
uma função e não conseguir construir esse gráfico? A questão não passa apenas
pela ação do professor. Ela passa, também, pela metodologia aplicada, muito
embora estes dois elementos, ação do professor e metodologia, estejam em um
mesmo corpo. Nosso trabalho, no entanto, aborda uma das causas: a fragmentação
metodológica. Para firmarmos a idéia mais geral, estamos aqui usando o termo
fragmentação para fazermos referência:
e) ao número de páginas separando tópicos que deveriam está o mais
próximo possível;
f) ao número de gráficos de funções do mundo real e do mundo artificial
usados, especificamente, para o entendimento do esboço de uma curva
conforme vimos à página 37;
g) a abordagem de tópicos dentro de outros tópicos conforme discutimos à
página 107;
h) ao número de gráficos completos (ou globais) conforme definido à página
7;
i) a falta de um tópico específico tratando de um assunto de tamanha
importância na matemática e na vida real.
104
O leitor observará tópicos que demonstram essa fragmentação. Nesse
sentido, vimos observar como os autores tratam os elemento que compõem um
gráfico. Esse olhar passa tanto por ser um ponto onde os erros dos alunos são mais
perceptíveis, quanto pela abordagem dos alunos ao professor. A sugestão, portanto,
é que os equívocos do estudante estão intimamente ligados à falta de entendimento
tanto do que ocorre nas vizinhanças dos pontos (Extremos locais, Inflexão,
descontinuidade, etc.,) quanto da análise dos intervalos (Crescimento x
concavidade; Decrescimento x concavidade, etc.)
O entendimento do gráfico global, discutido por Dugdale (1993), dá muito
mais importância ao entendimento do gráfico como um todo, que “plotar” o gráfico
ponto-a-ponto. Para esse entendimento, faz-se necessária a compreensão do
comportamento dos gráficos nos intervalos e sua montagem, uma vez que,
reconhecendo estes elementos e os sabendo concatenar, pode-se prescindir de
alguns elementos pontuais do gráfico. Moise (1970, p. 206) vem dizer “se você
puder descobrir onde uma função é crescente e onde é decrescente, é sempre óbvio
onde estão os máximos e mínimos locais”. Moise (1970) deveria deixar evidente
estava se referindo a alguns tipos de funções deriváveis pelo menos no ponto
considerado já que, por exemplo, para o gráfico da função f(x) =
1| |x , x≠ 0, abaixo,
essa afirmativa não é válida:
Gráfico 23- Gráfico da função f(x) = 1/|x|
Sabemos onde a função f(x)=1/|x| decresce e onde ela cresce, mas não
sabemos seus extremos locais mesmo porque eles não existem. Na realidade, se a
105
função é contínua e derivável em todos os seus pontos, exceto, talvez, nos
extremos, e se sabemos onde ela cresce e onde ela decresce sabemos sobre sua
convexidade e seu ponto crítico que pode um máximo ou um mínimo local. E se a
função é descontinua, como no gráfico 1 acima, para um dado x = a, ela não possui
extremo local em “a”.
Assim, segue-se a observação principal sugerida que a problemática do
aluno está mais ligada à compreensão do comportamento da função nos intervalos
de seu domínio e nas vizinhanças dos pontos onde ocorrem determinadas
modificações no comportamento do gráfico.
Aprofundemos um pouco mais a questão a fim de termos uma melhor
diagnose de como se dá a fragmentação e onde encontramos elementos do esboço
do gráfico tratados dentro de outros tópicos, ainda que este tratamento seja o
mesmo se feito em outro item ou em um tópico especifico para o esboço de gráfico
de função conforme defendemos.
De 196_ até 198_, Courant (1965), Moise (1970), Lang (1965), Piskunov
(1969), Lang (1972), Ávila (1978) e Simmons (1985), por exemplo, davam um
tratamento matemático ao Gráfico de Funções apresentando um gráfico para tratar
apenas de um elemento constituinte. Por exemplo, Courant (1965, p.18-20)
apresenta as curvas das funções 2 31 ; y = x e y=xy
x
, basicamente para definir o
que é função monótona (Crescente ou Decrescente). Deste modo, particulariza a
definição de um elemento da curva. Observa-se que, no conjunto, estas funções
contêm: concavidade, ponto de inflexão e ponto de mínimo local. Essa apresentação
torna a aplicação do gráfico de função fragmentada. Com essa fragmentação estas
obras, em suas edições aqui consideradas, não parecem apontar para uma noção
dirigida, propriamente, à compreensão clara de como se constrói o gráfico de uma
função.
Moise (1970, p. 200) chama o leitor a relembrar o que foi discutido na
seção 3.9, em que aborda o Princípio da compreensão: A derivada da Integração,
página 118, que é a demonstração do Teorema 1 da seção 3.7 (Teorema do valor
106
médio para Integrais - TVM). Moise(1970, p. 105) vem dizer: “ se f é continua num
intervalo contendo “a” então a D(t)
( ) ( )x
a
f t dt f x em cada ponto x do intervalo”
Mais especificamente, a fim de ilustrarmos a abordagem de Moise (1970)
sobre o gráfico de função, tomemos o item 5.1 – Intervalo onde uma Função Cresce
ou Decresce, (p.200). Moise (1970, p. 200) vem dizer: “recordemos da secção 3.9, a
definição de função crescente: a função f é crescente se X < X’ => f(X) < f(X’).
Analogamente f é decrescente se X < X’ => f(X) > f(X’)”. Em seguida Moise (1970)
apresenta o gráfico explicativo referente, exclusivamente a este item. Observe-se
que Moise (1970) vem fazer menção à secção 3.9 na secção 5.1. Havendo, então,
81 páginas de separação entre o teorema e exemplos de aplicação de dois itens do
gráfico de função. O teorema anunciado está colocando no bojo do estudo do Valor
Médio de uma função f no intervalo [a,b] que é colocado por Moise (1970, p.118) no
Princípio da Compressão: A derivada da Integral. O gráfico apresentado não é do
mundo real e enfoca apenas este elemento, contemplando o ponto de vista da
abordagem de Moise (1970). Ainda que o autor repita a definição de crescimento e
decrescimento de uma função, observa-se a fragmentação.
Já os livros textos mais atuais, como Thomas (2002), Anton (2000) e
Larson (2003), dão um enfoque mais compacto. Trazem uma abordagem na qual
apresentam os elementos necessários à construção do gráfico mais próximo entre
si, permitindo-nos observar relações como, por exemplo: se uma função é contínua
e derivável em todo o seu domínio D, cresce em um dado intervalo I e decresce em
um dado intervalo J, I ≠ J e I, J D, o gráfico desta função mostra um ponto crítico
(de Máximo ou de Mínimo). Anton (2000, p.290), ao apresentar o mesmo item
referido acima com Moise (1970), região de crescimento da função, o faz em
conjunto com a região de concavidade no item 5.1, Análise de Funções I:
Crescimento, Decrescimento e Concavidade. Fizemos uma sumarização desta
discussão nos quadros 8 e 9, páginas 128 e 129
Enquanto Moise (1970. p. 200 - 203) usa seis gráficos de funções
hipotéticas e dois gráficos de funções do mundo real como auxilio visual à
compreensão de crescimento e decrescimento de função, Anton (2000, p. 289-324)
107
utiliza treze gráficos, sendo nove hipotéticos envolvendo os dois tópicos e quatro
específicos (funções reais), em um contexto geral envolvendo todo o gráfico da
função.
Assunto
Autores
Courant (1965) Moise (1970) Anton (2000) Thomas & Wesley
(2002)
Tratamento Gráficos
induzidores no
tópico funções
especiais.
6 Gráficos de funções
hipotéticas;formalização
do tópico dentro de outro
tópico; 2 gráficos de
funções do mundo real
6 Gráficos da vida
real, 8 gráficos de
funções hipotéticas
e formalizações.
4 gráficos da vida
real, 1 gráfico de
função hipotética.
Quadro 7 - Quadro de diagnose de fragmentação
E, ao contrário de Anton (2000) e Thomas (2002), nem Moise (1970) nem
Courant (1965) apresentam a construção de um gráfico global, muito embora Moise
(1970, p. 210) apresente o gráfico de 2
1( ) , 1,1
f x xx
(gráfico apresentado para
a compreensão de limite no infinito). Mesmo gráfico apresentado por Courant (1995,
p. 53) para ilustrar “outro” tipo de descontinuidade. Apesar do enfoque de Anton e
Thomas minimizarem a fragmentação, é importante o leitor lembrar que existem
vários outros elementos compondo a fragmentação, e que nosso objeto de pesquisa
tem como foco principal a inversão metodológica que não é contemplada em
nenhuma das obras citadas.
Vimos reforçar a escolha dos livros texto, citados à página 13, em nosso
estudo. A primeira leva em conta o conhecimento dos mesmos pelo pesquisador em
seu percurso pela Matemática, quer na condição de aluno, quer na condição de
professor. A segunda quer afirmar que, usando como ponto de partida a obra de
Courant (1965), estas foram as mais importantes obras, para o contexto de uma
discussão sobre a metodologia no ensino de Cálculo Diferencial e Integral, usadas
nos cursos de Matemática entre 196_ e 197_.
Esta sugestão de importância, sem discussão do mérito, nasce a partir
da própria obra de Courant (1965), uma vez que o mesmo assume no prefácio, ser
108
sua obra uma cisão com obras anteriores e mesmo contemporâneas. Para Courant
(1965), as demais obras estavam equivocadas. No prefácio da primeira edição
alemã, Courant (1965, p. vii) vem dizer:
Ele (o aluno – nota do pesquisador) recusa ser importunado pela prolixidade e enunciados gerais que nada lhe ensinam e não tolera o pedantismo que não distingue o essencial do não essencial e que, por amor a um conjunto sistemático de axiomas, deliberadamente esconde os fatos aos quais se deve o desenvolvimento da matéria.
Analisando outras obras contemporâneas de Courant (1965), como Lang
(1965), Piskunov (1969), etc., já que seguem o mesmo padrão metodológico
quando adotam a mesma postura fragmentada já discutida a partir de Courant
(1965) e Moise (1970), fazemos uma breve confrontação no foco específico do
trabalho com duas das mais diferenciadas obras da atualidade em relação às
anteriores: Thomas (2002) e Anton (2000). Estas obras contrastam com o enfoque
das obras tradicionais de 196_ a 197_, em sua metodologia até mesmo porque
estes livros aqui tratados de atuais, propõem o uso de novas tecnologias, em
particular o computador, auxiliando na aprendizagem do aluno e facilitando o
trabalho do professor ao possibilitar que o mesmo possa apresentar mais gráficos de
funções em menos tempo e muito melhor desenhados.
A abordagem de Moise (1970, p.200-248) referente ao gráfico de função
com o auxílio da derivada, vem apresentada no tópico: A Variação das Funções
Contínuas. Não existindo, portanto, um tópico especificamente direto para o gráfico
de função e isso o aproxima de Courant (1965). Courant (1965, p.14), iniciando o
tratamento de função onde explora o crescimento vem dizer:
A restrição que imporemos agora, ao conceito de função, é: a representação geométrica da função deve assumir a forma de uma curva geométrica “plausível”. É verdade que isto implica mais em uma vaga idéia geral do que, propriamente, em uma estrita condição matemática. Cedo, porém, formularemos tais condições, como continuidade, a derivabilidade e outras que farão com que o gráfico da função possua o caráter plausível, visualmente, de representação geométrica.
109
Courant (1965) vem retomar os elementos de uma curva com o teorema
das funções contínuas, página 63, os máximos, mínimos e concavidade, página 158.
Caso fôssemos abordar, continuamente, as obras cada vez mais recentes a partir de
196_, iríamos perceber que essa metodologia vem tomando outras formas na
direção do que ocorre atualmente com as obras de Anton (2000) e Thomas (2002),
em que se dá uma maior ênfase à construção dos gráficos de uma função. Uma
aplicação que fundamental no escopo do Cálculo.
Uma vez que estamos tratando de apontar uma metodologia para o caso
do esboço de curva de uma função, fazemos, an passan, a observação de que os
precursores de uma alteração metodológica que mais chamaram a atenção do
pesquisador foram Leithold (1977) e Piskunov (1969). Estes autores deram ênfase
ao número de exercícios propostos e resolvidos sugerindo que o número de
exercícios resolvidos e propostos seria responsável pelo aprendizado do aluno.
Deste modo, quanto mais exercícios fossem resolvidos, maior o conhecimento
adquirido.
A bibliografia a esse respeito já dá conta de que essa sugestão não se
sustenta, ainda que existam defensores. Ávila (1998), em seu prefácio, vem dizer:
“Evitamos propor exercício em número excessivo, pois isso muitas vezes desorienta
o leitor ao invés de ajudá-lo”. E, referente ao Ensino médio, o Catálogo do Programa
Nacional do Livro para o Ensino Médio, PNLEM / 2005, página 45, vem dizer que:
No livro do professor, critica-se, enfaticamente, a metodologia, que consiste em apresentar as definições e as propriedades, seguidas de alguns exemplos e de um grande número de exercícios, para fixar os conteúdos. Porém, a proposta desenvolvida no livro do aluno adota, em grande medida, esse modelo, o que representa uma incoerência.
É possível averiguar se essa noção, ainda que vista pelo ângulo restrito
do “treinamento” é verdadeira. Tome-se, por exemplo, o caso da derivada de uma
potência. O fato de o aluno derivar as funções: 2 3 100( ) ; ( ) ... ( )f x x f x x f x x
, não garante que o aluno derive 3( )f x x . A questão, portanto, pode ser
considerada como de generalização, de enfoque, de “qualidade” dos exercícios e,
principalmente, como se está a defender, de metodologia.
110
Este tipo de “treinamento” já havia sido posto por JR (1957, 1961, 1963,
1966, 1968, 1970, 1971, 1972, 1973, 1974,1975). JR (1957) difere dos demais
citados por apresentar uma obra do tipo exercício, noções intuitivas, exemplos. Na
sua PALAVRAS AO ESTUDANTE, JR vem dizer:
[...] o emprego correto do livro exige o conhecimento do que ele é e do que não é. Não encerra demonstrações de teoremas e não discute princípio. Não é, decididamente, um livro texto e não deve ser empregado com o intuito de se evitar o livro texto regular.
Contrariamente à opinião de JR (1957), que acha impossível a
sustentação de que, para se aprender matemática se faz necessário fazer muitos
exercícios, na apresentação do livro, o Professor Othon Nogueira explícita ser
“imprescindível numerosos exercícios resolvidos sobre a matéria”. São duas linhas
de pensamento que persistem até os dias de hoje. Nós defendemos que não é o
número de exercício o responsável pela aprendizagem, mas a qualidade deles.
No momento que o aluno entender o conceito de derivada e derivar
( ) nf x x , ele é capaz de derivar qualquer polinômio para qualquer N e isso vale
para o cociente, o produto, a soma, as funções compostas e inversas e as funções
transcendentais.
Além do aspecto diferenciado na abordagem dos livros texto aqui
discutidos há, nas edições mais recentes de Thomas (2002) e Anton (2000), a
preocupação com o uso de computadores, de softwares e calculadoras
programáveis no auxílio do ensino de gráfico de funções. Os computadores ainda
não eram popularizados5 à época das edições dos livros textos “antigos” aqui
tratados e, assim, não podiam ser utilizados por seus autores. Os autores, mais
atuais, ainda disponibilizam um site com exemplos, exercícios, apresentação em
PowerPoint, etc. O que vem significar a importância dada por eles ao uso do
computador/ Internet.
A respeito das características da décima edição, Thomas (2002) vem
dizer: “com uma linguagem simples, cada tópico novo é explicado por meio de
exemplos claros, cuidadosamente resolvidos e de fácil compreensão, reforçado por
sua aplicação no mundo real (Destaque do pesquisador)”. E interessante observar 5 O primeiro computador doméstico, o ALTAIR, surgiu em 1975: In www.liv.ic.unicamp.br/~bergo/mc102/slide-t2.pdf
111
que Moise (1970, p.203) vem dizer: ”Este não é um problema artificial, é um
problema da vida real (Destaque do pesquisador) e nada vai ser fácil”.
As duas citações vêm sugerir que, enquanto Moise (1970) tem como
filosofia tratar a questão de uma função do mundo real de forma esporádica,
Thomas (2002) sugere uma filosofia de trabalho pautada, quando possível, no
mundo real. O que demanda uma profunda diferença na metodologia usada pelos
autores em questão.
Nas características da décima edição, Thomas (2002), ainda acrescenta:
“com ênfase na modelagem e suas aplicações do cálculo usando dados reais,
procura-se dá mais equilíbrio ao método gráfico, numérico e analítico, sem
comprometer a integridade matemática do livro”. Cassiano apud Barbosa (2002)6
afirma, quanto às imagens (ou figuras), que elas são "uma forma de linguagem que
pode contribuir para a aprendizagem dos conceitos científicos” enquanto Archela
(artigo 3, p.1) vem dizer:
Em primeiro lugar, é importante lembrar que na medida em que o usuário deixa de ser passivo diante de uma mensagem comunicada através de uma imagem, na tentativa de compreendê-la, estabelece-se um processo de descodificação. Assim, uma das formas de estudo das imagens refere-se à análise de seus elementos e as relações entre suas partes.
Finalmente, a importância da percepção das imagens no processo de
ensino-aprendizagem vem retratada por Versuti (2004, p.6) que vem dizer:
Trata-se de uma reflexão acerca de um tema mais amplo que envolve as características essenciais dos alunos; sua facilidade de percepção e apreensão de imagens, utilizando as interfaces gráficas como mais um elemento significativo do processo de aprendizagem e facilitando inclusive a auto–avaliação.
3.1.1. A guisa de ConclusãoSe é que se pode ter conclusão sobre algo, ainda que conclusão parcial, a
que tiramos do exposto pode ser concebida como um redirecionamento
metodológico dos autores de livros textos de Cálculo particularmente no que se diz
respeito ao esboço de gráfico de funções. Observamos que os autores de obras
6 Não foi possível encontrar o trabalho original inclusive na biblioteca da UNB.
112
mais recentes aqui tratados, incorporam em suas edições um tópico específico para
o esboço de gráfico de função.
Desta forma a nossa primeira observação é a de que, agindo assim os
autores diminuem a fragmentação no estudo em questão. Por outro, ao investirem
em gráfico completos mais do que os autores dos livros texto antigos, caminham na
direção defendida neste trabalho com apoio de pesquisadores já declinados.
A inclusão de problemas a serem resolvidos através do computador, a
disponibilização de site com material de apoio ao estudo do cálculo de modo geral e
de modo particular do esboço de gráfico de função, aponta para a compreensão da
importância do computador / Internet conforme defendemos em nossa dissertação
de mestrado.
113
3.2 Outras Observações Sobre as Obras AbordadasChamamos a atenção do leitor para o fato de que este estudo aborda
como os autores a serem trabalhados neste tópico, tratam o gráfico de função
durante o tratamento da derivada (ou como aplicação da mesma). Assim, não
trabalharemos com construção de gráficos a partir da definição de derivada. Isso
porque estamos interessados na construção completa de gráficos a partir do auxílio
desta ferramenta a partir das fórmulas de derivação proveniente da definição formal
da derivada, a saber:
lim ( ) ( ) , 0f x x f x
x x
Tentaremos agora melhor detalhar algumas diferenças entre as obras de
Courant (1965) , Moise (1970), Anton (2000) e Thomas & Wesley (2002) sem que se
vá tratar de equívocos matemáticos conceituais ou de qual obra é melhor do ponto
de vista da matemática. Também não se pretende um trabalho “cronológico”, ponto
a ponto, sobre as diversas modificações ocorridas nas obras trabalhadas.
A razão para esta preocupação é orientada pelo fato de se compreender
que, sendo o processo de ensino algo dinâmico em virtude das variadas pesquisas
que apontam para diversas alterações, as obras acompanham-no. Há ainda a
questão de fragmentação. Conforme veremos Courant (1965), por exemplo, não usa
a palavra ponto crítico nem nenhuma outra similar. O ponto crítico aparece quando
ele trabalha o ponto de extremo local e diz que, neste ponto, f’ = 0, é condição
necessária. O aluno, então, precisa saber que se trata de um ponto critico se a
função muda de sinal nas vizinhanças de f’ = 0. Como nem Courant (1965) nem
Moise (1970) trazem o esboço de curva em um tópico determinado, torna-se tarefa
para uma tese fazer um estudo que “varra” todos os elementos de um gráfico de
uma curva global ou completa.
Na escolha das obras podemos, por exemplo, observar que os trabalhos
de Thomas & Wesley e Leithold sofreram grandes alterações entre 1966 e 2002, e
1977 e 1994, respectivamente. Estas alterações no enfoque, nos recursos
pedagógicos, técnicos, metodológicos, etc., não são exclusivas nem destes autores
nem da matemática. Na física, Halliday, Resnick & Walker (2000) provocam grandes
alterações em suas abordagens, a partir de 1972. Halliday, Resnick & Walker
114
(Ibidem) iniciam cada capítulo com uma questão familiar ou curiosa em forma de
imagem como quadros (Pinturas), Artistas (Bailarinas), homem bala (homem saindo
de canhão em um circo) e, a partir desta questão, estabelecem perguntas que os
Físicos costumam chamar de “provocação”. Percebe-se, portanto, que há uma
tendência em constituírem-se obras voltadas para o cotidiano visual sem, no
entanto, perder-se a essência teórica das ciências. Nesse aspecto, o valor da
visualização vem posto por Pereira & Souza (2000) na apresentação do projeto de
pesquisa da seguinte forma:
Enfocamos a imagem como signo que provoca uma ampla diversidade de significações e interpretações no sujeito que a reconhece e a produz, desencadeando, assim, novas sensibilizações que devem ser exploradas criticamente por sua penetração ilimitada na vida cotidiana.
De modo geral, os autores destas obras modelaram seus trabalhos com
foco em uma metodologia muito semelhante. No prefácio da Primeira Edição Alemã
de Courant (1965), o autor aponta a diferença de sua obra comparativamente ao que
ele chama de “antiga tradição” dos compêndios de Cálculo Diferencial e Integral.
Courant (Ibidem) vem dizer: “o leitor notará, de modo especial, o completo
rompimento com a antiga tradição de tratar, separadamente, o cálculo diferencial e o
cálculo integral”.
Percorrendo estas obras, vemos uma constante alteração de abordagem,
pedagogia, metodologia e mesmo de layout das edições. Ainda que os autores das
obras “antigas” tragam afirmações discordantes, isso não vem significar uma
alteração substancial. Por exemplo, enquanto Moise (1970) e Courant (1965)
enfatizam a importância das demonstrações de teoremas, das conceituações e das
definições, quando possível, o mais formal, Simmons (1987) não hesita em se
colocar de modo claro e inequívoco contra esta forma de enfoque. Simmons (1987),
em seu prefácio, vem dizer:
Naturalmente, desejo convencer o estudante de que os instrumentos-padrão do cálculo são razoáveis e legítimos, mas não a custa de transformar o assunto numa disciplina lógica, enfadonha e dominada por definições supercuidadosas, apresentações formais de teoremas e provas meticulosas.
115
Em sua mensagem “Ao estudante”, Simmons (1987) vem dizer: “Minha
sugestão é que os estudantes leiam primeiro o texto e quando este estiver
totalmente assimilado então e só então passem para os exercícios”. Podemos
perceber que, por ser uma obra publicada muito mais recentemente do que a de
Courant (1965) e a de Moise (1970), a obra de Simmons (1987) tem um sentido das
obras de Anton (2000) e Thomas & Wesley (2002) e, no entanto, para fins deste
trabalho, se encontra mais próxima de Courant (1965) em virtude da fragmentação.
Assim a obra de Courant foi escolhida em face da própria posição de Courant em
seu prefácio, conforme vimos. E Moise em virtude de ser um intermediário entre
Courant e as demais obras observadas neste leque de obras que chamamos
antigas.
3.2.1. SumarizaçãoA fim de podermos montar um quadro a partir do qual estabeleceremos um
gráfico da fragmentação, nos próximos quatro itens faremos uma análise de como
cada autor aborda os elementos constitutivos de uma função global ou completa.
Isso não significa que alguns deles estejam errados. Significa que para efeito
da defesa que hora enfrentamos, uns são mais fragmentados do que outros e, desta
forma, entendemos que aqueles mais fragmentados parecem dificultar o
entendimento sobre o esboço de gráfico de função.
Portanto, ao trazemos o esquema proposto por Leithold (1994) que, como já
dissemos, não é uma seqüência obrigatória, temos como foco principal observar a
fragmentação que é um elemento chave de nosso objeto de pesquisa ao tempo que
nos sustentamos no estudo dos quatro livros eleitos para este estudo. A seqüência
visa, tão somente, facilitar os passos que o aluno deve dá para a construção de um
gráfico. Ela é assim colocada por Leithold (1994, p.258):
1. Domínio da função;
2. Raízes da função;
3. O cálculo de f’ e f’’;
4. Pontos críticos da função;
5. Máximo e Mínimos relativos da função;
116
6. Região de crescimento e Região de decrescimento da função;
7. Pontos de inflexão da função;
8. Região de concavidade da função;
9. Inclinação da reta tangente nos pontos de Inflexão da função;
10.Assíntotas verticais, Horizontais ou Oblíquas da função.
Atentemos às diferenças de nomenclatura entre autores e mesmo para a não
existência de determinados elementos que são substituídos através de outras
condições. Como exemplo já mostramos a questão da assintota que em Courant
(1965) é substituída pela descontinuidade. Desta forma, estamos dizendo que com
todos os autores é possível a capacitação para a construção do gráfico de uma
função.
A questão, então, reside na abordagem dos elementos sugerindo o grau de
importância que cada autor deposita neste tópico bem como o nível de dificuldade
que cada um traz para a aquisição deste conhecimento. Por um lado lado, ao
dizermos que seguiremos a seqüência de Leithold, não estamos dizendo que
desprezaremos outra seqüência e não faremos foco nos elementos que não
necessitam da derivada para serem encontrados. É o caso do domínio e da imagem
da função.
Por outro lado o leitor perceberá a existência das assíntotas verticais que, do
mesmo modo não necessitam de cálculo da derivada pois se confundem com a
descontinuidade no ponto. Nos a incluímos em virtude das assíntotas obliquas que,
se não cobram a derivada, cobram limite de onde provem o conceito de derivada.
Iremos em busca dos elementos constitutivos do gráfico de uma função
tratando, de modo indiferente, se o autor usou ou não a mesma nomenclatura. Isso
que dizer que respeitaremos, como não poderia deixar de ser, a denominação e / ou
condições que permitam tal conhecimento.
Ressalte-se que o fato matemático de se abordar inicialmente o Cálculo
Integral e, depois o cálculo Diferencial ou não fazer esta separação, bem como a
ausência ou presença de uma abordagem mais direta ao esboço do gráfico de uma
função, não traz nenhum problema conceitual à matemática. A separação, a nosso
ver, aumenta a dificuldade do aluno se apropriar do conhecimento.
117
3.2.2. Courant (1995, 1ª Edição, 4ª Reimpressão– 609 páginas)O primeiro item apresentado por Courant é o domínio de uma função, no
item 2, Conceito de Função, página 14. Ali é apresentado o conceito de função a
partir de idéias da Química e da Física usando, respectivamente, a Lei de Boyle
Mariot sobre o gás ideal e a dilatação dos metais. Para chegar à sua definição de
função, Courant (1965) recorre a um certo intervalo a x b . O intervalo é tratado
como contínuo, e o autor reforça que x é uma variável à “vontade”, o que quer dizer
que assume continuamente todos os valores compreendidos em [a,b]. A partir desta
idéia Courant (1965, p. 15) vem dizer:
Se a cada valor de x neste intervalo, corresponde um único valor definido para y, e se x e y forem ligados por uma lei qualquer, diremos que y é uma função de x e escreveremos, simbolicamente, y = f(x), y = F(x), y = g(x) ou outra expressão semelhante.
Entretanto, o domínio abordado não é dirigido ao esboço de curva. O domínio
máximo de definição de uma função somente é abordado por Courant à página 458
quando ele trata de funções de mais de uma variável.
O segundo elemento da composição de um gráfico de uma função, é o
crescimento da função tratado por Courant (1965) como função monótona
crescente, páginas 16-19 onde apresenta os gráficos das funções do mundo real: 2 3( ) e f(x) = xf x x . A abordagem faz foco na derivada como auxilio ao esboço de
gráfico de função . Neste caso o segundo elemento, do qual tratamos acima, vem
apresentado na página 106 quando Courant fala da primeira aplicação do Teorema
do Valor Médio.
O terceiro elemento tratado por Courant (1965) relativo ao gráfico de função,
concavidade, vem na página 158 e 159 com dois gráficos de função não definida (as
chamadas funções do mundo irreal, classificou Moise (1975) – y = f(x)). Já o quarto
elemento, ponto de inflexão, é tratado na página 159 com o auxilio de um gráfico de
uma função genérica que vem a significar um gráfico sem a equação equivalente. O
quinto elemento, Máximo e Mínimo, vem tratado na página 161 também com o apoio
de um gráfico de uma função genérica.
Quando “definimos” o que chamamos de fragmentação, apontamos para o
fato do elemento apresentado não ser tratado especificamente, para o esboço do
118
gráfico. Alguma proximidade entre os elementos que compõe o gráfico de uma
função no trabalho de Courant, não ter o foco na construção do gráfico. Dito de outro
modo, Courant traz elementos pertinentes à construção do gráfico de uma função no
bojo de outros conteúdos dificultando a compreensão do estudante.
Courant traz estes elementos, preocupado com aplicações gerais. Por isso
não construí um gráfico global.
É possível obtermos um outro elemento, raízes da função, a partir do
Teorema de Taylor no trato com o Contato das Curvas que Courant traz à página
331. Por último, Courant dá a pista sobre assintota quanto trata da descontinuidade
de uma função e trata da representação geométrica das curvas ao focar as
equações paramétricas na página 258. Mas sabemos que assintota e
descontinuidade são elementos matemáticos distintos. Em vários momentos Courant
chega a desenha a assintota mas nada diz sobre ela (Páginas 25, 53, etc.). É
possível que em uma análise aprofundada da obra de Courant encontremos,
estabelecido até mesmo o conceito de assíntotas. No entanto isso nos desviaria de
nosso propósito.
Em seu Capítulo II, Courant (1965) traz: Idéias Fundamentais sobre o
Cálculo Integral e Diferencial. Essa abordagem, portanto, coloca o tratamento do
gráfico de função, uma das aplicações da derivada, no “corpo” de estudos como o
do Teorema do Valor Médio para as Integrais.
A obra de Courant (1965), aqui tratada, tem o propósito de contrariar a
“antiga tradição”, em que se separava a Derivada da Integral. Esta “contrariedade” é
feita de modo efetivo na unificação do estudo da derivada com a integral. Ainda que
para nosso foco de estudo Leithold (1977) e Piskunov (1969) sejam seguidores de
Courant, diferenciam-se deste quando apresentam um número bem maior de
exercícios resolvidos e exercícios propostos dentro de uma linha, como já dissemos,
que defende o exercitar cada vez mais para que se aprenda cada vês mais
matemática.
Courant (1965) trabalha, em sua introdução, a questão da continuidade
das funções e, portanto, dos limites das funções, e inicia o trabalho do Cálculo
propriamente dito com Idéias Fundamentais Sobre o Cálculo Integral e Diferencial
(p. 77) em que vem tratar da Integral definida, da integral como área, da definição
119
analítica da integral, das regras fundamentais onde o principal é o tratamento de ∆x
tratado como dx que denota o que se chama em matemática de infinitésimo de
ordem superior ou inferior.
Quanto aos exercícios propostos e resolvidos, podemos ver que Courant
não faz foco no esboço de gráfico de função como meta particular. Ele propõe
exemplo sobre gráfico com, por exemplo, 22 , y=xy sen x no sentido de que se
verifique: Quais funções são pares e quais são impares, para a primeira função;
quais as regiões de crescimento e de decrescimento e se a função é par ou impar no
caso da segunda função acima. Ms sem que isso tenha uma continuidade no
sentido do esboço do gráfico.
Quando Courant vem usar a derivada como recurso para o estudo do
crescimento e decrescimento das funções, página 106, o faz como uma aplicação do
teorema do valor médio. Essa aplicação é, exatamente, a demonstração do teorema
que nos garante: se f’ > 0 em um certo intervalo, a função é crescente neste
intervalo. Caso contrario a função é decrescente.
Os dois primeiros exemplos sobre máximos e mínimos apresentados por
Courant, página 163, são de aplicações de cálculo de perímetro. Dois outros
exemplos, página 164, dizem respeito à lei da refração e ao cálculo da distancia
entre pontos. Até o momento, portanto (e não vai acontecer depois), Courant não
construiu o gráfico de uma função. Ele usa gráficos para exemplificar uma
afirmação, ou como faz na página 53 com a função 21
1y
x
, onde usa o gráfico
apresentado (não construído) para ilustrar a descontinuidade nos pontos x =1 e x =-
1.
Na página 166, apresenta algumas funções onde propõe que o estudante
encontre: Máximos e Mínimos, Pontos de Inflexão, Concavidade e o respectivo
gráfico. O leitor deve está perguntando: então, com esse conhecimento Courant
possibilita que o estudante construa o construir o gráfico de uma função? A resposta
é sim. Como vimos dizendo, a discussão não é sobre falha matemática dos autores,
mas sobre a metodologia.
120
3.2.2. Moise (1970, 2ª Edição), Lang (1965, 1ª Edição)Ainda que seguidor de Courant, Moise (1970) apresenta, mesmo que de
modo não muito significante, alteração de enfoque em relação a Courant no todo e,
também, na abordagem do esboço de gráfico de função. Moise (1970), inicialmente,
trata da Desigualdade e Complexidade, páginas 1-15, introduz a Geometria
Analítica, páginas 18-56, depois as Funções, Derivadas e Integrais, páginas 64 -118.
Diferenciando de Courant (1965), quando aborda Derivada e Integral
separadamente. As funções contínuas tratadas inicialmente por Courant (1995, p.
63) vêm ser alvo de tratamento em Moise no Capítulo 5: A Variação das Funções
Contínuas, páginas 200-241. Isso, no entanto, não os afasta de modo significativo
da metodologia empregada no item aqui trabalhado.
Neste aspecto, Moise (1970), em relação a Courant, parece trabalhar uma
linguagem mais compreensível para o aluno. Olhando-se a questão do gráfico de
função, o tratamento dado por Moise (1970) não difere do tratamento dado por
Courant (1965). O primeiro elemento do gráfico de função tratado por Moise (1970),
Domínio de Função, vem discutido no item 3.1, IDÉIA DE FUNÇÃO, página 65,
quando define função. Moise (1970, p. 65) vem dizer: “a grosso modo uma função é
uma lei de correspondência pela qual a cada elemento de um conjunto corresponde
um e apenas um elemento de outro conjunto”.
O segundo elemento do gráfico de função tratado por Moise (1970) é o
crescimento das funções na página 119 que está colocado no bojo do TVM como já
comentado na página 106. O terceiro elemento é a concavidade tratada na página
208 no bojo do Teorema dos Máximos e Mínimos Locais. Moise (1970) enuncia e
demonstra o Teorema e vem enunciar na, página. 208: “se f’ é decrescente em
[x2,x3] então f é côncava para baixo, em [x2,x3].”
Uma síntese para estes dois autores é que não é dada a devida importância à
derivada para a construção do gráfico de uma função. Desta forma, o uso da
derivada para calcular o menor custo na construção de um retângulo, indiferente do
material, tem o mesmo olhar dos autores do que a construção do gráfico de uma
função. Ambos trabalham os elementos do esboço de curva não direcionado para o
esboço, mas sim tentando abranger várias aplicações da derivada.
Analisando os exercícios de Moise, percebemos que ele segue o padrão de
Courant. Moise constrói, página 203, o gráfico da função 3 2( ) 2 3 4f x x x x e, para
121
tal, utiliza-se apenas da derivada primeira. A construção do gráfico da função acima,
é importante para a resolução das questões que vem a ser proposta por Moise. No
entanto, percebamos que o gráfico não é completo. É um gráfico simples que
envolve o cálculo das raízes de um polinômio de grau igual a três. O que não é uma
das tarefas mais simples uma vez que não temos uma fórmula de Sridhara (ou
Bhaskara) para isso.
De modo geral, os gráficos são apresentados na mesma direção de Courant.
Uma diferença em termos de gráficos de função entre estes autores, transparece por
Moise exibir muitos mais gráficos que Courant, quando trata do cálculo de área por
integração. Quando discutimos a importância do gráfico de funções, apresentamos a
Expressão V, a Expressão VI o gráfico 6 e o gráfico 7, páginas 20 -22, que dão um
sentido mais claro às expressões.
3.2.3. Anton (2000, 1ª Edição)Nesta obra, percebemos uma profunda modificação referente a Courant
(1965) e Moise (1970) basicamente no que diz respeito ao estudo do gráfico de
função que tem um tratamento concentrado. Anton (2000) assim como veremos com
Thomas & Wesley (2002) no próximo item, traz um tópico específico para o estudo
de gráfico de função, Análise das Funções e Seus Gráficos (p.289-324) dedicando
25 páginas a essa questão.
O primeiro elemento do gráfico de função a ser tratado por Anton (2000) é
o domínio (e a imagem) da função, página 16. Esse tratamento investe, por um lado
em questões do cotidiano e, por outro, no uso do computador. Por esse motivo,
Anton (2000, p. 19) vem trazer os termos entrada e saída. Anton (2000, p. 19) traz,
duas definições de função:
Definição 1 – “Se uma variável y depende de uma variável x, de tal forma
que cada valor de x determina exatamente um valor de y, dizemos que y é uma
função de x”.
Definição 2 – “ Uma função f é um critério que associa uma única saída a
cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é denotada por f(x)
(leia-se f de x)”.
O segundo elemento, do qual não tratamos no processo de criação dos
dados para que os alunos viessem a refazer os cálculos dos elementos do gráfico de
122
maneira mais eficaz, é a simetria. Usando-se o Teorema da Simetria, pode-se
facilitar a construção do gráfico trabalhando apenas um intervalo da função.
Não é nosso propósito constituir uma análise aprofundada dos livros nem
mesmo no que se refere ao esboço de gráfico de função. Isso seria, pelo menos
uma dissertação dentro de uma tese. No entanto, em virtude das observações que
faremos ao tratarmos do trabalho de Moretti (2003) (Vide Capitulo 2 –
Fundamentação Teórica), consideramos conveniente adiantar que, “atalhos” como o
permitido pela Teoria da Simetria, o uso de rotação e translações, etc., certamente
pode favorecer o estudante no momento da construção do gráfico de uma função.
No entanto, consideramos que, para essa pesquisa, essa oportunização
não seria enriquecedora. Na realidade, tanto nesta dimensão de abordagem quanto
para além dela, temos outros elementos que podem facilitar a construção do gráfico.
Limites e continuidades das funções, por exemplo, são partes destes elementos.
Entendamos, essa discussão, através do gráfico de 1( ) , 0f x xx
, abaixo.
Gráfico 24 - Gráfico da função f(x)=1/x, x≠0, ilustrando a simetria
Esta é uma função simétrica em relação à origem. Ou seja, conhecendo-
se o seu comportamento no intervalo -∞< X < 0, fica conhecido o seu
comportamento em 0 < X <+∞. A proposta é que o aluno trate dos dois ramos e
não simplesmente o rebata.
O terceiro elemento são as assíntotas nas páginas 120 – 122. Como já
colocamos na página 31, alguns autores tratam assíntotas no bojo da
123
descontinuidade. Mas como vimos são elementos distintos. Anton (2000, p.122) vem
dizer: “uma reta x = a é chamada de assintota vertical (destaque do autor) do
gráfico de uma função f se f(x) tende a ou - , quando x tende a “a” (Destaque
nosso) pela esquerda ou pela direita”.
O autor inicia o tópico 5.1 – Análise de funções: Crescimento,
Decrescimento e Concavidade, chamando a atenção para o fato de que os recursos
gráficos são úteis mas não atingem a precisão necessária para algumas questões.
Anton (2000, p.290) vem dizer: “embora os recursos gráficos computacionais sejam
úteis na determinação do aspecto geral do gráfico, muitos problemas requerem uma
precisão maior do que aquela que eles são capazes de produzir”.
Anton (2002) alerta para softwares como o usado neste trabalho que,
para o caso da curva 3( )f x x , dá uma visão gráfica de que existe uma infinidade
de pontos raízes da função conforme pode-se ver no gráfico abaixo:
Gráfico 25- Gráfico da função f(x)=x3
Observe-se que a análise visual leva ao entendimento da existência de
vários ZEROS da função no intervalo (-1,1) quando, na verdade, a função possui
uma única raiz, x = 0. Ou, se o leitor preferir, três raízes nulas 31 2 3( 0)( 0)( 0)x x x x .
O que faz com que o computador faça um traçado visualmente equivocado.
Anton (2002) chama a atenção para a necessidade do uso do cálculo a
fim de se poder apontar localizações exatas de aspectos-chave. O autor se está
referindo, também, ao fato apontado no gráfico 25 acima. Ao definir função
Crescente e Função Decrescente, Anton (2000) traz um adendo importante, a
124
função constante, que é tratada por Moise (1970), ao logo do texto, mas não no
ponto específico de crescimento e decrescimento da função.
Anton (2000, p.290)”5.1.1 DEFINIÇÃO. Seja f definida em um intervalo e sejam x1
e x2, pontos do intervalo”:
a) f é crescente no intervalo se f(x1)<f(x2) para x1 < x2;
b) f é decrescente no intervalo se f(x1)>f(x2) para x1 < x2.
c) f é constante no intervalo se f(x1)=f(x2) para todos pontos x1 e x2”“.
Quadro 8-Quadro de definição de Anton
Neste tópico, Anton (2000) aborda 10 gráficos, sendo sete genéricos e
três de funções do mundo real no dizer de Moise (1970). Tome-se, no entanto, para
posterior análise do leitor, a figura abaixo
Gráfico 26- Representativo da constante. C = Crescimento; D = Decrescimento
A partir deste gráfico, Anton (2000) ilustra cada passagem da definição,
repetindo os gráficos em seus intervalos. Ou seja, mostra quatro gráficos no
contexto exato onde a função cresce, decresce e onde é contínua.. Deste modo,
uma bateria de exercícios propostos são para esboçar gráfico de função. O autor
não deixa, porém, de contemplar outras aplicações como no caso dos máximos e
mínimos aplicados à economia, à biologia, etc.
3.2.4. Thomas & Wesley (2002, 1ª Edição)
Thomas & Wesley (2002), seguindo a metodologia de Anton (2000),
apresenta o estudo do gráfico de função no capítulo 3, Aplicações das Derivadas
125
(p.299-313), no qual trata dos Extremos da função, do Teorema do Valor Médio, da
Forma do gráfico de Modelagem e otimização.
O primeiro elemento do gráfico de função tratado por Thomas & Wesley
(2002) é o Domínio no item 2, Funções e Gráficos, página 11. De modo análogo a
Anton (2000), Thomas & Wesley (2002) inicia o trabalho de funções abordando
fenômenos do cotidiano. Thomas & Wesley (2002, p.10) vem definir “uma função de
um conjunto D para um conjunto R é uma regra que associa um único elemento de
R a cada elemento em D”.
O segundo elemento do gráfico de função tratado por Thomas & Wesley
(2002) são as regiões de crescimento e regiões de decrescimento das funções no
tópico: Funções Crescentes versus Decrescentes, página 13.
O terceiro elemento do gráfico de função é a simetria, página 14,
analogamente ao que faz Anton (2000). Dentre os exemplos de gráficos simétricos,
Thomas & Wesley (2002) traz o gráfico de y = x3. Este gráfico, legendado na página
123 como gráfico 25, é simétrico em relação à origem.
Gráfico 27 - Mesmo gráfico de simetria apresentado por Anton (2000, p. 123)
3.3.5. Quadros de Sumarização.
Apresentamos, agora, através de tabelas duas sumarizações referentes aos
livros textos com os quais trabalhamos. A primeira tabela envolve dois elementos
claramente contidos em todos os textos. Estes elementos estão iniciando a
sumarização em virtude de sua interligação na construção do gráfico. Assim, se uma
função não linear e não constante, cresce ou decresce em um determinado
intervalo, necessariamente possui região de convexidade.
Outra importância na observação destes dois elementos é que eles certificam
se temos ou não um extremo local em um certo intervalo. Assim: tomando-se uma
função derivável em um intervalo K do domínio da função, não necessariamente nos
126
seus extremos, e aí tivermos região convexa e região côncava sendo a função
decrescente em um intervalo e decrescente em outro, saberemos seu extremo local.
O leitor se deve lembrar que chamamos a atenção para afirmativa semelhante de
Moise. Naquela ocasião chamamos a atenção para o fato de que Moise esquecera
de dizer que a função tinha de ser continua e derivável no intervalo. A questão que o
leitor deve esta levantando é: por que não dissemos da necessidade da condição da
função aqui? Observe que dissemos por outra via, já que se a função é derivável em
um ponto ou em um intervalo, necessariamente, é continua aí.
Assunto
Autores
Courant (1965)
609 páginas
Moise (1970)
487 páginas
Anton (2000)
670 páginas
Thomas & Wesley
(2002)
647 páginas
Crescimento da
Função
Definição (p.20) Definição
(p. 119)
Definição (p.290) Definição
(p.251)
Decrescimento da
Função
Definição (p.20) Definição
(p.122)
Definição (p.290) Definição
(p.251)
Região de
concavidade da
função: Côncava
Definição
(p.158)
Definição
(p. 208)
Definição
(p.292)
Definição
(p.253)
Região de
concavidade da
função: Convexa
Definição
(p.158)
Definição
(p. 208)
Definição
(p.292)
Definição
(p.253)
Fragmentação de
tópicos
138 páginas 86 páginas 2 páginas 2 páginas
Quadro 9- Quadro da fragmentação na definição
Vejamos o gráfico desta tabela a fim de uma melhor visualização quanto à
fragmentação relativa ao número da página em que o assunto é abordado. Perceba
o leitor que os elementos, abordados em Courant, produzem uma fragmentação (a
respeito do número de página onde está sendo abordado o tópico) maior do que em
Moise e neste, maior do que em Anton e Thomas. Dito de outro modo, Courant
fragmenta, consideravelmente mais do que Moise. E Moise consideravelmente mais
do que Anton e Thomas que têm o mesmo número de páginas de fragmentação.
É importante lembrar que a fragmentação não é composta apenas da
separação de abordagem em termos do número da página. Temos outros elementos
127
conforme vimos na página 14. Nem todos os itens que compõe a fragmentação
podem ser colocados em um gráfico. Mas é verdade que outros gráficos poderiam
ser feitos, no entanto, nosso objetivo aqui já está cumprido: Mostrar a existência de
fragmentação entre os livros abordados.
Fragmentação em relação ao número da página
050
100150200250300350
Cresc
imen
to
Decresc
imento
Reg.Côn
cava
Re.Con
vexa
"frag
mentaç
ão"
Elementos
Nº d
a pá
gina Courant(1965)
Moise(1975)
Anton(2000)
Thomas(2002)
Gráfico 28- Fragmentação em relação ao número da página
O quadro (quadro 8) a seguir, traz o ponto crítico e o como este elemento é
enfocado no gráfico da função. Perceba-se que a preocupação está contida no item
b, página 14, quando determinamos o que chamaríamos de fragmentação. Alem de
pretendemos mostrar como é apresentado, em termos de importância geométrica,
mais um dos elementos que compõem o que chamamos de fragmentação,
queremos justificar a dificuldade de uma tabela com todos os itens que compõem
um gráfico global ou completo. Os gráficos de funções hipotéticas, trazidos nos livros
texto trabalhados, em geral, não são gráficos completos, mas sim ramos do gráfico
de uma função que, é bem verdade, nem sempre deixa de ser o registro de um
gráfico.
No caso de Courant, o ponto crítico não aparece com essa terminologia.
Neste caso, o estudante nem tem como identificar o ponto crítico. Dado que o ponto
crítico é aquele no qual ocorre um extremo local ou a função torna-se infinita, o
estudante terá de construir o gráfico com o entendimento de extremos locais e
pontos de descontinuidade que substituem as assíntotas, pelo menos as verticais,
em termos terminológicos. Repetimos que por qualquer um dos livros textos aqui
tratados o aluno é capaz de traçar o gráfico de uma função seja ela qual for. Do
128
mesmo modo, a metodologia que apresentamos não é a única capaz de levar o
aluno a construir o gráfico de uma função.
Assunto
Autores
Courant (1965)
609 páginas
Moise (1970)
487 páginas
Anton (2000)
670 páginas
Thomas & Wesley
(2002)
647 páginas
Ponto Crítico Sem Definição Definição
(p.208)
Definição
(p.300)
Definição
(p. 255)
Tratamento Gráficos
induzidores no
tópico funções
especiais.
4 Gráficos de
funções
hipotéticas e
formalização do
tópico dentro de
outro tópico
6 Gráficos da
vida real, 8
gráficos de
funções
hipotéticas e
formalizações.
4 gráficos da vida
real, 1 gráfico de
função hipotética.
Quadro 10 Quadro da sumarização de definição por página
Tabela 3- Diagnose da distribuição das definições no ensino de gráficos de funções
ANO/OBRA1965 1970 2000 2002
Assunto Courant Moise Anton Thomas & Wesley
Crescimento Página 20 Página 119 Página 290 Página 251
Decrescimento Página 20 Página 122 Página 290 Página 251
Concavidade Página 158 Página 208 Página 292 Página 253
Distância 138 86 2 2
Crescimento Página 20 Página 119 Página 290 Página 251
Decrescimento Página 20 Página 122 Página 290 Página 251
Ponto Crítico Página 160 Página 208 Página 300 Página 255
Distância 140 86 10 4
Concavidade Página 158 Página 208 Página 292 Página 253
Ponto de inflexão Página 159 Página 208 Página 293 Página 255
Distância 1 1 1 2
Crescimento Página 20 Página 119 Página 290 Página 251
Decrescimento Página 20 Página 122 Página 290 Página 251
Máximo / Mínimo Página 159 Página 205 Página 299 Página 231
Distancia 139 12 9 21
129
Ponto de inflexão Página 159 Página 208 Página 293 Página 255
Assíntotas Página *197 Página 365 Página 82
(311-312)
Página 111
Distância 38 57 111 (19-18) 144
Total de páginas
da coleção
609 487 670 647
No intuito de melhorar a visualização, tomemos o gráfico abaixo:
Gráfico da sumarização
050
100150200250300350400
Cresc
imen
to
Decres
cimen
to
Conca
vidad
e
Ponto
Crítico
Ponto
de in
flexã
o
Máxim
o / M
ínimo
Assínt
otas
Elementos
Pági
nas
Courant MoiseAntonThomas
Gráfico 29-Gráfico da sumarização
O quadro 8, página 126 da fragmentação da definição e a tabela 5, página
128, da diagnose da distribuição das definições, vêm originar o Gráfico 29,
imediatamente acima, onde podemos ver com mais clareza a fragmentação a que
nos referimos: elementos constitutivos do gráfico distanciados entre si por um
número de páginas que dificulta o entendimento; número insuficiente de gráficos
globais que contemplem todos os elementos possíveis em uma função racional
inteira; abordagem de tópicos dentro de outros tópicos, falta de uma orientação de
seqüência de cálculo de elementos. Observamos que, no caso de crescimento e
concavidade, há um distanciamento de abordagem em Courant (1965) de 185
páginas e de Moise (1970) de 86 páginas, enquanto Anton (2000) e Thomas &
130
Wesley (2002) usam 2 páginas. A pergunta que o leitor deve estar fazendo é:
quando é que não existe distanciamento?
Estamos chamando de distanciamento o fato do elemento ser estudado
separadamente de outro em termos gráficos. Por exemplo, vemos que Anton (2000)
e Thomas & Wesley (2002) não o produzem neste aspecto. Dito de outra forma, o
esboço de gráfico de função esta contido em um capítulo ou tópico e, portanto, o
assunto não sofre descontinuidade.
Em síntese verificamos na tabela 4: O número de gráficos globais
insuficientes a um entendimento mais rápido e eficaz por parte dos quatro autores já
que discutimos o gráfico global conforme Dugdale (1993) e a abordagem de tópicos
dentro de outros tópicos ainda que Anton (2000) e Thomas & Wesley (2002)
apresentem gráficos mais completos aproximando-se do gráfico global a que se
refere Dugdale (1993).
Finalmente, o que quisemos mostrar neste item do capítulo foi, de modo
particular, a fragmentação na abordagem do esboço do gráfico de uma função bem
como a relevância com que os autores mencionados tratam do assunto. E ainda,
que Thomas & Wesley e Anton estejam muito distantes de nossa proposta, a
perspectiva de fornecer uma noção gráfica do que diz a linguagem matemática a
respeito das definições, conceitos e teoremas é tida por nós, como passo importante
na direção de uma nova proposta para o ensino de Cálculo.
131
CAPÍTULO 4 – Estudo de Uma Metodologia de Intervenção
Este capítulo vem organizar o último estudo de nossa tese: a construção,
experimentação e análise de uma metodologia de ensino para o esboço de gráficos
de funções. Tal metodologia tem por base o trato dos elementos formadores do
gráfico de uma função como objetos iniciais da abordagem. Buscamos proporcionar
ao aluno a compreensão gráfica antes da formalização matemática. Para tanto,
tomamos, como ponto de partida, um gráfico global a partir do qual busca-se a
interpretação e significância de cada elemento constitutivo do mesmo usando o
máximo de representações possíveis para cada elemento.
Desta forma apoiamo-nos em pesquisadores como Dugdale (1993) e na
teoria dos registros de representações semiótica de Duval (2004), que propõe não
só mais de uma representação para o aluno compreender o elemento matemático
mas, também, tanto a sua capacidade cognitiva de transitar entre estas
representações como a capacidade de perceber os fundamentos matemáticos que
lhe possibilitam efetuar e controlar a diversidade do problema.
Tomando como exemplo o crescimento e a concavidade em um intervalo
do domínio de uma função, vimos dizer que conhecer o intervalo de crescimento
desta função requer, em nossa perspectiva “duvaliana” entender, pelo menos, as
condições algébricas e as condições geométricas de como este processo se dá.
Mas não só isso, entender, como discute Duval (2003), quais são os processos
cognitivos mobilizados para essa aprendizagem.
Na fundamentação, dissemos que a idéia de transformação trazida por
Duval (2004) era de particular interesse neste trabalho. Vimos que esta idéia é
composta de outras duas idéias: Tratamento e Conversão. Em nossa proposta,
muito embora tenhamos consciência de que Duval (2003, 2004) nos diz que esta
132
abordagem não produz semiosis, a idéia de transformação por tratamento é a
primeira a ser abordada por ser mais simples.
E não estamos em desacordo com Duval (Ibidem). Conforme ele mesmo,
esta é uma forma de ensino de matemática e que pode, em um primeiro momento,
ser utilizada exatamente por ser mais simples. Neste caso, discutimos a família da
função dentro de um mesmo sistema semiótico a fim de proporcionar ao aluno a
possibilidade de reconhecer a função de cada elemento que compõe o gráfico: os
coeficientes das variáveis, as potências e os elementos independentes.
No segundo momento trazemos a Conversão onde tratamos da
congruência ou não congruência obedecendo aos três critérios propostos por Duval
(Ibidem) e que recolocamos aqui: correspondência semântica das unidades de
significado, univocidade semântica terminal e mesma ordem das unidades de
significado que se deve dá entre o registro de partida e o registro de chegada.
Vimos que a congruência só se dará entre dois registros de
representação se obedecidos, pelo menos, dois dos critérios colocados por Duval
(ibidem). Isso significa a existência de uma conversão “parcial”, como mostra Duval
(2003, p. 19), ao dizer: “Existem na realidade muitos fatores que determinam o
caráter congruente ou não-congruente de uma conversão, o que conduz a
determinar as situações intermediárias ...(destaque nosso)”.
De acordo com Duval (Ibidem) pode até mesmo haver congruência em
um sentido, digamos, de uma representação na linguagem figural para a simbólica, e
não haver essa congruência na passagem inversa: Linguagem simbólica
Linguagem figural. As funções são um bom exemplo deste fato. Outro bom exemplo
é o conceito de derivada na linguagem materna (como entrada) que tem como saída
a linguagem simbólica: a congruência está presente. No caso inverso não há
congruência. (Vide Quadro 3, página 58)
Esta abordagem para a aprendizagem da matemática é difícil e, cada vez
que avançamos para uma matemática mais intricada, a complexidade da abordagem
aumenta pois, como já colocado, será necessário lançar mão de mais e mais
representações dentro de um procedimento no qual, por um lado o aluno possa
verificar, analiticamente, as dificuldades existentes quando do aprofundamento da
133
ciência em questão, de outro possa agregar conhecimentos compartilhados com
outros alunos em uma perspectiva vigotskiana do estado perspectivo de Piaget.
O estado da aprendizagem apontado por Piaget, leva Duval (1999) a seu
questionamento através de Glaeser (1973). Como isso Duval (Ibidem) discute que o
modelo piageteano de desenvolvimento do raciocínio das crianças já se revelou
inadequado. De acordo com Duval (1999, s / p):
[...] por quanto (O modelo piageteano - nota nossa) não permitia analisar as dificuldades encontradas pelos alunos quando se trata de fazer uma demonstração e não permitia levar em conta as condições do trabalho em grupo em um momento no qual o uso de atividades de investigação como método de ensino das matemáticas (Glaeser, 1973) deveria possibilitar as interações entre os estudantes.
Duval (Ibidem) vem desenvolver sua teoria discutindo um novo processo
de aprendizagem no qual a abordagem cognitiva precisa ser compreendida como
descritiva da possibilidade do aluno no “confronto” com as representações
semióticas e, neste caso, é o aluno quem executa e atina para a heterogeneidade
dos procedimentos matemáticos.
De acordo com Machado (2003, p. 8), “na perspectiva de Duval (1994),
uma análise do conhecimento matemático é, essencialmente, uma análise do
sistema de produção das representações semióticas referentes a esse
conhecimento”. De fato, Duval (2003) discute os fundamentos dos registros de
representações semiótica e o funcionamento cognitivo da compreensão em
matemática no aluno. Isso tudo vem trazer uma problemática que leva Duval (2003,
p. 1-14) à preocupação do aprendizado na compreensão da matemática
estabelecendo três questões principais:
1. Como compreender as dificuldades muitas vezes insuperáveis que muitos
alunos têm na compreensão da matemática?
2. Qual a natureza das dificuldades?
3. Onde elas se encontram?
Nesta discussão, Duval (Ibidem) faz foco na necessidade de se entender
as dificuldades do aprendizado matemático através de uma abordagem cognitiva, e
não apenas por uma questão restrita à matemática em si ou a historia. Numa das
134
passagens relacionadas com a compreensão em matemática, aponta para uma
questão, a princípio, paradoxal. Duval (3002, p.21) vem perguntar: “[...] como
podemos não confundir um objeto e sua representação se não temos acesso a esse
objeto a não ser por meio de sua representação?”. Em nossa fundamentação
abordamos esta questão apresentando, à luz de Duval, que o objeto não pode ser
confundido com sua representação. E, de fato, Duval vem dizer do motivo desta
dificuldade em virtude do objeto representado não poder ser identificado como o
conteúdo de sua representação.
Tratando a questão matemática no ciclo básico, o teórico observa a falta
de importância atribuída ao formalismo matemático. Este quadro levanta problemas
com os quais os alunos se deparam quando passam ao ensino superior e esta
problemática emerge neste trabalho. Adiantamos um ente que vem obscuro.
Falemos da questão da abordagem dos limites de função. Por exemplo,
Giovanni & Bonjorno (2001, p. 234) definem limite de uma função: "o limite da função
f(x) quando x tende a ‘a’, é o número L, se, e somente se, os números reais da
imagem de f(x) permanecerem próximos de L, para os ínfimos valores de x próximos
de a. Indica-se por lim ( )x aF x L
”.
Este tipo de definição traz problema para o aluno no ensino superio,
quando lhes é colocado a real definição de limite, uma vez que dizer: “os números
permanecem próximos”, não tem significado claro em matemática. A definição
formal de limite envolve a determinação de (epsilon) e (delta), que trazem
grandes dificuldades para a compreensão do aluno acostumado ao simplismo deste
tipo de definição.
Aqui não estamos criticando os autores, estamos levantando uma
problemática como o faz Duval, um vez compreendermos a dificuldade de se
apresentar o real conceito de limite no ensino médio como o faz o próprio Elon
Lages Lima abordado na página 8. Por fim, é o tratamento para o epsilon e delta que
vai representar aquilo que autores querem dizer por permanecer próximo.
Tomemos a definição mais comum nos livros didáticos de cálculo sem
perda de generalidade: Seja f(x) uma função definida em todo intervalo aberto I que
contenha o número ‘a’ não definida necessariamente em ‘a’. Dizemos que:
135
lim ( ) se dado um número qualquer 0, pudemos
encontrar um número 0 /|f(x)-L| se 0 | x-a|
x af x L
é a partir desta condição que se pretende a compreensão do aluno a respeito da real
definição matemática de limite. Com esta definição, também se pretende que o
aluno venha a entender uma espécie de “paradoxo”: a definição de limite nos
possibilita saber do erro ou acerto do cálculo mas não serve para seu cálculo. Em
outras palavras, a definição de limite é uma validação dos cálculos. ADEMIR
Nesta realidade, o que em matemática pura se chama vizinhança, no
ensino médio os autores chamam de próximo. Então, como trabalhar a introdução
ao limite no ensino médio? Possivelmente através da argumentação como vem
discutir Duval (2004). Neste caso, Duval (2004, p. 204) vem dizer: “A argumentação
tem como propósito modificar a natureza e o grau de convicção que tem um
interlocutor sobre uma proposição, de maneira que a rechace ou a aceite”.
E quanto à aquisição deste conhecimento? De acordo com a teoria dos
registros de representação semiótica, careceríamos apresentar ao aluno um número
de representações que pudesse construir este conhecimento. Algo, de fato, não
trivial. A dificuldade no entendimento do limite é tal que os autores dos livros texto de
cálculo, aqui mencionados, mesmo os mais antigos, lançam mão da linguagem
figural para se fazer compreender, muito embora nos forneça uma compreensão de
abordagem “baldista”7. Anton e Thomas utilizam-se mais destes recursos em
número de exemplo no mesmo sistema semiótico, linguagem figural, do que Courant
e Moise.
Duval (1999, s / p), ao tempo em que pergunta sobre as características
principais do problema da argumentação, responde: "[...] de inicio tem havido um
redescobrimento do caráter irredutível e insubstituível das línguas naturais em
relação as linguagens formais no que concerne a facilitar de maneira econômica a
comunicação entre os indivíduos". Duval (Ibidem) traz à discussão a questão da
argumentação, a fim de poder contornar problemas semelhantes ao do limite. Deste
7 O termo baldista, também conhecido como "cabeça vazia" foi cunhado, conforme Santos (2001), por Nilson José Machado. Machado se estava referindo ao aluno na postura passiva a receber os conhecimentos do professor.
136
modo, propõe que seja tomado como objeto do ponto de convergência um duplo
reconhecimento da argumentação: o papel da comunicação e as interações sociais.
Para dar conta de questões como a do limite acima citado, Duval (Ibidem)
discute a “emergência da problemática da educação”. Neste ponto, pergunta sobre a
questão da emergência da argumentação e estabelece dois tópicos: fora e dentro
(no ensino) da matemática. Com fora da matemática, Duval (1999) refere-se à
discussão cotidiana, emprego da linguagem natural no lugar da linguagem formal
mas sem que se trate de uma simples e pura mudança de sistema semiótico.
4.1.2. Introdução aos princípios da abordagemPara esta pesquisa, que teve como início o pagamento dos 32 créditos,
adotamos as seguintes etapas procedimentais: definimos o critério a partir do qual
escolheríamos os sujeitos; tratamos da revisão da literatura, onde constatamos a
escassez de trabalhos em educação focando matemática superior de modo geral e
de modo particular sobre esboço de gráfico de função no Brasil; verificamos um
grande conjunto de livros texto de cálculo, até decidirmos por tratar do esboço de
gráfico de função, observando a metodologia de dois grupos que classificamos como
antigos (Courant (1965) e Moise (1970)) e novos (Thomas (2002) e Anton (2000));
fizemos dois experimentos, em virtude do primeiro se ter mostrado absolutamente
equivocado, nos quais aplicamos um pré e um pós-teste; entre os testes
ministramos as aulas focadas na hipótese; categorizamos os dados e fizemos sua
análise.
Após o pós-teste, os professores Moacyr Cunha (Mestre), o professor
André Marques (doutor) e a professora Claudia Dezotti (Doutora), atendendo nossa
solicitação, aplicaram testes de esboço de gráfico de função por nós elaborados e,
envolvendo outras questões, aos mesmos alunos, e o índice de respostas corretas
foi maior do que no nosso pós-teste. Temos dois entendimentos para o fato: Em
primeiro lugar, a matemática é uma ciência que requer maturação; em segundo
lugar, as questões foram em número e nível de dificuldade muito menor.
Apresentaremos estes dados de modo bruto, uma vez que não
elaboramos as questões com vista a uma análise. Por outro lado, não faremos,
como já frisado, comparações entre os testes, mesmo que os alunos os tenham
137
resolvido à luz de nossa exposição quando das aulas, o que significa que os colegas
não ministraram o assunto. Foi recomendado, aos colegas, não procederem
nenhuma ajuda.
Como justificaremos no Capítulo 6, em Método e Coleta de Dados, para
esta pesquisa tomamos como base a discussão de Richardson (1999) e W.Goode &
P.H.Hatt (1973:398) apud Richardson (1999). A metodologia de nossa pesquisa é
aqui apresentada tomando como referência a primeira aula na qual exibimos
gráficos completos, discutimos os elementos necessários à sua composição sem o
uso da formalização matemática necessária para se definir estes elementos usando
setas, achuramento, símbolos matemáticos e do dia-a-dia, buscamos a inter-relação
entre os elementos constitutivos do gráfico e, só então, tratamos da formalização
matemática.
Dentro de nossa proposta, adotamos a sugestão de Duval (2003) quanto
ao uso de um método para se pesquisar processos de aprendizagem. A grande
questão, então, é compatibilizar o que devemos atentar nos trabalhos do aluno com
um modelo de observação, análise e interpretação daquilo que se possa extrair dele.
Então, nosso cuidado inicial esteve focado, de um lado (Pré-teste), nos
conhecimentos do aluno diante da proposição de Duval.; de outro, durante a
apresentação das aulas, no enfoque de acordo com nossa proposta e, ainda (pós-
teste), na análise dos dados com base na teoria dos registros de representações
semiótica.
Quando Duval (2003, 2004) fala da conversão que “puxa” a problemática
da semântica, aponta três condições para este tipo de transformação. Mostramos
que as três condições não são requisitos absolutos para que se dê a conversão.
Basta dois deles, ainda que a conversão seja parcial. Por isso, Duval (Ibidem) vem
apontar que, para ser possível distinguir unidades de conteúdo cognitivo próprio de
uma representação, há a necessidade de impor variações nestas representações,
quer no registro de entrada, quer durante o “trafego” de uma representação para
outra representação. A conversão vai ocorrer se o registro de saída conservar o
sentido do registro de entrada, que Duval chama de conservação da unidade
semântica. Quando esta conservação não existe, as variações impostas deixam de
ter o contributo cognitivo e, como discute Brant (2005), as variações são neutras.
138
Nesta atividade metodológica, para focarmos de modo mais efetivo o
gráfico de função com o auxílio da derivada, atentamos para a teoria dos registros
de representações semióticas seguindo Igliori e Godoy (2005, p. 4) quer vêm dizer:
“[...] é fundamental para aprendizagem de conceitos de matemática, como a
derivada, levar em conta a relação entre representação e objeto representado”.
4.1.3. Procedimentos metodológicos.Nesta pesquisa, adotamos ações comuns às pesquisas em educação
como, por exemplo, a escolha dos sujeitos da pesquisa e algumas características
deste grupo, uso de questionário, entrevista, pré e pós-teste, etc. Nossos
procedimentos iniciais têm as seguintes fases:
Escolha dos sujeitos da pesquisa com uma característica fundamental: já
haver travado conhecimento com funções, gráficos e derivadas;
Aplicação dos questionários I e II (Anexos I e II) no intuito de levantarmos
questões tais como: A expectativa do público alvo; a verificação de acesso a
Internet por parte dos alunos uma vez que tínhamos a pretensão de usarmos
um Ambiente Virtual de Ensino; uma avaliação sobre a idéia limite, adição de
números fracionários e a passagem da linguagem materna para a simbólica.
Cadastro, no ambiente Virtus, de 35 alunos divididos em duas turmas;
Disponibilização de vários softwares matemáticos livres entre eles o software
específico para o curso: Estudo de Funções.
Aplicamos um pré e um pós-teste com as mesmas questões, a fim de
uma avaliação de possível progresso no aprendizado da montagem de um gráfico
de uma função, bem como da real cognição do aluno a partir de uma proposta
metodológica que tem, como norteador, o modo de como se apreendem conceitos
matemáticos propostos por Duval (2004).
Na proposta dos testes tratamos de analisar as respostas a partir da
apresentação de duas questões, cada uma composta de uma curva de função onde
os alunos responderam na linguagem simbólica ou na linguagem materna, e de três
questões de gráficos reais em forma analítica explícita, em que os alunos também
podiam usar a linguagem figural.
139
Nesta análise, tentamos (tanto no pré quanto no pós-teste) verificar os
conhecimentos dos alunos sobre os elementos necessários à construção de um
gráfico de função polinomial fracionária e de funções que são subconjunto destas.
Assim tratamos dos elementos: Domínio e Imagem; Raízes; Pontos Críticos; Máximo
e Mínimo; Região de Crescimento e Região de Decrescimento; Concavidade e ponto
de Inflexão; Ponto de acumulação (Cúbicos); Assíntotas.
Dado que a abordagem foi na compreensão dos conceitos e definições
dos elementos acima, tivemos insistente preocupação com o entendimento dos
alunos na relação linguagem formal x linguagem informal, a fim de tentarmos
garantir a compreensão na implicação existente entre os pontos tratados. Nesse
caso, tivemos particular atenção para o fato de que, por exemplo, se uma função f
tem como domínio máximo de definição os reais, ela não pode possuir assíntotas
verticais.
Destacamos não estarmos tratando de análise de softwares. Isso vem
significar que o trabalho, dentro dessa metodologia, não exige o uso do computador
e, no entanto, essa possibilidade é importante para a construção das aulas sendo,
por esse motivo contemplado o uso de software.
Trabalhamos, inicialmente, com um grupo de 35 alunos, divididos em
duas turmas, uma com 18 e outra com 17 alunos, em virtude das necessidades dos
alunos que cursam a especialização. Os alunos são Professores da rede Estadual
e / ou, municipal e / ou particular do Estado de Pernambuco, na cidade do Recife e
região metropolitana, cursantes da Especialização em Matemática na UFRPE.
Foram escolhidos em virtude da facilidade de encontro com o pesquisador, uma vez
que estes se encontravam todos os sábados, durante todo o ano, aos sábados, na
UFRPE.
Ao buscar confirmar que a forma metodológica em que o aluno só vê
partes do gráfico à proporção que se vai demonstrando, definindo e conceituando
seus elementos constitutivos não é uma metodologia que venha contemplando o seu
conhecimento e seus esforços na montagem de um gráfico, explicitamos a base
metodológica colocando que o seu estabelecimento se daria apresentando-se
gráficos que continham o maior número possível de elementos a partir do qual
procuraríamos levar o aluno ao entendimento intuitivo dos mesmos.
140
4.1.4. Breve explicação do ExperimentoUsando a figura abaixo, primeira figura do experimento, procuramos
definir, intuitivamente, onde (em que intervalo) a função que lhes deu origem cresce,
em que intervalo decresce, em que intervalo é côncava, em que intervalo é convexa
e por que a função possui ponto de máximo e de mínimo locais. Buscamos verificar
se existem assíntotas e quais são, etc., e trabalhamos uma “árvore” de discussão,
buscando as inter-relações entre os elementos.
Gráfico 30 -Gráfico I do Experimento
141
Em cada uma destas explanações o gráfico, no seu todo, estava no
ângulo de visão do aluno e, na medida em que falávamos em um dos elementos,
buscávamos destacar aquele elemento (ponto ou intervalo) com um símbolo
matemático próprio do gráfico de função apresentada. Este gráfico nos permite
verificar, de modo visualmente claro, os extremos locais e assim podemos discutir
em uma linguagem figural ou natural ou, como é o caso posterior, na linguagem
formal. Em outros gráficos apresentados não era possível discutirmos à luz da
linguagem figural. Então foi colocado para o aluno que os cálculos matemáticos
dariam a localização. Por exemplo quando tratamos do gráfico da função: 3
2( )4
xf xx
, verificamos que um dos extremos absolutos para -4< x <-3 e 3 < x < 4.
(Máximo e mínimo respectivamente).
Às vezes, houve a necessidade, como nesse caso, de chamar a atenção
do aluno para o fato de que o software usado não permitia sabe qual o valor do
ponto de Extremo local. O que sabíamos era que esse ponto pertencia a um certo
intervalo K de f. E, para isso, entramos com as noções de derivada usando, apenas,
as fórmulas necessárias. No caso a derivada de uma constante, a derivada de uma
potência e a derivada de um quociente.
Até este momento não tratamos de demonstrações. Estas ficaram para a
finalização. Nesse trabalho, como se vem discutindo, o aluno vai se envolvendo com
a curva e seus elementos, paralelamente à representação de símbolos matemáticos
com já se expôs. Em um passo posterior tratamos da formalização matemática.
As aulas desenvolveram-se em uma carga horária de dezesseis horas /
aulas presenciais ministradas pelo pesquisador sendo tentado um acompanhamento
dos alunos através do Ambiente de Ensino, Virtus. Tomamos, por exemplo, este
outro gráfico muito semelhante ao Gráfico 28 a fim de mostrar que o software não
iria definir exatamente os pontos de extremos locais e ira dá uma impressão
equivocada sobre os zeros da função conforme já comentamos.
Projetamos na tela usando-se um DataShow. Nesse momento, os alunos
estavam com as suas máquinas desligadas. Mostramos o Domínio e a Imagem da
função, sem rigor matemático. Depois, especificamos o domínio e a imagem em
função de suas variáveis como cobramos no Pré-Teste. A partir deste ponto,
142
mostramos os principais elementos (x; y) de f: Ponto Crítico, Raízes, Ponto de
Inflexão e Extremos Relativos, etc., e buscamos suas relações. Mostramos a
infinidade de zeros entre -1 e 1.
Como já descrito, havia a compreensão de que a dúvida do aluno na
montagem do gráfico estava, primordialmente, na unificação dos intervalos para a
compreensão do comportamento da curva. Desta forma, tomamos os intervalos de
crescimento da função: (-∞;-(3+∆X)) U ((3+∆X);+∞), e buscamos verificar qual o
intervalo em que a concavidade correspondia a esse crescimento. Então
introduzimos o conceito de concavidade.
Todo o trabalho foi elaborado desta forma ou seja, tomando-se intervalos
no comportamento da função e comparando. A partir destas informações com o
software Estudo de Funções, os alunos trabalharam mais três gráficos por eles
pensados e, na dúvida, receberam o apoio do pesquisador. Posteriormente
investimos nos applets8 a partir de vasto material existente em:
http://www.univie.ac.at/ e em http://www.ufv.br/.
Estes pacotes de “applets” trazem exemplos de conjunto, funções e seus
gráficos com uma série de possibilidades de interação que vão desde a simples
animação até a modificação do comportamento da imagem, o que vem a ser uma
interação do usuário com o ambiente. Salientamos que há concomitância de
apresentação de todos os elementos sempre que necessário em todo processo. Ou
seja, o fato de havermos sugerido acima uma separação nos procedimentos foi,
apenas, para uma ordenação do enfoque metodológico como um todo e não em
partes.
Descartamos software como: Mathcad; Mathematica, MatMaker,
Educandus, Interactive, Modellus, etc., em virtude de extrapolarem as necessidades,
em consonância com o que propõe Gomes et all (2003) quando diz que é o
software que deve se adequar ao objeto de ensino e não o objeto de ensino que se
deve adequar ao software.
Usamos um número razoável de gráficos que, incluindo os contidos nos
slides, podem chegaram ao número de 20 (vinte). Não consideramos esse número
8 Applets são pequenos aplicativos escritos em Java que utilizam-se da JVM (Java Virtual Machine)existente na máquina cliente ou embutida no proprio browser do cliente para interpretar seu byteco de Java é uma linguagem de programação orientada a objetos. Máquina virtual Java.
143
necessário. A sua existência se dá na medida em que se tenta observar o
comportamento dos alunos frente aos applets e ao software específico. Por
exemplo, a apostila traz 5 gráficos, o que consideramos suficiente. Após essa fase
gráfica, procuramos matematizar, objetivando melhorar a compreensão de
conceitos, definições e teoremas dos alunos. Aos sábados, das 8:00 às 12:00 horas,
o pesquisador estava à disposição dos alunos para sanar dúvidas que porventura
não haviam sido sanadas através do ambiente, da apostila ou das aulas.
4.2. Desenvolvimento da Pesquisa
4.2.1. Pré e Pós-Teste: Questões Comentários/ JustificativasO objetivo dos testes foi o de investigar os conhecimentos dos alunos, no
tópico em questão, a fim de se fazer uma análise dos saberes atuais e do possível
discernimento adquirido ao longo do processo desenvolvido no experimento.
Deixaremos as análises para o momento das observações sobre as respostas que
mostramos em tabelas. Será, neste momento, que faremos uma análise a partir das
pistas fornecidas pelos alunos, tanto no teste em si mesmo, quanto na entrevista.
Em primeiro lugar, descrevemos qual a intenção contida em cada
questão. Em segundo lugar, a partir das respostas do Pré-Teste, tercemos algumas
considerações, dispostas em tabelas, muitas vezes buscando esclarecer o que nos
sugerem as respostas dos alunos. Nessa análise, levamos em consideração três
condições para as respostas: Erradas, Certas, Intuitivamente Certas. A problemática
da discussão sobre certo e errado é que nos levou, em um primeiro momento, a
considerarmos o item intuitivamente certo. Com isso queríamos saber se o aluno
tinha uma noção correta da resposta ao tempo que poderíamos inferir o motivo do
mesmo não haver acertado do ponto de vista da matemática enquanto ciência exata.
Termo esse que não é objeto de discussão neste trabalho.
Foram consideradas certas as questões corretas tanto nas respostas com
o uso da linguagem matemática, quanto com o uso na linguagem materna, e
intuitivamente certo aquelas que o pesquisador reconhecia ter, o aluno, ciência do
que se tratava sendo, porém, dificultoso para ele exprimir fosse por uma questão de
falta de vocabulário, fosse por uma questão de muita complexidade. Por exemplo:
Região de crescimento é aquela na qual um ponto X maior do que um outro ponto X
144
tem um Y maior que o outro Y. Entendemos aqui que o aluno tem a noção de
crescimento de uma função. A falha está na notação a ser usada.
Em uma análise final, tratamos de erros e acertos e, portanto, as
intuitivamente certas foram contabilizadas como erradas já que fugiam da exigência
formal da matemática. Finalmente traremos os dados comparativos entre as
respostas do pré e do pós-teste.
Quando tratamos de elementos da matemática, muitas vezes é a idéia
que possui grande utilidade e, no entanto, esta idéia quase sempre traz o elemento
complicador do formalismo que, por si mesmo, é complexo. Moise (1970, p.65) vem
dizer: “na prática as funções são definidas numa grande variedade de formas: e a
idéia de função é muitas vezes mais útil precisamente naqueles casos em que não
podemos imediatamente escrever uma expressão algébrica simples como X->X2 ou
X->|X|” (Lemos X leva a X2 e c leva ao módulo de x).
Nos atuais livros texto de matemática, de modo geral, tem-se preferido,
em um primeiro momento, conceituar ao invés de definir ou descrever um elemento
matemático. Por exemplo, para uma função opta-se por, inicialmente, conceituar,
descrever, e só mais tarde, fazer a definição formal matemática. Isso em virtude das
complexidades que passam por dois pontos: Primeiro, a descrição, ainda que pareça
simples, quase sempre pode ser válida para uma situação pontual, mesmo havendo
grandes distorções, ou sendo impossível uma generalização; segundo, porque há,
quase sempre, um emaranhado de palavras que torna a compreensão inteligível
mesmo que, de início, em alguns casos, possa ser mais compreensível do que uma
definição formal.
Decerto que nos parece ser mais simples, como fizemos no item conceito
de função, contextualizar para depois podermos definir. O conceito, se não simples,
torna-se, na maioria das vezes, mais compreensível, enquanto a definição é quase
sempre mais complexa. No caso da função, pudemos levantar esta questão.
Perguntado aos alunos qual a definição de função, todas as respostas foram
erradas. Já quanto ao conceito, ainda que não tenha refletido, de fato, o que é
função, transpareceu um sentido de compreensão.
Na tentativa de reconhecer nas questões a utilização de registros de
representações, categorizamos as questões de acordo com as três categorias da
145
representação semiótica (ou Sistemas Semióticos) de Duval: Linguagem natural ou
materna, Linguagem simbólica ou formal e a Linguagem figural ou geométrica. Para
isso vimos estabelecer:
Linguagem Natural ou materna. Domínio da função;
Significado do domínio da função em relação às variáveis;
Significado da imagem da função;
Significado da imagem da função em relação às variáveis;
A existência de raízes da função;
Significado da raiz em relação à função;
Significado de crescimento e de decrescimento da função;
Significado de intervalo e de subintervalo de uma função;
Significado da derivada da função em um ponto;
Significado do comportamento da função em um mesmo intervalo;
Significado da derivada segunda da função em relação ao gráfico.
Linguagem simbólica ou formal (notações atribuídas a Lagrange, Leibnitz e Cauchy).
f’(x) = 1
1 1
f(x )-f(x) ( ) ( ) 0
Lim Lim f x h f xx x x x h h
;
f’’(x);
y’=1
1 1
f(x )-f(x) ( ) ( ) 0
Lim Lim f x h f xx x x x h h
;
y’’
dydx
;
Df(x)
D’f(x)
OUTRAS NOTAÇÕES
limx
( )| ( ) | 0( )f x mx bg x
;
limx h
( ) ( )f x h f xh
146
lim ( )x
f x
Linguagem simbólica (dos números.) 1 / 2 = 0,5
1,2 = 12 / 10
f’(0,5)=0,25
f’’(-3) =9
f’ > 4; f’<3 ; f’ = 0;
f’’ < 0; f’’ >2 ; f’’ = -6;
expressões de desigualdade e de conjunto de modo geral desde que no
domínio da formalidade matemática.
Linguagem Figural.
Gráfico 31- Explicativo da linguagem figural.
setas horizontais; setas para baixo; setas para cima; representação de cada seta em função da derivada. Achuramentos Outras indicações permitidas na matemática
147
Capítulo 5 – Experimento, coleta e análise de dados.
5.1. Do Experimento, da Análise e Coleta dos DadosNeste capítulo trazemos, no item 6.1, elementos do experimento
discutindo, através de exemplos, a significância de cada um deles na pesquisa e
falamos da análise e coleta de dados. Estes elementos compuseram tanto o pré
quanto o pós-teste, os questionários e a entrevista. Ainda neste capítulo, no item
6.2, falaremos dos testes aplicados pelos pesquisadores: Professor André Marques
(Doutor); Professor Claudia Dezotti (Doutora) e Professor Moacyr Cunha (Mestre) e
dos seus resultados brutos sem análise, como colocado na metodologia.
5.1.1. Primeira questão do Pré e do Pós-testeApresentamos o gráfico de uma função y = f(x) e colocamos:
Cabeçalho Geral
Observe o gráfico I abaixo e responda aos itens propostos observando
sempre que este é um trabalho que não tem pontuação por acertos mas sim pelo
que você vai escrever para cada resposta. Estamos preocupados em saber qual
será o aproveitamento de vocês com a metodologia que iremos usar neste curso.
Pedimos paciência nas respostas.
Então propusemos as questões:
a) Qual o domínio da função?
b) O que significa domínio da função em termos de sua variável?
c) Qual a imagem da função?
d) O que significa imagem de uma função em termos de sua variável?
e) Esta função possui raízes?
f) O que são raízes de uma função?
g) Essa função possui região de Crescimento e de Decrescimento? Se sim, qual ou
quais?
h) O que acontece com a derivada primeira de uma função quando ela cresce ou
decresce? Sua resposta deve, se possível, incluir a palavra intervalo e sua
simbologia.
i) Uma função pode ser crescente e decrescente em um mesmo intervalo? Justifique
sua resposta.
148
Exemplificando a primeira questão.
Dado o gráfico de uma função y = f (x), responda as questões que se
seguem:
Gráfico 32- Pertinente à primeira questão
a) Qual o domínio da função? Esta questão tem uma função importante no decorrer
de todo o teste, uma vez que todas as demais respostas precisam levar em
consideração o conjunto dos valores do domínio. Assim, se o aluno diz que o
Domínio é R ( x ε R) e, mais adiante, diz que a função tem uma assíntota, então
cometeu um lapso ou não tem a exata compreensão do que é domínio e/ ou
assíntota. Do ponto de vista da teoria dos registros de representações semióticas, as
respostas deverão trazer informações sobre o tipo de registro que o aluno traria.
Com que tipo de registro o aluno indicaria está mais “familiarizado”? Percebamos a
não exigência de um determinado tipo de notação (representação). O aluno poderia
responder usando, por exemplo:
A linguagem materna (os reais, todos os reais, todos os números reais, etc.);
A linguagem simbólica ou formal ( ; x /- x + ; (- ; )x , etc.);
A linguagem figural( x� ). Esta última notação não é enfocada nos
livros textos de cálculo que conhecemos. Este fato leva os professores a não a
utilizarem. De 12 (doze) professores de cálculo de nossa universidade, apenas este
pesquisador e outro colega faz uso da mesma. Não esperávamos este tipo de
resposta no pré-teste uma vez que apenas um dos alunos havia estudado conosco e
nenhum com o outro colega.
149
b) O que significa domínio da função em termos de sua variável? A intenção foi
verificar se o aluno usaria a linguagem formal ou a linguagem materna na resposta.
Evidentemente que a linguagem figural também poderia aparecer aqui. Não
esperávamos que ela aparecesse, em virtude da complexidade que seria uma
resposta através dela. No entanto, não seria de todo um espanto, principalmente
porque os agentes da pesquisa são professores de matemática no ensino básico
estando, assim, por demais familiarizados com o diagrama de Vern. O cerne da
preocupação, no entanto, está no fato de que os alunos vêem, cada vez mais,
desprezando a linguagem matemática formal justamente quando ela se torna
imprescindível em virtude da complexidade que a linguagem materna carrega e que
se dá em um crescente no Ensino Superior de modo geral. Nesta questão, de modo
particular, esperava-se a resposta na linguagem materna.
c) Qual a imagem da função? Este item faz um entrelace com o primeiro e o
segundo. Para o caso em questão, o aluno deveria perceber que, se o domínio era x
pertencente aos reais, isso implicava na imagem ser y pertencente aos reais, uma
vez que a função é contínua em todos os seus pontos. Em relação ao segundo item,
o aluno deveria distinguir o que é domínio e o que é imagem de uma função.
Reconhecendo esta distinção a resposta fica mais evidenciada.
d) O que significa imagem de uma função em termos de sua variável? O comentário
e a justificativa para este item guardam estreita semelhança com o que foi feito no
item “b”, quanto a sua intencionalidade. Costuma-se dizer que tem uma estrutura
análoga. Se no item “a” perguntamos sobre o domínio, agora perguntamos sobre a
imagem. A idéia subjacente foi a de verificar se havia uma cognição real do aluno no
sentido de que imagem e domínio eram elementos do tipo imagem ↔ domínio, ou se
isso era circunstancial e se o aluno percebia a imagem como conjunto de pontos e
não como um ponto.
e) Esta função possui raízes? O item segue o padrão do teste no sentido de
tentarmos verificar em que linguagem o aluno responderia e quais as decorrências
destas respostas no sentido de mobilização de representações. Nesse caso,
150
entretanto, deu-se margem a uma resposta “maniqueísta” na linguagem materna:
Sim / Não.
f) O que são raízes de uma função? Trata-se de uma questão na qual tentamos
averiguar se o aluno retinha o conceito de função nula contrariamente ao conceito
de função inexistente. A pergunta que fazíamos de modo mais concreto era: O
aluno, de fato, revela reter o conceito de raiz de uma função? Em caso afirmativo,
quais as representações (ou representação) usadas para a resposta?
g) Essa função possui região de Crescimento e de Decrescimento? Se sim, qual ou
quais? O propósito principal desta pergunta foi verificar se o aluno tinha real
conhecimento do comportamento da função em região de crescimento e região de
decrescimento em um dado intervalo. Além da busca das representações usadas
para a resposta, nos interessava, de modo particular, verificar se o aluno
compreendia que uma função não pode ser crescente ou decrescente em um
mesmo intervalo ao mesmo tempo. Por esse motivo o gráfico possui duas regiões de
crescimento e uma de decrescimento.
h) O que acontece com a derivada primeira de uma função quando ela cresce ou
decresce? Sua resposta deve, se possível, incluir a palavra intervalo e sua
simbologia. Nesta questão tentamos cobrar do aluno dois tipos de registros
(Linguagem materna e linguagem simbólica) sem, no entanto, engessarmos a opção
de resposta. Ao introduzirmos o termo derivada, objetivamos verificar a noção da
mesma, pelo aluno, dentro da perspectiva do traçado do gráfico de uma função.
Caso o aluno não consiga ligar a derivada ao crescimento ou decrescimento da
função, a princípio ele não terá construído a idéia de derivada, pelo menos quando
ligada à geometria. Isso nos levará então, a discutir a apresentação da derivada na
forma tradicional que é usando-se o formalismo de Leibnitz. Formalismo este que,
de certa forma, usamos ao tratarmos do conceito de derivada neste trabalho. Por
outro lado permitimos ao aluno uma diversidade no interior da questão com várias
representações dentro do mesmo registro.
151
i) Uma função pode ser crescente e decrescente em um mesmo intervalo? Justifique
sua resposta. Praticamente repetimos o item g. No entanto acrescentamos a
necessidade de justificativa com a finalidade de colhermos mais dados a respeito
deste ponto e de todos os demais que necessitam da informação sobre intervalos.
Ao mesmo tempo buscando um entrelace com os demais itens h e i.
Segunda Questão.Apresentamos o gráfico de uma função y=f(x) e perguntamos:
a) A função tem ponto critico? Onde?
b) De acordo com a derivada primeira o que é um ponto crítico?
c)A função tem ponto de Máximo ou de Mínimo local? Onde?
d) O que é necessário acontecer com a derivada primeira para que a função tenha
um máximo ou mínimo local?
e) Caso a função tenha máximo e mínimo em um ponto P desta curva, qual o sinal
da reta tangente nas vizinhanças de P? Ou seja: Em (P+∆P), P e (P - ∆P)?.
f) Quanto as assíntotas existem? Onde? De que tipo?
g) Esta função possui região de concavidade? Se sim em que intervalos?
h) O que acontece com a derivada segunda da função se região for côncava em um
intervalo I e convexa em um intervalo K do seu domínio, I≠K?
Exemplificando a Segunda questão.Considere o gráfico abaixo. Para cada item, onde houver a necessidade
de notação, você precisa usar formas: (a: b); a < X < n; x = a, x = b e similares a [a:
b), (a:b], etc.
152
Gráfico 33- Pertinente à segunda questão
Antes de nossas justificativas, vimos alertar ao leitor para a diferença de
fundo entre a Primeira e a Segunda questão. Observe-se que nesta questão
retiramos, em alguns itens, e em termo de enunciado, a liberdade do aluno. Aqui
exigimos, em alguns itens, que as respostas fossem na linguagem formal, ainda que
nas suas mais diversas formas.
a) A função tem ponto critico? Onde? A questão aqui é mais direta. E sem perder o
foco nas representações, o que agora tentamos levantar de modo mais direto, foi se
o aluno detinha o conceito de ponto crítico de uma função. Esta resposta já poderia
ter aparecido quando perguntávamos sobre outros elementos como extremos locais.
O motivo desta questão mais direta nasce da necessidade da própria constituição do
gráfico. Se, de fato, o aluno já detinha o real conceito de extremo relativo, a questão
apenas compunha o teste. Mas, como vimos na primeira questão, não raro o aluno
acerta determinada questão sugerindo deter o conceito em ação e, no entanto, erra,
digamos, um corolário deste conceito. Daí a pertinência da questão.
Ao buscarmos, de modo mais enfático, saber se o aluno seria capaz de
determinar o ponto crítico de uma função, a primeira observação a facilitar esta
observação é a existência de assíntotas. Deste modo este item se entrelaça com
itens da Primeira Questão e desta Segunda Questão já que os pontos são aqueles
nos quais f’ = 0 ou torna-se infinita conforme já explicado.
153
O fato de o aluno dizer que a função tem ponto crítico não nos é de muito
interesse. Estamos interessados em saber onde é este ponto. X = a?, -3< X <0
(para o caso de não se ter um ponto claramente determinado), etc.
b) De acordo com a derivada primeira o que é um ponto crítico? Pontualmente
buscou-se verificar a noção do aluno sobre o comportamento da derivada no ponto,
o seu valor. Observe-se que, na questão anterior, o ponto crítico era uma questão
visual, enquanto nesta é uma questão de entendimento algébrico. Há um entrelace
desta questão com a questão anterior. As tabelas de análise das questões irão
mostrar que o aluno consegue apontar o extremo local no modo gráfico, mas além
da dificuldade de perceber que neste ponto f’=0, também não percebe que em
alguns pontos críticos f’ .
c)A função tem ponto de Máximo ou de Mínimo local? Onde? Neste item, não se
colocou indicativo como P, P’ que pudessem sugerir os pontos críticos. Isso fez com
que o grau de complexidade fosse relativamente alto. Ao optar-se pela possibilidade
do aluno fazer tal sugestão, optou-se pela possibilidade do mesmo dizer da
existência de Máximos e de Mínimos nos intervalos: 2 < x < 3 (Mínimo); -4 < x < -3
(Máximos). Além da resposta pontual, se estava interessado em verificar se o aluno
faria uma análise mais detalhada na observação do gráfico que não fornecia uma
visão clara do ponto onde havia o extremo local. O aluno careceria usar dos
intervalos e, para isso, mobilizar pelo menos duas representações. Por exemplo,
figural e simbólica.
d) O que é necessário acontecer com a derivada primeira para que a função tenha
um máximo ou mínimo local? Semelhantemente ao item h da primeira questão,
buscávamos saber quais os conhecimentos matemáticos que o aluno detinha da
derivada primeira de uma função. A diferenciação para a questão h está no fato de
que, agora, atribuíamos a análise a um ponto. A resposta a esta questão, bem como
à questão h, além de poder ser formulada em quaisquer das categorias
apresentadas por Duval, ainda permite várias representações dentro da mesma
categoria.
154
e) Caso a função tenha máximo e mínimo em um ponto P desta curva, qual o sinal
da reta tangente nas vizinhanças de P? Ou seja: Em (P+∆P), P e (P - ∆P)?. Este
item entrelaça a visão geométrica com a matemática formal. A idéia, portanto, foi
verificar essa união de visões e reconhecimentos. Neste ponto, já é evidente que a
questão deve aponta um maior número de erros. Estamos envolvendo vários
elementos para uma só resposta.
f) Quanto as assíntotas existem? Onde? De que tipo? A tentativa aqui foi verificar se
o aluno reconhecia a linha vertical (reconhecimento figural ou geométrico) pontilhada
como assíntota naquela região, pelo menos, como sugeria mais claramente o
gráfico. Esta questão já foi discutida ao observamos que, para o aluno, os eixos não
são segmentos de reta e, desta forma, não surgem como assíntotas.
g) Esta função possui região de concavidade? Se sim em que intervalos? Esse item
é análogo, para o estudo, ao que foi estabelecido no item “g” da primeira questão. E
sua presença é indispensável, uma vez que queremos “varrer” todos os elementos
de um gráfico global no dizer de Dugdale.
h) O que acontece com a derivada segunda da função se a região for côncava em
um intervalo I e convexa em um intervalo K do seu domínio, I≠K? Observe-se que o
aluno não poderia tirar a informação de que a função era côncava e convexa em I
pois foi dito que I ≠ K. Evitou-se a indução ao erro. A idéia, análoga aquela do item
“b”, trazia sua diferença na observação de que tratávamos da derivada segunda.
Com isso, também, poderíamos identificar a relação que o aluno fazia entre a
derivada primeira e a derivada segunda do ponto de vista do uso no item. Dito de
outra forma: O aluno usaria, nos dois itens, a mesma ordem de derivação?
Terceira Questão.Esta questão diferencia-se das demais, principalmente em dois pontos:
1. Não existe o gráfico;
155
2. Exige cálculos;
E se assemelha em um ponto:
1. Contempla todos os elementos do esboço de uma curva simples como
as aqui tratadas a saber: Domínio, Imagem, Ponto Crítico, Região de Crescimento,
Região de Decrescimento, Região onde é Côncava, Região onde é convexa,
Maximo e / ou Mínimo, Raízes e Assíntotas além da necessidade de se construir o
gráfico.
O propósito foi o de um levantamento mais geral já que partíamos da
função em sua forma algébrica. Buscamos verificar as dificuldades comparativas
entre o aluno responder questões a partir do gráfico com as respostas a partir de
uma expressão algébrica. Partindo, como tradicionalmente é feito nas avaliações de
aprendizagem, da expressão:
a) o que os alunos sabiam, de fato, sobre derivada?
b) de algum modo determinariam o domínio da função?
c) os alunos tinham alguma idéia do que, nas duas primeiras funções,
significava, em termos de Gráfico de função, o sinal do numerador e do
denominador das funções e de suas derivadas;
d) que erros cometeriam na montagem dos gráficos?
Uma abordagem geral contemplaria a busca das representações
mobilizadas para as respostas como um todo. Quais as mais freqüentes? Haveria
uso de mais de uma representação? Se sim, que representações apareciam dentro
de uma mesma resposta de modo mais freqüente?
Exemplificando a Terceira questão.
Mostre, o mais claro possível, todos os elementos existentes nas funções:
a) Domínio;
b) Imagem;
c) Região onde a função é côncava;
d) Região onde a função é convexa;
e) Região de crescimento e região de decrescimento;
f) Assíntotas;
g) Ponto Crítico;
156
h) Ponto de Inflexão;
i) Máximos e Mínimos locais.
a)
2
2( )4
xf xx
Expressão 20
b)
( )1xf xx
Expressão 21
c)
3 ( ) f x x
Expressão 22
Perceba-se que um tópico muito importante no Gráfico de função não foi
objeto do trabalho: a simetria. A justificativa é o entendimento de que, se uma função
é par, simétrica ao eixo OX, este conhecimento tira a necessidade de maiores
observações. Os autores mais modernos fazem essa abordagem no início do estudo
de funções simples como, por exemplo, Thomas (2000, p.14) e Anton (2002, p.52-
53). Moise (1970, p.331) trata da questão, quando fala de curvas mais complexas.
Não vamos entrar aqui no mérito da melhor metodologia. Apenas, para esse
trabalho, preferiu-se adotar a posição de só o fazer no final do curso para forçar o
aluno a trabalhar ambos os lados do gráfico. Não se trata de cobrar um processo de
repetição. Trata-se da verificação de que o aluno tem certas obstruções cognitivas,
mesmo no simples passar de um quadrante para o outro. A apresentação de uma
função, por exemplo, com duas sentenças, nos mostra este tipo de dificuldade.
Solicitar ao aluno que trace o gráfico da função modular na forma: ( ) | |f x x
Não traz o mesmo nível de dificuldade da solicitação traçar o gráfico da
função modular na forma:
se x>0( ) e
-x se x<0
xf x
157
Os tratamentos e a cognição têm formas diferentes. A primeira
preocupação do aluno é que na segunda forma temos duas funções, a segunda é
que lhe parece falta x =0, a terceira vem do fator - (menos), etc.
5.1.2. Método da Coleta de Dados.Para esta pesquisa, usamos questionários, testes, entrevistas,
observação, etc. Richardson (1999, p.70) vem dizer: "o método quantitativo [...]
caracteriza-se pelo emprego da quantificação tanto nas modalidades de coleta de
informações, quanto no tratamento delas por meio de técnicas estatísticas, desde as
mais simples [...] às mais complexas..." Richardson (Ibidem) também discute que
uma pesquisa, dificilmente, se estabelece apenas como qualitativa ou como
quantitativa. Há sempre um viés de uma ou de outra, com predominância de uma
delas.De acordo com W.Goode e P.H.Hatt (1973:398) apud Richardson (1999, p.79):
A pesquisa moderna deve rejeitar como uma falsa dicotomia a separação entre estudos 'qualitativos' e 'quantitativos', ou entre ponto de vista 'estático' e 'não-estático'. Alem disso, não importa quão precisas sejam as medidas, o que é medido continua a ser uma quantidade.
Os instrumentos para a coleta de dados dividiram-se em três elementos
de coleta:
1 - Questionário I (Estruturado)
2 - Questionário II (Estruturado)
3 - Entrevista4 - Pré-Teste
5- Pós-Teste
5.1.3. Sobre os questionários e a Entrevista.O questionário I visava levantar o acesso do aluno à Internet, uma vez
que usaríamos o software Estudo de Funções como suporte tecnológico às aulas,
mesmo que este suporte não fosse fundamental, como discutimos. O questionário II
buscava verificar o conhecimento do aluno na solução de problemas aritméticos
bastante elementares. A Entrevista, posterior ao pós-teste, teve a intenção de
verificar de um lado algumas respostas que nos pareciam bastante incoerentes e de
outro, indagar da avaliação dos alunos sobre as duas metodologias. A elaboração
158
destes questionários se deu à luz de Lüdke & André (1986, p.33), que chamam a
atenção para uma estruturação cuidadosa. Neste caso, levam-se em consideração
alguns pontos relevantes como;
1 - Entender os limites e respeitar as exigências de quem está submetido ao
questionário ou entrevista;
2 - Permitir ao sujeito submetido ao questionário ou entrevista a liberdade de
expressão;
3 - Estabelecer uma linguagem compatível com o que se quer investigar.
O pré-teste, para o caso desta pesquisa que visa investigar se a mudança
metodológica proposta produz um conhecimento mais eficaz do que o tratamento
tradicional dispensado ao ensino do esboço de gráfico de função, foi levado a efeito
no primeiro momento da pesquisa propriamente dita. O pós-Teste foi aplicado trinta
dias após oito horas aula que é, em média, o tempo no qual trabalhamos,
tradicionalmente, o objeto desta pesquisa. A idéia, portanto, era não obtermos as
vantagens oferecidas pelo tempo para se verificar a aprendizagem do objeto em
duas metodologias distintas.
O número de itens a serem respondidos foram 47 e o tempo 210 minutos
o que nos dá 4,4 minutos para cada item.
Não trataremos de uma análise aluno a aluno, mas dos alunos frente aos
itens das questões. Somente em algum momento consideramos importante à
compreensão esse tratamento. Isso se justifica não só pelo número de questões e
alunos envolvidos quanto e, principalmente, pelo objetivo do trabalho que não é
avaliar desenvolvimento individual. O pré-teste (anexo I) foi usado para buscarmos
verificar os conhecimentos prévios dos alunos quanto:
1 – à compreensão da derivação de frações polinomiais de até terceiro grau;
2 – o entendimento da aplicação dos cálculos obtidos na construção do gráfico da
função onde deveria reconhecer a forma da curva em um dado intervalo caso
existisse.
3 – o significado de pontos específicos da curva como Ponto de Máximo, Ponto de
Mínimo, Ponto de Inflexão, Ponto de Acumulação, Raízes da função, etc.
No questionário buscamos verificar:
159
1 – Se havia equívocos conceituais destes alunos / professores em seu dia a dia em
sala de aula;
2 – Que questões complicadoras eles poderiam apontar para o fato de cometerem,
caso existissem, os equívocos do teste no entendimento da aplicação dos cálculo
obtidos na construção do gráfico da função.
No pós-teste buscamos verificar com o teste:
1 – Se o trabalho havia provocado uma eficiente compreensão conceitual;
2 – Se o trabalho havia correspondido a nossa hipótese;
3 – Se a questão da compreensão aritmética com a geométrica havia sido suprida.
No pós-teste, com o questionário, buscamos verificar:
se o aluno considerava a metodologia aplicada mais amigável, de
compreensão mais eficaz para a apropriação do conhecimento em questão
do que aquela a que fora submetido na graduação.
Nessa análise, levamos em consideração, como já o fez de modo
semelhante o Dr. Albuquerque (2002), três condições: Errado, Certo, Intuitivamente
Certo. Foram consideradas certas as questões corretas tanto nas respostas com o
uso da linguagem matemática, quanto com o uso na linguagem materna, e
intuitivamente certo aquelas que o pesquisador reconhecia ter o aluno ciência do
que se tratava sendo, porém, dificultoso para ele exprimir, fosse por uma questão de
falta de vocabulário, fosse por uma questão de muita complexidade. Por exemplo:
Região de crescimento é aquela na qual um ponto X maior do que outro ponto X tem
um Y maior que o outro Y. Entendemos aqui que o aluno tem a noção de
crescimento de uma função. A falha está na notação a ser usada.
Em uma análise final, tratamos de erros e acertos e, portanto, as
intuitivamente certas foram contabilizadas como erradas, já que fugiam da exigência
formal da matemática.
Outro exemplo para essa questão são soluções do tipo: f(x)= x 2 = f’(x) =
2x, quando se solicita derivar a função. Esse é um típico erro que o aluno-professor
acaba incorporando com os alunos e, com o tempo, acaba considerando que não é
significativo como nós, professores de matemática, podemos perceber ao
trabalharmos com Cálculo Diferencial. Uma derivação deste erro é:
f(x)= x 2
160
f’(x) = 2x
f’(4) = 4.
Aqui ignoram-se as notações (Portanto ou donde, e implica).
Os valores das questões apontados aqui decorreram de uma regra de
três simples na qual entram como fatores o número de alunos que, como vimos, caiu
de 35 para 32 (35 – 3 = 32). Nos testes, para efeito de análise, consideramos que
cada item de cada questão valeria 3,13% (100/32 3,13,) e cada gráfico certo da
terceira questão, com ou sem a matematização, valeria 1 ponto por resposta a cada
item, sendo considerados os itens Domínio, Imagem, Raízes da função, Região de
Crescimento e Decrescimento, Ponto Critico, Ponto de Inflexão, Ponto de Maximo e
Mínimo, Região Convexidade, Assíntotas, noção do gráfico compatível com os
elementos calculados.
Nas tabelas não abrimos campo para contabilizar as questões em branco.
Esta omissão do aluno não nos permite interpretação de valor. Foi solicitado ao
aluno não deixar nenhuma questão em branco em virtude do teste não ter o caráter
de nota por questão certa, mas nota por resposta. Se o aluno diz que não viu o
assunto na graduação ou que não lembra como elaborar a resposta, podemos
discutir sobre vários aspectos como memória de curto prazo ou de falta de um
aprendizado real no caso do aluno que diz não lembrar. Para o caso do aluno que
diz não haver visto o assunto na graduação, através de outras questões podemos
identificar se ele viu ou não. De todos os caso analisados nos quais o aluno diz não
haver visto o assunto na graduação, somente pudemos verificar que ele, de fato,
não havia visto, poucas questões como, por exemplo, as assíntotas. Principalmente
as obliquas.
Assim, por exemplo, se o aluno diz que não viu descontinuidade, não
pode responder que a função não está definida para certo valor X = P. No caso de
intervalo também não pode dizer que a função é, por exemplo, crescente em (a,b) e
em (b,c) já que isso indica que há uma descontinuidade em b. Não temos
conhecimento de professor de cálculo que não use o termo continuidade e / ou
descontinuidade quando trata de limites e derivadas. Muitos outros exemplos
poderíamos apontar no sentido de saber se o aluno viu ou não o assunto na
graduação.
161
No pós-teste, onde o número de alunos caiu para 25, cada item de cada
questão valeu, para não haver alteração no valor da amostragem, 4% (100/25 = 4), e
cada gráfico foi considerado em sua formação total, em que não nos importou se o
aluno errou a primeira derivada e, por exemplo, onde a função era côncava ele
encontrou convexa. Isso desde que ele desse continuidade ao “erro”, de modo que,
no final, o gráfico pudesse estar compatível com o que ele trabalhou. Para o cálculo
dos valores, fizemos: 3,13% x 32 alunos do pré-teste passar a ser igual a 4% x 25
alunos do pós-teste.
Estes valores não foram escolhidos de acordo com o nível de
complexidade de cada item uma vez que o objetivo dos testes foi o de um
reconhecimento de definições, conceitos e da construção de gráfico por parte dos
alunos. Desta forma, só de relance tratamos de que questão é mais ou menos difícil.
Mesmo porque definir o que é fácil e o que é difícil é uma tarefa que carece de uma
profunda análise. No entanto, a principal preocupação foi com a mobilização de
representações.
Conforme o anexo I, no primeiro encontro aplicou-se o pré-teste - 01 de
Outubro de 2005. A duração foi de 3:30h. Consistia em um teste abordando os
elementos matemáticos de uma função e seu gráfico (Teste I). O pesquisador
coletou as respostas de 32 alunos, muito embora 35 tenham assinado a ata. No
sábado seguinte (segundo encontro) levantamos a questão e constatamos que três
alunos ficaram na sala mas não fizeram o teste e, obviamente, não procuraram
excluir seus nomes da lista como solicitado. Temos, então, 32 testes a serem
analisados.
Em 29 de Outubro de 2005, estávamos de posse da análise do pré-teste.
No entanto, ainda aplicamos um questionário semi-estruturado das 8:00 às 11:30h, e
fizemos uma discussão do nosso levantamento referente ao pré-teste e ao
questionário das 15:30 às 18:30h, buscando levantar algumas questões. Nesta
bateria de discussão, o principal objetivo foi tentar verificar o motivo pelo qual o
aluno, na primeira questão, por exemplo, acertava o domínio e quando, das
questões sobre crescimento e concavidade, acertava algumas delas e errava outras.
Isso será discutido em local apropriado.
162
Finalmente, para nossas tabelas, o percentual é encontrado da seguinte
forma:(100 X 32) / certo (errado ou intuitivamente certo).
163
Capítulo 6 – Análise e discussão
6.1. Análise e discussão dos DadosTomemos, inicialmente, algumas das condições que Duval propõe para a
aprendizagem em matemática, ainda que já seja matéria discutida ao logo do
trabalho. Em termos mais sucintos, Duval propõe que somente temos acesso à
representação do objeto. Corolário: a Representação não é o objeto. Também de
acordo com Duval, um sujeito somente tem acesso ao conhecimento de um objeto
se houver preenchido duas condições: deve dispor de pelo menos dois sistemas
semióticos diferentes e poder compreender a conversão de uma representação na
outra.
O procedimento desta análise com vista a atender à teoria, se baseia no
fato de que cada elemento do esboço de uma curva guarda estreita relação
conceitual, ou de outra monta, por exemplo, definitoria, com pelo menos outro
elemento. Neste caso devemos explorar esta relação. Além disso, buscamos
verificar a existência da distinção entre o elemento enquanto objeto conceituado com
a representação (ou representações) da qual (ou das quais) o aluno fez uso. Por
exemplo, se uma função cresce e é côncava em um certo intervalo I, o declive da
reta tangente em I é positivo, caso contrário é negativo. Se uma função tem um
ponto crítico em P, então, necessariamente, nas vizinhanças de P a função cresce
de um lado e decresce de outro indiferente do limx P da função, que tanto pode tender
para o infinito quanto pode ser zero. A nulidade da derivada primeira de uma função
em um ponto P é condição sine qua non para a existência de um extremo local se P
for um ponto. Caso P seja um intervalo, é indicação de constância conforme
podemos ver na figura abaixo.
164
Gráfico 33 – Figura da nulidade da derivada (Legendado como 21)
6.2. Análise e discussão dos dados coletados no pré-testeComo já explicado, no intuito de fazermos esta análise, consideramos os
itens com:
- ERRADO. Quando o aluno respondeu inquestionavelmente errado;
- CERTO. Quando o aluno respondeu inquestionavelmente CERTO;
- INTUITIVAMENTE CERTO. Quando o pesquisador entendeu que o aluno sugeriu,
com sua resposta em quaisquer das linguagens, possuir conhecimento da resposta.
Chamamos a atenção do leitor para o fato de que a análise que fizemos
em algumas questões como na questão “a” abaixo, não é um padrão. Isto é: verificar
se o aluno acertou algum item de uma questão e compará-lo com acerto ou erro do
item de outra questão. A massa de dados extrapolaria os limites do trabalho. Deste
modo, somente nos casos mais evidenciados que foram “puxados” como discussão
dos alunos na entrevista é que fizemos este tipo de consideração. Assim, quando
não houver margens para dúvidas, iremos inserir comentários que estão no anexo
IV, onde tratamos da discussão levada a efeito depois das atividades (do
experimento) e do pós-teste.
A expectativa que tínhamos quanto ao decréscimo no número de erros
entre o pré e o pós-teste era razoável tendo em vista que os alunos passaram por
um novo estudo (já haviam visto o assunto na graduação) sobre esboço de gráfico
de função. O estudo foi teve suporte base em duas teorias: uma teoria principal
(Teoria dos Registros de Representações Semiótica) e uma teoria secundária
(Vygotsky – Pensamento e Linguagem). Portanto, havia teoria de aprendizagem
165
consciente, objetiva e determinada (Duval) e a preocupação com a cognitividade
através da linguagem (Vygotsky).
Foi importante perceber que mesmo nos erros os alunos emitiram, no
pós-teste, respostas que dentro de uma análise tão maleável quanto no pré-teste, o
índice de acertos teria sido muito maior. Sentimos que o aluno tinha muita
insegurança em suas respostas quando do pré-teste. A insegurança matemática é
um dos fatores, em testes deste tipo, que provocam no aluno a necessidade de se
“proteger” do que pode ser considerado como absurdo alem de o levar, como foi o
caso, a emitir várias respostas distintas na perspectiva de acertar a questão. Afinal,
neste caso em particular, são alunos professores. Esta proteção muitas vezes é
reconhecida em colocações como: “não me lembro, pois já faz muito tempo que vi o
assunto” ou “não vi o assunto na graduação”.
Este tipo de autoproteção é quase que inevitável. Por mais que se tente
deixar aluno neste nível de titulação à vontade, não se consegue. Eles são
professores, sentem-se julgados. Isso, ainda que tenhamos garantido o anonimato,
tanto explicando a questão acadêmica quanto solicitando que não se identificassem.
Cada tabela representa o percentual de erro próprio do item em relação
ao número de alunos. Assim, na primeira tabela, temos que em 32 alunos houve 7
erros. Como cada erro ou acerto vale 3,13 pontos, temos 7 x 3,13 = 21,91% de erro.
Assim, a soma (%) de todos os erros ultrapassa 100%. Para obtermos a média de
erro por questão levamos em conta o número de erros e dividimos a soma (%) dos
erros por este número. Repetiremos este parágrafo com os dados calculados ao
final da análise.
Cabeçalho Geral
Observe o gráfico I abaixo e responda aos itens propostos observando
sempre que este é um trabalho que não tem pontuação por acertos mas sim pelo
que você vai escrever para cada resposta. Estamos preocupados em saber qual
será o aproveitamento de vocês com a metodologia que iremos usar neste curso.
Pedimos paciência nas respostas.
166
6.2.1. Primeira questão do pré-teste.
Gráfico 34- Relativo a primeira questão
a) Qual o domínio Máximo de definição da função se seus extremos tendem
para o infinito?
Tabela 4- Tabela da primeira questão (item a)Tabela I da primeira questão
CERTO 23 71,99%ERRADO 7 21,91%INTUITIVAMENTE CERTO
2 6,26%
TOTAL DE ACERTOS 25 78,25%
Vinte e cinco alunos acertaram o domínio da função. Os 23 (vinte e três)
‘Certo’, usaram duas representações na linguagem simbólica: , - x +x .
Neste caso, temos 13 (treze) alunos usando uma ou outra (dez usando a primeira e
três a segunda). Os demais 10 (dez) alunos responderam na linguagem natural. As
respostas foram padronizadas na forma: “o domínio são os números reais” ou “o
domínio são os reais”.
Os dois alunos que sugerem saber o que é domínio e que estão na
condição de intuitivamente corretos, deixaram dúvidas sobre notações. Há de fato
um amontoado de equívocos na resposta. O item diz que os extremos tendem para
o infinito. Assim, o gráfico não está limitado entre (-2,2). No entanto, rigorosamente,
apenas dois usaram corretamente. Um usando o intervalo (-∞,+∞) e outro dizendo D
(f) = R. Mas não estamos dando preferência ao rigor. Consideramos muitas
respostas como certas em todas as questões por motivos já declinado. No caso
167
específico em virtude de buscamos compreender o máximo possível a idéia do aluno
e, neste caso, o efeito colateral pode ter sido a falta de um limitante visual. Isso pode
haver prejudicado o aluno por desatenção na pergunta em si. Enfim, estamos
buscando qualquer resposta que nos leve a considerar a questão correta, deixando
um maior rigor para o pós-teste e para a análise final. A expectativa nesta questão
era a de que não houvesse nenhum erro em virtude da função ser continua em
todos os seus pontos e do aluno trabalhar com essa informação no seu dia-a-dia..
Neste caso os erros podem ser decorrentes do uso da terminologia:
domínio máximo de definição que não é uma terminologia prioritariamente usada. O
aluno esta mais acostumado com domínio de função. Isso é mais uma falta na
concepção de conceitos matemáticos.
b) O que significa domínio da função em termos de suas variáveis?
Tabela 5-Tabela da primeira questão (item b)Tabela II da primeira questão
CERTOS 8 25,04%ERRADOS 18 56,34%INTUITIVAMENTE CERTOS
6 18,78%
TOTAL DE ACERTOS 14 43,82%
Da questão sobre o domínio máximo de definição da função para o
significado do domínio da função em termos de sua variável, o número de erros salta
de forma abrupta. De 7 (sete) para 18 (Dezoito).
Aparentemente, o nível de dificuldade da questão é o mesmo. No entanto,
ao envolvermos o termo variável no plural, colocamos para o aluno uma outra
questão: Pensar na relação entre domínio, variável independente e variável
dependente. Questões posteriores e o andamento das aulas, nos deram conta de
que vários alunos com os quais trabalhamos, quase sempre confundiam valor da
função no ponto com o conjunto de valores. Desta forma, muitas vezes, o aluno trata
o domínio como sendo a variável. O aluno diz: “o domínio da função é x” ou D = x.
O fato da maioria haver acertado a questão “a”, quando se perguntou qual
o domínio da função, vem reforçar a sugestão das dificuldades do aluno no trato
com variáveis dependentes e variáveis independentes conforme discutido na revisão
da literatura. Por outro lado, a questão quer saber o “significado” do domínio em
168
relação as variáveis. O que difere muito de uma simples pergunta como em “‘a”. Por
fim, o gráfico não ajuda na resposta.
c) Qual a imagem da função?
Tabela 6-Tabela da primeira questão (item c)Tabela III da primeira questão
CERTOS 20 62,60%ERRADO 11 34,43%INTUITIVAMENTE CERTOS
1 3,13%
Total de acertos 21 65,73%
A imagem da função está intimamente ligada ao domínio. Assim, não é de
se estranhar que o número de acertos esteja tão próximo dos do item “a”. É possível
que isso se tenha dado, também, pela simplicidade da questão em si, como se deu
no item “a”. Envolvemos apenas um item que, muito embora não seja tão explorado
em sala quanto o domínio, está unificado a ele de modo que compreender o domínio
é ficar muito próximo de compreender a imagem o que não ocorre com o contra-
domínio.
É interessante observar que vários alunos deram como resposta: Img:
{1,5;3;4}. Observando o gráfico, verificamos que estes são pontos de destaque. Mas,
do mesmo modo, o valor 2,5, à imagem e semelhança de 1,5; 3 e 4, também estão
em destaque e, no entanto, nenhum dos alunos que colocou a resposta Img:[1,5;3;4]
contemplou 2,5. Não conseguimos sequer inferir o motivo e na entrevista os próprios
alunos não sabiam o porquê.
O aluno que teve o acerto intuitivo disse: os valores da ordenada (y) para
os quais existe a função. Entendemos que o aluno tem a intuição correta para a
questão. De certa forma, inferimos que o aluno está dizendo: a imagem da função é
o conjunto de elementos do contra-domínio que mantém relação com o domínio.
d) O que significa imagem da função em termos de suas variáveis?
Tabela 7-Tabela da primeira questão (item d)Tabela IV da primeira questão
CERTO 3 9,39%ERRADO 20 62,6%INTUITIVAMENTE 9 28,17%
169
CERTOTotal de acertos 12 37,56%
O aluno, como vimos no item anterior, “olha” para as variáveis como se
fossem o domínio e a imagem. Analogamente ao item anterior, trouxemos um
complicador: os termos imagem e variável. O aluno parece perceber, agora, que os
elementos não são os mesmos. Por outro lado percebemos, mais uma vez, a
confusão entre o significado da imagem em relação à variável e o conceito de
imagem. Não houve solicitação, no item, para o cálculo da imagem, mas sim para a
o seu significado.
Dado que nossa intenção não foi um estudo caso a caso, como já
dissemos, vamos trazer, a título de exemplificação, a resposta de um aluno. “a
imagem de uma função são os valores das ordenadas do plano cartesiano que estão
relacionadas ao domínio da função. Cada valor do domínio tem uma única imagem”.
A noção de valor único na imagem para um certo valor da função está clara.
O número de erros, então, é sugerido pela residente conflito dos alunos
na falta de clara distinção entre os conceitos de domínio, imagem e variáveis.
e) Esta função possui raízes? Se sim, onde?
Tabela 8Tabela da primeira questão (item e)
Tabela V da primeira QuestãoCERTO 25 78,25%ERRADO 6 18,78%INTUITIVAMENTE CERTOS
1 3,13%
Total de acertos 26 82,38%
Observe-se que a questão possui um nível de complexidade muito baixo,
mesmo porque permitimos ao aluno (e assim 20 dos que acertaram fizeram)
simplesmente responder SIM. O gráfico mostra de modo claro que há uma raiz.
Poderemos levantar duas questões para justificar os erros: o aluno imaginar que os
extremos do gráfico poderiam voltar dirigindo-se ao eixo OX e a falta de conceito e
de definição de raízes de uma função. Somente um aluno tentou a linguagem
simbólica. O aluno responde apenas: 5 1y . Muitos dos alunos que tentaram
170
uma resposta mais elaborada do que SIM, erram. A maioria dos acertos se deu com
a resposta SIM ou Existe. Dois alunos ainda acertaram respondendo: | raiz em
2 1x . Os demais erros foram do tipo: “sim, suas raízes são infinitas e reais”.
Se por um lado acertou na existência, e na condição de raiz real, por outro errou no
número de raízes. O gráfico mostra de modo claro a existência de uma única raiz.
A questão que se tentou especificamente verificar no momento do
entrevista foi: como os alunos responderiam se houvesse a exigência de justificar?
Nesse caso o índice de acerto na justificativa foi de 15 alunos. Como padrão a
resposta foi: “o ponto no qual o gráfico corta o eixo dos x”.
f) O que são raízes de uma função?
Tabela 9-Tabela da primeira questão (Item e)Tabela VI da primeira Questão
CERTO 20 62,6%ERRADO 6 18,78%INTUITIVAMENTE CERTO
6 18,78%
Total de acertos 26 81,38%
Nesse caso, dos 20 alunos que acertaram, 16 (dezesseis) fizeram na
linguagem materna e quatro na linguagem simbólica. A questão levantada quando
da discussão nos mostrou que a visão do gráfico cortando o eixo ÖX , foi o que
possibilitou um melhor índice de acerto. A compreensão que emerge destas
respostas reforça cada vez mais nossa sugestão de ausência na aquisição do
conceito e definições dos elementos que compõem um gráfico de uma função por
parte do aluno.
Entre os erros, alguns chamam a atenção por sua peculiaridade. Tivemos
respostas do tipo:
1. são valores que tornam a função verdadeira, ou seja, que torna a
função igual a zero;
2. sendo (a,b) tal que, a x e b x, temos que as raízes são todos
os pontos em que “a” é correspondido a uma única vez com “b”, ou
seja, onde a curva toca x;
3. são os pontos da função que interceptam o eixo das ordenadas.
171
Na primeira resposta vemos que o aluno possui a idéia da nulidade da
função para o caso das raízes quando diz: “[...] que torna a função igual a zero”. No
entanto, ainda que tenhamos concebido trabalharmos com o mínimo de exigência,
neste caso o mínimo foi extrapolado, uma vez que o aluno diz que: “[...] são os
valores que tornam a função verdadeira”.
g) Esta função possui região de crescimento e / ou região de decrescimento? Se
sim, qual ou quais são os intervalos? Se não deixe em branco.
Tabela 10-Tabela da primeira questão (Item f)Tabela VII da primeira Questão
CERTO 7 21,91%ERRADO 20 62,6%INTUITIVAMENTE CERTO
5 15,65%
Total de acertos 12 37,56%
Observe-se que este item possui outro nível de complexidade em relação
aos anteriores. A pergunta cobra três intervalos dificultando, principalmente, uma
resposta na linguagem materna, além da observação meramente gráfica. O número
de erros, portanto, era esperado dentro do que vimos defendendo. O que
percebemos é que, à proporção que se vai necessitando da matemática em sua
especificidade, deixando um pouco em segundo plano o gráfico, os erros vão
aumentando. E claro, estes alunos foram apresentados à derivada como ferramenta
para o esboço do gráfico de uma função na forma tradicional, onde se faz primeiro a
matematização e, só depois, às vezes de modo fragmentada, a construção gráfica.
O fato é que todos os alunos que erraram encontraram dificuldade no uso
dos símbolos matemáticos maior, maior ou igual, menor, menor ou igual, etc. E, do
mesmo modo os que acertaram usaram um misto da linguagem simbólica com a
linguagem natural. Também tivemos erros como: “é crescente no sentido do terceiro
quadrante para o segundo quadrante. É decrescente no ponto onde 5 1,5y . É
crescente no primeiro quadrante onde tende para +∞”. Entre outros equívocos, o
aluno confunde ponto com intervalo e não percebe que existe intervalo no primeiro
quadrante onde a função decresce.
172
h) O que acontece com a derivada primeira de uma função quando ela cresce
ou decresce? Sua resposta deve, se possível, incluir a palavra intervalo ou
sua simbologia.
Tabela 11-Tabela da primeira questão (item g)Tabela VIII da primeira Questão
CERTO 7 21,91%ERRADO 21 65,73%INTUITIVAMENTE CERTO
4 12,52%
Total de acertos 11 34,43%
O número de erros é quase o mesmo que o do item anterior, em uma
questão de semelhante nível de complexidade. No entanto, este item difere
totalmente dos anteriores uma vez que, agora, se faz necessário compreender o
comportamento não simplesmente da curva em si, mas da derivada. Toca-se na
ferramenta pela primeira vez no teste.
Os demais responderam usando a linguagem natural mesclada com a
linguagem simbólica. Uma das respostas que mais nos chamou a atenção tem o
seguinte conteúdo: “o coeficiente angular é crescente quando o intervalo é positivo.
É decrescente quando o intervalo é negativo”. Percebe-se que o aluno tem a noção
da resposta quando menciona o coeficiente angular. Do mesmo modo, mais uma
vez surge o equivoco entre ponto e intervalo.
i) Uma função pode crescer e decrescer em um mesmo intervalo? Justifique
sua resposta.
Tabela 12-Tabela da primeira questão (Item h)Tabela IX da primeira Questão
CERTO 1 3,13%ERRADO 28 87,64%INTUITIVAMENTE CERTO
3 9,39%
Total de acertos 4 12,52%Aqui tratamos de duas questões que podem justificar o número de erros
mais alto do teste, embora a questão em si não seja a de maior nível de
complexidade. Por um lado o aluno se depara com um item, inicialmente de aspecto
semelhante ao do item “h”, mas que trata de duas problemáticas: conceito e
justificativa. Como discutimos durante o trabalho, a experiência tem mostrado um
certo desconforto da maioria dos alunos, quando se pede: demonstre, prove,
173
justifique, etc. Este comportamento vem sendo associado aos vícios dos alunos
diante das exigências no vestibular.
Essas questões também sugerem que os professores no ensino médio
desprezam as demonstrações, as provas, as justificativas de respostas em virtude
da mecânica da múltipla escolha principalmente nos cursinhos pré-vestibulares.
6.2.2. Segunda Questão do pré-teste. Para cada item, você pode usar a notação que desejar desde que seja
obedecida a exigência matemática: (a:b); a < X < n; x = a, x = b e similares a [a:b),
(a:b], etc.
Gráfico 35- Relativo à segunda questão
Esta questão veio tratar de um esboço mais complexo quanto aos
elementos que compõem o gráfico ao cobrar do aluno o conhecimento de
assíntotas. Novamente nos deparamos com Duval (2004) a nos dizer que, quando
se aumenta o nível de complexidade da pergunta, o nível de complexidade de
resposta também aumenta. Rigorosamente teríamos aí 100% de erros.
1) A função possui ponto Crítico? Onde?
Tabela 13-Tabela da segunda questão (Item 1)Tabela I da segunda questão
CERTO 0 0ERRADO 26 81,38%INTUITIVAMENTE 6 18,78
174
CERTOTotal de acertos 6 18,78%
Esse fecha a dicotomia SIM / NÃO contida na Primeira Questão item “c”.
Percebe-se, mais uma vez, a falta de conceito. Se o aluno acertou o ponto de
máximo e/ ou de mínimo (item 3) e 10 deles acertaram as assíntotas (Item 6), não
deveriam errar o ponto critico, já que o Extremo Local e as assíntotas verticais de
uma função acontecem, necessariamente, em um ponto crítico. Verificamos que
apenas 6 alunos tinham uma noção “intuitiva” do que era ponto crítico e, em tese,
esse alunos não poderiam acertar Extremos Locais (Máximos ou Mínimos). As
respostas consideradas como intuitivamente certas foram aquelas do tipo: sim, em
zero e nas retas. Nosso entendimento, sobre este tipo de classificação é que, muitos
alunos não enxergam os eixos coordenados como retas que podem ser assíntotas.
Para eles as assíntotas são as retas pontilhadas que, afinal, são usadas apenas
como um diferencial didático.
2) De acordo com a derivada primeira o que é Ponto Crítico?
Tabela 14-Tabela da segunda questão (item 2)CERTO 0 0%ERRADO 32 100%INTUITIVAMENTE CERTO
0 0%
Total de acertos 0 0%
A questão unifica o Ponto Crítico com a derivada. Dado que nenhum
aluno acertou nem mesmo intuitivamente, há a forte sugestão de que os acertos do
Máximo e/ ou do Mínimo não são frutos de uma compreensão conceitual, nem de
extremos locais nem de Pontos Críticos, mas sim de uma intuição a partir do gráfico.
Assim, como vimos ao longo do trabalho, as imagens imprimem na mente do aluno
um elemento importante na compreensão do ente matemático.
3) A função tem ponto de Máximo e / ou de Mínimo local? Onde?
Tabela 15-Tabela da segunda questão (item 3)CERTO 8 25,04%ERRADO 11 34,43%INTUITIVAMENTE 13 34,69%
175
CERTOTotal de acertos 21 65,63%
Este Item possui índices que parecem confirmar a análise do item
anterior. Oito alunos acertaram os extremos relativos respondendo apenas: Sim;
entre -1 e 1; em ZERO. Pelo que vimos analisados errariam, caso a pergunta
exigisse conhecimento para além da observação gráfica. Treze alunos acertaram de
modo intuitivo e nenhum sugere sabe o que é ponto critico. Alunos usaram as
seguintes respostas: “é o ponto P no qual f’(P)=0” e “se o Ponto P é ponto critico
então f’(P)=0”. Esta resposta configura uma reciprocidade falsa.
Há, em uma análise mais geral das questões, a sugestão de que se os
itens cobrassem, quando fosse o caso, a NECESSIDADE E SUFICIÊNCIA para que
algo viesse a ocorrer, todos os alunos errariam. Nesse caso, porque a condição f’(x)
= 0 é necessária mas não é suficiente para se ter um Extremo Relativo. Os alunos
acreditaram na suficiência de f’(x) = 0. Espantaram-se quando mostramos a
realidade no decorrer do curso.
4 – o que é necessário acontecer com a derivada primeira para que a função tenha
Máximo ou Mínimo Local?
Tabela 16-Tabela da segunda questão (item 4)CERTO 7 21,91%ERRADO 21 65,73%INTUITIVAMENTE CERTO
4 12,52%
Total de acertos 11 34,43%
O tratamento / explicação do item 3 anterior vale para este item.
Reforçamos aqui o que já explicamos sobre extremo local ou relativo. Para a
existência de um Extremo Relativo em P / P ε Df (ler-se P tal que P pertença ao
domínio de f), se faz necessário: Que f’(x)=0 em P; Que o sinal de f’ passe de + para
– na passagem por P (Máximo) ou de – para + na passagem de P (Mínimo).
Ora, se no item 3, 8 alunos acertaram, matematicamente, que havia
Extremos Relativo eles sabiam, pelo menos em tese, que f’ = 0 no ponto em
questão. Entretanto, como já verificamos, esta condição é necessária, mas não é
suficiente. Continua a inconsistência entre extremo local, f’ e ponto critico. Até o
176
presente momento, podemos dizer que no nosso universo de pesquisa, não há, por
parte do aluno, uma clara conexão entre a simbologia matemática e a declaração do
nome do elemento. Assim como se derivada de f em relação a x fosse diferente de
f’(x).
5) Caso a função tenha um Máximo e Mínimo local em um ponto P da curva, qual o
sinal da reta tangente nas vizinhanças9 de P? Ou seja: em (P+∆P) e em (P-∆P)?
Tabela 17-Tabela da segunda questão (item 5)CERTO 0 0%ERRADO 28 87,64%INTUITIVAMENTE CERTO
4 12,52%
TOTAL DE ACERTOS 4 12,52%
As respostas vêm sugerir que o aluno tem profundas necessidades de
rever os conceitos de derivada, especificamente quanto à sua aplicação em gráfico
de funções. Há, neste caso, a constatação de que o aluno não tem a devida
compreensão do comportamento da função de acordo com sua derivada primeira. O
item 4 (quatro) acima, vem explicado mais formalmente aqui. Se f possui um
extremo relativo de Máximo em P, por exemplo, então:
a) f’(P) = 0;
b) f’(P-∆P) >0;
c) f’(P+∆P)<0
Entretanto, mais uma vez podemos constatar que o número de acertos
devido ao gráfico é relevante.
6) Quanto as assíntotas, existem? Onde? De que tipo?
Tabela 18-Tabela da segunda questão (item 6)CERTO 9 28,17%ERRADO 20 62,6%INTUITIVAMENTE CERTO
3 9,39%
Total de acertos 12 37,56
9 Dizemos que a vizinhança de um ponto A em R é um intervalo aberto em R com centro em A de modo que dado um número real positivo qualquer P, uma vizinhança de A, com raio P, é o intervalo (a-P, a+P).
177
O gráfico mostra claramente as assíntotas. Então, considerando as
análises anteriores deve-se observar algumas respostas dos alunos: “não sei o que
é assíntota”; “desconheço o termo”; “não vi isso na graduação”.
Ao tratarmos deste assunto no item Desprezando os Dados Coletados,
colocamos que o colega não o tinha abordado. Esse fato não é incomum. Autores
como Courant (1965, p. 52) preferem tratar as assíntotas como pontos de
descontinuidades que são. Já Moise (1970) vem tratar das assíntotas nas secções
cônicas na página 365, o que traz dificuldades para o aluno no trato com esboço de
gráfico de função.
De fato, não raro se trata este elemento no esboço de curva não como
assíntota, mas como ponto de descontinuidade. É um equívoco do ponto de vista do
formalismo matemático, muito embora seja interessante, para alguns gráficos, como
os estudados aqui, fazer essa consideração. Há uma grande diferença entre Y = P
ser considerado uma assíntota, com a situação na qual P é um ponto de
descontinuidade. Para um melhor entendimento da questão pode-se mostrar que
nem toda assíntota é ponto de descontinuidade global . Às vezes é ponto de
descontinuidade local ou de subintervalo do domínio da função.
As definições de assíntotas são, de modo geral, e sem perda de
generalidade:
a) Dizemos que uma reta y = b é uma assíntota horizontal no gráfico de f(x)=y se
pelo menos uma das condições é satisfeita:
lim f(x) b e para um número N, se x > N,f(x) bx
lim f(x) b e para um número N, se x < N,f(x) bx
b) Dizemos que uma reta x = a é assíntota vertical no gráfico de f(x) = y se:
lim f(x)x a
178
Essa definição é absolutamente distinta da descontinuidade em P. Observe-
se que no ponto P de um intervalo (a,b), a < P < b onde existe descontinuidade
Lim f(x) ( ) x P
f P ou
Descontinuidade nos extremos de (a,b), isto é, a = P ou b = P onde a
descontinuidade ocorre se Lim(fx) ( )x P
f P .
Observando o gráfico pode-se, com os devidos cuidados, mostrar que
uma assíntota ocorre quando a menor distância entre o ponto P da curva a um ponto
P’ de uma linha imaginária chamada assíntota, tende a ZERO quando P tende a
mais ou menos infinito. Temos ainda o fato de existirem descontinuidades
removíveis, o que não acontece com assíntotas. Em síntese são duas entidades
matemáticas distintas do ponto de vista formal e que, muitas vezes se confundem na
forma visual sem que isso cause prejuízo ao gráfico da função.
7) Esta função tem região côncava e / ou convexa? Se sim, em que intervalos?
Tabela 19-Tabela da segunda questão (item 7)CERTO 0 0%ERRADO 29 90,77%INTUITIVAMENTE CERTO
3 9,39%
Total de acertos 3 9,39%
As repostas a essa questão têm o mesmo sentido das respostas do item I
da Primeira Questão. O aluno observa o gráfico e percebe que a função possui, em
seu domínio máximo de definição, as duas regiões. Se de um lado o aluno acerta
dizendo sim, por outro erra ao não colocar os intervalos ou colocando-os
erroneamente. Durante as aulas, a idéia clara que ficou foi a de que a maioria dos
179
alunos pensava que ao dizer sim seria suficiente para a resposta. Isso vem levantar
outro problema já discutido em vários momentos: a falta de cuidado na leitura do
enunciado bem com os equívocos cometidos na interpretação do mesmo. Muitos
pesquisadores discutem os cuidados que se deve ter nas perguntas uma vez que
uma pergunta confusa quase sempre leva a erros de interpretação por parte do
aluno.
Este tipo de pergunta não deixou claro o objetivo. O que, de fato,
queríamos saber era se uma função poderia ser, ao mesmo tempo, côncava e
convexa. A pergunta então deveria ser esta. Mas isso não anula a análise que foi
feita uma vez que percebida a situação analisamos exatamente o que perguntamos
e não o que estava subjacente.
8) O que acontece com derivada segunda da função se ela for: côncava em um
intervalo I, I f ; convexa em um intervalo K, K f , ? IK.
Tabela 20-Tabela da segunda questão (item 8)CERTO 1 3,13ERRADO 30 93,9INTUITIVAMENTE CERTO
1 3,13
Total de acertos 2 6,26%
A análise tem a mesma estruturação e consideração avaliativas,
respectivamente a análise dos itens “g” e “h” da primeira questão. Uma análise,
portanto, seria redundante uma vez que apenas trocar-se-ia Crescimento e
Decrescimento por Côncava e Convexa por e derivada primeira por derivada
segunda respectivamente. No entanto, ver-se na questão 8 associada às respostas
do item 7 que, de fato, os alunos, em sua maioria absoluta, (31) não detêm o
conceito de convexidade.
6.2.3. Terceira questão do pré-teste (primeira função).Dê uma noção o mais coerente possível com seus cálculos, dos gráficos
das funções:
2
2( )4
xf xx
Expressão 23
180
( )1xf xx
Expressão 24
3( )f x x
Expressão 25
Tabela 21-Tabela da terceira questão (expressão 23)CERTA 0 0%ERRADA 364 (trinta alunos) 93,33%INTUITIVAMENTE CERTA
26 (dois alunos) 6,66%
Esta questão, como já colocado, diferencia-se das demais tanto no
conjunto de procedimentos a serem adotados pelos alunos (finalidade), que é
esboçar o gráfico de uma função, quanto em sua análise quantitativa. Os vinte e seis
itens considerados como Intuitivamente Certos são pontuais e levantam uma
questão que pode ser por demais complexa. Dois alunos deram uma noção
aproximada do gráfico da função
2
2( )4
xf xx
usando, ora a linguagem
natural e ora a linguagem simbólica. Eles disseram que a função possuía duas
assíntotas verticais. Vamos descrever com um dos alunos se comportou. Identificou
que f’ > 0 em um “certo” intervalo e f’ < 0 em um “certo” intervalo. Identificando isso
e ele concluiu: “Existe um extremos local porque ela cresce e decresce”. Também
verificou que f’’ < 0 em um “certo” intervalo. Concluiu: “ Por isso seiu q/ ela então é
virada para baixo (nã lembro como é o nome)”.
A primeira observação que fazemos é quanto ao extremo. O aluno não
falou em f’ = 0. Como já vimos esta é uma condição necessária para o extremo. Por
outro lado o aluno errou no estudo geral dos intervalos em virtude da dificuldade de
trabalhar, como já discutimos, desigualdade. Isso parece haver inviabilizado
encontrar o outro extremo local. A descrição que cada um dos alunos fazem é m os
181
alunos tinham uma boa noção, se comparado com os demais, da construção do
gráfico. Dado que estávamos considerando o intuitivamente certo, a questão foi
aceita no pré-teste. Vimos discutindo que tais ocorrências nos são reveladas quando
observamos o aluno encontrar um resultado e, intuitivamente, traçar retas e curvas
que não são propriamente o que ele detectou. Por exemplo, houve uma certa
freqüência, quando se tratou da função que gerou a figura 34 durante as aulas:
Gráfico 36-Incompreensão de Extremos
Então percebemos várias problemáticas como a discutida “passagem” por
zero no extremo local. Vejamos um gráfico explicativo:
Gráfico 37- A questão da passagem por zero
182
6.3 Totalização do número de erros e acertos do pré-teste.Os resultados parciais que aqui apresentamos dizem respeito as duas
primeiras questões do pré e do pós-teste ao primeiro item da terceira questão dos
testes. Dissemos que para o cálculo de nossas tabelas, o percentual seria
encontrado da seguinte forma: (100 X 32) / certo (errado ou intuitivamente certo).
Agora precisamos observar todas as respostas. distribuídas em três questões da
seguinte forma:
1. Primeira questão: 8 (oito itens perguntas)
2. Segunda questão: 8 (oito perguntas)
3. Terceira Questão: Um gráfico de treze itens.
No pré-teste obtivemos novecentas e sessenta e seis respostas e no pós-
teste novecentas e quarenta e quatro. Há, portanto, uma defasagem de 22 (1,1%)
nas respostas. Queremos reforçar que este número de respostas, muito diferente do
número de questão, ocorre em virtude da existência de uma grande quantidade de
subitens conjugado com o número de respostas. Observemos, por exemplo, que a
primeira questão, se formos contabilizar apenas as perguntas, cobra 152 respostas.
No entanto se formos verificar as respostas este número muda de aluno para aluno.
Assim, o aluno que respondeu apenas a questão de uma forma emitiu 152
respostas, já o aluno que emitiu mais de uma resposta contabilizou 152 + X resposta
de forma que contabilizamos 152 + X. Apenas três itens cobravam uma única
resposta e, finalmente, devemos ter em mente que temos 32 alunos no pré-teste e
25 no pós-teste. Mais adiante recolocaremos essa informação.
Não contemplamos o número de questões em branco nas análises nem
como elemento de nível de acerto ou de erros conforme já chamamos a atenção.
Tabela 22- Tabela incluindo intuitivamente certo
Acertos (139 x 100)/992 14,01%Erros (782 x 100)/992 78,83%
Intuitivamente Certo (71 X 100)/992 7,15%Total 574 99,99%
183
Gráfico de Acertos e erros do Pré-Teste
0100200300400500600700800900
Acertos Erros Intuit.
Núm
ero
de re
spos
tas
Seqüência1
Gráfico 38-Gráfico do pré-teste incluindo as intuitivamente certas
6.4 Dados finais do pré-teste. Os dados finais do pré-teste nos mostra que os alunos com os quais
trabalhamos:
a) sentem grandes dificuldades em se expressar tanto na linguagem materna quanto
nas figural e simbólica. De modo geral eles tentam um mesclado das linguagens;
b) nas questões mais complexas eles tentam a linguagem materna que é mais difícil
na maioria dos casos;
c) não parecem deter os conceitos dos elementos que compõem o gráfico de uma
função;
c) não parecem conseguir fazer uma junção dos intervalos das funções de modo
coerente mesmo dispondo dos elementos, em forma de intervalo, que compõem o
gráfico.
Finalmente, consideramos apenas as respostas formalmente corretas, o
que significa tomar as INTUITIVAMENTES CORRETAS como erradas. Neste caso
tivemos os seguintes índices no pré-teste:
Média:
Erros: 85300 85,88%
992
Acertos: 13900 14,01%
992
184
Gráfico de Erros e Acertos do Pré-teste
0100200
300400500600
700800900
Erros Acertos
Núm
ero
de R
espo
stas
Seqüência1
Gráfico 39-Gráfico de erros e acertos do pré-teste.
185
6.5 Conclusão discursiva do pré-teste (A fazer)
186
Capítulo 7 - Análise do pós-teste e avaliação comparativa com os dados do Pré-teste.
7.1 Análise do pós-teste e avaliação comparativa com os dados do Pré-teste.Os dados comparativos entre os testes nos dão, apenas, um indício de
confirmativa de nossa hipótese, ainda que seja composto de dados estatísticos,
porquanto o resultado estatístico parte da “verdade” dos dados coletados. Por um
lado, acreditamos em nossos resultados, por outro temos a consciência da
existência de vários fatores incontroláveis em uma pesquisa e que a podem
modificar. Isso tem levado os pesquisadores a trocarem CONCLUSÃO por À GUISA
DE CONCLUSÃO.
Chamamos a atenção para o fato de que somente 25 alunos fizeram o
pós-teste. Isso se constituiu em uma “evasão” de 7 alunos em relação ao pré-teste.
Assim sendo, o grupo de 25 alunos representará 100% e um aluno equivalerá a 4%
do total de alunos participantes do pós-teste. Para o levantamento das tabelas
consideramos os itens na mesma forma que quando do pré-teste. Isto é:
ERRADO. Quando o aluno responder inquestionavelmente ERRADO.
CERTO. Quando o aluno responder inquestionavelmente CERTO;
INTUITIVAMENTE CERTO. Quando o pesquisador entender que o aluno sugere
saber a resposta mas errar por uma questão de linguagem.
BRANCO. Questões / itens não contabilizados.
Observe-se que a avaliação do que se tentava obter com as questões no
pré-teste é a mesma que se buscou no pós-teste. Assim, não nos parece haver
necessidade, exceto em caso específico, de fazermos as mesmas análises. O que
tratamos de fazer a partir do pós-teste foi um tabelamento comparativo entre os
percentuais das respostas obtidos nos testes.
Podemos agora fazer um levantamento comparativo entre o pré e o pós-
teste, sem a necessidade de refazer as observações sobre o que cada item significa.
A questão inicial traz um nível de complexidade baixo. Tanto pela questão
em si quanto pelo formato do gráfico e, principalmente, pelo aceite de quaisquer
notações como: x ε R; x ε R / x ε (-∞;+∞); -∞< x <+∞; 2 2x ; -2< x <2. E mesmo
187
pelo aceite do uso de uma notação mista como, por exemplo, o domínio da função é
x ε R em vez de D(f) = x ε R.
Pode causar estranheza ao leitor o fato de que em alguns itens os
percentuais dos acertos sejam iguais. Na realidade, o contrário é que seria estranho.
Alguns itens são “interdependentes”10. Tendo o aluno absorvido os conceitos, é
exatamente a “igualdade” nos percentuais de acertos que deve ocorrer em alguns
itens. Há aqui a necessidade de colocarmos que, para o tipo de questão que
estamos abordando, se o aluno acerta o item “a”, o aluno, também, deverá acertar o
item “b”, salvo quando os itens não são interdependentes NO MODO VISUAL (Que
é disso que se trata) ou não tenham adquirido os conceitos corretamente.
Tomemos como exemplo no caso dos dois testes; a) O que significa o
domínio da função? b) o que significa o domínio da função em termos de suas
variáveis? No Pré-teste tivemos 23% de acertos para o item “a” e, no entanto,
somente 8% de acertos no item “b”. Enquanto no pós-teste estes índices são,
respectivamente, 25% e 25%. O que vem sugerir que aqui os alunos entenderam a
relação do domínio da função com o significado das variáveis que a compõem.
Percebemos que o número de respostas às questões no pré e no pós-
teste, são diferentes em 10%. Isso se explica através de vários fatores:
1. A queda no número de participantes do pré ao pós-teste foi de sete
alunos conforme já colocado;
2. O fato do aluno no pré-teste, dado a insegurança já comentada,
tender a responder de várias formas.
7.1.1 Análise e comparação da primeira questão do pré-teste com a primeira questão do pós-teste
Observe o gráfico 39 abaixo e responda as questões propostas.
10 Errou um DEVERIA errar o outro.
188
Gráfico relativo à primeira questão dos testes (legendado como 27) a) Qual o domínio Máximo de definição da função?
Tabela 23- Tabela da primeira questão dos dados comparativos (Item a)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTO 25 100 23 71,99ERRADO - - 9 21,9Evolução no % de acertos - - - 100-71,99 = 28,01
Observamos que nenhum aluno errou a questão no Pós-teste (PsT). As
respostas forma dadas na linguagem simbólica e na linguagem natural ou materna
sendo que 82% dos alunos responderam nas duas linguagens. Tudo nos vem
sugerir que os alunos queriam mostrar haver entendido através do trabalho (o
experimento) como se dava a aprendizagem em matemática uma vez que não
solicitamos mais de uma resposta e se assim o é houve, ainda, uma natural
confusão do aluno no determinar o que é aprender matemática do ponto de vista de
Duval. A confusão é natural uma vez que o experimento não tratou de Duval. Tratou
do uso da teoria e, portanto, não foi discutido com o aluno como se aprende
matemática na visão da teoria dos registros de representações semiótica.
O padrão de resposta foi: x que podemos escrever como x
pertencente ao reais. Quatro alunos disseram: x ou todos os números reais que
a função pode assumir. Neste último caso percebemos que os alunos em questão
189
continuaram confundindo variável independente com a função em si (variável
dependente). Evidentemente que o nível de dificuldade da resposta, como
comentado ao tratarmos do Pré-teste (PT), é muito baixo. No entanto é importante
observar que no PT nove alunos erram. As duas simbologias, como no PT, mais
utilizadas foram e - x +x .
b) O que significa domínio da função em termos de suas variáveis?
Tabela 24-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item b)Pós-Teste
% Pré-Teste %
CERTOS 25 100% 8 25,04ERRADOS - - 24 75,12Evolução no % de acertos
- - - 100-25,04 = 74,96
O número de acertos no Pst vem mostrar que, se houver uma investida
buscando-se explicar de modo claro as diferenças terminológicas na matemática, o
aluno é absolutamente capaz de entender. Como vimos no PT, os alunos
confundiram definição, conceito, valor numérico no ponto com intervalo. Todos os
alunos usaram a linguagem materna nesta resposta. Algumas delas chamam a
atenção por se enquadrarem, exatamente, na pergunta. Por exemplo: “Em termos
de suas variáveis, o domínio da função está relacionada com a variável
independente”. Uma resposta correta como esta não é simples de ser formulada. A
pergunta envolve uma serie de outras questões como: entender o que é domínio, o
que é variável dependente, variável independente e qual a relação entre estes
elementos.
c) Qual a imagem da função?
Tabela 25-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item c)Pós-Teste
% Pré-Teste %
CERTOS 25 100% 20 62,4ERRADO - - 12 37,56Evolução no % de acertos - - - 100-62,40=37,96
A resposta mais constante foi dada na linguagem simbólica na forma y
, IMG = y Є {R}; y
. A imagem agora parece clara para o aluno. Não
houve, como no PT, equívocos quanto domínio e imagem da função. O aluno mostra
190
que o domínio está ligado à variável independente e a imagem a variável
dependente. Ainda mais não houve nenhuma resposta confundindo ponto com
intervalo. Isso pode parecer paradoxal se observarmos a questão anterior. O fato é
que nesta questão os alunos não usaram a linguagem materna. Há um sentido para
isso. Normalmente, no trato das funções, a ênfase é dada ao domínio de modo que
a imagem e o contra-domínio são pouco trabalhados. Isso ficou mais claro na
entrevista. Os alunos, de fato, confundem imagem com contra-domínio. A principio
a confusão se dá por não se ter uma real compreensão da definição de função. Ora
se atribuindo uma valor à variável independente ocorre um valor para a variável
dependente, então o conjunto resposta deveria ser o mesmo. É preciso
exemplificar : Assim dada a função 2( )f x x , o domínio é x . Mas a
imagem, como nunca vai ser negativa, é ( ) / f(x) 0f x . É neste caso que entra
o conflito com o contra-domínio que, como dissemos, não é suficientemente tratado.
d) O que significa imagem da função em termos de suas variáveis?
Tabela 26-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item d)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 25 100 3 3,13ERRADO - - 29 28,17Evolução no % de acertos - - - 100 - 3,13 = 96,87
Conforme já havia respondido sobre o significado do domínio em relação
às variáveis, os alunos apenas trocaram de variável e, agora, fizeram referência a
variável dependente. Estas questões parecem sanar o problema que o aluno tinha
com significado em relação a algum ente e o que é esse ente. Tal qual a resposta ao
domínio, percebemos que o aluno ainda tem dificuldade em diferenciar definição,
conceito e valor da função no ponto com intervalo. Os alunos que responderam “Em
termos de suas variáveis, o domínio da função está relacionada com a variável
independente” no item i, agora, apenas adequaram para “Em termos de suas
variáveis, a imagem da função está relacionada com a variável dependente”.
e) Esta função possui raízes?
Tabela 27-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item e)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 25 100% 25 78,25ERRADO - - 7 21,91
191
Evolução no % de acertos - - - 100-78,25=21,75
Vinte alunos responderam na linguagem materna e simbólica. Os demais
optaram pela linguagem materna. Isso não era esperado já que, como comentado
no PT, demos margem para resposta maniqueísta SIM / NÃO e, como é comum no
ser humano buscamos a resposta correta e mais breve. No entanto os alunos
sugerem querer dizer que aprenderam o assunto. Algo que já comentamos. Não
queremos deixar de comentar da expectativa (e uma certa satisfação) que nos
tomou esta ação dos alunos. Certamente que não era necessário dizer alem de SIM
ou NÃO. No entanto, para a aprendizagem em matemática, conforme Duval, é
condição necessária que o aluno use pelo menos duas representações para a
aquisição do conhecimento. Achamos interessante que o aluno tenha usado a
linguagem simbólica de modo mais claro, mais matematizado como, por exemplo:
“Sim. Pois se uma função possui raízes então f (x) = 0 sendo x a ‘abissiça’ do ponto
(x;y)”. Consideramos a questão totalmente correta uma vez que o erro de português
não tem nenhuma influência na construção do gráfico. E não é objeto de análise.
f) O que são raízes de uma função?
Tabela 28-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item f)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 25 100 20 62,6ERRADO - - 12 37,56Evolução no % de acertos - - - 100-62,6=37,4
Este número de acerto era esperado em virtude dos acertos anteriores e
de nosso trabalho para que o aluno pudesse construir o seu conhecimento a partir
do conhecimento acadêmico estabelecido quanto aos elementos formadores do
gráfico. A absoluta maioria respondeu nesta direção: São os zero de uma função,
quando f(x) = 0. (resposta não literal).
g) Esta função possui região de crescimento e / ou região de decrescimento? Se
sim, qual ou quais são os intervalos? Se não deixe em branco.
Tabela 29-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (Item g)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 20 80 7 21,91ERRADO 5 20 25 78,25
192
Evolução no % de acertos - - - 80-21,91=59,09
O erro consiste no fato de que alguns alunos não conseguiram, durante o
experimento, entender a simbologia dos intervalos. Deste modo o aluno diz: “possui
Região de crescimento 3[ 2; ]2
e [próximo de 1 +∞]20. Região de decrescimento
3[ ; perto de 12 ”. Ou “Crescente em 3[ 2; ]
2 e 3[ ; ]
2 , Decrescente em 3 3[ ; ]
2 2”.
Desta forma o aluno tanto está dizendo que existe ponto no qual a função é, ao
mesmo tempo, crescente e decrescente quanto que o estudo do crescimento ou
decrescimento se dá em um ponto. Por outro lado, na segunda resposta, o aluno
percebe que o ponto de crescimento de ordenada 32 , é um rebatimento em torno do
eixo OX. Mas não percebe que enquanto 32 é menor que -1, 3
2 é maior que 1. Este
tipo de erro é comum. Desde o ensino médio até certo nível de cálculo, alunos têm
dificuldades com números decimais e com números fracionários. Trabalhos e
palestras nos mostraram durante o nosso curso que o aluno tende a ver 32
como um
número e não como dois números reais e uma operação. Por outro lado o efeito
cognitivo no domínio de operações com números negativos somados a números
positivos não é de simples compreensão como pensam muitos dos nossos colegas
das ciências exatas.
Em palestra ministrada para alunos de especialização em matemática na
Universidade Federal Rural de Pernambuco, o Professor Dr. Marcelo Câmara
levantou o problema da multiplicação na mente do aluno. Informa o professor que
uma colega do ensino fundamental solicita ao aluno escrever 31. O aluno escreve 3
+ 1. O fato é que o aluno era bombardeado pela mídia com a propaganda da
TELEMAR: 3 +1 = 31.
h) O que acontece com a derivada primeira de uma função quando ela (a função)
cresce ou decresce? Sua resposta deve, se possível, incluir a palavra intervalo ou
sua simbologia.
20 O gráfico não mostra o valor. O aluno poderia responder 1-Δx;...
193
Tabela 30-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item h)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 15 60% 7 21,09ERRADO 10 40% 25 78,25Evolução no % de acertos - - - 60-21,09=38,09
Todos os alunos que acertaram tentaram duas linguagens: a natural e a
simbólica. Os acertos, de modo geral se deram na linguagem simbólica no tipo: “se
cresce f’ > 0, se decresce f’ < 0”. Originalmente, a questão era a seguinte: O que
acontece com a derivada primeira de uma função quando ela cresce ou decresce?
Sua resposta deve, se possível, incluir a palavra intervalo ou sua simbologia. Os
alunos ficaram em dúvida. Então pedimos para acrescentar “a função” de modo que
a pergunta ficou: O que acontece com a derivada primeira de uma função quando
ela (a função) cresce ou decresce? Sua resposta deve, se possível, incluir a palavra
intervalo ou sua simbologia. Pensamos em acrescentar “o que acontece com o sinal
da derivada”. No entanto, consideramos que assim, praticamente, a resposta estaria
dada.
Alguns alunos erraram confundindo crescimento em termos de intervalo
com o sinal da derivada. Um erro que inviabiliza a construção do gráfico. No erro
mais desvirtuado o aluno respondeu: “Possui um ponto de máximo e mínimo”. Aqui
lembramos, mas uma vez, Moise (1970) quando diz que se soubermos onde uma
função cresce e onde decresce sabemos o extremo local (Máximo ou Mínimo).
I) Uma função pode crescer e decrescer em um mesmo intervalo? Justifique sua
resposta.
Tabela 31-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item I)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 15 60% 1 3,13
ERRADO 10 20% 31 97,03Evolução no % de acertos - - - 60-3,13=84,90
Os alunos que erraram esta questão fizeram uma leitura que,
infelizmente, foi proporcionada pela falta de uma maior explicitação da questão.
Quando perguntamos “em um mesmo intervalo” o aluno pensou em poder dividir
194
este intervalo. É possível que o erro fosse evitado se houvéssemos perguntado:
dada uma função f, a função pode ser crescente e decrescente ao mesmo tempo?
Se por um lado nos parece que tal pergunta já sugere a resposta, por outro tal
pergunta ensejaria, mais uma vez, o tipo de resposta SIM / NÃO muito embora
tenhamos solicitado justificativa. Se o aluno respondesse NÃO e não justificasse não
poderíamos dizer que o aluno estava errado. A resposta estaria incompleta. Ocorre
que INCOMPLETO não é uma das classificações para as respostas e não pode, em
muitos casos, como neste, ser considerado como intuitivamente certo.
Os alunos que acertaram fizeram uma ótima descrição neste caso. Por
exemplo: “não. Em um mesmo intervalo, uma função não pode crescer e decrescer.
A justificativa é a questão da derivada primeira que não poderá ter resultado positivo
e negativo simultaneamente”.
7.1.2 Análise e comparação da segunda questão do pré-teste com a segunda questão do pós-teste
Considere o gráfico abaixo. Para cada item você pode usar a notação que
desejar: (a:b); a < X <n; x = a, x = b e similares a [a:b), (a:b], etc.
Este item veio tratar de um esboço mais complexo quanto aos elementos
que compõem o gráfico da função, uma vez que agora temos um gráfico completo.
Novamente percebemos que, quando se cresce o nível de complexidade da
pergunta, o nível de complexidade de resposta na língua materna vai se tornado
inviável.
195
Gráfico 40 - relativo à segunda questão dos testes
1) A função possui ponto Crítico? Onde?
Tabela 32-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (item 1)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 10 40 0 0ERRADO 15 60 32 100Evolução no % de acertos - - - 40-0=40,00
Os erros são provenientes da tentativa de se estabelecer o ponto crítico
na forma ordenada (x;y). Todos os alunos constituíram suas respostas marcando os
pontos sobre o gráfico, uma vez que os pontos não estavam muito bem definidos
visualmente. Por exemplo: um aluno diz que P = (-3,4;-5,1) é ponto crítico. No ponto
onde passa a primeira assíntota vertical, o aluno destacou como ponto P. Este, de
fato, é ponto crítico. Ocorre que a função não está definida para o ponto marcado
uma vez que temos aí uma descontinuidade. Assim o aluno errou ao considerar um
ponto inexistente. Por exemplo, os alunos que acertaram, colocaram x = -2; em x = -
3; em x = P, etc. O leitor pode dizer que estamos muito exigentes, mas foi essa a
proposta para o pós-teste como já frisado.
2) De acordo com a derivada primeira o que é Ponto Crítico?
Tabela 33-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (item 2)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 25 100% 0 0ERRADO 32 100Evolução no % de acertos - - - 100-0=100
Achamos desnecessários (na realidade, não temos muito a dizer aqui)
maiores comentários. Alguns alunos usaram uma linguagem mista, enquanto outros
usaram a linguagem simbólica e outro, ainda, a linguagem materna. Por exemplo:
“onde a derivada primeira é igual a zero”, “local onde f’ = 0”. É interessante observar
que poucos livros texto de cálculo explicitam que o ponto crítico também é aquele no
qual a função torna-se infinita. De modo particular, esta consideração começa a vir
de modo claro e específico com Leithold (1987).
196
3) A função tem ponto de Máximo e / ou de Mínimo local? Onde?
Tabela 34-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (item 3)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 25 100% 8 25,04ERRADO 24 75,12Evolução no % de acertos - - - 100-25,04=74,96
O índice de acerto já era esperado em virtude dos dois itens anteriores.
Todo extremo local ocorre, necessariamente, em um ponto crítico. Por outro lado, o
gráfico mostra apenas um extremo local. É importante notar que os alunos,
possivelmente em virtude das aulas no laboratório, estavam alertas para o fato de
ocorrências como a desse gráfico, que nos “mostra” existirem infinitos extremos
locais bem como infinitas raízes.
4 – o que é necessário acontecer com a derivada primeira para que a função tenha
Máximo ou Mínimo Local?
Tabela 35-Tabela comparativa da segunda questão (item 4)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 20 80% 7 21,91ERRADO 5 20% 25 78,25Evolução no % de acertos - - - 80-21,91=58,91
A revisão deste trabalho nos mostra que, de fato, a conjectura de que os
erros no item seguinte foram provocados pelo termo vizinhanças, sendo bastante
identificados a partir desta questão. Verificamos que os 20 (vinte) alunos sabiam o
que acontece com o sinal da derivada no extremo local. Os alunos que erraram
foram levados a isso pela falta de clareza da questão. Vemos isso quando alunos
respondem: “a derivada cresça e decresça” ou “a derivada é negativa e positiva”.
Não é de todo desproposital admitir que o aluno quer se referir ao “giro” da derivada
na passagem por zero, conforme explicamos no item seguinte. O fato é que, do
ponto de vista do intuitivamente certo, a resposta faz sentido. O erro está no fato de
que uma função pode ter região de crescimento e região de decrescimento, mas não
ter extremo relativo. Acreditamos que, se a questão fosse formulada como: “o que
acontece com o valor da derivada primeira para que a função tenha extremo local?”
197
ou “qual o valor (ou sinal) da derivada primeira em um extremo local”, os alunos não
teriam errado.
5) Caso a função tenha um Máximo e Mínimo local em um ponto P da curva, qual o
sinal da reta tangente nas vizinhanças11 de P? Ou seja: em (P+∆P) e em (P-∆P)?
Tabela 36-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 5)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 15 60% 7 21,91ERRADO 10 40% 25 78,25Evolução no % de acertos - - - 60-21,91=39,09
Se bem que estes erros não afetariam o gráfico, não esperávamos, já que
tivemos muito cuidado na justificativa dos extremos locais. Nesse caso em particular,
trabalhamos com três representações: Figural, materna e simbólica. Gráfico do tipo:
Gráfico do tipo: foi sistematicamente usado.
Gráfico 41 – Explicativo do item 5
Bem como as simbologias :
Tabela 37-Tabela explicativa de extremo local+ 0 -- 0 +
F’ > 0F’<0
f’=0f’=0
f’<0f’>0
11 Dizemos que a vizinhança de um ponto A em R é um intervalo aberto em R com centro em A de modo que dado um número real positivo qualquer P, uma vizinhança de A, com raio P, é o intervalo (a-P, a+P).
198
Mostrando que no extremo local o sinal da derivada passa de mais para
menos ou de menos para mais na passagem por ZERO. No entanto, há a
possibilidade (não checamos na entrevista) do aluno haver tido problema com o
termo vizinhança.
6) Quanto as assíntotas, existem? Onde? De que tipo?
Tabela 38-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 6)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 25 100% 9 28,17ERRADO 23 71,99Evolução no % de acertos - - - 100-28,17=71,83
Nas respostas, os alunos não colocaram o tipo de assíntota. Podemos
debitar a ausência desta informação ao desconhecimento dos tipos de assíntotas.
Se nosso interesse era que o aluno considerasse a assíntota horizontal como
assíntota obliqua, por exemplo, a pergunta deveria ser mais clara. Os alunos
colocaram os pontos onde existiam as assíntotas seguindo o mesmo método do item
1, ponto crítico nesta questão. O interessante é que agora não colocaram como
ponto ordenado, mas sim como, por exemplo: “Sim. São 4 (quatro) assíntotas. “Em
(-2+Δx) +∞ e em (-2- Δx) -∞ ; em (2+Δx) -∞ e em (2- Δx)”. Esta foi a resposta
padrão. O aluno então, ao se deparar, especificamente com a assintota, imagina que
a linha vertical pontilhada divide-se em duas.
As respostas deixam claro que os alunos não assimilaram o conceito de
limite que, de fato, não é simples. É mais fácil conceber, como o faz Courant (1965)
como uma descontinuidade, já que a descontinuidade acontece no ponto o
entendimento que o aluno traz este tipo de resposta. Observemos que o aluno, além
de particionar a assíntota, ainda dá o indicativo de menos ou mais infinito. No caso
do “ramo” da assíntota no terceiro quadrante, o sinal é mais infinito. No caso do
“ramos” da assíntota no terceiro quadrante, o sinal é de menos infinito quando as
assíntotas são apenas um recurso didático. Elas, de fato, não existem, pois
acontecem em ponto nos quais a função não está definida. Por isso Courant (1965)
trata como descontinuidade.
7) Esta função tem região côncava e / ou convexa? Se sim, em que intervalos?
199
Tabela 39-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 7)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 11 44% 0 0ERRADO 14 52% 32 100Evolução no % de acertos - - - 44-0=44,00
Mais uma vez aqui aparece o erro onde se confunde intervalo com ponto.
O aluno diz que a função tem região côncava e tem região convexa da seguinte
forma: Concavidade para cima (coloca uma ramo de uma função côncava) no ponto
3,4. Concavidade voltada para baixo (coloca um ramo de uma função convexa) no
ponto -3,4. Todos os alunos que erraram perceberam apenas duas concavidades
nos sugerindo que as concavidades são os seguintes “pedaços” da verdadeira
região de concavidade:
Gráfico 41-Explicativo da convexidade
8) o que acontece com a derivada segunda da função se a função for côncava em
um intervalo I de f? E o que acontece com a derivada segunda se a função for
convexa em um intervalo K de f?
Tabela 40-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 8)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 10 40% 1 3,13ERRADO 15 60 31 97,03Evolução no % de acertos - - - 40-3,13=96,87
Originalmente, a pergunta era “o que acontece com a derivada segunda
se a função for côncava em um intervalo I de f? E o que acontece com a derivada
segunda se a função for convexa em um intervalo K de f?” Alguns alunos ficaram em
dúvida na redação. Então acrescentamos (se a função).
De todos os alunos que acertaram, somente um usou totalmente a
linguagem materna. Os demais usaram a linguagem simbólica. O aluno diz: “se f’’ >
200
0 côncava. Se f’ < 0 convexa”. Ou, conhecido o intervalo a função será côncava se
a derivada segunda for positiva e será convexa se for negativa.
7.1.3 Análise e comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste (gráfico 1)
2
2( )4
xf xx
Expressão XIV
Para que sejam melhor compreendidos os resultados nas questões
seguintes, reinteiramos que a contabilização dos erros e acertos deu-se a partir da
observância da coerência correspondente entre os resultados encontrados
(intervalos e pontos) com a construção do gráfico. Isso significa que, mesmo que o
aluno tenha errado a derivada, por exemplo, e na continuidade do erro tenha
produzido um gráfico coerente com os intervalos e pontos encontrados,
consideramos a resposta como certa. Isso porque partimos do pressuposto de que
os alunos já conheciam derivada e, então, não investimos no aspecto formal do
cálculo dos elementos, mas sim no reconhecimento da correspondência entre
intervalos e pontos que sejam interligados. Por exemplo, o caso dos extremos locais.
Eles estão intimamente ligados aos pontos críticos, já que todo extremo local é um
ponto crítico. No caso de uma região côncava, as retas tangentes estão abaixo da
curva. Inversamente para o caso da região convexa.
Assim, se o aluno, ao errar no cálculo, encontrou o intervalo de
crescimento onde, de fato, a função é decrescente, isso não nos importou. Importou
se ao calcular a concavidade, esta esteja coerente com o decrescimento e, portanto,
com a montagem do gráfico. Isso vem significar que não utilizarmos o erro em
cascata (errou um elemento errou tudo), e que nos importou a montagem final do
gráfico.
Os erros são os mesmos já reportados até o momento. Olhando agora os
erros e acertos na construção do gráfico, temos a noção do crescimento do grupo
quanto à construção do gráfico de uma função. A média de resposta foi de 31 por
aluno. Dado que 10 alunos do pós-teste acertaram os itens da questão temos 10 x
201
31 = 310 acertos, identicamente temos 465 erros. Deste modo o percentual será
calculado como:31000 40%
775 e
46500 60%775
Tabela 41-Tabela da terceira questão dos doados comparativos (Primeiro item)Pós-Teste % Pré-Teste %
CERTOS 310 40 139 14,01ERRADO 465 60 853 85,88Evolução no % de acertos - - - 40,00-14,01=25,99
O gráfico acima é o que vimos chamando de gráfico completo ou global,
por possuir todos os elementos de uma gráfico de uma função polinomial fracionária.
Temos desde o domínio até as assíntotas. Não é um gráfico simples de se construir,
ainda mais quando entramos com uma metodologia com a qual o aluno não estava
habituado. Muito embora tenhamos trabalhado com gráficos mais complicados, em
matemática não vale o sabendo-se o mais difícil, sabe-se o mais fácil.
7.1.4 - Resultado parcial do pós-teste
Erros e acertos no pós-teste
0
100
200
300
400
500
600
700
Erro Acerto
Núm
ero
de re
spos
tas
Seqüência1
Gráfico 42- Gráfico dos erros e acertos do pós-teste 7.1.5 - Resultados parciais.
Os resultados que agora apresentamos expurgam as questões classificadas
como intuitivamente certas no pré-teste. Não estão contabilizadas as “Análise e
comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste
202
quanto aos gráficos 2 e 3. Estes dois últimos itens da terceira questão a serem
avaliados, aproximam-se de modo mais “rápido” daquilo que estamos pesquisando.
Eles envolvem de um lado perguntas sem que exista gráfico e apresentam funções
que derivam do gráfico inicial. Optamos por um nível de dificuldade descendente
nas expressões a fim de verificar se o aluno usaria comparações entre o formato dos
gráficos como ocorreu no pré-teste. Podemos dizer que isso não tem significância
matemática pois poderíamos fazer o inverso. Na realidade faz diferença pedagógica,
em nossa proposta, se o aluno começa da mais difícil para a mais fácil já que a mais
difícil vai se constituir em um gráfico completo ou global. E, em assim sendo, vai
possuir todos os elementos existentes nos demais gráficos.
São as expressões:
( )1xf xx
Expressão XV
3( )f x x Expressão XVI
Gráfico comparativo dos testes
0100200
300400500600
700800900
Pré-Teste Pós-teste
Núm
ero
de re
spos
tas
CertoErrado
Gráfico 43-Gráfico dos resultados parciais.
203
Atentemos para o fato da existência da diferença de 22 (1,1%) respostas
entre os testes. Finalmente ainda faltam alem das análises dos últimas dois itens:
a) o resumo;
b) o abstract;
c) a transcrição da entrevista;
d) os anexos;
e) conclusão.
7.1.4 Análise e comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste (gráfico 2 – Em andamento)
7.1.5 Análise e comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste (gráfico 3 – Em andamento)
204
CAPÍTULO 8– Referência Bibliografia
ALBUQUERQUE, J. de L. Diagnóstico ambiental e questões estratégicas: umaanálise considerando o pólo gesseiro do sertão do Araripe – Estado de Pernambuco. Curitiba, Universidade Federal do Paraná, Tese de Doutorado do Programa de Pós-graduação em Ciências Florestais, Área de Concentração em Economia e Política Florestal. 2002, 185 p.
ARCHELA , R. S - Imagem e Representação Gráfica. Acessado em 15 de agosto de 2005 às 03:45 hs.URL: <http://www.uel.br/projeto/cartografia/artigos/artigo02.htm>
Avila, G.S. Calculo Diferencial e Integral, Volume 1, Editora: Edgard Blucher, (1983).
BALYTA. P - The Effects of Using Motion Detector Technology to Develop Conceptual Understanding of Functions Through Dynamic Representation in Grade 6 Students - A Thesis in the Department of Mathematics and Statistics - University Montreal, Quebec, Canada December, 1-1999 Acessado em 12 de Dezembro de 2006, as 22:00 hs Disponivel em:http://www.nlc-bnc.ca/obj/s4/f2/dsk1/tape3/PQDD_0016/MQ47792.pdf
BARBOSA, D. - A imagem vai além de mil palavras. Acessado em 23 de Setembro de 2005 Reacessado em 23 de Dezembro de 2005 às 18:45URL:<http://ctjovem.mct.gov.br/index.php?action=/content/view&cod_objeto=18796>
BRANT, C. F. - Contribuições dos Registros de Representação Semiótica na Conceituação do Sistema de Numeração – Florianópolis - 2005
CÂMARA, M. Algumas concepções sobre o ensino-aprendizagem de Matemática. In Educação Matemática em Revista. N°12. São Paulo, Sociedade Brasileira de Educação Matemática. 2002, página 13.
_______Informação pessoal em sala de aula, 2006. Data: 20 e 27.
CHIBENI, S. S. Artigo - Locke on the epistemological status of scientificlaws(2005) – Acessado em 10 e Fevereiro de 2006 às 21:02URL: www.unicamp.br/~chibeni/public/lockeleis.pdf.
COURANT, R. Cálculo Diferencial e Integral I, v.1, John Wiley & Sons, New York, 1965.
D’AMBROSIO, U. – Aulas Virtuais – Resumo das Aulas Dadas no Curso Virtual Sobre "Etnomatemática" na UVA Março de 1998. Acessado em 15 de Março de 2006 às 03:25 hsDisponível em: http://vello.sites.uol.com.br/aulas.htm
205
DALL'ANESE. C. - Conceitos de Derivada: Uma Proposta Para o Seu Ensino e Aprendizagem, Mestrado em Educação Matemática, PUC, SP, 2000.URL:http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao_claudio_dall'anese.pdfAcessado em 22 de Março de 2003 às 17
DUVAL, R - International Newsletter on the Teaching and learning of Mathematical Proof. El tam de la carta. Algumas custiones relativas a la argumentación - IUFM de Lille - Novembro/Dezembro 1999: acessado em 12 de agosto de 2006, as 03:25Disponível:http://www.idactique.imag.fr/preuve/Newsletter/991112Theme/991112ThemeES.html
_____L'analyse Cognitive des Problèmes de Comprehension dans L'apprentissage des Mathématiques 1.Université du Littoral et IUFM Nord Pas-de-Calais. Volume 5, 2000, 14p.
_____As Representações Gráficas: Funcionamento e condições de sua aprendizagem. Traduzido por Silvia Alcântara Machado e Osmar Swrtz. No pré-print disponibilizado à professora Verônica Gitirana (Nossa Orientadora) PUCSP. 1997.
_____ Sémiosis et pensée humaine. Berna: Peter Lang, 1995.
_____. Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la penseé. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, vol. 5. IREM-ULP, Strasbourg, 1993, pp. 37-65.
_____Annales de didactique et de sciences cognitives,résumés, approches cognitives de la démarche mathématique, volume 1, 1988, p. 7-14, Adquirido pelo sistema COMUT / UFRPE.
GIL, P. D. - Formação de professores de ciências: tendências e inovações. São Paulo: Cortez, 1995.
GIRALDO, V & CARVALHO, L. M (2002, P. 111-119) - Funções e Novas Tecnologias, Tendências em Matemática Aplicada e Computacional, 3, No. 1 (2002), 111-119. Uma Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional.
GITIRANA, V. – Palestra no curso de Especialização em Matemática da Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 07 de outubro de 2006.
_____ Contextualização no ensino de matemática do nível médio: Contextos e papéis, Texto não publicado, 2004.
HALLIDAY,D. RESNICK, R. & WALKER, J. – Fundamentals of Physics extended. Jonh Wiley & Sons. INC. New York, 1997
HERMANO, C. – Ensino a Distância: Modelos Ibéricos, Lisboa, Universidade Aberta de Portugal, 1999. 871 p.
206
IGLIORI, S. & GODOY, L. F. – Atribuição de Significado às Representações Semióticas do Conceito de Derivada por Estudantes de Cursos de Exatas, GT: Educação Matemática / n. 19, PUC, SP.
JUNHO, B. A. P. - Panorama das Dissertações de Educação Matemática Sobre o Ensino Superior da PUC-SP DE 1994 a 2000, MESTRADO EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, PUC/SP, São Paulo,2003
LAMOUNIER, E. CARDOSO. A. MENDES, E.B. SILVA. L.F - A associação de Realidade Virtual e Ferramentas Cognitivas contribuindo para o Ensino de FísicaAcessado em 01/09/2006 às 20:41URL;www.sbc.org.br/bibliotecadigital/download.php?paper=470
LANG, S. - "A Second Course in Calculus". Addison-Wesley Publ.Co. 1965.
LEITHOLD, l – Cálculo com Geometria Analítica, 1987, Editora Habra.
_____ – Cálculo com Geometria Analítica, 3ª Edição, 1994, Editora Habra.
LÉVY.P - O Universal sem Totalidade, Essência da Cybercultura. Rio de Janeiro: Ed. 34, 1999.
MARANHÃO, M.C.S.A. & IGLIORI, S.B.C – Registros de Representação e Números Racionais, Aprendizagem em Matemática - Registros de Representações semiótica, (2003), Editora Papirus, Campinas, S.P.
MEIER.M, SEIDEL.S, BASSOS, M.V. A - Revista novas Tecnologias na educação, V. 3, N 1, Maio de 2005, Acessado em 25 de Setembro de 2006 as 02:30URL:www.cinted.ufrgs.br/renote/maio2005/artigos/a44_imagineshapari.pdf
PAIS, L. C.. Uma análise do significado da utilização de recursos didáticos no ensino da geometria. CD – 23a ANPEd, 2000.
PASSONI, J.C. e CAMPOS, T.M.M – Registros de Representação e Números Racionais, Aprendizagem em Matemática - Registros de Representações semiótica, (2003), Editora Papirus, Campinas, S.P.
PEIRCE, C.S.- Writings. Vol. I 1857-1865. ed. Max H. Fisch et al. 1982. Bloomington: Indiana University Press.
PIAGET, J. A Imagem mental na criança. Porto - Livraria Civilização, 1987
PISKUNOV, N. - Livro Calculo Diferencial e Integral, Tomo 1 Editora.: MIR 1ª Edição. Moscou, 1969
207
RICHARDSON, R. J. Pesquisas Sociais: métodos e técnicas, São Paulo, Atlas, 1999.
ROMBERG, T. A. (1992). Problematic features of the school mathematics curriculum. In P. W. Jackson (Ed.), Handbook of research on curriculum, (pp. 749-788). New York: Macmillan.
SANTAELLA, L – O que é Semiótica, São Paulo: Brasiliense, Coleção Primeiros Passos, 23ª Edição, 1983.
SFARD, A. On the dual nature of mathematical conception: refletion on process and objects as different sides of the same coin. In: Educational Studies inMathematics: 22. Netherlands: Kluwer Academic, 1991.
_____Transition from operational to strutural conception: the notion of function revisited. In: Procedings of the 20nd Conference of International Group for the PME: 13. Paris, 1989.
SILVA, C.C.A, FILHO, J. A. S, Ribeiro, M. L – Conexões do conceito de área com outros tópicos de matemática no ensino fundamental, Monografia, 2006, UFRPE/SEDUC
SILVA, O.A - Revista Espaço Acadêmico, Nº 68, Janeiro / 2007
SIMMONS, G. F. - "Cálculo com geometria analítica". MacGrawHill S.Paulo, 1988.
TEIXEIRA, P.M.M - Science education and the S.T.S. movement in the framework of the pedagogical trends in Brazil, 2004.
TALL, D. - Advanced Mathematical Thinking. Mathematics Educations Library, Kluwer Academic Publishers,
UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza, Instituto de Matemática/Núcleo de Computação Eletrônica, Mestrado em Informática,Modelagem Computacional na Educação.Acessado em 03 de Setembro de 2005 às 3:00 hsDisponível On-line emwww.nce.ufrj.br/ginape/publicacoes/trabalhos/Modelagem1997/modpage.htm>
VERGNAUD, G. L’enfant, la mathematique et la realité. 3. ed. Berne: Peter Lang, 1985.
VALENTE, J. A. O Uso inteligente do Computador na Educação. Pátio - Revista Pedagógica, Porto Alegre: ArtMed, n1, p.19 - 21, maio/jul. 1970.
VALENTE, J.A - Por quê o computador na educação?Visitado em 02 de Fevereiro de 2006.Disponível em: http://www.edutec.net/Textos/Alia/PROINFO/prf_txtie09.htm
208
VERSUTI, A.C - GT – Educação e Comunicação/ Categoria: Trabalho Educação à Distância: Problematizando Critérios de Avaliação e Qualidade em Cursos ON-LINE, – UNICAMP; GT: Educação e Comunicação /n.16
VYGOTSKY, L. S. - Pensamento e Linguagem. 3. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1991. Série Psicologia e Pedagogia.
_____ A formação Social da Mente. Editora Martins Fontes, 3ª Edição Brasileira, Maio de 1989.
WILLIAM, C.D. - Aprendizagem pessoal e aprendizagem afastada : o caso do aluno de cálculo / Dale William Bean. -- Campinas, SP: [s.n.], 2004.
REGO, T. C – Vygotsky: Uma perspectiva histórico-cultural da educação, 16ª edição, Editora Vozes, Petrópolis, 2004.
209
ANEXOS
210
Anexo IQUESTIONÁRIOS
QUESTIONÁRIO I
Caro (a) aluno (a)
Desejamos agradecer a participação de todos (as) neste projeto que é uma
parte integrante do nosso trabalho de pesquisa.
Ninguém está na obrigação de se identificar. Como explicarmos, P.X são
apenas anotações para o trabalho. Responda sem a preocupação de nota uma vez
que uma parte da nota da primeira verificação de aprendizagem (Prova) será uma
pontuação entre 0 e 2. Essa pontuação vai depender, apenas de sua participação e
não de acertos ou erros nas questões bem como em avaliações sobre o uso ou não
do computador / Internet. Isso não nos importa nesse questionário.
QUESTÕES
1 – Você possui acesso a Internet fora da instituição / unidade onde esta estudando?
SIM........ NÃO....................
2 – Se você respondeu sim a primeira questão, por quanto tempo em horas?
3 – você considera que uma aula via Internet produz os mesmos efeitos de
aprendizagem que as aulas presenciais?
SIM.............. NÃO....................... NÃO SEI...........
4 - Se responder não, então: Onde você acha que o aprendizado será melhor, via
internet ou presencialmente?
PRESENCIALMENTE............................ VIA Internet..................................
5 – Há quanto tempo você manuseia Internet?
a) Mais de um e menos de três anos.
b) Menos de um ano.
c) mais de três e menos de cinco anos
211
d)Nunca manuseei
e)Outra resposta:_______________________________________________
QUESTIONARIO IIEste segundo questionário é apenas uma avaliação nas mesmas condições do
anterior. Ou seja: Não há preocupação com acertos ou erros. Assim solicitamos que
responda sozinho mesmo porque nem o pesquisador vai saber quem disse o quê!
Dez ou zero dá no mesmo. A avaliação do ZERO A DOIS PONTOS vai depender da
sua participação nas atividades do mine curso apresentado a vocês.
QUESTÕES
1 – Resolva as questões abaixo de acordo com o que for especificado.
Qual a solução de lim [x2 -3x+1]/3[x+ x
x→4
Qual o resultado de 254
+3?
Qual o resultado de 532
21
Quais são as raízes de x2-x=0
Escreve matematicamente as funções descritas e dê uma noção dos gráficos:
f de x é igual a x ao quadrado menos quatro x menos um;
f de x é igual a x mais três;
f de x e igual a x ao quadrado mais dois quintos de x.
212
ANEXO V
> ----- Original Message ----- From: ""Méricles T. Moretti""
> To: "ademir" <[email protected]>
> Sent: Tuesday, March 06, 2007 11:05 AM
> Subject: Re: Ademir / Doutorando / UFPE
>> Ademir,
>> concordo com a tua análise.
>> Não vale a pena entrar nesta discussão, a não ser que seja
>> o teu tema de pesquisa. Isto dá pano pra muita manga.
>> Um abraço e bom trabalho.
>> Méricles
213
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